Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 2 ) + lg( x 4 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 2 ) + lg( x 4 )
= 2 lg( x ) +4 lg( x )
= 6 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -1,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,4x -1,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -1,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -1,2 +2 = y | -2
e 0,4x -1,2 = y -2 |ln(⋅)
0,4x -1,2 = ln( y -2 )
0,4x -1,2 = ln( y -2 ) | +1,2
0,4x = ln( y -2 ) +1,2 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -2 ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x -2 ) + 1,2 0,4

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 8000 1,05 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 53,07kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 7 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 72,2kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 53.07 kg ist, also f(8) = 53.07. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 8 = 53,07 |:80
a 8 = 0,66338 | 8
a1 = - 0,66338 8 -0,95
a2 = 0,66338 8 0,95

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,95 ≈ 0.95 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = 80 0,95 7 55,867.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 72.2 kg ist, also f(t) = 72.2:

80 0,95 t = 72,2 |:80
0,95 t = 0,9025 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 0,9025 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 0,9025 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 0,9025 ) lg( 0,95 )
t = 2

Nach ca. 2 Tage ist also der Bestand = 72.2 kg.