Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 14 ( 1 30 ) liegt.

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Wir suchen 14er-Potenzen in der Näher von 1 30 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 30 ist.

Dabei kommt man auf 1 196 = 1 14 2 = 14-2 < 1 30 und auf 1 14 = 1 14 = 14-1 > 1 30 .

Und da wir bei log 14 ( 1 30 ) ja das ☐ von 14 = 1 30 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14-2 = 1 14 2 = 1 196 < 1 30 < 1 14 = 1 14 = 14-1

Es gilt somit: -2 < log 14 ( 1 30 ) < -1

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 3 = a = a .

Es gilt also: 3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 -3 = y | +3
e 0,2x -0,2 = y +3 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y +3 )
0,2x -0,2 = ln( y +3 ) | +0,2
0,2x = ln( y +3 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +3 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 5,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 5.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,7 = 2 | 5,7
a = 2 1 5,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 5,7 ≈ 1.13, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,13 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 70,87 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,98 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 70.87 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 70.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,98 t ein:

c ⋅ 0.986 = 70.87

c ⋅ 0.88584 = 70.87 | : 0.88584

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 80 0,98 7 69,45.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

80 0,98 t = 60 |:80
0,98 t = 3 4 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 3 4 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 3 4 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 3 4 ) lg( 0,98 )
t = 14,2398

Nach ca. 14,24 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.