$\lg \left(200\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200·50)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss $2k$ = 2 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,3}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,1}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 15295.11 Nutzer ist, also f(8) = 15295.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ein:

c ⋅ 1.15⁸ = 15295.11

c ⋅ 3.05902 = 15295.11 | : 3.05902

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^9$ ≈ 17589,381.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer ist, also f(t) = 35000:

$5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$35000$	|:$5000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$7$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(7\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(7\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(7\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,923}$

Nach ca. 13,923 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer.