Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $5+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+5$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.4}{100}$) ⋅ B = 0,966 ⋅ B. Somit ist das a=0,966.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,966}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 69.66 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 69.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,966}}^t$ ein:

c ⋅ 0.966⁴ = 69.66

c ⋅ 0.87078 = 69.66 | : 0.87078

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,966}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $80\cdot {\mathrm{0,966}}^{11}$ ≈ 54,681.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80\cdot {\mathrm{0,966}}^t$	=	$50$	|:$80$
${\mathrm{0,966}}^t$	=	$\frac{5}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,966}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,966}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,5873}$

Nach ca. 13,587 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.