Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{9}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 5, somit muss $3k$ = 5 gelten;
  Also gilt k = $\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-2e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

f(0) = $36$

f(1) = $36$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $36$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $36$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $36$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.3}{100}$) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $65\cdot {\mathrm{0,987}}^7$ ≈ 59,311.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 59.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 59.3:

$65\cdot {\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{59,3}$	|:$65$
${\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{0,9123}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,987}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9123}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9123}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9123}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,987}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0145}$

Nach ca. 7,015 Jahre ist also der Bestand = 59.3 Millionen Einwohner.