Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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= |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 11.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.5% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.885(
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 11402,26€. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7700€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 11402.26 € ist,
also f(10) = 11402.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
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=
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| a2 | = |
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=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):
f(6) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7700 € ist, also f(t) = 7700:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 1,954 Jahre ist also der Kontostand = 7700 €.
