Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[3]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{2}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5k{e}^{kx-4k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-4k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $5k{e}^{kx-4k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-4k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-4k$	=	0	| - ( $-4k$)
  $kx$	=	$4k$	|:( $k$)
  $x$	=	$4$

  Wenn wir nun $4$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($4$) = $5k{e}^{k\cdot 4-4k}-3$ = $5k-3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($4$) = -1 ablesen, es gilt somit:

  $5k-3$	=	$-1$	| $+3$
  $5k$	=	$2$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $70\cdot {\mathrm{0,93}}^8$ ≈ 39,171.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$20$	|:$70$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{2}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,2627}$

Nach ca. 17,263 Tage ist also der Bestand = 20 kg.