Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{6}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $2k$ = -1 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $42$

f(1) = $42$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(2) = $42$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(3) = $42$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(4) = $42$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,1}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,1}$-fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.3}{100}$) ⋅ B = 0,977 ⋅ B. Somit ist das a=0,977.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 51.51 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 51.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ ein:

c ⋅ 0.977¹⁰ = 51.51

c ⋅ 0.7924 = 51.51 | : 0.7924

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,977}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $65\cdot {\mathrm{0,977}}^{11}$ ≈ 50,321.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55.2:

$65\cdot {\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{55,2}$	|:$65$
${\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{0,8492}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,977}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8492}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8492}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8492}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,977}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0249}$

Nach ca. 7,025 Jahre ist also der Bestand = 55.2 Millionen Einwohner.