Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(5| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 5
  Also gilt k = $5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$5$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.7}{100}$) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.047($2$) ≈ 15.09 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 70.89 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 70.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^8$	=	$\mathrm{70,89}$	|:$80$
$a^8$	=	$\mathrm{0,88613}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,88613}}$	≈ $-\mathrm{0,985}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,88613}}$	≈ $\mathrm{0,985}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,985}$ ≈ 0.985 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80\cdot {\mathrm{0,985}}^{13}$ ≈ 65,73.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70.9:

$80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{70,9}$	|:$80$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{0,8863}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9862}$

Nach ca. 7,986 Jahre ist also der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner.