Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-1}$ = ${10}^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-3}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{5}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $3k$ = -2 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $11\cdot {\mathrm{0,9}}^{10}$ ≈ 3,835.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.5:

$11\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{3,5}$	|:$11$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{0,3182}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3182}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3182}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3182}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8682}$

Nach ca. 10,868 Jahre ist also der Bestand = 3.5 Millionen Insekten.