Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (3) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 3, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 3 ist.

Dabei kommt man auf 1 = 40 < 3 und auf 4 = 41 > 3.

Und da wir bei log 4 (3) ja das ☐ von 4 = 3 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
40 = 1 < 3 < 4 = 41

Es gilt somit: 0 < log 4 (3) < 1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 5 10 x - k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 5 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss 3 k = 3 gelten;
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -1,2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,4x -1,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -1,2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -1,2 -2 = y | +2
e 0,4x -1,2 = y +2 |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( y +2 )
0,4x -1,2 = ln( y +2 ) | +1,2
0,4x = ln( y +2 ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y +2 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x +2 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x +2 ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,117 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,117 t ablesen: a=1.117.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.117(2) ≈ 6.26 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 40,14 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 51,6 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also Bneu = B - 3.1 100 ⋅B = (1 - 3.1 100 ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,969 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 40.14 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 40.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,969 t ein:

c ⋅ 0.96910 = 40.14

c ⋅ 0.72986 = 40.14 | : 0.72986

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,969 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 55 0,969 9 41,426.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 51.6:

55 0,969 t = 51,6 |:55
0,969 t = 0,9382 |lg(⋅)
lg( 0,969 t ) = lg( 0,9382 )
t · lg( 0,969 ) = lg( 0,9382 ) |: lg( 0,969 )
t = lg( 0,9382 ) lg( 0,969 )
t = 2,0257

Nach ca. 2,026 Jahre ist also der Bestand = 51.6 Millionen Einwohner.