Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-2}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x-2}+1$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-2}+1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-2}+1$ gegen $0+1$ = $1$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-4kx·e^{kx-4k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-4k·0·e^{k\cdot 0-4k}+5k$ = $5k$ = 4

  $5k$	=	$4$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,851}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $\mathrm{0,851}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,851}$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,85}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,25}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 35762.79 Nutzer ist, also f(8) = 35762.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,25}}^t$ ein:

c ⋅ 1.25⁸ = 35762.79

c ⋅ 5.96046 = 35762.79 | : 5.96046

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^4$ ≈ 14648,438.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer ist, also f(t) = 15000:

$6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$15000$	|:$6000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{5}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,1063}$

Nach ca. 4,106 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer.