$\lg \left(200000\right)$ + $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (200000·5)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{kx+2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2k{e}^{kx+2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+2k$	=	0	| - ( $2k$)
  $kx$	=	$-2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-2$

  Wenn wir nun $-2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-2$) = $2k{e}^{k\cdot \left(-2\right)+2k}+1$ = $2k+1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-2$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $2k+1$	=	0	| $-1$
  $2k$	=	$-1$	|:$2$
  $k$	=	$-\frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 5.06 Millionen Insekten ist, also f(13) = 5.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ ein:

c ⋅ 0.93¹³ = 5.06

c ⋅ 0.38929 = 5.06 | : 0.38929

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $13\cdot {\mathrm{0,93}}^6$ ≈ 8,411.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 10.5:

$13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{10,5}$	|:$13$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,8077}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8077}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8077}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8077}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9428}$

Nach ca. 2,943 Jahre ist also der Bestand = 10.5 Millionen Insekten.