Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $14$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

$14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = $14$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$\frac{1}{2}$} = $14$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+4k\right)·e^{x+2k}$ = 0 wird, wenn $x+4k$ = 0 ist, also für x = $-4k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-4k$) = $-\left(\left(-4k\right)+4k\right)·e^{\left(-4k\right)+2k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $-4k$ bei ( $x+4k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-4k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(3| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-4k$ = 3
  Also gilt k = $-\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y-1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y-1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-1\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 52.82 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 52.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^2$	=	$\mathrm{52,82}$	|:$55$
$a^2$	=	$\mathrm{0,96036}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,96036}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,96036}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $55\cdot {\mathrm{0,98}}^{13}$ ≈ 42,296.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.7:

$55\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{50,7}$	|:$55$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{0,9218}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9218}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9218}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9218}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0305}$

Nach ca. 4,031 Jahre ist also der Bestand = 50.7 Millionen Einwohner.