Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000x ) +2 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000x ) +2 lg( x )
= lg( 1000000 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= lg( 10 6 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= 6 + lg( x ) +2 lg( x )
= 3 lg( x ) +6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 8 10 x - k +6 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 8 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 6 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 6 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss 6 k = 3 gelten;
    Also gilt k = 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,8 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,4x -0,8 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -0,8 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,8 -2 = y | +2
e 0,4x -0,8 = y +2 |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( y +2 )
0,4x -0,8 = ln( y +2 ) | +0,8
0,4x = ln( y +2 ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y +2 ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x +2 ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x +2 ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,3% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.3% dazukommen,
also Bneu = B + 3.3 100 ⋅B = (1 + 3.3 100 ) ⋅ B = 1,033 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,033.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.033(2) ≈ 21.35 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 3203,23 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 2000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 3203.23 Nutzer ist, also f(3) = 3203.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 2000 a t ein:

2000 a 3 = 3203,23 |:2000
a 3 = 1,60162 | 3
a = 1,60162 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,60162 3 ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 2000 1,17 5 4384,896.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

2000 1,17 t = 3000 |:2000
1,17 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,17 )
t = 2,5825

Nach ca. 2,583 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.