Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+2\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08($2$) ≈ 9.01 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.5}{100}$) ⋅ B = 0,975 ⋅ B. Somit ist das a=0,975.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,975}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70\cdot {\mathrm{0,975}}^{12}$ ≈ 51,66.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$70\cdot {\mathrm{0,975}}^t$	=	$40$	|:$70$
${\mathrm{0,975}}^t$	=	$\frac{4}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,975}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,975}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,975}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,975}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{22,1036}$

Nach ca. 22,104 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.