Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·e^x-x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(e^x+e^{-x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^x-x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·e^x+x·e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $\lg \left(50x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 28 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^9$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[9]{2}$ ≈ 1.08, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,08}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $6000\cdot {\mathrm{1,2}}^6$ ≈ 17915,904.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer ist, also f(t) = 106000:

$6000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$106000$	|:$6000$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{53}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{53}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{53}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{53}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,7506}$

Nach ca. 15,751 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer.