Zuerst schreiben wir $\sqrt{10000000}$ um: $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\sqrt{10000000}$ = ${10000000}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^7\right)}^{\frac{1}{2}}$ = ${10}^{\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $10$^{$\frac{7}{2}$} = $\sqrt{10000000}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $80\cdot {\mathrm{0,971}}^{13}$ ≈ 54,568.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,7755}$

Nach ca. 9,776 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.