Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000000000}$ = $\frac{1}{{10}^9}$ = 10^-9 < $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$ und auf $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8 > $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -9 und -8 liegen, wegen:
10^-9 = $\frac{1}{{10}^9}$ = $\frac{1}{1000000000}$ < $\frac{1}{\mathrm{989.178.975}}$ < $\frac{1}{100000000}$ = $\frac{1}{{10}^8}$ = 10^-8

Es gilt somit: -9 < < -8

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,129}}^t$ ablesen: a=1.129.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.129($2$) ≈ 5.71 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 17% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{17}{100}$⋅B = (1 - $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 0,83 ⋅ B. Somit ist das a=0,83.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $13\cdot {\mathrm{0,83}}^{10}$ ≈ 2,017.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8696}$

Nach ca. 7,87 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.