Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 19 (361) .

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Wir suchen den Logarithmus von 361 zur Basis 19, also die Hochzahl mit der man 19 potenzieren muss, um auf 361 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 19 = 361 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 19 (361) = 2, eben weil 192 = 361 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 ) - lg( 1 25 x 4 ) - lg( 1250 x 7 ) soweit wie möglich.

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lg( 50 ) - lg( 1 25 x 4 ) - lg( 1250 x 7 )

= lg( 50 ) - lg( 1 25 x -4 ) - lg( 1250 x 7 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( 1 ) - ( lg( 1 25 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1250 ) + lg( x 7 ) )

= lg( 50 ) + lg( 1 ) - lg( 1 25 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1250 ) - lg( x 7 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +0 - lg( 1 25 ) +4 lg( x ) - lg( 1250 ) -7 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +0 - lg( 1 ) + lg( 25 ) +4 lg( x ) - lg( 1250 ) -7 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 1250 ) + lg( 50 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 1250 · 50 · 25 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 25 · 25 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,3x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,3x wird e 0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,3x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,3x +3 = y | -3
-3 e 0,3x = y -3 |:-3
e 0,3x = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
0,3x = ln( - 1 3 y +1 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 3 y +1 )
x = 10 3 ln( - 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( - 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( - 1 3 x +1 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 102 ( 9 10 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 102

f(1) = 102 9 10

f(2) = 102 9 10 9 10

f(3) = 102 9 10 9 10 9 10

f(4) = 102 9 10 9 10 9 10 9 10

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 9 10 multipliziert. Da 9 10 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 9 10 -fache (oder auf das 90 100 -fache), also auf 90 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7864,78€. a) Wie hoch ist der Kontostand 6 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 16000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7864.78 € ist, also f(4) = 7864.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 4 = 7864,78 |:6000
a 4 = 1,3108 | 4
a1 = - 1,3108 4 = -1,07
a2 = 1,3108 4 = 1,07

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,07 ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 6000 1,07 6 9004,382.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 16000 € ist, also f(t) = 16000:

6000 1,07 t = 16000 |:6000
1,07 t = 8 3 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 8 3 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 8 3 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 8 3 ) lg( 1,07 )
t = 14,4967

Nach ca. 14,497 Jahre ist also der Kontostand = 16000 €.