$\lg \left(30\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{30}{3}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

$\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40x^6}\right)$

= $\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,2}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 6.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,9}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 5582.6 Nutzer ist, also f(3) = 5582.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^3$	=	$5\mathrm{582,6}$	|:$3000$
$a^3$	=	$\mathrm{1,86087}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,86087}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,86087}}$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^6$ ≈ 10388,478.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 43000 Nutzer ist, also f(t) = 43000:

$3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$43000$	|:$3000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{43}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{43}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{43}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{43}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,8619}$

Nach ca. 12,862 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 43000 Nutzer.