Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+e^{\left(-x\right)}$ = $-x^3+e^{-x}$ = $e^{-x}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+e^x$ = $e^x+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{-x}-x^3$
weder gleich f(x) = $x^3+e^x$ noch gleich -f(x) = $-\left(x^3+e^x\right)$ = $-\left(e^x+x^3\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,149}}^t$ ablesen: a=1.149.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.149($2$) ≈ 4.99 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $12\cdot {\mathrm{0,89}}^5$ ≈ 6,701.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$2$	|:$12$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,3754}$

Nach ca. 15,375 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.