Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{0.00001}{x}\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $-5-\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^8\right)-\lg \left(\frac{400}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^8\right)-\lg \left(400x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^8\right))-(\lg \left(400\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^8\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{400}·20·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,035}}^t$ ablesen: a=1.035.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.035($2$) ≈ 20.15 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 72.47 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 72.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^2$	=	$\mathrm{72,47}$	|:$75$
$a^2$	=	$\mathrm{0,96627}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,96627}}$	≈ $-\mathrm{0,983}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,96627}}$	≈ $\mathrm{0,983}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,983}$ ≈ 0.983 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,983}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75\cdot {\mathrm{0,983}}^5$ ≈ 68,838.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65:

$75\cdot {\mathrm{0,983}}^t$	=	$65$	|:$75$
${\mathrm{0,983}}^t$	=	$\frac{13}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,983}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,983}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3459}$

Nach ca. 8,346 Jahre ist also der Bestand = 65 Millionen Einwohner.