Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (1) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (1) = 0, eben weil 50 = 1 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 3 = a = a .

Es gilt also: 3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,9 = y |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( y )
-0,3x +0,9 = ln( y ) | -0,9
-0,3x = ln( y ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 13% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also Bneu = B + 13 100 ⋅B = (1 + 13 100 ) ⋅ B = 1,13 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,13.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.13(2) ≈ 5.67 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 50,11Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 329 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 29 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 50.11 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 50.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 29 a t ein:

29 a 3 = 50,11 |:29
a 3 = 1,72793 | 3
a = 1,72793 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,72793 3 ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 29 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 29 1,2 8 124,695.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 329 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 329:

29 1,2 t = 329 |:29
1,2 t = 329 29 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 329 29 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 329 29 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 329 29 ) lg( 1,2 )
t = 13,3213

Nach ca. 13,321 Stunden ist also der Bestand = 329 Millionen Bakterien.