Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -1 +3 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -1 +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e x -1 +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e x -1 +3 das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -1 +3 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -1 +3 gegen 0 +3 = 3 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 50 x 3 ) - lg( 1 25 x ) + lg( 2 25 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 50 x 3 ) - lg( 1 25 x ) + lg( 2 25 x 2 )

= - lg( 1 50 x 3 ) - lg( 1 25 x -1 ) + lg( 2 25 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 50 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 1 25 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 2 25 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 50 ) - lg( x 3 ) - lg( 1 25 ) - lg( 1 x ) + lg( 2 25 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 50 ) -3 lg( x ) - lg( 1 25 ) + lg( x ) + lg( 2 25 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 50 ) -3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) + lg( x ) + lg( 2 ) - lg( 25 ) +2 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -2 -3 = y | +3
-2 e x -2 = y +3 |:-2
e x -2 = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 2 y - 3 2 )
x -2 = ln( - 1 2 y - 3 2 ) | +2
x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x - 3 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x - 3 2 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 20 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 11,2 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 11.2 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 11,2 = 1 2 | 11,2
a = ( 1 2 ) 1 11,2

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 11,2 ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 20 0,94 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,65 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 7,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,93 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 9.65 Millionen Insekten ist, also f(3) = 9.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ein:

c ⋅ 0.933 = 9.65

c ⋅ 0.80436 = 9.65 | : 0.80436

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 12 0,93 4 8,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.2:

12 0,93 t = 7,2 |:12
0,93 t = 0,6 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,6 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,6 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,6 ) lg( 0,93 )
t = 7,039

Nach ca. 7,039 Jahre ist also der Bestand = 7.2 Millionen Insekten.