Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 5 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 5 3 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 5 3 als 5 1 3 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 5 = 5 1 3

log 5 ( 5 3 ) = 1 3 , eben weil 5 1 3 = 5 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x -3 k +9 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x -3 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 9 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 9 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 6, somit muss 9 k = 6 gelten;
    Also gilt k = 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,3x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,3x +0,3 wird e -0,3x +0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,3x +0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,3x +0,3 = y |:-2
e -0,3x +0,3 = - 1 2 y |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( - 1 2 y )
-0,3x +0,3 = ln( - 1 2 y ) | -0,3
-0,3x = ln( - 1 2 y ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( - 1 2 y ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,123 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,123 t ablesen: a=1.123.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.123(2) ≈ 5.98 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 19 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 19,77Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 25,1 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 19 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 19.77 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 19.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 19 a t ein:

19 a 2 = 19,77 |:19
a 2 = 1,04053 | 2
a1 = - 1,04053 -1,02
a2 = 1,04053 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 19 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 19 1,02 8 22,262.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 25.1:

19 1,02 t = 25,1 |:19
1,02 t = 1,3211 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,3211 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,3211 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,3211 ) lg( 1,02 )
t = 14,062

Nach ca. 14,062 Stunden ist also der Bestand = 25.1 Millionen Bakterien.