Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{40}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(40x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(40\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(40\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)+3$

f(0) = $18$

f(1) = $18$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $18$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $18$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $18$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 14265.58 Nutzer ist, also f(11) = 14265.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^{11}$	=	$14\mathrm{265,58}$	|:$5000$
$a^{11}$	=	$\mathrm{2,85312}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\mathrm{2,85312}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\mathrm{2,85312}}$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $5000\cdot {\mathrm{1,1}}^7$ ≈ 9743,586.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

$5000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$25000$	|:$5000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,8863}$

Nach ca. 16,886 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.