Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $27$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $27$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $27$ und auf $4^3$ = 4³ > $27$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $27$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $27$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$) ⋅ B = 0,974 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,974.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.974($\frac{1}{2}$) ≈ 26.31 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 7.92 Millionen Insekten ist, also f(2) = 7.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^2$	=	$\mathrm{7,92}$	|:$10$
$a^2$	=	$\mathrm{0,792}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,792}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,792}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $10\cdot {\mathrm{0,89}}^{12}$ ≈ 2,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$10\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$2$	|:$10$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{1}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8109}$

Nach ca. 13,811 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.