$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^2\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x^6}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250}{x}^2\right)+\lg \left(5x^3\right)+\lg \left(50x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+4k$ = $4k$ = 2

  $4k$	=	$2$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{x-2}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y+2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+2\right)+2$

f(0) = $48$

f(1) = $48$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $48$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $48$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $48$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 49.13 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 49.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^8$	=	$\mathrm{49,13}$	|:$55$
$a^8$	=	$\mathrm{0,89327}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,89327}}$	≈ $-\mathrm{0,986}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,89327}}$	≈ $\mathrm{0,986}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,986}$ ≈ 0.986 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,986}}^7$ ≈ 49,831.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.5:

$55\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{53,5}$	|:$55$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,9727}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9727}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9727}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9727}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9632}$

Nach ca. 1,963 Jahre ist also der Bestand = 53.5 Millionen Einwohner.