Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $2kx·e^{kx+2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-5) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $2k·0·e^{k\cdot 0+2k}+2k$ = $2k$ = -5

  $2k$	=	$-5$	|:$2$
  $k$	=	$-\frac{5}{2}$ = -2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,95}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,16}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 25586.32 Nutzer ist, also f(11) = 25586.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,16}}^t$ ein:

c ⋅ 1.16¹¹ = 25586.32

c ⋅ 5.11726 = 25586.32 | : 5.11726

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $5000\cdot {\mathrm{1,16}}^8$ ≈ 16392,074.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer ist, also f(t) = 45000:

$5000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$45000$	|:$5000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$9$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(9\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(9\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(9\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,8041}$

Nach ca. 14,804 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer.