Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 3 )
= 3 lg( x )
= 3 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 ) + lg( 1 250 x ) - lg( 1 5 x 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 50 ) + lg( 1 250 x ) - lg( 1 5 x 4 )

= lg( 50 ) + lg( 1 250 x -1 ) - lg( 1 5 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( 1 ) + ( lg( 1 250 ) + lg( 1 x ) ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 50 ) + lg( 1 ) + lg( 1 250 ) + lg( 1 x ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +0 + lg( 1 250 ) - lg( x ) - lg( 1 5 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +0 + lg( 1 ) - lg( 250 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) +4 lg( x )

= 3 lg( x ) - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 250 · 50 · 5 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e x -1 wird zu allen Funktionswerten von e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -1 -2 = y | +2
e x -1 = y +2 |ln(⋅)
x -1 = ln( y +2 )
x -1 = ln( y +2 ) | +1
x = ln( y +2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x +2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x +2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,859 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,859 t ablesen: a=0.859.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.859( 1 2 ) ≈ 4.56 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. Zu Beginn sind 80kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,85 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 80 0,85 11 13,387.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

80 0,85 t = 30 |:80
0,85 t = 3 8 |lg(⋅)
lg( 0,85 t ) = lg( 3 8 )
t · lg( 0,85 ) = lg( 3 8 ) |: lg( 0,85 )
t = lg( 3 8 ) lg( 0,85 )
t = 6,0352

Nach ca. 6,035 Tage ist also der Bestand = 30 kg.