Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)$
= $2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{x-2}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y+3\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+3\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+3\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 26 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^3$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[3]{2}$ ≈ 1.26, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,26}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 2205 € ist, also f(2) = 2205. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^2$	=	$2205$	|:$2000$
$a^2$	=	$\frac{441}{400}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{441}{400}}$	= $-\frac{21}{20}$
a2	=	$\sqrt{\frac{441}{400}}$	= $\frac{21}{20}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{21}{20}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $2000\cdot {\mathrm{1,05}}^8$ ≈ 2954,911.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3104}$

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.