Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 200 ) - lg( 2 ) .

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lg( 200 ) - lg( 2 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 200 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x - k ) · e x - 1 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = - ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 1
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e x -3 können die Funktionswerte von 3 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 3 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 3 e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e x -3 +2 = y | -2
3 e x -3 = y -2 |:3
e x -3 = 1 3 y - 2 3 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 3 y - 2 3 )
x -3 = ln( 1 3 y - 2 3 ) | +3
x = ln( 1 3 y - 2 3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 3 x - 2 3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 3 x - 2 3 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 16% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also Bneu = B + 16 100 ⋅B = (1 + 16 100 ) ⋅ B = 1,16 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,16.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.16(2) ≈ 4.67 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien. 2 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 47,39Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2026 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 26 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 47.39 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 47.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 26 a t ein:

26 a 2 = 47,39 |:26
a 2 = 1,82269 | 2
a1 = - 1,82269 -1,35
a2 = 1,82269 1,35

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,35 ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 26 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 26 1,35 8 286,842.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2026 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2026:

26 1,35 t = 2026 |:26
1,35 t = 1013 13 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 1013 13 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 1013 13 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 1013 13 ) lg( 1,35 )
t = 14,514

Nach ca. 14,514 Stunden ist also der Bestand = 2026 Millionen Bakterien.