Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $x^2·\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $x^2·e^{3x}+x^2·e^{-3x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·\left(e^{3x}+e^{-3x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=18 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 69.9 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 69.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ ein:

$18a^{13}$	=	$\mathrm{69,9}$	|:$18$
$a^{13}$	=	$\mathrm{3,88333}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{3,88333}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{3,88333}}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $18\cdot {\mathrm{1,11}}^7$ ≈ 37,371.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22.2:

$18\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{22,2}$	|:$18$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{1,2333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0093}$

Nach ca. 2,009 Stunden ist also der Bestand = 22.2 Millionen Bakterien.