Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^2\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)$
$x$	=	$5\ln \left(y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(x-1\right)$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 52.57 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 52.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^{10}$	=	$\mathrm{52,57}$	|:$65$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,80877}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,80877}}$	≈ $-\mathrm{0,979}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,80877}}$	≈ $\mathrm{0,979}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,979}$ ≈ 0.979 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65\cdot {\mathrm{0,979}}^9$ ≈ 53,698.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$55$	|:$65$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\frac{11}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8711}$

Nach ca. 7,871 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.