Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-1}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x-1}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-1}-1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-1}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-5kx·e^{kx-5k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-5k·0·e^{k\cdot 0-5k}+5k$ = $5k$ = 2

  $5k$	=	$2$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,95}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.2}{100}$) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,968}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 61.46 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 61.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,968}}^t$ ein:

c ⋅ 0.968⁴ = 61.46

c ⋅ 0.87801 = 61.46 | : 0.87801

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,968}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,968}}^{13}$ ≈ 45,865.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,968}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,968}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,968}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,968}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,3456}$

Nach ca. 10,346 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.