Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 14 (196) .

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Wir suchen den Logarithmus von 196 zur Basis 14, also die Hochzahl mit der man 14 potenzieren muss, um auf 196 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 14 = 196 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 14 (196) = 2, eben weil 142 = 196 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,6 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,2x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,6 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,6 +2 = y | -2
e -0,2x +0,6 = y -2 |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( y -2 )
-0,2x +0,6 = ln( y -2 ) | -0,6
-0,2x = ln( y -2 ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y -2 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 23% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu = B + 23 100 ⋅B = (1 + 23 100 ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.23(2) ≈ 3.35 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 76,57kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 80kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,98 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 76.57 kg ist, also f(8) = 76.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,98 t ein:

c ⋅ 0.988 = 76.57

c ⋅ 0.85076 = 76.57 | : 0.85076

c = 90

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 90 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = 90 0,98 13 69,212.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 80 kg ist, also f(t) = 80:

90 0,98 t = 80 |:90
0,98 t = 8 9 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 8 9 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 8 9 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 8 9 ) lg( 0,98 )
t = 5,8301

Nach ca. 5,83 Tage ist also der Bestand = 80 kg.