Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{72}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{72}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{81}$ = $\frac{1}{3^4}$ = 3^-4 < $\frac{1}{72}$ und auf $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3 > $\frac{1}{72}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $\frac{1}{72}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
3^-4 = $\frac{1}{3^4}$ = $\frac{1}{81}$ < $\frac{1}{72}$ < $\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{3^3}$ = 3^-3

Es gilt somit: -4 < < -3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10}x+3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -1, somit muss $3k$ = -1 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,4}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^{11}$ ≈ 8559,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer ist, also f(t) = 23000:

$3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$23000$	|:$3000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{23}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{23}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,3711}$

Nach ca. 21,371 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer.