Wir suchen den Logarithmus von $25$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $25$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $25$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $5$^$2$ = $25$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{25000}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{25000}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25000}\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{25000}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25000}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(25000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(25000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{25000}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.7}{100}$) ⋅ B = 0,983 ⋅ B. Somit ist das a=0,983.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,983}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $75\cdot {\mathrm{0,983}}^6$ ≈ 67,668.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 66.5:

$75\cdot {\mathrm{0,983}}^t$	=	$\mathrm{66,5}$	|:$75$
${\mathrm{0,983}}^t$	=	$\mathrm{0,8867}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,983}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,983}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0131}$

Nach ca. 7,013 Jahre ist also der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner.