Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann
niemals = 0 werden.3 k e k x + 2 k - Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialtermk x + 2 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei3 k e k x + 2 k erkennen.2
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.k x + 2 k
Wenn wir nunk x + 2 k = 0 | - ( )2 k k x = - 2 k |:( )k x = - 2 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:- 2
fk( ) =- 2 =3 k e k ⋅ ( - 2 ) + 2 k + 2 3 k + 2
im abgebildeten Term können wir aber ja f( ) = -3 ablesen, es gilt somit:- 2 3 k + 2 = - 3 | - 2 3 k = - 5 |: 3 k = - 5 3
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 35 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 21 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 35 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
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= | |
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= |
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Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 18,65Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 13,7 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 18.65 Millionen Bakterien ist,
also f(11) = 18.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.0811 = 18.65
c ⋅ 2.33164 = 18.65 | : 2.33164
c = 8
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):
f(12) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 13.7:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 6,99 Stunden ist also der Bestand = 13.7 Millionen Bakterien.
