Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 18 ( 18 5 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 18 5 zur Basis 18, also die Hochzahl mit der man 18 potenzieren muss, um auf 18 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 18 = 18 5 gilt.

Wenn wir jetzt die 18 5 als 18 1 5 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 18 = 18 1 5

log 18 ( 18 5 ) = 1 5 , eben weil 18 1 5 = 18 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 -3 = y | +3
2 e x -1 = y +3 |:2
e x -1 = 1 2 y + 3 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y + 3 2 )
x -1 = ln( 1 2 y + 3 2 ) | +1
x = ln( 1 2 y + 3 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 3 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 3 2 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 6.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 2 | 6,6
a1 = - 2 1 6,6 -1,111
a2 = 2 1 6,6 1,111

Das gesuchte a ist somit 1,111 ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 7000 1,11 t

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 21 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 421 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 21 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = 21 1,2 4 43,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 421 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 421:

21 1,2 t = 421 |:21
1,2 t = 421 21 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 421 21 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 421 21 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 421 21 ) lg( 1,2 )
t = 16,4441

Nach ca. 16,444 Stunden ist also der Bestand = 421 Millionen Bakterien.