Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · 2 e x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · 2 e ( -x ) 2 = -2 x · e x 2

Wenn man das mit f(x) = x · 2 e x 2 = 2 x · e x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = -2 x · e x 2 gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -2 x · e x 2 ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +1 = k +1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    k +1 = 0 | -1
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,3x +0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,3x +0,9 können die Funktionswerte von 4 e -0,3x +0,9 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,3x +0,9 = y |:4
e -0,3x +0,9 = 1 4 y |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( 1 4 y )
-0,3x +0,9 = ln( 1 4 y ) | -0,9
-0,3x = ln( 1 4 y ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,9 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 6.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 2 | 6,6
a1 = - 2 1 6,6 -1,111
a2 = 2 1 6,6 1,111

Das gesuchte a ist somit 1,111 ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 3000 1,11 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3247,3€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3247.3 € ist, also f(4) = 3247.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.024 = 3247.3

c ⋅ 1.08243 = 3247.3 | : 1.08243

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 3000 1,02 8 3514,978.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3300 € ist, also f(t) = 3300:

3000 1,02 t = 3300 |:3000
1,02 t = 11 10 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 11 10 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 11 10 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 11 10 ) lg( 1,02 )
t = 4,813

Nach ca. 4,813 Jahre ist also der Kontostand = 3300 €.