Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

$\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^3\right)$

= $\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,137}}^t$ ablesen: a=1.137.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.137($2$) ≈ 5.4 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $11\cdot {\mathrm{0,89}}^{10}$ ≈ 3,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.7:

$11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{1,7}$	|:$11$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,1545}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1545}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1545}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1545}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,0259}$

Nach ca. 16,026 Jahre ist also der Bestand = 1.7 Millionen Insekten.