Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +3 -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +3 -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von e x +3 -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei e x +3 -2 das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x +3 -2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x +3 -2 gegen 0 -2 = -2 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +2 = k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = -2 ablesen, es gilt somit:
    k +2 = -2 | -2
    k = -4

Der abgebildete Graph ist somit der von f-4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,2x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -2 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -2 e 0,2x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,2x -1 = y | +1
-2 e 0,2x = y +1 |:-2
e 0,2x = - 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 2 y - 1 2 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 2 y - 1 2 )
x = 5 ln( - 1 2 y - 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 2 x - 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 2 x - 1 2 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 5,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 5.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,3 = 2 | 5,3
a = 2 1 5,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 5,3 ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 6000 1,14 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,8% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.8% weggehen,
also Bneu = B - 1.8 100 ⋅B = (1 - 1.8 100 ) ⋅ B = 0,982 ⋅ B. Somit ist das a=0,982.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,982 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 75 0,982 8 64,856.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

75 0,982 t = 55 |:75
0,982 t = 11 15 |lg(⋅)
lg( 0,982 t ) = lg( 11 15 )
t · lg( 0,982 ) = lg( 11 15 ) |: lg( 0,982 )
t = lg( 11 15 ) lg( 0,982 )
t = 17,0753

Nach ca. 17,075 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.