Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-2$

$-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50x^8}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-8}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 1,012 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,012.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.012($2$) ≈ 58.11 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 14172.49 Nutzer ist, also f(6) = 14172.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ein:

c ⋅ 1.1⁶ = 14172.49

c ⋅ 1.77156 = 14172.49 | : 1.77156

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $8000\cdot {\mathrm{1,1}}^{12}$ ≈ 25107,427.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer ist, also f(t) = 28000:

$8000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$28000$	|:$8000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{7}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1441}$

Nach ca. 13,144 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer.