Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 100.97 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 100.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11¹³ = 100.97

c ⋅ 3.88328 = 100.97 | : 3.88328

c = 26

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $26\cdot {\mathrm{1,11}}^7$ ≈ 53,98.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 46:

$26\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$46$	|:$26$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{23}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{23}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4671}$

Nach ca. 5,467 Stunden ist also der Bestand = 46 Millionen Bakterien.