Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 17 ( 17 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 17 um: 17 = 17 1 2

log 17 ( 17 ) = log 17 ( 17 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 17 1 2 zur Basis 17 suchen, also die Hochzahl mit der man 17 potenzieren muss, um auf 17 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 17 = 17 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 17 ( 17 ) = log 17 ( 17 1 2 ) = 1 2 , eben weil 17 1 2 = 17 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 8 10 x +2 k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 8 10 x +2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss 2 k = -5 gelten;
    Also gilt k = - 5 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 5 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 -1 = y | +1
e -0,3x +0,6 = y +1 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y +1 )
-0,3x +0,6 = ln( y +1 ) | -0,6
-0,3x = ln( y +1 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.17(2) ≈ 4.41 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,7% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 75,74 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also Bneu = B - 2.7 100 ⋅B = (1 - 2.7 100 ) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,973 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 75.74 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 75.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,973 t ein:

c ⋅ 0.9732 = 75.74

c ⋅ 0.94673 = 75.74 | : 0.94673

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,973 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 80 0,973 6 67,884.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

80 0,973 t = 50 |:80
0,973 t = 5 8 |lg(⋅)
lg( 0,973 t ) = lg( 5 8 )
t · lg( 0,973 ) = lg( 5 8 ) |: lg( 0,973 )
t = lg( 5 8 ) lg( 0,973 )
t = 17,1715

Nach ca. 17,172 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.