Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 2 3 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 2 3 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 2 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 2 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 2 3 als 2 1 3 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 2 = 2 1 3

log 2 ( 2 3 ) = 1 3 , eben weil 2 1 3 = 2 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 5 k e k x -4 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 5 k e k x -4 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x -4 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 5 k e k x -4 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x -4 k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x -4 k = 0 | - ( -4 k )
    k x = 4 k |:( k )
    x = 4
    Wenn wir nun 4 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(4 ) = 5 k e k 4 -4 k -3 = 5k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(4 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    5k -3 = -1 | +3
    5k = 2 |:5
    k = 2 5 = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,6 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,3x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,6 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,6 -3 = y | +3
e 0,3x -0,6 = y +3 |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( y +3 )
0,3x -0,6 = ln( y +3 ) | +0,6
0,3x = ln( y +3 ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +3 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,6 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,5 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.5 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,5 = 2 | 3,5
a = 2 1 3,5

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,5 ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,22 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 70kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 70 0,93 8 39,171.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

70 0,93 t = 20 |:70
0,93 t = 2 7 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 2 7 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 2 7 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 2 7 ) lg( 0,93 )
t = 17,2627

Nach ca. 17,263 Tage ist also der Bestand = 20 kg.