Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-3kx·e^{kx-3k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-3k·0·e^{k\cdot 0-3k}+9k$ = $9k$ = 3

  $9k$	=	$3$	|:$9$
  $k$	=	$\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$-2e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$-2$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 17 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,96}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 6612.5 Nutzer ist, also f(2) = 6612.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ein:

c ⋅ 1.15² = 6612.5

c ⋅ 1.3225 = 6612.5 | : 1.3225

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^{11}$ ≈ 23261,957.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

$5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$25000$	|:$5000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5156}$

Nach ca. 11,516 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.