$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

$-\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $-\lg \left(50x^4\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(50\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,99}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 50.91 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 50.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^6$	=	$\mathrm{50,91}$	|:$60$
$a^6$	=	$\mathrm{0,8485}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,8485}}$	≈ $-\mathrm{0,973}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,8485}}$	≈ $\mathrm{0,973}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,973}$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $60\cdot {\mathrm{0,973}}^{12}$ ≈ 43,202.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6611}$

Nach ca. 6,661 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.