Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -2 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann niemals = 0 werden.
- Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm
recht
schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei
erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
Wenn wir nun in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:= 0 | - ( ) = |:( ) =
fk() = =
im abgebildeten Term können wir aber ja f() = 0 ablesen, es gilt somit:= 0 | =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | |||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit mit unbekanntem Anfangswert c.
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm ablesen: a=1.101.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.101() ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 29 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2029 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):
f(7) = ≈ 123,519.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2029 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2029:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 20,52 Stunden ist also der Bestand = 2029 Millionen Bakterien.
