Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

f(0) = $135$

f(1) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $3000\cdot {\mathrm{1,12}}^{13}$ ≈ 13090,479.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 33000 Nutzer ist, also f(t) = 33000:

$3000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$33000$	|:$3000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,1588}$

Nach ca. 21,159 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 33000 Nutzer.