Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -2 e x +2 +1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei -2 e x +2 +1 zu jedem Funktionswert von e x noch 1 addiert wird, ist der Graph von -2 e x +2 +1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei -2 e x +2 +1 das x von e x durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt -2 e x +2 +1 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt -2 e x +2 +1 gegen 0 +1 = 1 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 5 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 5 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss k = -5 gelten;
    Also gilt k = -5

Der abgebildete Graph ist somit der von f-5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem - e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von - e -0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,2x +1 = y | -1
- e -0,2x = y -1 |:-1
e -0,2x = -y +1 |ln(⋅)
-0,2x = ln( -y +1 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( -y +1 )
x = -5 ln( -y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( -x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( -x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,098 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,098 t ablesen: a=1.098.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.098(2) ≈ 7.41 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 36,45Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 720 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 20 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 36.45 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 36.45. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 20 a t ein:

20 a 2 = 36,45 |:20
a 2 = 1,8225 | 2
a1 = - 1,8225 = -1,35
a2 = 1,8225 = 1,35

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,35 ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = 20 1,35 13 989,393.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 720 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 720:

20 1,35 t = 720 |:20
1,35 t = 36 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 36 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 36 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 36 ) lg( 1,35 )
t = 11,9409

Nach ca. 11,941 Stunden ist also der Bestand = 720 Millionen Bakterien.