Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $x^2·e^{x^2-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $x^2·e^{x^2-x}$
weder gleich f(x) = $x^2·e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-x^2·e^{x^2+x}$ = $-x^2·e^{x^2+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $186$

f(1) = $186$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $186$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $186$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $186$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 10319.56 Nutzer ist, also f(9) = 10319.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^9$	=	$10\mathrm{319,56}$	|:$2000$
$a^9$	=	$\mathrm{5,15978}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{5,15978}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{5,15978}}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,2}}^{13}$ ≈ 21398,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,2239}$

Nach ca. 2,224 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.