Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{3{\left(-x\right)}^4}$ = $-x^3·e^{3x^4}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{3x^4}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{3x^4}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x^3·e^{3x^4}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3.2}{100}$) ⋅ B = 1,032 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,032.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.032($2$) ≈ 22.01 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 11507.58 Nutzer ist, also f(11) = 11507.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ ein:

c ⋅ 1.13¹¹ = 11507.58

c ⋅ 3.83586 = 11507.58 | : 3.83586

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $3000\cdot {\mathrm{1,13}}^{12}$ ≈ 13003,569.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

$3000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$4000$	|:$3000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$\frac{4}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,3539}$

Nach ca. 2,354 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.