Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 5000 ) + lg( 20 ) .

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lg( 5000 ) + lg( 20 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 5000 · 20 )

= lg( 100000 )

= lg( 10 5 )

= 5

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 5 ) - lg( 1 25 x 2 ) + lg( 8 5 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x 5 ) - lg( 1 25 x 2 ) + lg( 8 5 x 3 )

= lg( 25 x -5 ) - lg( 1 25 x -2 ) + lg( 8 5 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 x 5 ) - ( lg( 1 25 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 8 5 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 x 5 ) - lg( 1 25 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 8 5 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) -5 lg( x ) - lg( 1 25 ) +2 lg( x ) + lg( 8 5 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) -5 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) +2 lg( x ) + lg( 8 ) - lg( 5 ) +3 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 25 ) + lg( 8 ) - lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 25 · 8 5 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -2 -3 = y | +3
-2 e x -2 = y +3 |:-2
e x -2 = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 2 y - 3 2 )
x -2 = ln( - 1 2 y - 3 2 ) | +2
x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x - 3 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x - 3 2 ) +2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 183 0,8 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 183

f(1) = 183 0,8

f(2) = 183 0,80,8

f(3) = 183 0,80,80,8

f(4) = 183 0,80,80,80,8

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,8 multipliziert. Da 0,8 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,8-fache, also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

c und a gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 11% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 6000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = 4000 1,11 7 8304,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

4000 1,11 t = 6000 |:4000
1,11 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,11 )
t = 3,8853

Nach ca. 3,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.