Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 3 ( 162 ) - log 3 ( 2 ) .

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log 3 ( 162 ) - log 3 ( 2 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 3 ( 162 2 )

= log 3 ( 81 )

= log 3 ( 3 4 )

= 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 5 x 3 ) - lg( 1 25 x 6 ) + lg( 1 125 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 5 x 3 ) - lg( 1 25 x 6 ) + lg( 1 125 x )

= - lg( 1 5 x -3 ) - lg( 1 25 x 6 ) + lg( 1 125 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 3 ) ) - ( lg( 1 25 ) + lg( x 6 ) ) + ( lg( 1 125 ) + lg( 1 x ) )

= - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 3 ) - lg( 1 25 ) - lg( x 6 ) + lg( 1 125 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 25 ) -6 lg( x ) + lg( 1 125 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) -6 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 125 ) - lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 125 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 125 · 25 · 5 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,2x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,2x +0,2 wird e -0,2x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,2x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,2x +0,2 = y |:-2
e -0,2x +0,2 = - 1 2 y |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( - 1 2 y )
-0,2x +0,2 = ln( - 1 2 y ) | -0,2
-0,2x = ln( - 1 2 y ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 2 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,9.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.9( 1 2 ) ≈ 6.58 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 6000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 106000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,25 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = 6000 1,25 12 87311,491.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer ist, also f(t) = 106000:

6000 1,25 t = 106000 |:6000
1,25 t = 53 3 |lg(⋅)
lg( 1,25 t ) = lg( 53 3 )
t · lg( 1,25 ) = lg( 53 3 ) |: lg( 1,25 )
t = lg( 53 3 ) lg( 1,25 )
t = 12,8692

Nach ca. 12,869 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 106000 Nutzer.