Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $-x·e^{x^2-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·e^{x^2+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^{x^2-x}$
weder gleich f(x) = $x·e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-x·e^{x^2+x}$ = $-x·e^{x^2+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-1}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{x-1}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

f(0) = $54$

f(1) = $54$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $54$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $54$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $54$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ ${\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = ${\mathrm{1,32}}^6$ ≈ 5,29.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 9.2:

${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\mathrm{9,2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{9,2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{9,2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{9,2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9933}$

Nach ca. 7,993 Stunden ist also der Bestand = 9.2 Millionen Bakterien.