Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $15$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $15$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $15$ und auf $5^2$ = 5² > $15$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $15$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $15$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

$\lg \left(\frac{1}{12500x^2}\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{12500}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{12500}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(12500\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(12500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,042}}^t$ ablesen: a=1.042.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.042($2$) ≈ 16.85 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 174.57 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 174.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ ein:

$25a^7$	=	$\mathrm{174,57}$	|:$25$
$a^7$	=	$\mathrm{6,9828}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\mathrm{6,9828}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\mathrm{6,9828}}$ ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $25\cdot {\mathrm{1,32}}^9$ ≈ 304,162.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1025 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1025:

$25\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$1025$	|:$25$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$41$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(41\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(41\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(41\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,3759}$

Nach ca. 13,376 Stunden ist also der Bestand = 1025 Millionen Bakterien.