Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·e^{{\left(-x\right)}^2+2\left(-x\right)}$ = $-x·e^{x^2-2x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·e^{x^2+2x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^{x^2-2x}$
weder gleich f(x) = $x·e^{x^2+2x}$ noch gleich -f(x) = $-x·e^{x^2+2x}$ = $-x·e^{x^2+2x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-2e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-2$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 17 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,96}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,989}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 74.86 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 74.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,989}}^t$ ein:

c ⋅ 0.989⁶ = 74.86

c ⋅ 0.93579 = 74.86 | : 0.93579

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $80\cdot {\mathrm{0,989}}^{11}$ ≈ 70,835.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 73.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 73.2:

$80\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{73,2}$	|:$80$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{0,915}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,915}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,915}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,915}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0311}$

Nach ca. 8,031 Jahre ist also der Bestand = 73.2 Millionen Einwohner.