Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

$\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)-\lg \left(1250x^3\right)$

= $\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)-\lg \left(1250x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$-3e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$-3$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

f(0) = $160$

f(1) = $160$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $160$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $160$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $160$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 23777.84 Nutzer ist, also f(10) = 23777.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23¹⁰ = 23777.84

c ⋅ 7.92595 = 23777.84 | : 7.92595

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^8$ ≈ 15716,728.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer ist, also f(t) = 4500:

$3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$4500$	|:$3000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9586}$

Nach ca. 1,959 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4500 Nutzer.