Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e x -3 +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e x -3 +3 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 +3 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 +3 gegen 0 +3 = 3 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss k = 5 gelten;
    Also gilt k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -3 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -3 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -3 +3 = y | -3
-4 e x -3 = y -3 |:-4
e x -3 = - 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 4 y + 3 4 )
x -3 = ln( - 1 4 y + 3 4 ) | +3
x = ln( - 1 4 y + 3 4 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x + 3 4 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x + 3 4 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,906 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,906 t ablesen: a=0.906.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.906( 1 2 ) ≈ 7.02 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 13% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 4,34kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 2,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu = B - 13 100 ⋅B = (1 - 13 100 ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,87 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 4.34 kg ist, also f(6) = 4.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,87 t ein:

c ⋅ 0.876 = 4.34

c ⋅ 0.43363 = 4.34 | : 0.43363

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = 10 0,87 13 1,636.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 kg ist, also f(t) = 2.5:

10 0,87 t = 2,5 |:10
0,87 t = 0,25 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 0,25 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 0,25 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 0,25 ) lg( 0,87 )
t = 9,9546

Nach ca. 9,955 Tage ist also der Bestand = 2.5 kg.