Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 15 ( 1 15 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 15 um: 1 15 = 15 - 1 2

log 15 ( 1 15 ) = log 15 ( 15 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 15 - 1 2 zur Basis 15 suchen, also die Hochzahl mit der man 15 potenzieren muss, um auf 15 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 15 = 15 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 15 ( 1 15 ) = log 15 ( 15 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 15 - 1 2 = 1 15 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 x 2 ) - lg( 1 20 x 5 ) - lg( 80 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 x 2 ) - lg( 1 20 x 5 ) - lg( 80 x 4 )

= - lg( 1 4 x -2 ) - lg( 1 20 x 5 ) - lg( 80 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( 1 x 2 ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x 5 ) ) - ( lg( 80 ) + lg( 1 x 4 ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( 1 x 2 ) - lg( 1 20 ) - lg( x 5 ) - lg( 80 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) +2 lg( x ) - lg( 1 20 ) -5 lg( x ) - lg( 80 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) -5 lg( x ) - lg( 80 ) +4 lg( x )

= lg( x ) - lg( 80 ) + lg( 20 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( x ) + lg( 1 80 · 20 · 4 )

= lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= lg( x ) + lg( 1 )

= lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,6 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,2x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,6 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,6 -1 = y | +1
e 0,2x -0,6 = y +1 |ln(⋅)
0,2x -0,6 = ln( y +1 )
0,2x -0,6 = ln( y +1 ) | +0,6
0,2x = ln( y +1 ) +0,6 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +1 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,6 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 95 0,75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 95

f(1) = 95 0,75

f(2) = 95 0,750,75

f(3) = 95 0,750,750,75

f(4) = 95 0,750,750,750,75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,75 multipliziert. Da 0,75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 10,79Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 13,6 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu = B + 8 100 ⋅B = (1 + 8 100 ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,08 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 10.79 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 10.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,08 t ein:

c ⋅ 1.0810 = 10.79

c ⋅ 2.15892 = 10.79 | : 2.15892

c = 5

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5 1,08 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = 5 1,08 11 11,658.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 13.6:

5 1,08 t = 13,6 |:5
1,08 t = 2,72 |lg(⋅)
lg( 1,08 t ) = lg( 2,72 )
t · lg( 1,08 ) = lg( 2,72 ) |: lg( 1,08 )
t = lg( 2,72 ) lg( 1,08 )
t = 13,0018

Nach ca. 13,002 Stunden ist also der Bestand = 13.6 Millionen Bakterien.