Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^6\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $40$

f(1) = $40$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $40$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $40$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $40$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $70\cdot {\mathrm{0,98}}^{12}$ ≈ 54,93.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,6548}$

Nach ca. 16,655 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.