Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{27}}$ = ${27}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(3^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $3^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{27}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,2}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-2e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-3$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=9 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $9\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $9\cdot {\mathrm{1,14}}^6$ ≈ 19,755.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 49:

$9\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$49$	|:$9$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{49}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{49}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{49}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{49}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9331}$

Nach ca. 12,933 Stunden ist also der Bestand = 49 Millionen Bakterien.