Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= 1 + e 3 x 2 +1 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = 1 + e 3 ( -x ) 2 +1 = 1 + e 3 x 2 +1 = e 3 x 2 +1 +1

Wenn man das mit f(x) = 1 + e 3 x 2 +1 = e 3 x 2 +1 +1 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,3x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,3x +0,3 wird e -0,3x +0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,3x +0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,3x +0,3 = y |:-4
e -0,3x +0,3 = - 1 4 y |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( - 1 4 y )
-0,3x +0,3 = ln( - 1 4 y ) | -0,3
-0,3x = ln( - 1 4 y ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( - 1 4 y ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( - 1 4 x ) + 0,3 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 6.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.1% dazukommen,
also Bneu = B + 6.1 100 ⋅B = (1 + 6.1 100 ) ⋅ B = 1,061 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,061.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.061(2) ≈ 11.71 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 5000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 4 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 6000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 5000 1,01 4 5203,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

5000 1,01 t = 6000 |:5000
1,01 t = 6 5 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 6 5 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 6 5 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 6 5 ) lg( 1,01 )
t = 18,3232

Nach ca. 18,323 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.