$\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{200}{x^2}\right)$

= $\lg \left(4x^{-2}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(200x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(100x^4\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,9}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 5.58 Millionen Insekten ist, also f(7) = 5.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92⁷ = 5.58

c ⋅ 0.55785 = 5.58 | : 0.55785

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $10\cdot {\mathrm{0,92}}^5$ ≈ 6,591.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.1:

$10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{5,1}$	|:$10$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,51}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,51}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0755}$

Nach ca. 8,076 Jahre ist also der Bestand = 5.1 Millionen Insekten.