$\lg \left(\frac{50}{x}\right)-\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)$

= $\lg \left(50x^{-1}\right)-\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·50}{25}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $4k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $4k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $4k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,3}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,851}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $\mathrm{0,851}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,851}$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,85}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5523.11 € ist, also f(10) = 5523.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^{10}$	=	$5\mathrm{523,11}$	|:$5000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,10462}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,10462}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,10462}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^7$ ≈ 5360,677.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5200 € ist, also f(t) = 5200:

$5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$5200$	|:$5000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{26}{25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{26}{25}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9416}$

Nach ca. 3,942 Jahre ist also der Kontostand = 5200 €.