Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 13 ( 1 13 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 13 um: 1 13 = 13 - 1 2

log 13 ( 1 13 ) = log 13 ( 13 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 13 - 1 2 zur Basis 13 suchen, also die Hochzahl mit der man 13 potenzieren muss, um auf 13 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 13 = 13 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 13 ( 1 13 ) = log 13 ( 13 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 13 - 1 2 = 1 13 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 100 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 100 x 3 )

= lg( 2 x -4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 100 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( 1 x 4 ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 2 ) + lg( 1 x 4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 ) + lg( 1 100 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) -4 lg( x ) + lg( 50 ) +0 + lg( 1 100 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) -4 lg( x ) + lg( 50 ) +0 + lg( 1 ) - lg( 100 ) +3 lg( x )

= - lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= - lg( x ) + lg( 1 100 · 50 · 2 )

= - lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= - lg( x ) + lg( 1 )

= - lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -3 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -3 können die Funktionswerte von 2 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -3 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -3 +1 = y | -1
2 e x -3 = y -1 |:2
e x -3 = 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 2 y - 1 2 )
x -3 = ln( 1 2 y - 1 2 ) | +3
x = ln( 1 2 y - 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 1 2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 17.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17,7 = 2 | 17,7
a = 2 1 17,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 17,7 ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 3000 1,04 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8014,3€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu = B + 7 100 ⋅B = (1 + 7 100 ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,07 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 8014.3 € ist, also f(2) = 8014.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,07 t ein:

c ⋅ 1.072 = 8014.3

c ⋅ 1.1449 = 8014.3 | : 1.1449

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 7000 1,07 7 11240,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

7000 1,07 t = 11000 |:7000
1,07 t = 11 7 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 11 7 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 11 7 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 11 7 ) lg( 1,07 )
t = 6,6804

Nach ca. 6,68 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.