Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+3$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)$
$x$	=	$10\ln \left(y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(x-3\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,911}}^t$ ablesen: a=0.911.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.911($\frac{1}{2}$) ≈ 7.44 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 68.52 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 68.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^4$	=	$\mathrm{68,52}$	|:$80$
$a^4$	=	$\mathrm{0,8565}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,8565}}$	≈ $-\mathrm{0,962}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,8565}}$	≈ $\mathrm{0,962}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,962}$ ≈ 0.962 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,962}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80\cdot {\mathrm{0,962}}^{13}$ ≈ 48,347.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,962}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,962}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,962}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,962}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,4258}$

Nach ca. 7,426 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.