Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x+5k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $15k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $15k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss $15k$ = -6 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,9.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.9($\frac{1}{2}$) ≈ 6.58 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $20\cdot {\mathrm{1,29}}^9$ ≈ 197,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2020 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2020:

$20\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$2020$	|:$20$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$101$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(101\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(101\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(101\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,1239}$

Nach ca. 18,124 Stunden ist also der Bestand = 2020 Millionen Bakterien.