Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 16 (215) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 16er-Potenzen in der Näher von 215, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 215 ist.

Dabei kommt man auf 16 = 161 < 215 und auf 16 2 = 162 > 215.

Und da wir bei log 16 (215) ja das ☐ von 16 = 215 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
161 = 16 < 215 < 16 2 = 162

Es gilt somit: 1 < log 16 (215) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 ) + lg( 50 x 2 ) - lg( 1250 x 7 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 25 ) + lg( 50 x 2 ) - lg( 1250 x 7 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 ) + ( lg( 50 ) + lg( x 2 ) ) - ( lg( 1250 ) + lg( x 7 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 ) + lg( 50 ) + lg( x 2 ) - lg( 1250 ) - lg( x 7 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +0 + lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 1250 ) -7 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +0 + lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 1250 ) -7 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 1250 ) + lg( 50 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 1250 · 50 · 25 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 25 · 25 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,3x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,3 -1 = y | +1
e -0,3x +0,3 = y +1 |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( y +1 )
-0,3x +0,3 = ln( y +1 ) | -0,3
-0,3x = ln( y +1 ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 74 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 74

f(1) = 74 1,2

f(2) = 74 1,21,2

f(3) = 74 1,21,21,2

f(4) = 74 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 51,05kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 60 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 51.05 kg ist, also f(8) = 51.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 60 a t ein:

60 a 8 = 51,05 |:60
a 8 = 0,85083 | 8
a1 = - 0,85083 8 -0,98
a2 = 0,85083 8 0,98

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,98 ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 60 0,98 9 50,025.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

60 0,98 t = 40 |:60
0,98 t = 2 3 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 2 3 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 2 3 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 2 3 ) lg( 0,98 )
t = 20,0698

Nach ca. 20,07 Tage ist also der Bestand = 40 kg.