Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 ( 1 3 ) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 1 3 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 3 ist.

Dabei kommt man auf 1 4 = 1 4 = 4-1 < 1 3 und auf 1 = 1 = 4-0 > 1 3 .

Und da wir bei log 4 ( 1 3 ) ja das ☐ von 4 = 1 3 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4-1 = 1 4 = 1 4 < 1 3 < 1 = 1 = 4-0

Es gilt somit: -1 < log 4 ( 1 3 ) < -0

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -3
    k = -3

Der abgebildete Graph ist somit der von f-3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +1,2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,4x +1,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +1,2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +1,2 -1 = y | +1
e -0,4x +1,2 = y +1 |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( y +1 )
-0,4x +1,2 = ln( y +1 ) | -1,2
-0,4x = ln( y +1 ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y +1 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x +1 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x +1 ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also Bneu = B + 12 100 ⋅B = (1 + 12 100 ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.12(2) ≈ 6.12 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,5% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 47,25 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 47,2 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also Bneu = B - 2.5 100 ⋅B = (1 - 2.5 100 ) ⋅ B = 0,975 ⋅ B. Somit ist das a=0,975.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,975 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 47.25 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 47.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,975 t ein:

c ⋅ 0.9756 = 47.25

c ⋅ 0.85907 = 47.25 | : 0.85907

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,975 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 55 0,975 8 44,916.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 47.2:

55 0,975 t = 47,2 |:55
0,975 t = 0,8582 |lg(⋅)
lg( 0,975 t ) = lg( 0,8582 )
t · lg( 0,975 ) = lg( 0,8582 ) |: lg( 0,975 )
t = lg( 0,8582 ) lg( 0,975 )
t = 6,0399

Nach ca. 6,04 Jahre ist also der Bestand = 47.2 Millionen Einwohner.