Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{x-1}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,079}}^t$ ablesen: a=1.079.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.079($2$) ≈ 9.12 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 4.33 Millionen Insekten ist, also f(5) = 4.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^5$	=	$\mathrm{4,33}$	|:$11$
$a^5$	=	$\frac{\mathrm{4,33}}{11}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{\mathrm{4,33}}{11}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\frac{\mathrm{4,33}}{11}}$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11\cdot {\mathrm{0,83}}^6$ ≈ 3,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.3:

$11\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{4,3}$	|:$11$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{0,3909}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3909}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0411}$

Nach ca. 5,041 Jahre ist also der Bestand = 4.3 Millionen Insekten.