Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $23\cdot {\mathrm{1,02}}^{13}$ ≈ 29,753.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 31 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 31:

$23\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$31$	|:$23$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{31}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{31}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,0734}$

Nach ca. 15,073 Stunden ist also der Bestand = 31 Millionen Bakterien.