Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[3]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{3}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $-\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}-3$ = $0-3$ = $-3$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $-3$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

Die prozentuale Abnahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4.8}{100}$) ⋅ B = 0,952 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,952.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.952($\frac{1}{2}$) ≈ 14.09 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 21.68 kg ist, also f(2) = 21.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ ein:

c ⋅ 0.85² = 21.68

c ⋅ 0.7225 = 21.68 | : 0.7225

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $30\cdot {\mathrm{0,85}}^7$ ≈ 9,617.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,7599}$

Nach ca. 6,76 Tage ist also der Bestand = 10 kg.