Zuerst schreiben wir $\frac{1}{4}$ um: $\frac{1}{4}$ = $4^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^{-1}$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^{-1}$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^{-1}$ = ${16}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{4}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $k{e}^{\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $-3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k$	=	0	|⋅ 4
  $4\left(\frac{1}{4}kx-\frac{1}{4}k\right)$	=	0
  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $k{e}^{\frac{1}{4}k\cdot 1-\frac{1}{4}k}-3$ = $k-3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $k-3$	=	$1$	| $+3$
  $k$	=	$4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $89$

f(1) = $89$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $89$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $89$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $89$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,969}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $60\cdot {\mathrm{0,969}}^{12}$ ≈ 41,118.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,969}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,969}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,969}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,969}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,969}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,969}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,8757}$

Nach ca. 12,876 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.