Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 16 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 16 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 1 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 1 16 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 4-Potenz zu schreiben versuchen, also 4 = 1 16

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 ( 1 16 ) = -2, eben weil 4-2 = 1 16 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -2 k x · e k x -2 k +4 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -2 k x · e k x -2 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -2 k · 0 · e k 0 -2 k +4 k = 4 k = 3
    4k = 3 |:4
    k = 3 4 = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,2x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -4 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,2x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,2x +2 = y | -2
-4 e -0,2x = y -2 |:-4
e -0,2x = - 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,2x = ln( - 1 4 y + 1 2 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( - 1 4 y + 1 2 )
x = -5 ln( - 1 4 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( - 1 4 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( - 1 4 x + 1 2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 31 ( 7 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 31

f(1) = 31 7 5

f(2) = 31 7 5 7 5

f(3) = 31 7 5 7 5 7 5

f(4) = 31 7 5 7 5 7 5 7 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 7 5 multipliziert. Da 7 5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 7 5 -fache (oder auf das 140 100 -fache), also auf 140 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 515 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 15 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = 15 1,2 6 44,79.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 515 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 515:

15 1,2 t = 515 |:15
1,2 t = 103 3 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 103 3 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 103 3 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 103 3 ) lg( 1,2 )
t = 19,3949

Nach ca. 19,395 Stunden ist also der Bestand = 515 Millionen Bakterien.