Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $22$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $22$ ist.

Dabei kommt man auf $5$ = 5¹ < $22$ und auf $5^2$ = 5² > $22$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $22$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
5¹ = $5$ < $22$ < $5^2$ = 5²

Es gilt somit: 1 < < 2

$\lg \left(\frac{1}{100x^8}\right)+\lg \left(4x\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-8}\right)+\lg \left(4x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $66$

f(1) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 18030.67 Nutzer ist, also f(7) = 18030.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^7$	=	$18\mathrm{030,67}$	|:$4000$
$a^7$	=	$\mathrm{4,50767}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\mathrm{4,50767}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\mathrm{4,50767}}$ ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4000\cdot {\mathrm{1,24}}^8$ ≈ 22358,027.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,8849}$

Nach ca. 1,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.