Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $136858$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $136858$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $136858$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $136858$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $136858$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $136858$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesetzt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 8.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{8,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,92}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $6000\cdot {\mathrm{1,04}}^{11}$ ≈ 9236,724.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 13000 € ist, also f(t) = 13000:

$6000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$13000$	|:$6000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{13}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,7138}$

Nach ca. 19,714 Jahre ist also der Kontostand = 13000 €.