$\lg \left(25x\right)+\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000x^5}\right)$

= $\lg \left(25x\right)+\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}{x}^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{5000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{5000}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(5000\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(5000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}·25·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

$-\lg \left(250\right)+\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(5x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(250\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250\right)+0+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250\right)+0+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(x-2\right)$

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.98($\frac{1}{2}$) ≈ 34.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 67.87 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 67.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ ein:

c ⋅ 1.29⁵ = 67.87

c ⋅ 3.57231 = 67.87 | : 3.57231

c = 19

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $19\cdot {\mathrm{1,29}}^{12}$ ≈ 403,488.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 419 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 419:

$19\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$419$	|:$19$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{419}{19}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{419}{19}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{419}{19}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{419}{19}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,1482}$

Nach ca. 12,148 Stunden ist also der Bestand = 419 Millionen Bakterien.