Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x + ( e x - e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) + ( e -x - e x ) = - e x + e -x - x

Wenn man das mit f(x) = x + ( e x - e -x ) = e x - e -x + x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - e x + e -x - x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x + e x - e -x ) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 4 ) - lg( 1 2 x 3 ) + lg( 50 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 4 ) - lg( 1 2 x 3 ) + lg( 50 x 2 )

= lg( 1 100 x -4 ) - lg( 1 2 x -3 ) + lg( 50 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 4 ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 4 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 50 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -4 lg( x ) - lg( 1 2 ) +3 lg( x ) + lg( 50 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 50 ) +2 lg( x )

= lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( x ) + lg( 1 100 · 50 · 2 )

= lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= lg( x ) + lg( 1 )

= lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,3x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,3x -0,3 wird e 0,3x -0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,3x -0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,3x -0,3 = y |:-2
e 0,3x -0,3 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,3x -0,3 = ln( - 1 2 y )
0,3x -0,3 = ln( - 1 2 y ) | +0,3
0,3x = ln( - 1 2 y ) +0,3 |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 2 y ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 70 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 13,5 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 13.5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 13,5 = 1 2 | 13,5
a = ( 1 2 ) 1 13,5

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 13,5 ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 70 0,95 t

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 110 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 10 1,29 12 212,362.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 110 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 110:

10 1,29 t = 110 |:10
1,29 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 11 ) lg( 1,29 )
t = 9,4167

Nach ca. 9,417 Stunden ist also der Bestand = 110 Millionen Bakterien.