Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{121}$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{121}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $\frac{1}{121}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $11$-Potenz zu schreiben versuchen, also $11$^☐ = $\frac{1}{121}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $11$^$-2$ = $\frac{1}{121}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{10,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $\mathrm{1,07}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 19.41 kg ist, also f(6) = 19.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ ein:

$30a^6$	=	$\mathrm{19,41}$	|:$30$
$a^6$	=	$\mathrm{0,647}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,647}}$	≈ $-\mathrm{0,93}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,647}}$	≈ $\mathrm{0,93}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,93}$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $30\cdot {\mathrm{0,93}}^9$ ≈ 15,612.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,1385}$

Nach ca. 15,139 Tage ist also der Bestand = 10 kg.