Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{10000}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)-\lg \left(10000x^{-2}\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(10000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 26 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,5}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $-\mathrm{1,32}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $\mathrm{1,32}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,32}$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,32}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.5}{100}$) ⋅ B = 0,985 ⋅ B. Somit ist das a=0,985.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75\cdot {\mathrm{0,985}}^{11}$ ≈ 63,513.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 66.5:

$75\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{66,5}$	|:$75$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{0,8867}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9563}$

Nach ca. 7,956 Jahre ist also der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner.