Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{128}}$ = ${128}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^7\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $2^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{128}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $3k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,919}}^t$ ablesen: a=0.919.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.919($\frac{1}{2}$) ≈ 8.21 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $26\cdot {\mathrm{1,26}}^6$ ≈ 104,039.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3026 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3026:

$26\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$3026$	|:$26$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{1513}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1513}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1513}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1513}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,5827}$

Nach ca. 20,583 Stunden ist also der Bestand = 3026 Millionen Bakterien.