Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^3$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^3$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 1
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $182$

f(1) = $182$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $182$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $182$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $182$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 43.36 kg ist, also f(6) = 43.36. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ein:

c ⋅ 0.87⁶ = 43.36

c ⋅ 0.43363 = 43.36 | : 0.43363

c = 100

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $100\cdot {\mathrm{0,87}}^5$ ≈ 49,842.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$100\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$30$	|:$100$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{3}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,6454}$

Nach ca. 8,645 Tage ist also der Bestand = 30 kg.