Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{15}$ zur Basis $15$, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{15}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = $\sqrt{15}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{15}$ als ${15}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $15$^☐ = ${15}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{15}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,18}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 6572.13 Nutzer ist, also f(3) = 6572.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,18}}^t$ ein:

c ⋅ 1.18³ = 6572.13

c ⋅ 1.64303 = 6572.13 | : 1.64303

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $4000\cdot {\mathrm{1,18}}^4$ ≈ 7755,111.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,4497}$

Nach ca. 2,45 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.