$\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)+\lg \left(25\right)$

= $\lg \left(2x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·20·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+1$ = $k+1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $k+1$	=	0	| $-1$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,087}}^t$ ablesen: a=1.087.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.087($2$) ≈ 8.31 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 108 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 108. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ ein:

$17a^8$	=	$108$	|:$17$
$a^8$	=	$\frac{108}{17}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{108}{17}}$	≈ $-\mathrm{1,26}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{108}{17}}$	≈ $\mathrm{1,26}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,26}$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $17\cdot {\mathrm{1,26}}^{12}$ ≈ 272,205.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 87 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 87:

$17\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$87$	|:$17$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{87}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{87}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0645}$

Nach ca. 7,065 Stunden ist also der Bestand = 87 Millionen Bakterien.