Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $16$, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $16$^$2$ = $256$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+2k\right)·e^{x+k}$ = 0 wird, wenn $x+2k$ = 0 ist, also für x = $-2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-2k$) = $-\left(\left(-2k\right)+2k\right)·e^{\left(-2k\right)+k}-3$ = $0-3$ = $-3$ sein.
  Da bei x = $-2k$ bei ( $x+2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-2k$| $-3$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-2k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,7}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $-\mathrm{1,159}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,7}}}$	≈ $\mathrm{1,159}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,159}$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=9 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $9\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $9\cdot {\mathrm{1,17}}^{10}$ ≈ 43,261.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 69:

$9\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$69$	|:$9$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{23}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{23}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9735}$

Nach ca. 12,974 Stunden ist also der Bestand = 69 Millionen Bakterien.