Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{3}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$-3e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$-3$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,054}}^t$ ablesen: a=1.054.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.054($2$) ≈ 13.18 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 10751.33 € ist, also f(10) = 10751.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^{10}$	=	$10\mathrm{751,33}$	|:$8000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,34392}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $-\mathrm{1,03}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $\mathrm{1,03}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,03}$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $8000\cdot {\mathrm{1,03}}^{11}$ ≈ 11073,871.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$8000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$10000$	|:$8000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,5491}$

Nach ca. 7,549 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.