Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{15}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\sqrt{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{15}$ als ${15}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{8000}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)-\lg \left(8000x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(8000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(8000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(8000\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(8000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·4·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,22.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.22($2$) ≈ 3.49 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $7000\cdot {\mathrm{1,15}}^5$ ≈ 14079,5.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 17000 Nutzer ist, also f(t) = 17000:

$7000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$17000$	|:$7000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,3487}$

Nach ca. 6,349 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 17000 Nutzer.