Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 81 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 81 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 81 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 81 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 81

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 81 ) = -4, eben weil 3-4 = 1 81 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k = 0 wird, wenn x +3 k = 0 ist, also für x = -3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-3 k ) = - ( ( -3 k ) +3 k ) · e ( -3 k ) + 3 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = -3 k bei ( x +3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-3 k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(4| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -3 k = 4
    Also gilt k = - 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,3x -0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,3x -0,6 können die Funktionswerte von 2 e 0,3x -0,6 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,3x -0,6 = y |:2
e 0,3x -0,6 = 1 2 y |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( 1 2 y )
0,3x -0,6 = ln( 1 2 y ) | +0,6
0,3x = ln( 1 2 y ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( 1 2 y ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( 1 2 x ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( 1 2 x ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,9% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.9% dazukommen,
also Bneu = B + 4.9 100 ⋅B = (1 + 4.9 100 ) ⋅ B = 1,049 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,049.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.049(2) ≈ 14.49 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 39,37kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 39.37 kg ist, also f(4) = 39.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60 a t ein:

60 a 4 = 39,37 |:60
a 4 = 0,65617 | 4
a1 = - 0,65617 4 -0,9
a2 = 0,65617 4 0,9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,9 ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = 60 0,9 5 35,429.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

60 0,9 t = 20 |:60
0,9 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,9 )
t = 10,4272

Nach ca. 10,427 Tage ist also der Bestand = 20 kg.