Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 5 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 5 um: 1 5 = 5 - 1 2

log 5 ( 1 5 ) = log 5 ( 5 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 - 1 2 zur Basis 5 suchen, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 5 ( 1 5 ) = log 5 ( 5 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 5 - 1 2 = 1 5 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 6 ) - lg( 25 x 3 ) + lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 6 ) - lg( 25 x 3 ) + lg( 5 x 2 )

= lg( 5 x -6 ) - lg( 25 x -3 ) + lg( 5 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 x 6 ) - ( lg( 25 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 x 6 ) - lg( 25 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 5 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) -6 lg( x ) - lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) -6 lg( x ) - lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

= - lg( x ) - lg( 25 ) + lg( 5 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= - lg( x ) + lg( 1 25 · 5 · 5 )

= - lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= - lg( x ) + lg( 1 )

= - lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x +0,2 können die Funktionswerte von 2 e -0,1x +0,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x +0,2 = y |:2
e -0,1x +0,2 = 1 2 y |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( 1 2 y )
-0,1x +0,2 = ln( 1 2 y ) | -0,2
-0,1x = ln( 1 2 y ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 135 ( 51 50 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 135

f(1) = 135 51 50

f(2) = 135 51 50 51 50

f(3) = 135 51 50 51 50 51 50

f(4) = 135 51 50 51 50 51 50 51 50

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 51 50 multipliziert. Da 51 50 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 51 50 -fache (oder auf das 102 100 -fache), also auf 102 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,8% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 51,52 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also Bneu = B - 3.8 100 ⋅B = (1 - 3.8 100 ) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,962 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 51.52 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 51.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,962 t ein:

c ⋅ 0.9626 = 51.52

c ⋅ 0.79259 = 51.52 | : 0.79259

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,962 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 65 0,962 9 45,866.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

65 0,962 t = 45 |:65
0,962 t = 9 13 |lg(⋅)
lg( 0,962 t ) = lg( 9 13 )
t · lg( 0,962 ) = lg( 9 13 ) |: lg( 0,962 )
t = lg( 9 13 ) lg( 0,962 )
t = 9,4919

Nach ca. 9,492 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.