Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^3\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $131$

f(1) = $131$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $131$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $131$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $131$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $22\cdot {\mathrm{1,26}}^8$ ≈ 139,761.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 222 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 222:

$22\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$222$	|:$22$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{111}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{111}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{111}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{111}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0022}$

Nach ca. 10,002 Stunden ist also der Bestand = 222 Millionen Bakterien.