$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= -2

$\lg \left(\frac{4}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $\lg \left(4x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ablesen: a=1.11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,14}}^5$ ≈ 9627,073.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer ist, also f(t) = 35000:

$5000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$35000$	|:$5000$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$7$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(7\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(7\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(7\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,8511}$

Nach ca. 14,851 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer.