${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>324</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>324</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(2| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 2
  Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,943}}^t$ ablesen: a=0.943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.943($\frac{1}{2}$) ≈ 11.81 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7293.04 € ist, also f(4) = 7293.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^4$	=	$7\mathrm{293,04}$	|:$6000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,21551}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,21551}}$	= $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,21551}}$	= $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $6000\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 7657,689.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$6000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$7000$	|:$6000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{7}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,1595}$

Nach ca. 3,16 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.