Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= 1 + e x +1 vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = 1 + e ( -x ) +1 = e -x +1 +1

Wenn man das mit f(x) = 1 + e x +1 = e x +1 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = e -x +1 +1
weder gleich f(x) = 1 + e x +1 noch gleich -f(x) = -( 1 + e x +1 ) = -( e x +1 +1 ) ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 + e 1 +1 = 1 + e 2 ≈ 8.389
Aber: f(-1) = 1 + e -1 +1 = 1 + e 0 ≈ 2

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,3x -0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,3x -0,6 können die Funktionswerte von 4 e 0,3x -0,6 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,3x -0,6 = y |:4
e 0,3x -0,6 = 1 4 y |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( 1 4 y )
0,3x -0,6 = ln( 1 4 y ) | +0,6
0,3x = ln( 1 4 y ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu = B - 4 100 ⋅B = (1 - 4 100 ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.96( 1 2 ) ≈ 16.98 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,6% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 53,6 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also Bneu = B - 1.6 100 ⋅B = (1 - 1.6 100 ) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,984 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 60 0,984 7 53,594.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.6:

60 0,984 t = 53,6 |:60
0,984 t = 0,8933 |lg(⋅)
lg( 0,984 t ) = lg( 0,8933 )
t · lg( 0,984 ) = lg( 0,8933 ) |: lg( 0,984 )
t = lg( 0,8933 ) lg( 0,984 )
t = 6,9955

Nach ca. 6,996 Jahre ist also der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner.