Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,01x ) -3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,01x ) -3 lg( x )
= lg( 0,01 ) + lg( x ) -3 lg( x )
= lg( 10 -2 ) + lg( x ) -3 lg( x )
= -2 + lg( x ) -3 lg( x )
= -2 lg( x ) -2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 7 10 x -5 k +5 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 7 10 x -5 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 5 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 5 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss 5 k = 3 gelten;
    Also gilt k = 3 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,1x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,1x wird e -0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von -2 e -0,1x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,1x +1 = y | -1
-2 e -0,1x = y -1 |:-2
e -0,1x = - 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( - 1 2 y + 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( - 1 2 y + 1 2 )
x = -10 ln( - 1 2 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( - 1 2 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( - 1 2 x + 1 2 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 126 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 126

f(1) = 126 0,55

f(2) = 126 0,550,55

f(3) = 126 0,550,550,55

f(4) = 126 0,550,550,550,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. Zu Beginn sind 50kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 8 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 50 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 50 0,86 8 14,961.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

50 0,86 t = 10 |:50
0,86 t = 1 5 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 1 5 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 1 5 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 1 5 ) lg( 0,86 )
t = 10,671

Nach ca. 10,671 Tage ist also der Bestand = 10 kg.