Zuerst schreiben wir $\frac{1}{27}$ um: $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{27}$ = ${27}^{-1}$ = ${\left(3^3\right)}^{-1}$ = $3^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^{-3}$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^{-3}$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^{-3}$ = $9^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{27}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+2k$ = $2k$ = -2

  $2k$	=	$-2$	|:$2$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ ablesen: a=0.962.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.962($\frac{1}{2}$) ≈ 17.89 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 8662.85 € ist, also f(8) = 8662.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^8$	=	$8\mathrm{662,85}$	|:$8000$
$a^8$	=	$\mathrm{1,08286}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,08286}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,08286}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $8000\cdot {\mathrm{1,01}}^9$ ≈ 8749,482.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$8000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$9000$	|:$8000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{9}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8371}$

Nach ca. 11,837 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.