Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) = = vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = gerade das Negative von f(x), also -f(x) = ist.
Es gilt also: f(-x) = -f(x)
Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm
niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 +
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss = -2 gelten;
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,86.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.86() ≈ 4.6 Jahre
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 5% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4862,03€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 4862.03 € ist, also f(4) = 4862.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 1.054 = 4862.03
c ⋅ 1.21551 = 4862.03 | : 1.21551
c = 4000
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):
f(5) = ≈ 5105,126.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 4,574 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.
