Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-2$), also gilt f(0)=$-2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-2$ , also $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-2\cdot a$ = $-2a$.

Es gilt also: $-4$ = $-2a$ | ⋅ $-\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^4$	=	$2$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{2}$	≈ $-\mathrm{1,189}$
a2	=	$\sqrt[4]{2}$	≈ $\mathrm{1,189}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,189}$ ≈ 1.19, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6120.6 € ist, also f(2) = 6120.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ ein:

c ⋅ 1.01² = 6120.6

c ⋅ 1.0201 = 6120.6 | : 1.0201

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^4$ ≈ 6243,624.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6600 € ist, also f(t) = 6600:

$6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$6600$	|:$6000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{11}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,5786}$

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 6600 €.