$-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)+\lg \left(\frac{8}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)+\lg \left(8x^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(8\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(8\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·8·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

$-\lg \left(\frac{100}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)$

= $-\lg \left(100x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^6\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^6\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-2}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{x-2}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

f(0) = $80$

f(1) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 29.92 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 29.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ein:

c ⋅ 1.08¹³ = 29.92

c ⋅ 2.71962 = 29.92 | : 2.71962

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $11\cdot {\mathrm{1,08}}^4$ ≈ 14,965.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 31 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 31:

$11\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$31$	|:$11$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{31}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{31}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,4626}$

Nach ca. 13,463 Stunden ist also der Bestand = 31 Millionen Bakterien.