Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · ( 3 e 2x -3 e -2x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · ( 3 e -2x -3 e 2x ) = x 2 · ( 3 e -2x -3 e 2x ) = -3 x 2 · e 2x +3 x 2 · e -2x

Wenn man das mit f(x) = x 2 · ( 3 e 2x -3 e -2x ) = 3 x 2 · e 2x -3 x 2 · e -2x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = -3 x 2 · e 2x +3 x 2 · e -2x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x 2 · 3 e 2x + x 2 · ( -3 e -2x )) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 200 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 50 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 200 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 50 x 2 )

= - lg( 200 x -2 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 50 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 200 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 200 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 4 ) + lg( x 3 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 200 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) +3 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 200 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) +3 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x )

= 3 lg( x ) - lg( 200 ) + lg( 50 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 200 · 50 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,1x -0,3 können die Funktionswerte von 2 e 0,1x -0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,1x -0,3 = y |:2
e 0,1x -0,3 = 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y )
0,1x -0,3 = ln( 1 2 y ) | +0,3
0,1x = ln( 1 2 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,29.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.29(2) ≈ 2.72 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 1169,86€. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 1000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1169.86 € ist, also f(4) = 1169.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 1000 a t ein:

1000 a 4 = 1169,86 |:1000
a 4 = 1,16986 | 4
a1 = - 1,16986 4 = -1,04
a2 = 1,16986 4 = 1,04

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,04 ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 1000 1,04 8 1368,569.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1300 € ist, also f(t) = 1300:

1000 1,04 t = 1300 |:1000
1,04 t = 13 10 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 13 10 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 13 10 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 13 10 ) lg( 1,04 )
t = 6,6894

Nach ca. 6,689 Jahre ist also der Kontostand = 1300 €.