$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}-3$ = $0-3$ = $-3$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $-3$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-3e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,3}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $-\mathrm{1,352}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $\mathrm{1,352}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,352}$ ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,35}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $100\cdot {\mathrm{0,92}}^9$ ≈ 47,216.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$100\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$20$	|:$100$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\frac{1}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,3021}$

Nach ca. 19,302 Tage ist also der Bestand = 20 kg.