Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (27) .

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Wir suchen den Logarithmus von 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 27 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (27) = 3, eben weil 33 = 27 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 4 x 9 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 1 8 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 4 x 9 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 1 8 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 4 ) + lg( x 9 ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 1 8 ) + lg( x 4 ) )

= - lg( 1 4 ) - lg( x 9 ) + lg( 2 ) + lg( x 2 ) + lg( 1 8 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 4 ) -9 lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 1 8 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 4 ) -9 lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 8 ) +4 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 8 ) + lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 8 · 4 · 2 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -1 -2 = y | +2
-4 e x -1 = y +2 |:-4
e x -1 = - 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 )
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 4 y - 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,13 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,13 t ablesen: a=1.13.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.13(2) ≈ 5.67 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also Bneu = B - 2 100 ⋅B = (1 - 2 100 ) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 60 0,98 5 54,235.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

60 0,98 t = 50 |:60
0,98 t = 5 6 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 5 6 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 5 6 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 5 6 ) lg( 0,98 )
t = 9,0246

Nach ca. 9,025 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.