Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $10$^$-6$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+k$ = $k$ = 3

  $k$

  =

  $3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+2\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+2\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(y+2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(x+2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(x+2\right)$

Die prozentuale Zunahme um 5.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5.4}{100}$) ⋅ B = 1,054 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.054($2$) ≈ 13.18 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.7}{100}$) ⋅ B = 0,963 ⋅ B. Somit ist das a=0,963.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 54.87 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 54.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ ein:

c ⋅ 0.963¹⁰ = 54.87

c ⋅ 0.6859 = 54.87 | : 0.6859

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $80\cdot {\mathrm{0,963}}^8$ ≈ 59,17.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

$80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$	=	$70$	|:$80$
${\mathrm{0,963}}^t$	=	$\frac{7}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,963}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,963}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,5418}$

Nach ca. 3,542 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.