$-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(2| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 2
  Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-3}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 5055.48 Nutzer ist, also f(3) = 5055.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^3$	=	$5\mathrm{055,48}$	|:$3000$
$a^3$	=	$\mathrm{1,68516}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,68516}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,68516}}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^{11}$ ≈ 20330,021.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$9000$	|:$3000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,3156}$

Nach ca. 6,316 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.