$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^9\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^9\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^9\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)-\lg \left(\frac{100}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)$

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(100x^{-3}\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $104$

f(1) = $104$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $104$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $104$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $104$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$-fache (oder auf das $\frac{98}{100}$-fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $7000\cdot {\mathrm{1,02}}^4$ ≈ 7577,025.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

$7000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$8000$	|:$7000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{8}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,7431}$

Nach ca. 6,743 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.