Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 19 sondern zur Basis $361$ suchen und $361$ gerade 19² ist (also 19 = $\sqrt{361}$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $19$ noch so um, dass sie $361$ als Basis hat:

$19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $361$ suchen, also die Hochzahl mit der man $361$ potenzieren muss, um auf $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $361$^☐ = $19$ = ${361}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $361$^{$\frac{1}{2}$} = $19$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^5\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{10}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^5\right)+\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(10x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{10}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-2}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{x-2}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,103}}^t$ ablesen: a=1.103.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.103($2$) ≈ 7.07 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^8$ ≈ 13292,221.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer ist, also f(t) = 45000:

$5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$45000$	|:$5000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$9$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(9\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(9\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(9\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,978}$

Nach ca. 17,978 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer.