Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3k{e}^{kx-2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3k{e}^{kx-2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-2k$	=	0	| - ( $-2k$)
  $kx$	=	$2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$2$

  Wenn wir nun $2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($2$) = $3k{e}^{k\cdot 2-2k}-1$ = $3k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($2$) = 4 ablesen, es gilt somit:

  $3k-1$	=	$4$	| $+1$
  $3k$	=	$5$	|:$3$
  $k$	=	$\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $11\cdot {\mathrm{0,85}}^{12}$ ≈ 1,565.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$11\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{2,2}$	|:$11$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{0,2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9031}$

Nach ca. 9,903 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.