Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{17}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,2}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 6.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6.7}{100}$) ⋅ B = 1,067 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,067.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.067($2$) ≈ 10.69 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 40.85 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 40.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23² = 40.85

c ⋅ 1.5129 = 40.85 | : 1.5129

c = 27

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $27\cdot {\mathrm{1,23}}^{10}$ ≈ 214,001.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 47:

$27\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$47$	|:$27$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{47}{27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{47}{27}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,6776}$

Nach ca. 2,678 Stunden ist also der Bestand = 47 Millionen Bakterien.