Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e x 2 + x vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e ( -x ) 2 + ( -x ) = x 2 · e x 2 - x

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e x 2 + x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = x 2 · e x 2 - x
weder gleich f(x) = x 2 · e x 2 + x noch gleich -f(x) = - x 2 · e x 2 + x = - x 2 · e x 2 + x ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 2 · e 1 2 +1 = 1 · e 2 ≈ 7.389
Aber: f(-1) = ( -1 ) 2 · e ( -1 ) 2 -1 = 1 · e 0 ≈ 1

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,1x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,1x können die Funktionswerte von 4 e 0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 4 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von 4 e 0,1x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,1x -2 = y | +2
4 e 0,1x = y +2 |:4
e 0,1x = 1 4 y + 1 2 |ln(⋅)
0,1x = ln( 1 4 y + 1 2 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 4 y + 1 2 )
x = 10 ln( 1 4 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( 1 4 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( 1 4 x + 1 2 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 2,5 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 13 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 2.5 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 2,5 = 2 | 2,5
a1 = - 2 1 2,5 -1,32
a2 = 2 1 2,5 1,32

Das gesuchte a ist somit 1,32 ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 13 1,32 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. Zu Beginn sind 6000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 8000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 6000 1,02 5 6624,485.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

6000 1,02 t = 8000 |:6000
1,02 t = 4 3 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 4 3 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 4 3 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 4 3 ) lg( 1,02 )
t = 14,5275

Nach ca. 14,528 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.