Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 ( 1 37 ) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 1 37 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 37 ist.

Dabei kommt man auf 1 125 = 1 5 3 = 5-3 < 1 37 und auf 1 25 = 1 5 2 = 5-2 > 1 37 .

Und da wir bei log 5 ( 1 37 ) ja das ☐ von 5 = 1 37 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5-3 = 1 5 3 = 1 125 < 1 37 < 1 25 = 1 5 2 = 5-2

Es gilt somit: -3 < log 5 ( 1 37 ) < -2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 6 ) + lg( 1 500 x 2 ) + lg( 2 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x 6 ) + lg( 1 500 x 2 ) + lg( 2 x 4 )

= lg( 25 x -6 ) + lg( 1 500 x 2 ) + lg( 2 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 x 6 ) + ( lg( 1 500 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 1 500 ) + lg( x 2 ) + lg( 2 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) -6 lg( x ) + lg( 1 500 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) -6 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 500 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) +4 lg( x )

= - lg( 500 ) + lg( 25 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 500 · 25 · 2 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,4 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,2x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,4 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,4 -1 = y | +1
e -0,2x +0,4 = y +1 |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( y +1 )
-0,2x +0,4 = ln( y +1 ) | -0,4
-0,2x = ln( y +1 ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y +1 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 4.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,7 = 2 | 4,7
a1 = - 2 1 4,7 -1,159
a2 = 2 1 4,7 1,159

Das gesuchte a ist somit 1,159 ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 2000 1,16 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also Bneu = B - 3.2 100 ⋅B = (1 - 3.2 100 ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 65 0,968 4 57,071.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

65 0,968 t = 35 |:65
0,968 t = 7 13 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 7 13 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 7 13 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 7 13 ) lg( 0,968 )
t = 19,0338

Nach ca. 19,034 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.