Zuerst schreiben wir $\sqrt{17}$ um: $\sqrt{17}$ = ${17}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $17$ suchen, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf ${17}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{17}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.7}{100}$) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 75.74 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 75.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ ein:

c ⋅ 0.973² = 75.74

c ⋅ 0.94673 = 75.74 | : 0.94673

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $80\cdot {\mathrm{0,973}}^6$ ≈ 67,884.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$50$	|:$80$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\frac{5}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,1715}$

Nach ca. 17,172 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.