Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $4$

$-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(50x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+0+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15($2$) ≈ 4.96 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 6594.61 Nutzer ist, also f(6) = 6594.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^6$	=	$6\mathrm{594,61}$	|:$2000$
$a^6$	=	$\mathrm{3,29731}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{3,29731}}$	= $-\mathrm{1,22}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{3,29731}}$	= $\mathrm{1,22}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,22}$ ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $2000\cdot {\mathrm{1,22}}^8$ ≈ 9815,414.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,039}$

Nach ca. 2,039 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.