Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$-3e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$-3$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,074}}^t$ ablesen: a=1.074.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.074($2$) ≈ 9.71 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 85.43 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 85.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ ein:

$22a^{13}$	=	$\mathrm{85,43}$	|:$22$
$a^{13}$	=	$\mathrm{3,88318}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{3,88318}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{3,88318}}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=14 Stunden, also f(14):

f(14) = $22\cdot {\mathrm{1,11}}^{14}$ ≈ 94,83.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 72 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 72:

$22\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$72$	|:$22$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{36}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{36}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{36}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{36}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,3609}$

Nach ca. 11,361 Stunden ist also der Bestand = 72 Millionen Bakterien.