Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term -2 lg( 1 x 3 ) + lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
-2 lg( 1 x 3 ) + lg( x 3 )
= -2 lg( x -3 ) + lg( x 3 )
= 6 lg( x ) +3 lg( x )
= 9 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,4x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -4 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,4x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,4x +2 = y | -2
-4 e -0,4x = y -2 |:-4
e -0,4x = - 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 4 y + 1 2 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 4 y + 1 2 )
x = - 5 2 ln( - 1 4 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 4 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 4 x + 1 2 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 90 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 11,2 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 11.2 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 11,2 = 1 2 | 11,2
a = ( 1 2 ) 1 11,2

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 11,2 ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 90 0,94 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 25,19Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 107 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 17 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 25.19 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 25.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 17 a t ein:

17 a 3 = 25,19 |:17
a 3 = 1,48176 | 3
a = 1,48176 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,48176 3 ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 17 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 17 1,14 5 32,732.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 107 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 107:

17 1,14 t = 107 |:17
1,14 t = 107 17 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 107 17 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 107 17 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 107 17 ) lg( 1,14 )
t = 14,0398

Nach ca. 14,04 Stunden ist also der Bestand = 107 Millionen Bakterien.