Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $3$ und auf $5$ = 5¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $3$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

$\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,125}}^t$ ablesen: a=1.125.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.125($2$) ≈ 5.88 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 3.03 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 3.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23² = 3.03

c ⋅ 1.5129 = 3.03 | : 1.5129

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $2\cdot {\mathrm{1,23}}^4$ ≈ 4,578.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 5.6:

$2\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$\mathrm{5,6}$	|:$2$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\mathrm{2,8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{2,8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9737}$

Nach ca. 4,974 Stunden ist also der Bestand = 5.6 Millionen Bakterien.