Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 2 ) - lg( 1 20 x 6 ) - lg( 10 x 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 50 x 2 ) - lg( 1 20 x 6 ) - lg( 10 x 4 )

= lg( 50 x 2 ) - lg( 1 20 x 6 ) - lg( 10 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x 6 ) ) - ( lg( 10 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) - lg( 1 20 ) - lg( x 6 ) - lg( 10 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 1 20 ) -6 lg( x ) - lg( 10 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) -6 lg( x ) - lg( 10 ) +4 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 20 ) - lg( 10 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 20 10 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 50 x 2 ) + lg( 2 5 ) + lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 50 x 2 ) + lg( 2 5 ) + lg( 5 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 50 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 2 5 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 50 ) - lg( x 2 ) + lg( 2 5 ) + lg( 1 ) + lg( 5 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 50 ) -2 lg( x ) + lg( 2 5 ) +0 + lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) + lg( 2 ) - lg( 5 ) +0 + lg( 5 ) +2 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,4x +1,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,4x +1,2 wird e -0,4x +1,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,4x +1,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,4x +1,2 = y |:-2
e -0,4x +1,2 = - 1 2 y |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( - 1 2 y )
-0,4x +1,2 = ln( - 1 2 y ) | -1,2
-0,4x = ln( - 1 2 y ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( - 1 2 y ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( - 1 2 x ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( - 1 2 x ) + 1,2 0,4

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 7,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 7.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 7,3 = 1 2 | 7,3
a = ( 1 2 ) 1 7,3

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 7,3 ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 100 0,91 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 35,98kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,88 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 35.98 kg ist, also f(4) = 35.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,88 t ein:

c ⋅ 0.884 = 35.98

c ⋅ 0.5997 = 35.98 | : 0.5997

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 60 0,88 6 27,864.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

60 0,88 t = 30 |:60
0,88 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,88 )
t = 5,4223

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 30 kg.