Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz rückwärts
Beispiel:
Vereinfache: -
Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(
=
=
=
= 3
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Konto wird mit 6% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.06(
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 25 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu
= B +
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 25:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 6,638 Stunden ist also der Bestand = 25 Millionen Bakterien.
