Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $2e^{x-1}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $2e^{x-1}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $2e^{x-1}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $2e^{x-1}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $2e^{x-1}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

$\lg \left(10x^2\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(25x\right)$

= $\lg \left(10x^2\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(25x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·10·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $99$

f(1) = $99$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(2) = $99$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(3) = $99$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(4) = $99$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{51}{50}$ multipliziert. Da $\frac{51}{50}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{51}{50}$-fache (oder auf das $\frac{102}{100}$-fache), also auf $102$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.9}{100}$) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,981}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,981}}^{13}$ ≈ 54,55.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,981}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,981}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,981}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,981}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,5403}$

Nach ca. 17,54 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.