Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{256}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{256}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{256}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{256}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $2$^$-8$ = $\frac{1}{256}$ gilt .

$\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(100000x\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(100000x\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$2e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-3$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,908}}^t$ ablesen: a=0.908.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.908($\frac{1}{2}$) ≈ 7.18 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 24 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^3$	=	$24$	|:$12$
$a^3$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{2}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{2}$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $12\cdot {\mathrm{1,26}}^{12}$ ≈ 192,144.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:

$12\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$52$	|:$12$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,3447}$

Nach ca. 6,345 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.