Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ um: $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-1}$ = ${10}^{-9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-9}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{1000000000}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{5}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.19($2$) ≈ 3.98 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $12\cdot {\mathrm{0,89}}^5$ ≈ 6,701.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{2,3}$	|:$12$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,1917}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1917}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,1746}$

Nach ca. 14,175 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.