Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2+e^{3{\left(-x\right)}^2+1}$ = $x^2+e^{3x^2+1}$ = $e^{3x^2+1}+x^2$

Wenn man das mit f(x) = $x^2+e^{3x^2+1}$ = $e^{3x^2+1}+x^2$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y-2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y-2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-2\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{2}$ ≈ 1.15, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 5.6 kg ist, also f(8) = 5.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ ein:

c ⋅ 0.93⁸ = 5.6

c ⋅ 0.55958 = 5.6 | : 0.55958

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $10\cdot {\mathrm{0,93}}^{11}$ ≈ 4,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.9 kg ist, also f(t) = 3.9:

$10\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{3,9}$	|:$10$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,39}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,39}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,39}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,39}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9751}$

Nach ca. 12,975 Tage ist also der Bestand = 3.9 kg.