Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{1000000000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $9-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+9$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{9}{10}x-5k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $5k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $5k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $5k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{3}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-x+1\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,895}}^t$ ablesen: a=0.895.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.895($\frac{1}{2}$) ≈ 6.25 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 31.49 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 31.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ ein:

$27a^2$	=	$\mathrm{31,49}$	|:$27$
$a^2$	=	$\mathrm{1,1663}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,1663}}$	≈ $-\mathrm{1,08}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,1663}}$	≈ $\mathrm{1,08}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,08}$ ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $27\cdot {\mathrm{1,08}}^{13}$ ≈ 73,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 67 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 67:

$27\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$67$	|:$27$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{67}{27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{67}{27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{67}{27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{67}{27}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8093}$

Nach ca. 11,809 Stunden ist also der Bestand = 67 Millionen Bakterien.