${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn><mspace\; width="thinmathspace"></mspace><mn>050</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>50</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>6050</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>50</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>121</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_{11}\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>11</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^5\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+0+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+0+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+2$

f(0) = $179$

f(1) = $179$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(2) = $179$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(3) = $179$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(4) = $179$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{51}{50}$ multipliziert. Da $\frac{51}{50}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{51}{50}$-fache (oder auf das $\frac{102}{100}$-fache), also auf $102$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 18.29 kg ist, also f(8) = 18.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ ein:

$30a^8$	=	$\mathrm{18,29}$	|:$30$
$a^8$	=	$\mathrm{0,60967}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,60967}}$	≈ $-\mathrm{0,94}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,60967}}$	≈ $\mathrm{0,94}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,94}$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $30\cdot {\mathrm{0,94}}^{11}$ ≈ 15,189.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,7552}$

Nach ca. 17,755 Tage ist also der Bestand = 10 kg.