Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y-1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y-1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-1\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,042}}^t$ ablesen: a=1.042.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.042($2$) ≈ 16.85 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 27987.6 Nutzer ist, also f(12) = 27987.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11¹² = 27987.6

c ⋅ 3.49845 = 27987.6 | : 3.49845

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $8000\cdot {\mathrm{1,11}}^{13}$ ≈ 31066,241.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer ist, also f(t) = 38000:

$8000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$38000$	|:$8000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{19}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,9305}$

Nach ca. 14,931 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer.