Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+2$ = $k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = -2 ablesen, es gilt somit:

  $k+2$	=	$-2$	| $-2$
  $k$	=	$-4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y-2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y-2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-2\right)+3$

f(0) = $110$

f(1) = $110$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $110$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $110$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $110$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 65192.58 Nutzer ist, also f(10) = 65192.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^{10}$	=	$65\mathrm{192,58}$	|:$7000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{9,31323}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{9,31323}}$	= $-\mathrm{1,25}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{9,31323}}$	= $\mathrm{1,25}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,25}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $7000\cdot {\mathrm{1,25}}^{11}$ ≈ 81490,725.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer ist, also f(t) = 57000:

$7000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$57000$	|:$7000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{57}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,3982}$

Nach ca. 9,398 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer.