Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(\frac{1}{200x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)+\lg \left(50x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $138$

f(1) = $138$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $138$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $138$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $138$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 17.73 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 17.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^8$	=	$\mathrm{17,73}$	|:$12$
$a^8$	=	$\mathrm{1,4775}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,4775}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,4775}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $12\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 15,315.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 19.5 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 19.5:

$12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{19,5}$	|:$12$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,625}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,625}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,625}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,625}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9509}$

Nach ca. 9,951 Stunden ist also der Bestand = 19.5 Millionen Bakterien.