Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 ( 1 2 ) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 1 2 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 2 ist.

Dabei kommt man auf 1 4 = 1 4 = 4-1 < 1 2 und auf 1 = 1 = 4-0 > 1 2 .

Und da wir bei log 4 ( 1 2 ) ja das ☐ von 4 = 1 2 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
4-1 = 1 4 = 1 4 < 1 2 < 1 = 1 = 4-0

Es gilt somit: -1 < log 4 ( 1 2 ) < -0

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 5 10 x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 5 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss k = -1 gelten;
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +1,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,4x +1,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +1,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +1,2 +2 = y | -2
e -0,4x +1,2 = y -2 |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( y -2 )
-0,4x +1,2 = ln( y -2 ) | -1,2
-0,4x = ln( y -2 ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y -2 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,866 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,866 t ablesen: a=0.866.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.866( 1 2 ) ≈ 4.82 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8189,01€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,04 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8189.01 € ist, also f(4) = 8189.01. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,04 t ein:

c ⋅ 1.044 = 8189.01

c ⋅ 1.16986 = 8189.01 | : 1.16986

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 7000 1,04 10 10361,71.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

7000 1,04 t = 11000 |:7000
1,04 t = 11 7 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 11 7 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 11 7 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 11 7 ) lg( 1,04 )
t = 11,5241

Nach ca. 11,524 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.