Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache log 4 ( 4x ) - log 4 ( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
log 4 ( 4x ) - log 4 ( x )
= log 4 ( 4 ) + log 4 ( x ) - log 4 ( x )
= 1 + log 4 ( x ) - log 4 ( x )
= 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 2 ) + lg( 1 2 x ) + lg( 4 x ) soweit wie möglich.

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lg( 50 x 2 ) + lg( 1 2 x ) + lg( 4 x )

= lg( 50 x 2 ) + lg( 1 2 x -1 ) + lg( 4 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 2 ) + lg( 1 x ) + lg( 4 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) + lg( 1 2 ) - lg( x ) + lg( 4 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 2 ) - lg( x ) + lg( 4 ) - lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 4 ) - lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 4 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 +3 = y | -3
e -0,3x +0,6 = y -3 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y -3 )
-0,3x +0,6 = ln( y -3 ) | -0,6
-0,3x = ln( y -3 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y -3 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 69 1,15 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 69

f(1) = 69 1,15

f(2) = 69 1,151,15

f(3) = 69 1,151,151,15

f(4) = 69 1,151,151,151,15

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,15 multipliziert. Da 1,15 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,15-fache, also auf 115 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 9,48 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 13 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 9.48 Millionen Insekten ist, also f(3) = 9.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 13 a t ein:

13 a 3 = 9,48 |:13
a 3 = 0,72923 | 3
a = 0,72923 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,72923 3 ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 13 0,9 8 5,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5:

13 0,9 t = 5 |:13
0,9 t = 5 13 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 5 13 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 5 13 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 5 13 ) lg( 0,9 )
t = 9,069

Nach ca. 9,069 Jahre ist also der Bestand = 5 Millionen Insekten.