Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x +3 ) -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x +3 ) -2 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x +3 ) -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x +3 ) -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von e -( x +3 ) -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei e -( x +3 ) -2 das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x +3 ) -2 gegen 0 -2 = -2 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x +3 ) -2 gegen .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20x ) + lg( 50 x 6 ) + lg( 1 1000 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 20x ) + lg( 50 x 6 ) + lg( 1 1000 x 2 )

= lg( 20x ) + lg( 50 x -6 ) + lg( 1 1000 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 6 ) ) + ( lg( 1 1000 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 1 1000 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 50 ) -6 lg( x ) + lg( 1 1000 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 50 ) -6 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 1000 ) +2 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 1000 ) + lg( 50 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 1000 · 50 · 20 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -4 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -2 -2 = y | +2
-4 e x -2 = y +2 |:-4
e x -2 = - 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 4 y - 1 2 )
x -2 = ln( - 1 4 y - 1 2 ) | +2
x = ln( - 1 4 y - 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 128 0,6 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 128

f(1) = 128 0,6

f(2) = 128 0,60,6

f(3) = 128 0,60,60,6

f(4) = 128 0,60,60,60,6

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,6 multipliziert. Da 0,6 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,6-fache, also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 10,79kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 30 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 10.79 kg ist, also f(8) = 10.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 30 a t ein:

30 a 8 = 10,79 |:30
a 8 = 10,79 30 | 8
a1 = - 10,79 30 8 -0,88
a2 = 10,79 30 8 0,88

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,88 ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 30 0,88 6 13,932.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

30 0,88 t = 20 |:30
0,88 t = 2 3 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 2 3 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 2 3 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 2 3 ) lg( 0,88 )
t = 3,1718

Nach ca. 3,172 Tage ist also der Bestand = 20 kg.