$\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^4\right)$

= $\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{8}{10}x+3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss $3k$ = -4 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $9$

f(1) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 28.97 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 28.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ein:

c ⋅ 1.08³ = 28.97

c ⋅ 1.25971 = 28.97 | : 1.25971

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $23\cdot {\mathrm{1,08}}^9$ ≈ 45,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

$23\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$33$	|:$23$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{33}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{33}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,6909}$

Nach ca. 4,691 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.