Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (4) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 4, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 4 ist.

Dabei kommt man auf 3 = 31 < 4 und auf 3 2 = 32 > 4.

Und da wir bei log 3 (4) ja das ☐ von 3 = 4 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
31 = 3 < 4 < 3 2 = 32

Es gilt somit: 1 < log 3 (4) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -3
    k = -3

Der abgebildete Graph ist somit der von f-3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,4x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -2 e -0,4x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,4x -3 = y | +3
-2 e -0,4x = y +3 |:-2
e -0,4x = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 2 y - 3 2 )
x = - 5 2 ln( - 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 2 x - 3 2 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,05 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 48,29Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 102 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 22 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 48.29 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 48.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 22 a t ein:

22 a 6 = 48,29 |:22
a 6 = 2,195 | 6
a1 = - 2,195 6 -1,14
a2 = 2,195 6 1,14

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,14 ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 22 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 22 1,14 10 81,559.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 102 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 102:

22 1,14 t = 102 |:22
1,14 t = 51 11 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 51 11 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 51 11 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 51 11 ) lg( 1,14 )
t = 11,7069

Nach ca. 11,707 Stunden ist also der Bestand = 102 Millionen Bakterien.