$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{125x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^4\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss $2k$ = 1 gelten;
  Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$4e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,7}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,7}}}$	≈ $-\mathrm{1,293}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,7}}}$	≈ $\mathrm{1,293}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,293}$ ≈ 1.29, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,29}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $20\cdot {\mathrm{1,02}}^9$ ≈ 23,902.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 26.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 26.9:

$20\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{26,9}$	|:$20$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,345}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,345}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,345}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,345}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,9674}$

Nach ca. 14,967 Stunden ist also der Bestand = 26.9 Millionen Bakterien.