$-\lg \left(\frac{40}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^7}\right)$

= $-\lg \left(40x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^8}\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)$

= $\lg \left(4x^{-8}\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-2e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ablesen: a=1.1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.1($2$) ≈ 7.27 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 131.6 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 131.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ ein:

c ⋅ 1.17¹² = 131.6

c ⋅ 6.58007 = 131.6 | : 6.58007

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $20\cdot {\mathrm{1,17}}^{13}$ ≈ 153,974.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 110 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 110:

$20\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$110$	|:$20$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{11}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,858}$

Nach ca. 10,858 Stunden ist also der Bestand = 110 Millionen Bakterien.