Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (81) .

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Wir suchen den Logarithmus von 81 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 81 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 81 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (81) = 4, eben weil 34 = 81 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k +2 k = 2 k = -2
    2k = -2 |:2
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x +3 = y | -3
e 0,3x = y -3 |ln(⋅)
0,3x = ln( y -3 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( y -3 )
x = 10 3 ln( y -3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( x -3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( x -3 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 145 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 145

f(1) = 145 1,1

f(2) = 145 1,11,1

f(3) = 145 1,11,11,1

f(4) = 145 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3434,7€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3434.7 € ist, also f(2) = 3434.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 2 = 3434,7 |:3000
a 2 = 1,1449 | 2
a1 = - 1,1449 = -1,07
a2 = 1,1449 = 1,07

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,07 ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 3000 1,07 9 5515,378.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

3000 1,07 t = 7000 |:3000
1,07 t = 7 3 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 7 3 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 7 3 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 7 3 ) lg( 1,07 )
t = 12,5231

Nach ca. 12,523 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.