Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-3}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-3}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{x-3}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.3}{100}$) ⋅ B = 0,977 ⋅ B. Somit ist das a=0,977.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 65.23 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 65.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ ein:

c ⋅ 0.977⁶ = 65.23

c ⋅ 0.8697 = 65.23 | : 0.8697

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,977}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75\cdot {\mathrm{0,977}}^5$ ≈ 66,763.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.9:

$75\cdot {\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{69,9}$	|:$75$
${\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{0,932}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,977}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,932}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,932}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,932}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,977}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0265}$

Nach ca. 3,027 Jahre ist also der Bestand = 69.9 Millionen Einwohner.