Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-3kx·e^{kx-3k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-3k·0·e^{k\cdot 0-3k}+6k$ = $6k$ = 4

  $6k$	=	$4$	|:$6$
  $k$	=	$\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 29.82 kg ist, also f(6) = 29.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89⁶ = 29.82

c ⋅ 0.49698 = 29.82 | : 0.49698

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $60\cdot {\mathrm{0,89}}^{11}$ ≈ 16,651.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$60\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$20$	|:$60$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4274}$

Nach ca. 9,427 Tage ist also der Bestand = 20 kg.