Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x^3·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x^3·e^x-x^3·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·\left(e^x+e^{-x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^x-x^3·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x^3·e^x+x^3·e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-5k\right)·e^{x-\frac{5}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-5k$ = 0 ist, also für x = $5k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($5k$) = $-\left(\left(5k\right)-5k\right)·e^{\left(5k\right)-\frac{5}{2}k}+3$ = $0+3$ = $3$ sein.
  Da bei x = $5k$ bei ( $x-5k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($5k$| $3$) im abgebildeten Graph bei P(2| $3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $5k$ = 2
  Also gilt k = $\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $13\cdot {\mathrm{0,89}}^5$ ≈ 7,259.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.2:

$13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{3,2}$	|:$13$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,2462}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,0275}$

Nach ca. 12,028 Jahre ist also der Bestand = 3.2 Millionen Insekten.