Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1+e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $1+e^{x^2}$ = $e^{x^2}+1$

Wenn man das mit f(x) = $1+e^{x^2}$ = $e^{x^2}+1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+2k$ = $2k$ = 2

  $2k$	=	$2$	|:$2$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+2\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $9$

f(1) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 0,99 ⋅ B. Somit ist das a=0,99.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,99}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $75\cdot {\mathrm{0,99}}^{12}$ ≈ 66,479.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.2:

$75\cdot {\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{69,2}$	|:$75$
${\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{0,9227}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,99}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9227}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9227}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9227}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,99}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0048}$

Nach ca. 8,005 Jahre ist also der Bestand = 69.2 Millionen Einwohner.