Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

$\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{11}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^{11}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^{11}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-11\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-11\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 6.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6.8}{100}$) ⋅ B = 0,932 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,932.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.932($\frac{1}{2}$) ≈ 9.84 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 68.78 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 68.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^{10}$	=	$\mathrm{68,78}$	|:$80$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,85975}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,85975}}$	≈ $-\mathrm{0,985}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,85975}}$	≈ $\mathrm{0,985}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,985}$ ≈ 0.985 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80\cdot {\mathrm{0,985}}^{13}$ ≈ 65,73.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

$80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$70$	|:$80$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\frac{7}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,8352}$

Nach ca. 8,835 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.