Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
2 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Bei einem Staat mit 80 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 11,2 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga().
Also 11.2 = loga(). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
|
|
= |
|
Das gesuchte a ist somit
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer. Nach 9 Wochen zählt man bereits 2357,95 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 2357.95 Nutzer ist,
also f(9) = 2357.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
|
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= | |: |
|
|
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= | |
|
|
|
|
= |
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):
f(8) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
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= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 11,527 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.
