Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{138}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{138}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{1000}$ = $\frac{1}{{10}^3}$ = 10^-3 < $\frac{1}{138}$ und auf $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2 > $\frac{1}{138}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{138}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
10^-3 = $\frac{1}{{10}^3}$ = $\frac{1}{1000}$ < $\frac{1}{138}$ < $\frac{1}{100}$ = $\frac{1}{{10}^2}$ = 10^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 1
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,116}}^t$ ablesen: a=1.116.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.116($2$) ≈ 6.32 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $28\cdot {\mathrm{1,29}}^{11}$ ≈ 460,94.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 228 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 228:

$28\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$228$	|:$28$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{57}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,2356}$

Nach ca. 8,236 Stunden ist also der Bestand = 228 Millionen Bakterien.