Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $153$

f(1) = $153$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $153$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $153$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $153$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 58.54 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 58.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^8$	=	$\mathrm{58,54}$	|:$65$
$a^8$	=	$\mathrm{0,90062}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,90062}}$	≈ $-\mathrm{0,987}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,90062}}$	≈ $\mathrm{0,987}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,987}$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65\cdot {\mathrm{0,987}}^9$ ≈ 57,779.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 61.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 61.7:

$65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{61,7}$	|:$65$
${\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{0,9492}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,987}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9492}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9492}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9492}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,987}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9843}$

Nach ca. 3,984 Jahre ist also der Bestand = 61.7 Millionen Einwohner.