Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100x ) +3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100x ) +3 lg( x )
= lg( 100 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= lg( 10 2 ) + lg( x ) +3 lg( x )
= 2 + lg( x ) +3 lg( x )
= 4 lg( x ) +2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -4 = -a = -a .

Es gilt also: -4 = -a | ⋅ -1

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 -2 = y | +2
e -0,1x +0,3 = y +2 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y +2 )
-0,1x +0,3 = ln( y +2 ) | -0,3
-0,1x = ln( y +2 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y +2 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,3 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 30 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 17 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 17 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17 = 1 2 | 17
a = 1 2 17

Das gesuchte a ist somit 1 2 17 ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 30 0,96 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 11 Wochen zählt man bereits 56981,92 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also Bneu = B + 21 100 ⋅B = (1 + 21 100 ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,21 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 56981.92 Nutzer ist, also f(11) = 56981.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,21 t ein:

c ⋅ 1.2111 = 56981.92

c ⋅ 8.14027 = 56981.92 | : 8.14027

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,21 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = 7000 1,21 10 47092,5.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

7000 1,21 t = 10000 |:7000
1,21 t = 10 7 |lg(⋅)
lg( 1,21 t ) = lg( 10 7 )
t · lg( 1,21 ) = lg( 10 7 ) |: lg( 1,21 )
t = lg( 10 7 ) lg( 1,21 )
t = 1,8711

Nach ca. 1,871 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.