Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $713705$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $713705$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $713705$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $713705$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $713705$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $713705$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$2$), also gilt f(0)=$2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2\cdot a$ = $2a$.

Es gilt also: $4$ = $2a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$-4e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12($2$) ≈ 6.12 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 20713.63 Nutzer ist, also f(13) = 20713.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ein:

c ⋅ 1.1¹³ = 20713.63

c ⋅ 3.45227 = 20713.63 | : 3.45227

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $6000\cdot {\mathrm{1,1}}^8$ ≈ 12861,533.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$6000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$9000$	|:$6000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2542}$

Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.