Zuerst schreiben wir $\frac{1}{128}$ um: $\frac{1}{128}$ = ${128}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $128$ eine Potenz ist: $128$ = $2^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{128}$ = ${128}^{-1}$ = ${\left(2^7\right)}^{-1}$ = $2^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-7}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-7}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-7}$ = $4^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{128}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{40x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y-2\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-x-2\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ablesen: a=1.05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.05($2$) ≈ 14.21 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $70\cdot {\mathrm{0,988}}^{11}$ ≈ 61,295.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 64.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 64.3:

$70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{64,3}$	|:$70$
${\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{0,9186}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,988}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9186}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9186}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9186}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,988}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0328}$

Nach ca. 7,033 Jahre ist also der Bestand = 64.3 Millionen Einwohner.