Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $7$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $7$ ist.

Dabei kommt man auf $3$ = 3¹ < $7$ und auf $3^2$ = 3² > $7$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $7$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
3¹ = $3$ < $7$ < $3^2$ = 3²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $2k{e}^{k\cdot 1-k}-1$ = $2k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 2 ablesen, es gilt somit:

  $2k-1$	=	$2$	| $+1$
  $2k$	=	$3$	|:$2$
  $k$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,2}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y-2\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-x-2\right)$

f(0) = $135$

f(1) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $135$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 16191.43 Nutzer ist, also f(6) = 16191.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ein:

c ⋅ 1.15⁶ = 16191.43

c ⋅ 2.31306 = 16191.43 | : 2.31306

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $7000\cdot {\mathrm{1,15}}^{13}$ ≈ 43069,513.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 47000 Nutzer ist, also f(t) = 47000:

$7000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$47000$	|:$7000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{47}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{47}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,6249}$

Nach ca. 13,625 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 47000 Nutzer.