Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{11}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{11}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{2^4}$ = 2^-4 < $\frac{1}{11}$ und auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 > $\frac{1}{11}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{11}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
2^-4 = $\frac{1}{2^4}$ = $\frac{1}{16}$ < $\frac{1}{11}$ < $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$-2e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,883}}^t$ ablesen: a=0.883.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.883($\frac{1}{2}$) ≈ 5.57 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 2524.95 € ist, also f(4) = 2524.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^4$	=	$2\mathrm{524,95}$	|:$2000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,26248}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,26248}}$	= $-\mathrm{1,06}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,26248}}$	= $\mathrm{1,06}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,06}$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $2000\cdot {\mathrm{1,06}}^6$ ≈ 2837,038.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9585}$

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.