Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,136}}^t$ ablesen: a=1.136.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.136($2$) ≈ 5.44 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.9}{100}$) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,981}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 62.55 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 62.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,981}}^t$ ein:

c ⋅ 0.981² = 62.55

c ⋅ 0.96236 = 62.55 | : 0.96236

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,981}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $65\cdot {\mathrm{0,981}}^4$ ≈ 60,199.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 61.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 61.4:

$65\cdot {\mathrm{0,981}}^t$	=	$\mathrm{61,4}$	|:$65$
${\mathrm{0,981}}^t$	=	$\mathrm{0,9446}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,981}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9446}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9446}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9446}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,981}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9711}$

Nach ca. 2,971 Jahre ist also der Bestand = 61.4 Millionen Einwohner.