$-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

$-\lg \left(100000x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $-\lg \left(100000x\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$4e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Die prozentuale Abnahme um 2.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.2}{100}$) ⋅ B = 0,978 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,978.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.978($\frac{1}{2}$) ≈ 31.16 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.8}{100}$) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 51.52 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 51.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ ein:

c ⋅ 0.962⁶ = 51.52

c ⋅ 0.79259 = 51.52 | : 0.79259

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,962}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $65\cdot {\mathrm{0,962}}^4$ ≈ 55,669.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,962}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,962}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,962}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,962}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,4919}$

Nach ca. 9,492 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.