Man kann erkennen, dass $32$ eine Potenz ist: $32$ = $2^5$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^5$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^5$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^5$ = $4^{\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{5}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{5}{2}$} = $32$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $2k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.05($2$) ≈ 14.21 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^6$ ≈ 4020,287.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$5000$	|:$3000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,4698}$

Nach ca. 10,47 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.