Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 5 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 5 3 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 5 3 als 5 1 3 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 5 = 5 1 3

log 5 ( 5 3 ) = 1 3 , eben weil 5 1 3 = 5 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 6 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 6 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss k = -5 gelten;
    Also gilt k = -5

Der abgebildete Graph ist somit der von f-5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -2 können die Funktionswerte von 4 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 4 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -2 +2 = y | -2
4 e x -2 = y -2 |:4
e x -2 = 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 4 y - 1 2 )
x -2 = ln( 1 4 y - 1 2 ) | +2
x = ln( 1 4 y - 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 1 2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.86( 1 2 ) ≈ 4.6 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 0,87 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,84 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 0.87 Millionen Insekten ist, also f(14) = 0.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,84 t ein:

c ⋅ 0.8414 = 0.87

c ⋅ 0.08708 = 0.87 | : 0.08708

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 10 0,84 12 1,234.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.2:

10 0,84 t = 4,2 |:10
0,84 t = 0,42 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 0,42 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 0,42 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 0,42 ) lg( 0,84 )
t = 4,9755

Nach ca. 4,976 Jahre ist also der Bestand = 4.2 Millionen Insekten.