Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^8}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)-\lg \left(100x^{-4}\right)+\lg \left(20x^{-8}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-1}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,32}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 36.87 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 36.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,32}}^t$ ein:

c ⋅ 1.32⁸ = 36.87

c ⋅ 9.21704 = 36.87 | : 9.21704

c = 4

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $4\cdot {\mathrm{1,32}}^{13}$ ≈ 147,748.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 104 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 104:

$4\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$104$	|:$4$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$26$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(26\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(26\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(26\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,7353}$

Nach ca. 11,735 Stunden ist also der Bestand = 104 Millionen Bakterien.