Zuerst schreiben wir $\sqrt{3}$ um: $\sqrt{3}$ = $3^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{3}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $29$

f(1) = $29$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $29$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $29$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $29$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 6.16 Millionen Insekten ist, also f(8) = 6.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ ein:

c ⋅ 0.93⁸ = 6.16

c ⋅ 0.55958 = 6.16 | : 0.55958

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11\cdot {\mathrm{0,93}}^6$ ≈ 7,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 8.2:

$11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{8,2}$	|:$11$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,7455}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7455}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7455}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7455}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0471}$

Nach ca. 4,047 Jahre ist also der Bestand = 8.2 Millionen Insekten.