Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegen $\infty$ .

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(\frac{125}{x^6}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(125x^{-6}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(125\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (125·4·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{x-1}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+1\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 48.49 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 48.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05¹² = 48.49

c ⋅ 1.79586 = 48.49 | : 1.79586

c = 27

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $27\cdot {\mathrm{1,05}}^{13}$ ≈ 50,913.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 37 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 37:

$27\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$37$	|:$27$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{37}{27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{37}{27}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,4579}$

Nach ca. 6,458 Stunden ist also der Bestand = 37 Millionen Bakterien.