$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$2$), also gilt f(0)=$2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2\cdot a$ = $2a$.

Es gilt also: $4$ = $2a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $160$

f(1) = $160$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(2) = $160$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(3) = $160$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(4) = $160$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{51}{50}$ multipliziert. Da $\frac{51}{50}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{51}{50}$-fache (oder auf das $\frac{102}{100}$-fache), also auf $102$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 15758.79 Nutzer ist, also f(11) = 15758.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11¹¹ = 15758.79

c ⋅ 3.15176 = 15758.79 | : 3.15176

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $5000\cdot {\mathrm{1,11}}^6$ ≈ 9352,073.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$5000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$9000$	|:$5000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,6323}$

Nach ca. 5,632 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.