$\lg \left(\frac{5}{2x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{5}{2}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{5}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5}{2}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·5)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

$\lg \left(20\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 6.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6.7}{100}$) ⋅ B = 0,933 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,933.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.933($\frac{1}{2}$) ≈ 9.99 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^4$ ≈ 6,597.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.1:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{5,1}$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,4636}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4636}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4636}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4636}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0136}$

Nach ca. 6,014 Jahre ist also der Bestand = 5.1 Millionen Insekten.