${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>405</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>405</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>81</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x-2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss $2k$ = 1 gelten;
  Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$2e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,6}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,6}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,6}}}$ ≈ 1.21, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 39.18 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 39.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ ein:

$17a^8$	=	$\mathrm{39,18}$	|:$17$
$a^8$	=	$\mathrm{2,30471}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{2,30471}}$	≈ $-\mathrm{1,11}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{2,30471}}$	≈ $\mathrm{1,11}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,11}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $17\cdot {\mathrm{1,11}}^7$ ≈ 35,295.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 20.9:

$17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{20,9}$	|:$17$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{1,2294}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2294}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2294}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,2294}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,979}$

Nach ca. 1,979 Stunden ist also der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien.