Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 20 x ) + lg( 1 100 x 9 ) + lg( 5 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 20 x ) + lg( 1 100 x 9 ) + lg( 5 x 3 )

= - lg( 1 20 x -1 ) + lg( 1 100 x -9 ) + lg( 5 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 20 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( 1 x 9 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 1 20 ) - lg( 1 x ) + lg( 1 100 ) + lg( 1 x 9 ) + lg( 5 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 20 ) + lg( x ) + lg( 1 100 ) -9 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 20 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) -9 lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -2 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem - e x -2 wird zu allen Funktionswerten von - e x -2 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -2 +3 = y | -3
- e x -2 = y -3 |:-1
e x -2 = -y +3 |ln(⋅)
x -2 = ln( -y +3 )
x -2 = ln( -y +3 ) | +2
x = ln( -y +3 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x +3 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x +3 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,2% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.2% dazukommen,
also Bneu = B + 5.2 100 ⋅B = (1 + 5.2 100 ) ⋅ B = 1,052 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,052.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.052(2) ≈ 13.67 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,02 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,84 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 5.02 Millionen Insekten ist, also f(5) = 5.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,84 t ein:

c ⋅ 0.845 = 5.02

c ⋅ 0.41821 = 5.02 | : 0.41821

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 12 0,84 7 3,541.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

12 0,84 t = 3 |:12
0,84 t = 1 4 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 1 4 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 1 4 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 1 4 ) lg( 0,84 )
t = 7,9511

Nach ca. 7,951 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.