Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$2$), also gilt f(0)=$2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2\cdot a$ = $2a$.

Es gilt also: $4$ = $2a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,887}}^t$ ablesen: a=0.887.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.887($\frac{1}{2}$) ≈ 5.78 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 110.81 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 110.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ein:

c ⋅ 1.14¹² = 110.81

c ⋅ 4.8179 = 110.81 | : 4.8179

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $23\cdot {\mathrm{1,14}}^6$ ≈ 50,484.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 53:

$23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$53$	|:$23$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{53}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{53}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{53}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{53}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,3711}$

Nach ca. 6,371 Stunden ist also der Bestand = 53 Millionen Bakterien.