Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $-e^{x+1}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $-e^{x+1}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $-e^{x+1}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-e^{x+1}+2$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-e^{x+1}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .

$\lg \left(\frac{1}{12500x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{12500}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(12500\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(12500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y-3\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y-3\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x-3\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,8}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,2}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 5.65 Millionen Insekten ist, also f(5) = 5.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ ein:

c ⋅ 0.86⁵ = 5.65

c ⋅ 0.47043 = 5.65 | : 0.47043

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $12\cdot {\mathrm{0,86}}^8$ ≈ 3,591.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$2$	|:$12$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8799}$

Nach ca. 11,88 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.