Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 18 (324) .

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Wir suchen den Logarithmus von 324 zur Basis 18, also die Hochzahl mit der man 18 potenzieren muss, um auf 324 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 18 = 324 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 18 (324) = 2, eben weil 182 = 324 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +3 k = 3 k = 3
    3k = 3 |:3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,4x -1,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,4x -1,2 können die Funktionswerte von 2 e 0,4x -1,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,4x -1,2 = y |:2
e 0,4x -1,2 = 1 2 y |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( 1 2 y )
0,4x -1,2 = ln( 1 2 y ) | +1,2
0,4x = ln( 1 2 y ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 2 y ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 1,2 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 137 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 137

f(1) = 137 1,1

f(2) = 137 1,11,1

f(3) = 137 1,11,11,1

f(4) = 137 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 20% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 2488,32 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1500 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,2 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 2488.32 Nutzer ist, also f(5) = 2488.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,2 t ein:

c ⋅ 1.25 = 2488.32

c ⋅ 2.48832 = 2488.32 | : 2.48832

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = 1000 1,2 6 2985,984.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer ist, also f(t) = 1500:

1000 1,2 t = 1500 |:1000
1,2 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,2 )
t = 2,2239

Nach ca. 2,224 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer.