Wir suchen den Logarithmus von $289$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $289$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $289$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $17$^$2$ = $289$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+k$ = $k$ = 4

  $k$

  =

  $4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,878}}^t$ ablesen: a=0.878.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.878($\frac{1}{2}$) ≈ 5.33 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 3.51 Millionen Insekten ist, also f(6) = 3.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^6$	=	$\mathrm{3,51}$	|:$10$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{3,51}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{3,51}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,84}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{3,51}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,84}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,84}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $10\cdot {\mathrm{0,84}}^{13}$ ≈ 1,037.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.5:

$10\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{2,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{0,25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,25}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9511}$

Nach ca. 7,951 Jahre ist also der Bestand = 2.5 Millionen Insekten.