Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 25 ( 5 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis 25 suchen und 25 gerade 5² ist (also 5 = 25 = 25 1 2 ), formen wir 5 noch so um, dass sie 25 als Basis hat:

5 = 25 1 2

log 25 ( 5 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 = 25 1 2 zur Basis 25 suchen, also die Hochzahl mit der man 25 potenzieren muss, um auf 5 = 25 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 25 = 5 = 25 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 25 ( 5 ) = log 25 ( 25 1 2 ) = 1 2 , eben weil 25 1 2 = 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -2 = -a = -a .

Es gilt also: -2 = -a | ⋅ -1

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,6 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,2x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,6 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,6 +3 = y | -3
e -0,2x +0,6 = y -3 |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( y -3 )
-0,2x +0,6 = ln( y -3 ) | -0,6
-0,2x = ln( y -3 ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y -3 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x -3 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x -3 ) + 0,6 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 122 ( 21 20 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 122

f(1) = 122 21 20

f(2) = 122 21 20 21 20

f(3) = 122 21 20 21 20 21 20

f(4) = 122 21 20 21 20 21 20 21 20

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 21 20 multipliziert. Da 21 20 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 21 20 -fache (oder auf das 105 100 -fache), also auf 105 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Nach 10 Tagen nach sind nur noch 48,48kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 90 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 48.48 kg ist, also f(10) = 48.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 90 a t ein:

90 a 10 = 48,48 |:90
a 10 = 0,53867 | 10
a1 = - 0,53867 10 -0,94
a2 = 0,53867 10 0,94

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,94 ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 90 0,94 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 90 0,94 8 54,861.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

90 0,94 t = 40 |:90
0,94 t = 4 9 |lg(⋅)
lg( 0,94 t ) = lg( 4 9 )
t · lg( 0,94 ) = lg( 4 9 ) |: lg( 0,94 )
t = lg( 4 9 ) lg( 0,94 )
t = 13,1059

Nach ca. 13,106 Tage ist also der Bestand = 40 kg.