Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-5kx·e^{kx-5k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-5k·0·e^{k\cdot 0-5k}+5k$ = $5k$ = 2

  $5k$	=	$2$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-2}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,893}}^t$ ablesen: a=0.893.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.893($\frac{1}{2}$) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6243.62 € ist, also f(4) = 6243.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^4$	=	$6\mathrm{243,62}$	|:$6000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,0406}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,0406}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,0406}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^9$ ≈ 6562,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6400 € ist, also f(t) = 6400:

$6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$6400$	|:$6000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{16}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{16}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,4861}$

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 6400 €.