Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 256 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 256 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 256 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 256 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 256

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 256 ) = -8, eben weil 2-8 = 1 256 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 2 ) - lg( 100000x ) + lg( 50 x ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 2 ) - lg( 100000x ) + lg( 50 x )

= lg( 2 x 2 ) - lg( 100000x ) + lg( 50 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) - ( lg( 100000 ) + lg( x ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 2 ) + lg( x 2 ) - lg( 100000 ) - lg( x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) - lg( 100000 ) - lg( x ) + lg( 50 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +2 lg( x ) - lg( 100000 ) - lg( x ) + lg( 50 ) - lg( x )

= - lg( 100000 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 100.000 · 50 · 2 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,4x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,4x können die Funktionswerte von 2 e 0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 2 e 0,4x wird zu allen Funktionswerten von 2 e 0,4x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,4x +3 = y | -3
2 e 0,4x = y -3 |:2
e 0,4x = 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
0,4x = ln( 1 2 y - 3 2 ) |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 2 y - 3 2 )
x = 5 2 ln( 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 2 ln( 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 2 ln( 1 2 x - 3 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,908 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,908 t ablesen: a=0.908.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.908( 1 2 ) ≈ 7.18 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 12 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 24Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 52 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 12 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 24 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 12 a t ein:

12 a 3 = 24 |:12
a 3 = 2 | 3
a = 2 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 2 3 ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 1,26 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 12 1,26 12 192,144.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:

12 1,26 t = 52 |:12
1,26 t = 13 3 |lg(⋅)
lg( 1,26 t ) = lg( 13 3 )
t · lg( 1,26 ) = lg( 13 3 ) |: lg( 1,26 )
t = lg( 13 3 ) lg( 1,26 )
t = 6,3447

Nach ca. 6,345 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.