Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{18}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = ${18}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${18}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $18$ suchen, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf ${18}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = ${18}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $18$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{18}}$ gilt .

$\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$3e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

f(0) = $198$

f(1) = $198$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $198$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $198$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $198$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $8\cdot {\mathrm{1,23}}^6$ ≈ 27,703.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 208 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 208:

$8\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$208$	|:$8$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$26$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(26\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(26\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(26\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,7385}$

Nach ca. 15,739 Stunden ist also der Bestand = 208 Millionen Bakterien.