Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
2. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache den Term zu einem Vielfachen von .
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
=
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm
niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 +
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss = -4 gelten;
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Konto wird mit 3,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.8% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,038 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,038.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.038() ≈ 18.59 Jahre
c und a gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 7000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):
f(8) = ≈ 11156,937.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 7,757 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.
