Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 (15) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 15, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 15 ist.

Dabei kommt man auf 5 = 51 < 15 und auf 5 2 = 52 > 15.

Und da wir bei log 5 (15) ja das ☐ von 5 = 15 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
51 = 5 < 15 < 5 2 = 52

Es gilt somit: 1 < log 5 (15) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 12500 x 2 ) + lg( 5 x 3 ) - lg( 1 25 x ) soweit wie möglich.

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lg( 1 12500 x 2 ) + lg( 5 x 3 ) - lg( 1 25 x )

= lg( 1 12500 x -2 ) + lg( 5 x 3 ) - lg( 1 25 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 12500 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 5 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 25 ) + lg( x ) )

= lg( 1 12500 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 5 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 25 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 12500 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 25 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 12500 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) - lg( x )

= - lg( 12500 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 12500 · 25 · 5 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,1x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 -1 = y | +1
e 0,1x -0,2 = y +1 |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y +1 )
0,1x -0,2 = ln( y +1 ) | +0,2
0,1x = ln( y +1 ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y +1 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,042 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,042 t ablesen: a=1.042.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.042(2) ≈ 16.85 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 25 Milionen Bakterien. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 174,57Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 1025 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 25 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 174.57 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 174.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 25 a t ein:

25 a 7 = 174,57 |:25
a 7 = 6,9828 | 7
a = 6,9828 7

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 6,9828 7 ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 25 1,32 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 25 1,32 9 304,162.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1025 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1025:

25 1,32 t = 1025 |:25
1,32 t = 41 |lg(⋅)
lg( 1,32 t ) = lg( 41 )
t · lg( 1,32 ) = lg( 41 ) |: lg( 1,32 )
t = lg( 41 ) lg( 1,32 )
t = 13,3759

Nach ca. 13,376 Stunden ist also der Bestand = 1025 Millionen Bakterien.