Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)-2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $-3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $k{e}^{k\cdot 1-k}-3$ = $k-3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = -2 ablesen, es gilt somit:

  $k-3$	=	$-2$	| $+3$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(x-1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,2}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,2}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,2}}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=16 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 123.18 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 123.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ ein:

$16a^{13}$	=	$\mathrm{123,18}$	|:$16$
$a^{13}$	=	$\mathrm{7,69875}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{7,69875}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{7,69875}}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $16\cdot {\mathrm{1,17}}^{10}$ ≈ 76,909.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 66:

$16\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$66$	|:$16$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{33}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{33}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0257}$

Nach ca. 9,026 Stunden ist also der Bestand = 66 Millionen Bakterien.