Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $-e^{x-3}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $-e^{x-3}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $-e^{x-3}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-e^{x-3}+2$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-e^{x-3}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.82($\frac{1}{2}$) ≈ 3.49 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $3000\cdot {\mathrm{1,06}}^9$ ≈ 5068,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$5000$	|:$3000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,7667}$

Nach ca. 8,767 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.