Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)-3$

$\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{8}{5x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $\lg \left(4x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{8}{5}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{8}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{8}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{8}{5}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8}·5·4·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{x-1}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y-2\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y-2\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-2\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-2\right)+1$

f(0) = $45$

f(1) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $45$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 47.54 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 47.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^{10}$	=	$\mathrm{47,54}$	|:$60$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,79233}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,79233}}$	≈ $-\mathrm{0,977}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,79233}}$	≈ $\mathrm{0,977}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,977}$ ≈ 0.977 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,977}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $60\cdot {\mathrm{0,977}}^6$ ≈ 52,182.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 52.2:

$60\cdot {\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{52,2}$	|:$60$
${\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{0,87}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,977}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,977}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,985}$

Nach ca. 5,985 Jahre ist also der Bestand = 52.2 Millionen Einwohner.