Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $-e^{x+2}+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $-e^{x+2}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $-e^{x+2}+1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-e^{x+2}+1$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-e^{x+2}+1$ gegen $0+1$ = $1$ .

$-\lg \left(\frac{2500000}{x}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $-\lg \left(2500000x^{-1}\right)+\lg \left(50x^{-3}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(2500000\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(2500000\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(2500000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(2500000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2500000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{2.500.000}}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y+3\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-y+3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-x+3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-x+3\right)$

f(0) = $163$

f(1) = $163$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $163$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $163$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $163$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $10\cdot {\mathrm{0,85}}^{10}$ ≈ 1,969.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.2:

$10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{1,2}$	|:$10$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{0,12}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,12}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,12}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,12}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0463}$

Nach ca. 13,046 Jahre ist also der Bestand = 1.2 Millionen Insekten.