Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+8$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 22.8 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{22,8}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 10.53 Millionen Insekten ist, also f(2) = 10.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^2$	=	$\mathrm{10,53}$	|:$13$
$a^2$	=	$\mathrm{0,81}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,81}}$	= $-\mathrm{0,9}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,81}}$	= $\mathrm{0,9}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $13\cdot {\mathrm{0,9}}^7$ ≈ 6,218.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,9173}$

Nach ca. 13,917 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.