Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $4$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+5k\right)·e^{x+\frac{5}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+5k$ = 0 ist, also für x = $-5k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-5k$) = $\left(\left(-5k\right)+5k\right)·e^{\left(-5k\right)+\frac{5}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-5k$ bei ( $x+5k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-5k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(4| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-5k$ = 4
  Also gilt k = $-\frac{4}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $64$

f(1) = $64$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $64$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $64$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $64$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $100\cdot {\mathrm{0,93}}^7$ ≈ 60,17.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

$100\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$60$	|:$100$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,039}$

Nach ca. 7,039 Tage ist also der Bestand = 60 kg.