Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{289}$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{289}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $\frac{1}{289}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $17$-Potenz zu schreiben versuchen, also $17$^☐ = $\frac{1}{289}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $17$^$-2$ = $\frac{1}{289}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.8}{100}$) ⋅ B = 1,018 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,018.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.018($2$) ≈ 38.85 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 4287.18 Nutzer ist, also f(4) = 4287.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ ein:

c ⋅ 1.21⁴ = 4287.18

c ⋅ 2.14359 = 4287.18 | : 2.14359

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^{12}$ ≈ 19699,465.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

$2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$32000$	|:$2000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,5451}$

Nach ca. 14,545 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.