Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-2}-3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x-2}-3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-2}-3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-2}-3$ gegen $0-3$ = $-3$ .

$-\lg \left(20000x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)$

= $-\lg \left(20000x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(20000\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(20000\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(20000\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(20000\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 17906.26 Nutzer ist, also f(9) = 17906.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11⁹ = 17906.26

c ⋅ 2.55804 = 17906.26 | : 2.55804

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $7000\cdot {\mathrm{1,11}}^4$ ≈ 10626,493.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 17000 Nutzer ist, also f(t) = 17000:

$7000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$17000$	|:$7000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5023}$

Nach ca. 8,502 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 17000 Nutzer.