Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (46) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 46, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 46 ist.

Dabei kommt man auf 4 2 = 42 < 46 und auf 4 3 = 43 > 46.

Und da wir bei log 4 (46) ja das ☐ von 4 = 46 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
42 = 4 2 < 46 < 4 3 = 43

Es gilt somit: 2 < log 4 (46) < 3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +1 = k +1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    k +1 = 0 | -1
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 -1 = y | +1
-3 e x -1 = y +1 |:-3
e x -1 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -1 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +1
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 2.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 2,3 = 2 | 2,3
a1 = - 2 1 2,3 -1,352
a2 = 2 1 2,3 1,352

Das gesuchte a ist somit 1,352 ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 20 1,35 t

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 322 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 22 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 22 1,29 8 168,71.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 322 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 322:

22 1,29 t = 322 |:22
1,29 t = 161 11 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 161 11 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 161 11 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 161 11 ) lg( 1,29 )
t = 10,5384

Nach ca. 10,538 Stunden ist also der Bestand = 322 Millionen Bakterien.