Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,855}}^t$ ablesen: a=0.855.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.855($\frac{1}{2}$) ≈ 4.42 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 3.77 Millionen Insekten ist, also f(6) = 3.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^6$	=	$\mathrm{3,77}$	|:$10$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{3,77}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{3,77}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,85}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{3,77}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,85}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,85}$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10\cdot {\mathrm{0,85}}^7$ ≈ 3,206.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1:

$10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$1$	|:$10$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{1}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,1681}$

Nach ca. 14,168 Jahre ist also der Bestand = 1 Millionen Insekten.