${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>480</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>6480</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>324</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{18}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>18</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-5k\right)·e^{x-\frac{5}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-5k$ = 0 ist, also für x = $5k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($5k$) = $\left(\left(5k\right)-5k\right)·e^{\left(5k\right)-\frac{5}{2}k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $5k$ bei ( $x-5k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($5k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(2| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $5k$ = 2
  Also gilt k = $\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+2\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,925}}^t$ ablesen: a=0.925.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.925($\frac{1}{2}$) ≈ 8.89 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2000\cdot {\mathrm{1,17}}^9$ ≈ 8216,801.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

$2000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$32000$	|:$2000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,6594}$

Nach ca. 17,659 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.