Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^5}\right)$

= $\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)+\lg \left(2x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·2·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-2e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-2$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.7}{100}$) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.047($2$) ≈ 15.09 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 9.08 Millionen Insekten ist, also f(2) = 9.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ein:

c ⋅ 0.87² = 9.08

c ⋅ 0.7569 = 9.08 | : 0.7569

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {\mathrm{0,87}}^{12}$ ≈ 2,256.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.1:

$12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{9,1}$	|:$12$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,7583}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7583}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7583}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7583}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9867}$

Nach ca. 1,987 Jahre ist also der Bestand = 9.1 Millionen Insekten.