Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 8 ) + lg( 25x ) + lg( 1 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 8 ) + lg( 25x ) + lg( 1 50 x 3 )

= lg( 2 x -8 ) + lg( 25x ) + lg( 1 50 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( 1 x 8 ) + ( lg( 25 ) + lg( x ) ) + ( lg( 1 50 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 2 ) + lg( 1 x 8 ) + lg( 25 ) + lg( x ) + lg( 1 50 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) -8 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) + lg( 1 50 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) -8 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 50 ) +3 lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 50 ) + lg( 25 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 50 · 25 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +2 k = 2 k = 2
    2k = 2 |:2
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x -0,8 können die Funktionswerte von 4 e 0,4x -0,8 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -0,8 = y |:4
e 0,4x -0,8 = 1 4 y |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( 1 4 y )
0,4x -0,8 = ln( 1 4 y ) | +0,8
0,4x = ln( 1 4 y ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,053 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,053 t ablesen: a=1.053.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.053(2) ≈ 13.42 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 53,24 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 70 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 53.24 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 53.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 70 a t ein:

70 a 10 = 53,24 |:70
a 10 = 0,76057 | 10
a1 = - 0,76057 10 -0,973
a2 = 0,76057 10 0,973

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,973 ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,973 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 70 0,973 12 50,403.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

70 0,973 t = 50 |:70
0,973 t = 5 7 |lg(⋅)
lg( 0,973 t ) = lg( 5 7 )
t · lg( 0,973 ) = lg( 5 7 ) |: lg( 0,973 )
t = lg( 5 7 ) lg( 0,973 )
t = 12,2929

Nach ca. 12,293 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.