Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100x ) +3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100x ) +3 lg( x )
= lg( 100 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= lg( 10 2 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= 2 + lg( x ) +3 lg( x )
= 4 lg( x ) +2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +2 k = 2 k = 2
    2k = 2 |:2
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,4 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,2x -0,4 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,4 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,4 -1 = y | +1
e 0,2x -0,4 = y +1 |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( y +1 )
0,2x -0,4 = ln( y +1 ) | +0,4
0,2x = ln( y +1 ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +1 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 28 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 28

f(1) = 28 1,2

f(2) = 28 1,21,2

f(3) = 28 1,21,21,2

f(4) = 28 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 3029 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also Bneu = B + 32 100 ⋅B = (1 + 32 100 ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 29 1,32 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 29 1,32 10 465,733.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3029 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3029:

29 1,32 t = 3029 |:29
1,32 t = 3029 29 |lg(⋅)
lg( 1,32 t ) = lg( 3029 29 )
t · lg( 1,32 ) = lg( 3029 29 ) |: lg( 1,32 )
t = lg( 3029 29 ) lg( 1,32 )
t = 16,7441

Nach ca. 16,744 Stunden ist also der Bestand = 3029 Millionen Bakterien.