Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-2kx·e^{kx-2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|5) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-2k·0·e^{k\cdot 0-2k}+3k$ = $3k$ = 5

  $3k$	=	$5$	|:$3$
  $k$	=	$\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,951}}^t$ ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.951($\frac{1}{2}$) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 79584.6 Nutzer ist, also f(13) = 79584.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{13}$	=	$79\mathrm{584,6}$	|:$6000$
$a^{13}$	=	$\mathrm{13,2641}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{13,2641}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{13,2641}}$ ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $6000\cdot {\mathrm{1,22}}^9$ ≈ 35924,417.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer ist, also f(t) = 26000:

$6000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$26000$	|:$6000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,3741}$

Nach ca. 7,374 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 26000 Nutzer.