$\lg \left(\frac{2}{x^8}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)$

= $\lg \left(2x^{-8}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+2k$ = $2k$ = 2

  $2k$	=	$2$	|:$2$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,053}}^t$ ablesen: a=1.053.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.053($2$) ≈ 13.42 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 53.24 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 53.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^{10}$	=	$\mathrm{53,24}$	|:$70$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,76057}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,76057}}$	≈ $-\mathrm{0,973}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,76057}}$	≈ $\mathrm{0,973}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,973}$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70\cdot {\mathrm{0,973}}^{12}$ ≈ 50,403.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,2929}$

Nach ca. 12,293 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.