Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (49) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 49, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 49 ist.

Dabei kommt man auf 2 5 = 25 < 49 und auf 2 6 = 26 > 49.

Und da wir bei log 2 (49) ja das ☐ von 2 = 49 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
25 = 2 5 < 49 < 2 6 = 26

Es gilt somit: 5 < log 2 (49) < 6

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| - 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = - 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: - 3 2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: - 3 2 = - 1 2 a | ⋅ -2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,3 = y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( y )
0,1x -0,3 = ln( y ) | +0,3
0,1x = ln( y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x ) + 0,3 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5,9 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 5.9 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,9 = 1 2 | 5,9
a = ( 1 2 ) 1 5,9

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 5,9 ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 40 0,89 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer. Nach 12 Wochen zählt man bereits 29680,14 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 25000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 5000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 29680.14 Nutzer ist, also f(12) = 29680.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 5000 a t ein:

5000 a 12 = 29680,14 |:5000
a 12 = 5,93603 | 12
a1 = - 5,93603 12 = -1,16
a2 = 5,93603 12 = 1,16

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,16 ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,16 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 5000 1,16 5 10501,708.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

5000 1,16 t = 25000 |:5000
1,16 t = 5 |lg(⋅)
lg( 1,16 t ) = lg( 5 )
t · lg( 1,16 ) = lg( 5 ) |: lg( 1,16 )
t = lg( 5 ) lg( 1,16 )
t = 10,8438

Nach ca. 10,844 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.