Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{125}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{125}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{125}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{125}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $5$^$-3$ = $\frac{1}{125}$ gilt .

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{625x^2}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{625}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 22.8 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{22,8}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,97}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3244.8 € ist, also f(2) = 3244.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^2$	=	$3\mathrm{244,8}$	|:$3000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,0816}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,0816}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,0816}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $3000\cdot {\mathrm{1,04}}^9$ ≈ 4269,935.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$5000$	|:$3000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0244}$

Nach ca. 13,024 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.