Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $2k{e}^{k\cdot 1-k}-1$ = $2k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $2k-1$	=	0	| $+1$
  $2k$	=	$1$	|:$2$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-2}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,117}}^t$ ablesen: a=1.117.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.117($2$) ≈ 6.26 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $8\cdot {\mathrm{1,35}}^{11}$ ≈ 217,151.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2008 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2008:

$8\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$2008$	|:$8$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$251$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(251\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(251\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(251\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,4118}$

Nach ca. 18,412 Stunden ist also der Bestand = 2008 Millionen Bakterien.