Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 5 x 4 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 1 125 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 5 x 4 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 1 125 x 2 )

= - lg( 1 5 x 4 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 1 125 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 5 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 1 125 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 5 ) - lg( x 4 ) + lg( 25 ) + lg( x 3 ) + lg( 1 125 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 5 ) -4 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 1 125 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 5 ) -4 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 125 ) -2 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 125 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 125 · 25 · 5 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 7 10 x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 7 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss 2 k = 1 gelten;
    Also gilt k = 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -3 können die Funktionswerte von 4 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -3 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -3 -2 = y | +2
4 e x -3 = y +2 |:4
e x -3 = 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 4 y + 1 2 )
x -3 = ln( 1 4 y + 1 2 ) | +3
x = ln( 1 4 y + 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x + 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x + 1 2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,7 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 2.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 2,7 = 2 | 2,7
a1 = - 2 1 2,7 -1,293
a2 = 2 1 2,7 1,293

Das gesuchte a ist somit 1,293 ≈ 1.29, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 1,29 t

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 26,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 20 1,02 9 23,902.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 26.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 26.9:

20 1,02 t = 26,9 |:20
1,02 t = 1,345 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,345 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,345 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,345 ) lg( 1,02 )
t = 14,9674

Nach ca. 14,967 Stunden ist also der Bestand = 26.9 Millionen Bakterien.