Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-x}$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-x}$ gegen 0 .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-x}$ gegen $\infty$ .

$-\lg \left(\frac{2}{25}{x}^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{2}{25}{x}^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(x^6\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{2}{25}\right)-\lg \left(x^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{2}{25}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(2\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20·4}{2}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,4}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,88}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4504.65 € ist, also f(6) = 4504.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02⁶ = 4504.65

c ⋅ 1.12616 = 4504.65 | : 1.12616

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 4594,743.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4700 € ist, also f(t) = 4700:

$4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$4700$	|:$4000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{47}{40}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{40}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{40}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{47}{40}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,1438}$

Nach ca. 8,144 Jahre ist also der Kontostand = 4700 €.