Zuerst schreiben wir $\frac{1}{100000}$ um: $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{100000}$ = ${100000}^{-1}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-1}$ = ${10}^{-5}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-5}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-5}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-5}$ = ${100}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{100000}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

f(0) = $113$

f(1) = $113$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $113$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $113$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $113$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.7}{100}$) ⋅ B = 0,983 ⋅ B. Somit ist das a=0,983.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,983}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 50.55 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 50.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,983}}^t$ ein:

c ⋅ 0.983¹⁰ = 50.55

c ⋅ 0.84243 = 50.55 | : 0.84243

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,983}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $60\cdot {\mathrm{0,983}}^4$ ≈ 56,023.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.2:

$60\cdot {\mathrm{0,983}}^t$	=	$\mathrm{53,2}$	|:$60$
${\mathrm{0,983}}^t$	=	$\mathrm{0,8867}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,983}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,983}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8867}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,983}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0131}$

Nach ca. 7,013 Jahre ist also der Bestand = 53.2 Millionen Einwohner.