Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $26$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $26$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $26$ und auf $4^3$ = 4³ > $26$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $26$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $26$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{x-3}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 41.06 kg ist, also f(8) = 41.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92⁸ = 41.06

c ⋅ 0.51322 = 41.06 | : 0.51322

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $80\cdot {\mathrm{0,92}}^6$ ≈ 48,508.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$80\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$50$	|:$80$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\frac{5}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,6368}$

Nach ca. 5,637 Tage ist also der Bestand = 50 kg.