Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

$\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100x^2}\right)$

= $\lg \left(20x^3\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100}·50·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,941}}^t$ ablesen: a=0.941.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.941($\frac{1}{2}$) ≈ 11.4 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $1000\cdot {\mathrm{1,12}}^6$ ≈ 1973,823.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

$1000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$4000$	|:$1000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$4$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(4\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(4\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(4\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,2325}$

Nach ca. 12,233 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.