Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = ${12}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${12}^{-1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

${12}^{-1}$ = ${\left({144}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,2}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-4e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+3$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 4.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4.5}{100}$) ⋅ B = 0,955 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,955.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.955($\frac{1}{2}$) ≈ 15.05 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,968}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 65.85 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 65.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,968}}^t$ ein:

c ⋅ 0.968⁴ = 65.85

c ⋅ 0.87801 = 65.85 | : 0.87801

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,968}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $75\cdot {\mathrm{0,968}}^7$ ≈ 59,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$75\cdot {\mathrm{0,968}}^t$	=	$45$	|:$75$
${\mathrm{0,968}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,968}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,968}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,7065}$

Nach ca. 15,707 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.