Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)+\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $e^{3x}+e^{-3x}-x$

Wenn man das mit f(x) = $x+\left(e^{3x}+e^{-3x}\right)$ = $e^{3x}+e^{-3x}+x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{3x}+e^{-3x}-x$
weder gleich f(x) = $x+\left(e^{3x}+e^{-3x}\right)$ noch gleich -f(x) = $-(x+\left(e^{3x}+e^{-3x}\right))$ = $-\left(e^{3x}+e^{-3x}+x\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1215.51 € ist, also f(4) = 1215.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^4$	=	$1\mathrm{215,51}$	|:$1000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,21551}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,21551}}$	= $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,21551}}$	= $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 1276,282.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1700 € ist, also f(t) = 1700:

$1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$1700$	|:$1000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{17}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8757}$

Nach ca. 10,876 Jahre ist also der Kontostand = 1700 €.