Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

$-\lg \left(625x\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)$

= $-\lg \left(625x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(625\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $-\lg \left(625\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(625\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(625\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $199$

f(1) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $199$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,986}}^7$ ≈ 49,831.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,233}$

Nach ca. 14,233 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.