Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $13$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $13$ ist.

Dabei kommt man auf $4$ = 4¹ < $13$ und auf $4^2$ = 4² > $13$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $13$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
4¹ = $4$ < $13$ < $4^2$ = 4²

Es gilt somit: 1 < < 2

$\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(25x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{625.000}\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(625000\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(625000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{625.000}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 4.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4.2}{100}$) ⋅ B = 0,958 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,958.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.958($\frac{1}{2}$) ≈ 16.15 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 40.97 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 40.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11¹¹ = 40.97

c ⋅ 3.15176 = 40.97 | : 3.15176

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $13\cdot {\mathrm{1,11}}^6$ ≈ 24,315.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

$13\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$33$	|:$13$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{33}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{33}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,9264}$

Nach ca. 8,926 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.