Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (25) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 25, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 25 ist.

Dabei kommt man auf 3 2 = 32 < 25 und auf 3 3 = 33 > 25.

Und da wir bei log 3 (25) ja das ☐ von 3 = 25 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
32 = 3 2 < 25 < 3 3 = 33

Es gilt somit: 2 < log 3 (25) < 3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 2 ) + lg( 1 125000 x 6 ) + lg( 25 x 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 5 x 2 ) + lg( 1 125000 x 6 ) + lg( 25 x 4 )

= lg( 5 x 2 ) + lg( 1 125.000 x -6 ) + lg( 25 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 1 125.000 ) + lg( 1 x 6 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 125.000 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 25 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +2 lg( x ) + lg( 1 125.000 ) -6 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 125000 ) -6 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

= - lg( 125000 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 125.000 · 25 · 5 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 +2 = y | -2
e -0,1x +0,3 = y -2 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y -2 )
-0,1x +0,3 = ln( y -2 ) | -0,3
-0,1x = ln( y -2 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -2 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,1 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,1 t ablesen: a=1.1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.1(2) ≈ 7.27 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4161,6€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4900€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4161.6 € ist, also f(2) = 4161.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.022 = 4161.6

c ⋅ 1.0404 = 4161.6 | : 1.0404

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 4000 1,02 10 4875,978.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4900 € ist, also f(t) = 4900:

4000 1,02 t = 4900 |:4000
1,02 t = 49 40 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 49 40 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 49 40 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 49 40 ) lg( 1,02 )
t = 10,2482

Nach ca. 10,248 Jahre ist also der Kontostand = 4900 €.