Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1+e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $1+e^{x^2}$ = $e^{x^2}+1$

Wenn man das mit f(x) = $1+e^{x^2}$ = $e^{x^2}+1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$-\lg \left(\frac{1}{5}x\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $16$

f(1) = $16$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $16$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $16$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $16$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$-fache (oder auf das $\frac{140}{100}$-fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=24 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $24\cdot {\mathrm{1,32}}^9$ ≈ 291,996.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5024 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 5024:

$24\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$5024$	|:$24$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{628}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{628}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{628}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{628}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,2483}$

Nach ca. 19,248 Stunden ist also der Bestand = 5024 Millionen Bakterien.