Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{37}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{37}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{125}$ = $\frac{1}{5^3}$ = 5^-3 < $\frac{1}{37}$ und auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 > $\frac{1}{37}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{37}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
5^-3 = $\frac{1}{5^3}$ = $\frac{1}{125}$ < $\frac{1}{37}$ < $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

$\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(2x^4\right)$

= $\lg \left(25x^{-6}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500}·25·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,7}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $-\mathrm{1,159}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $\mathrm{1,159}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,159}$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,968}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $65\cdot {\mathrm{0,968}}^4$ ≈ 57,071.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$65\cdot {\mathrm{0,968}}^t$	=	$35$	|:$65$
${\mathrm{0,968}}^t$	=	$\frac{7}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,968}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,968}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,0338}$

Nach ca. 19,034 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.