Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 3 · e 3x vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 3 · e 3( -x ) = - x 3 · e -3x

Wenn man das mit f(x) = x 3 · e 3x vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x 3 · e -3x
weder gleich f(x) = x 3 · e 3x noch gleich -f(x) = - x 3 · e 3x = - x 3 · e 3x ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 3 · e 31 = 1 · e 3 ≈ 20.086
Aber: f(-1) = ( -1 ) 3 · e 3( -1 ) = -1 · e -3 ≈ -0.05

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,1x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,1x können die Funktionswerte von 4 e 0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 4 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von 4 e 0,1x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,1x +3 = y | -3
4 e 0,1x = y -3 |:4
e 0,1x = 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
0,1x = ln( 1 4 y - 3 4 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 4 y - 3 4 )
x = 10 ln( 1 4 y - 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( 1 4 x - 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( 1 4 x - 3 4 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 109 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 109

f(1) = 109 1,2

f(2) = 109 1,21,2

f(3) = 109 1,21,21,2

f(4) = 109 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 48,25 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 46,4 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 48.25 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 48.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 10 = 48,25 |:55
a 10 = 0,87727 | 10
a1 = - 0,87727 10 -0,987
a2 = 0,87727 10 0,987

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,987 ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,987 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 55 0,987 5 51,517.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 46.4:

55 0,987 t = 46,4 |:55
0,987 t = 0,8436 |lg(⋅)
lg( 0,987 t ) = lg( 0,8436 )
t · lg( 0,987 ) = lg( 0,8436 ) |: lg( 0,987 )
t = lg( 0,8436 ) lg( 0,987 )
t = 12,9976

Nach ca. 12,998 Jahre ist also der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner.