Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+2k$ = $2k$ = 2

  $2k$	=	$2$	|:$2$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $28$

f(1) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $29\cdot {\mathrm{1,32}}^{10}$ ≈ 465,733.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3029 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3029:

$29\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$3029$	|:$29$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{3029}{29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3029}{29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3029}{29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3029}{29}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,7441}$

Nach ca. 16,744 Stunden ist also der Bestand = 3029 Millionen Bakterien.