Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 5 ( 2500 ) - log 5 ( 20 ) .

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log 5 ( 2500 ) - log 5 ( 20 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 5 ( 2500 20 )

= log 5 ( 125 )

= log 5 ( 5 3 )

= 3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,2x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,2x +0,4 wird e -0,2x +0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,2x +0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,2x +0,4 = y |:-4
e -0,2x +0,4 = - 1 4 y |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( - 1 4 y )
-0,2x +0,4 = ln( - 1 4 y ) | -0,4
-0,2x = ln( - 1 4 y ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 4 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 4 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 4 x ) + 0,4 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 11,9 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 11.9 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 11,9 = 2 | 11,9
a = 2 1 11,9

Das gesuchte a ist somit 2 1 11,9 ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 2000 1,06 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 27,46Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 12,5 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu = B + 14 100 ⋅B = (1 + 14 100 ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,14 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 27.46 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 27.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,14 t ein:

c ⋅ 1.1413 = 27.46

c ⋅ 5.49241 = 27.46 | : 5.49241

c = 5

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 5 1,14 12 24,09.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 12.5 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 12.5:

5 1,14 t = 12,5 |:5
1,14 t = 2,5 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 2,5 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 2,5 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 2,5 ) lg( 1,14 )
t = 6,9931

Nach ca. 6,993 Stunden ist also der Bestand = 12.5 Millionen Bakterien.