Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $11$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $11$ ist.

Dabei kommt man auf $2^3$ = 2³ < $11$ und auf $2^4$ = 2⁴ > $11$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $11$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
2³ = $2^3$ < $11$ < $2^4$ = 2⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{8}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $3k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 24 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1310.8 € ist, also f(4) = 1310.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ ein:

c ⋅ 1.07⁴ = 1310.8

c ⋅ 1.3108 = 1310.8 | : 1.3108

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $1000\cdot {\mathrm{1,07}}^8$ ≈ 1718,186.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$1000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$3000$	|:$1000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,2376}$

Nach ca. 16,238 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.