Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $11$^$2$ = $121$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $2e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$2e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,119}}^t$ ablesen: a=1.119.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.119($2$) ≈ 6.16 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $15\cdot {\mathrm{1,32}}^{11}$ ≈ 317,983.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1015 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1015:

$15\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$1015$	|:$15$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{203}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{203}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{203}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{203}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,1805}$

Nach ca. 15,181 Stunden ist also der Bestand = 1015 Millionen Bakterien.