Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

$\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(\frac{250000}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(250000x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(250000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(250000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(250000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(250000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,148}}^t$ ablesen: a=1.148.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.148($2$) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 65.51 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 65.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^6$	=	$\mathrm{65,51}$	|:$70$
$a^6$	=	$\mathrm{0,93586}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,93586}}$	≈ $-\mathrm{0,989}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,93586}}$	≈ $\mathrm{0,989}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,989}$ ≈ 0.989 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,989}}^{13}$ ≈ 60,625.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 62 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 62:

$70\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$62$	|:$70$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\frac{31}{35}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{35}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{35}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{31}{35}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,972}$

Nach ca. 10,972 Jahre ist also der Bestand = 62 Millionen Einwohner.