Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 12 ( 7200 ) - log 12 ( 50 ) .

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log 12 ( 7200 ) - log 12 ( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 12 ( 7200 50 )

= log 12 ( 144 )

= log 12 ( 12 2 )

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x - k ) · e x - 1 2 k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = - ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k +1 = 0 +1 = 1 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | 1 ) im abgebildeten Graph bei P(5| 1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 5
    Also gilt k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e 0,4x -0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e 0,4x -0,8 wird e 0,4x -0,8 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e 0,4x -0,8 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e 0,4x -0,8 = y |:-4
e 0,4x -0,8 = - 1 4 y |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( - 1 4 y )
0,4x -0,8 = ln( - 1 4 y ) | +0,8
0,4x = ln( - 1 4 y ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( - 1 4 y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( - 1 4 x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( - 1 4 x ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,88 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,88 t ablesen: a=0.88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.88( 1 2 ) ≈ 5.42 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 40,35Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 12 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu = B + 26 100 ⋅B = (1 + 26 100 ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,26 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 40.35 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 40.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,26 t ein:

c ⋅ 1.2613 = 40.35

c ⋅ 20.17516 = 40.35 | : 20.17516

c = 2

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2 1,26 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = 2 1,26 11 25,416.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 12 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 12:

2 1,26 t = 12 |:2
1,26 t = 6 |lg(⋅)
lg( 1,26 t ) = lg( 6 )
t · lg( 1,26 ) = lg( 6 ) |: lg( 1,26 )
t = lg( 6 ) lg( 1,26 )
t = 7,7528

Nach ca. 7,753 Stunden ist also der Bestand = 12 Millionen Bakterien.