Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5k{e}^{kx+3k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+3k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $5k{e}^{kx+3k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+3k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+3k$	=	0	| - ( $3k$)
  $kx$	=	$-3k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-3$

  Wenn wir nun $-3$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-3$) = $5k{e}^{k\cdot \left(-3\right)+3k}+3$ = $5k+3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-3$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $5k+3$	=	$1$	| $-3$
  $5k$	=	$-2$	|:$5$
  $k$	=	$-\mathrm{0,4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02($2$) ≈ 35 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $60\cdot {\mathrm{0,974}}^7$ ≈ 49,896.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 51.2:

$60\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$\mathrm{51,2}$	|:$60$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\mathrm{0,8533}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8533}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8533}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8533}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,022}$

Nach ca. 6,022 Jahre ist also der Bestand = 51.2 Millionen Einwohner.