Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·e^x-x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(e^x+e^{-x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^x-x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·e^x+x·e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(\frac{1}{10x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·20}{10}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$-e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$-1$
$e^{x-2}$	=	$-y-3$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-y-3\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-y-3\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-y-3\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-3\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-3\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,99}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 38.91 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 38.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁴ = 38.91

c ⋅ 2.28887 = 38.91 | : 2.28887

c = 17

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $17\cdot {\mathrm{1,23}}^9$ ≈ 109,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 87 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 87:

$17\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$87$	|:$17$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{87}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{87}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{87}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8869}$

Nach ca. 7,887 Stunden ist also der Bestand = 87 Millionen Bakterien.