Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10x ) +5 lg( x )
= lg( 10 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= 1 + lg( x ) +5 lg( x )
= 6 lg( x ) +1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,1x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 3 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 3 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 3 e -0,1x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,1x -3 = y | +3
3 e -0,1x = y +3 |:3
e -0,1x = 1 3 y +1 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 3 y +1 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 3 y +1 )
x = -10 ln( 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 3 x +1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 10.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 10,2 = 2 | 10,2
a1 = - 2 1 10,2 -1,07
a2 = 2 1 10,2 1,07

Das gesuchte a ist somit 1,07 ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,07 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,03 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,4 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,85 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 1.03 Millionen Insekten ist, also f(14) = 1.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,85 t ein:

c ⋅ 0.8514 = 1.03

c ⋅ 0.10277 = 1.03 | : 0.10277

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,85 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 10 0,85 7 3,206.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.4:

10 0,85 t = 4,4 |:10
0,85 t = 0,44 |lg(⋅)
lg( 0,85 t ) = lg( 0,44 )
t · lg( 0,85 ) = lg( 0,44 ) |: lg( 0,85 )
t = lg( 0,44 ) lg( 0,85 )
t = 5,0516

Nach ca. 5,052 Jahre ist also der Bestand = 4.4 Millionen Insekten.