Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e x 2 + x vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e ( -x ) 2 + ( -x ) = - x 3 · e x 2 - x

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e x 2 + x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e x 2 - x
weder gleich f(x) = x 3 · e x 2 + x noch gleich -f(x) = - x 3 · e x 2 + x = - x 3 · e x 2 + x ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 3 · e 1 2 +1 = 1 · e 2 ≈ 7.389
Aber: f(-1) = ( -1 ) 3 · e ( -1 ) 2 -1 = -1 · e 0 ≈ -1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -1
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 4 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 4 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 4 e 0,4x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x +3 = y | -3
4 e 0,4x = y -3 |:4
e 0,4x = 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 4 y - 3 4 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y - 3 4 )
x = 5 2 ln( 1 4 y - 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 4 x - 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 4 x - 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,938 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,938 t ablesen: a=0.938.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.938( 1 2 ) ≈ 10.83 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1340,1€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1400€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu = B + 5 100 ⋅B = (1 + 5 100 ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,05 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 1340.1 € ist, also f(6) = 1340.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,05 t ein:

c ⋅ 1.056 = 1340.1

c ⋅ 1.3401 = 1340.1 | : 1.3401

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 1000 1,05 4 1215,506.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1400 € ist, also f(t) = 1400:

1000 1,05 t = 1400 |:1000
1,05 t = 7 5 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 7 5 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 7 5 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 7 5 ) lg( 1,05 )
t = 6,8963

Nach ca. 6,896 Jahre ist also der Kontostand = 1400 €.