Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $2$ und auf $4$ = 4¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $2$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $3k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $145$

f(1) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(2) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(3) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(4) = $145$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{19}{20}$ multipliziert. Da $\frac{19}{20}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{19}{20}$-fache (oder auf das $\frac{95}{100}$-fache), also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.8}{100}$) ⋅ B = 0,982 ⋅ B. Somit ist das a=0,982.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,982}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 77.15 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 77.15. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,982}}^t$ ein:

c ⋅ 0.982² = 77.15

c ⋅ 0.96432 = 77.15 | : 0.96432

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,982}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $80\cdot {\mathrm{0,982}}^{10}$ ≈ 66,712.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 71.7:

$80\cdot {\mathrm{0,982}}^t$	=	$\mathrm{71,7}$	|:$80$
${\mathrm{0,982}}^t$	=	$\mathrm{0,8963}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,982}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,982}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8963}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,982}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0273}$

Nach ca. 6,027 Jahre ist also der Bestand = 71.7 Millionen Einwohner.