Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von
Also was muss in das Kästchen, damit
An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag
des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
3 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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|: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?
Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.17(
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 100,97Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 46 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 100.97 Millionen Bakterien ist,
also f(13) = 100.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.1113 = 100.97
c ⋅ 3.88328 = 100.97 | : 3.88328
c = 26
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):
f(7) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 46:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 5,467 Stunden ist also der Bestand = 46 Millionen Bakterien.
