Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $19$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $19$ ist.

Dabei kommt man auf $2^4$ = 2⁴ < $19$ und auf $2^5$ = 2⁵ > $19$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $19$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 4 und 5 liegen, wegen:
2⁴ = $2^4$ < $19$ < $2^5$ = 2⁵

Es gilt somit: 4 < < 5

$-\lg \left(\frac{1000}{x^4}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{20}{x^5}\right)$

= $-\lg \left(1000x^{-4}\right)+\lg \left(5x\right)+\lg \left(20x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $135$

f(1) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 2.42 Millionen Insekten ist, also f(13) = 2.42. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89¹³ = 2.42

c ⋅ 0.21982 = 2.42 | : 0.21982

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{0,89}}^8$ ≈ 4,33.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{2,2}$	|:$11$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8109}$

Nach ca. 13,811 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.