Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 1.000.000.000 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 1.000.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 1.000.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 1.000.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 1.000.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 1.000.000.000 ) = -9, eben weil 10-9 = 1 1.000.000.000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 2 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x -1 = y | +1
2 e -0,1x = y +1 |:2
e -0,1x = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 2 y + 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y + 1 2 )
x = -10 ln( 1 2 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 127 0,8 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 127

f(1) = 127 0,8

f(2) = 127 0,80,8

f(3) = 127 0,80,80,8

f(4) = 127 0,80,80,80,8

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,8 multipliziert. Da 0,8 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,8-fache, also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 1,42 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3,2 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 1.42 Millionen Insekten ist, also f(12) = 1.42. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10 a t ein:

10 a 12 = 1,42 |:10
a 12 = 1,42 10 | 12
a1 = - 1,42 10 12 -0,85
a2 = 1,42 10 12 0,85

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,85 ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,85 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 10 0,85 11 1,673.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.2:

10 0,85 t = 3,2 |:10
0,85 t = 0,32 |lg(⋅)
lg( 0,85 t ) = lg( 0,32 )
t · lg( 0,85 ) = lg( 0,32 ) |: lg( 0,85 )
t = lg( 0,32 ) lg( 0,85 )
t = 7,0111

Nach ca. 7,011 Jahre ist also der Bestand = 3.2 Millionen Insekten.