Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 (70) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 70, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 70 ist.

Dabei kommt man auf 5 2 = 52 < 70 und auf 5 3 = 53 > 70.

Und da wir bei log 5 (70) ja das ☐ von 5 = 70 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
52 = 5 2 < 70 < 5 3 = 53

Es gilt somit: 2 < log 5 (70) < 3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -3 k x · e k x -3 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -3 k x · e k x -3 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -3 k · 0 · e k 0 -3 k +3 k = 3 k = 4
    3k = 4 |:3
    k = 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,1x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 +2 = y | -2
e 0,1x -0,2 = y -2 |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y -2 )
0,1x -0,2 = ln( y -2 ) | +0,2
0,1x = ln( y -2 ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y -2 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,033 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,033 t ablesen: a=1.033.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.033(2) ≈ 21.35 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 19 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 21,4Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 22,3 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 19 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 21.4 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 21.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 19 a t ein:

19 a 6 = 21,4 |:19
a 6 = 1,12632 | 6
a1 = - 1,12632 6 -1,02
a2 = 1,12632 6 1,02

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,02 ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 19 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 19 1,02 7 21,825.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22.3 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22.3:

19 1,02 t = 22,3 |:19
1,02 t = 1,1737 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,1737 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,1737 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,1737 ) lg( 1,02 )
t = 8,0879

Nach ca. 8,088 Stunden ist also der Bestand = 22.3 Millionen Bakterien.