Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $x^2·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $-3x^2·e^{2x}+3x^2·e^{-2x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·\left(3e^{2x}-3e^{-2x}\right)$ = $3x^2·e^{2x}-3x^2·e^{-2x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-3x^2·e^{2x}+3x^2·e^{-2x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x^2·3e^{2x}+x^2·\left(-3e^{-2x}\right))$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$-\lg \left(\frac{200}{x^2}\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(200x^{-2}\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,29.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.29($2$) ≈ 2.72 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1169.86 € ist, also f(4) = 1169.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^4$	=	$1\mathrm{169,86}$	|:$1000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,16986}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,16986}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,16986}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $1000\cdot {\mathrm{1,04}}^8$ ≈ 1368,569.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1300 € ist, also f(t) = 1300:

$1000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$1300$	|:$1000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{13}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6894}$

Nach ca. 6,689 Jahre ist also der Kontostand = 1300 €.