Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{5}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $5^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ gilt .

$\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $\lg \left(5x^{-6}\right)-\lg \left(25x^{-3}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·5·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $135$

f(1) = $135$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(2) = $135$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(3) = $135$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(4) = $135$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{51}{50}$ multipliziert. Da $\frac{51}{50}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{51}{50}$-fache (oder auf das $\frac{102}{100}$-fache), also auf $102$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.8}{100}$) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 51.52 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 51.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ ein:

c ⋅ 0.962⁶ = 51.52

c ⋅ 0.79259 = 51.52 | : 0.79259

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,962}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65\cdot {\mathrm{0,962}}^9$ ≈ 45,866.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,962}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,962}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,962}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,962}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4919}$

Nach ca. 9,492 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.