Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · ( e x + e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · ( e -x + e x ) = - x · ( e -x + e x ) = - x · e x - x · e -x

Wenn man das mit f(x) = x · ( e x + e -x ) vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x · e x - x · e -x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x · e x + x · e -x ) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 3 ) - lg( 1 5 x ) + lg( 4 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 50 x 3 ) - lg( 1 5 x ) + lg( 4 x 2 )

= lg( 50 x -3 ) - lg( 1 5 x -1 ) + lg( 4 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( 1 x 3 ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 4 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 50 ) + lg( 1 x 3 ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x ) + lg( 4 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) -3 lg( x ) - lg( 1 5 ) + lg( x ) + lg( 4 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) -3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) + lg( x ) + lg( 4 ) +2 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,4 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,4x -0,4 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -0,4 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,4 +2 = y | -2
e 0,4x -0,4 = y -2 |ln(⋅)
0,4x -0,4 = ln( y -2 )
0,4x -0,4 = ln( y -2 ) | +0,4
0,4x = ln( y -2 ) +0,4 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -2 ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x -2 ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x -2 ) + 0,4 0,4

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 9 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 28 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 9 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 9 = 2 | 9
a = 2 9

Das gesuchte a ist somit 2 9 ≈ 1.08, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 28 1,08 t

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 106000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = 6000 1,2 6 17915,904.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer ist, also f(t) = 106000:

6000 1,2 t = 106000 |:6000
1,2 t = 53 3 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 53 3 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 53 3 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 53 3 ) lg( 1,2 )
t = 15,7506

Nach ca. 15,751 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer.