$\lg \left(\frac{1}{125x^4}\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{125}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+2k$ = $2k$ = 2

  $2k$	=	$2$	|:$2$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{x-3}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y-1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y-1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-1\right)+3$

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,89.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.89($\frac{1}{2}$) ≈ 5.95 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $2000\cdot {\mathrm{1,25}}^4$ ≈ 4882,813.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 102000 Nutzer ist, also f(t) = 102000:

$2000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$102000$	|:$2000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$51$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(51\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(51\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(51\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,6202}$

Nach ca. 17,62 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 102000 Nutzer.