Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+3}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+3}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x+3}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+3}-2$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+3}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+2$ = $k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = -2 ablesen, es gilt somit:

  $k+2$	=	$-2$	| $-2$
  $k$	=	$-4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,2}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-2e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+1$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.8}{100}$) ⋅ B = 0,982 ⋅ B. Somit ist das a=0,982.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,982}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $75\cdot {\mathrm{0,982}}^8$ ≈ 64,856.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,982}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,982}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,982}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,982}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,0753}$

Nach ca. 17,075 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.