Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 3 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 3 als 3 1 2 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 3 = 3 1 2

log 3 ( 3 ) = 1 2 , eben weil 3 1 2 = 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 9 10 x +2 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 9 10 x +2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss 3 k = -4 gelten;
    Also gilt k = - 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 +1 = y | -1
-3 e x -1 = y -1 |:-3
e x -1 = - 1 3 y + 1 3 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y + 1 3 )
x -1 = ln( - 1 3 y + 1 3 ) | +1
x = ln( - 1 3 y + 1 3 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x + 1 3 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x + 1 3 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 32 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 32

f(1) = 32 1,2

f(2) = 32 1,21,2

f(3) = 32 1,21,21,2

f(4) = 32 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Nach 4 Wochen zählt man bereits 10626,49 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,11 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 10626.49 Nutzer ist, also f(4) = 10626.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,11 t ein:

c ⋅ 1.114 = 10626.49

c ⋅ 1.51807 = 10626.49 | : 1.51807

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = 7000 1,11 7 14533,121.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

7000 1,11 t = 10000 |:7000
1,11 t = 10 7 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 10 7 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 10 7 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 10 7 ) lg( 1,11 )
t = 3,4177

Nach ca. 3,418 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.