Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 19 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,8}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {\mathrm{1,2}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $15\cdot {\mathrm{1,32}}^4$ ≈ 45,539.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5015 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 5015:

$15\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$5015$	|:$15$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{1003}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1003}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1003}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1003}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,9347}$

Nach ca. 20,935 Stunden ist also der Bestand = 5015 Millionen Bakterien.