Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $2$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $2$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 5⁰ < $2$ und auf $5$ = 5¹ > $2$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $2$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
5⁰ = $1$ < $2$ < $5$ = 5¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 71.29 kg ist, also f(2) = 71.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89² = 71.29

c ⋅ 0.7921 = 71.29 | : 0.7921

c = 90

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $90\cdot {\mathrm{0,89}}^6$ ≈ 44,728.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

$90\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$70$	|:$90$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{7}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,1566}$

Nach ca. 2,157 Tage ist also der Bestand = 70 kg.