Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,1x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,1x ) - lg( x )
= lg( 0,1 ) + lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 -1 ) + lg( x ) - lg( x )
= -1 + lg( x ) - lg( x )
= -1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e x -1 können die Funktionswerte von 3 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 3 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e x -1 -2 = y | +2
3 e x -1 = y +2 |:3
e x -1 = 1 3 y + 2 3 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 3 y + 2 3 )
x -1 = ln( 1 3 y + 2 3 ) | +1
x = ln( 1 3 y + 2 3 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 3 x + 2 3 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 3 x + 2 3 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.93( 1 2 ) ≈ 9.55 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also Bneu = B - 3.1 100 ⋅B = (1 - 3.1 100 ) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,969 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 60 0,969 6 49,67.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

60 0,969 t = 40 |:60
0,969 t = 2 3 |lg(⋅)
lg( 0,969 t ) = lg( 2 3 )
t · lg( 0,969 ) = lg( 2 3 ) |: lg( 0,969 )
t = lg( 2 3 ) lg( 0,969 )
t = 12,8757

Nach ca. 12,876 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.