Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

$\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{125x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)$

= $\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$-4e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$-4$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,909}}^t$ ablesen: a=0.909.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.909($\frac{1}{2}$) ≈ 7.26 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $5000\cdot {\mathrm{1,02}}^{11}$ ≈ 6216,872.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$5000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$6000$	|:$5000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,2069}$

Nach ca. 9,207 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.