Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegen $\infty$ .

$-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{4}{x^7}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)+\lg \left(4x^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-2}+2$	=	$y$	| $-2$
$-e^{x-2}$	=	$y-2$	|:$-1$
$e^{x-2}$	=	$-y+2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-y+2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-y+2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-y+2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+2\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.3}{100}$) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,967}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $75\cdot {\mathrm{0,967}}^6$ ≈ 61,323.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$75\cdot {\mathrm{0,967}}^t$	=	$35$	|:$75$
${\mathrm{0,967}}^t$	=	$\frac{7}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,967}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,967}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,967}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,967}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{22,712}$

Nach ca. 22,712 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.