Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 4 3 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 4 3 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 4 3 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 4 3 gilt.

Wenn wir jetzt die 4 3 als 4 1 3 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 4 = 4 1 3

log 4 ( 4 3 ) = 1 3 , eben weil 4 1 3 = 4 3 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 9 10 x + k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 9 10 x + k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss 2 k = -2 gelten;
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,9 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,3x -0,9 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,9 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,9 +1 = y | -1
e 0,3x -0,9 = y -1 |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( y -1 )
0,3x -0,9 = ln( y -1 ) | +0,9
0,3x = ln( y -1 ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y -1 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x -1 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x -1 ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also Bneu = B - 18 100 ⋅B = (1 - 18 100 ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.82( 1 2 ) ≈ 3.49 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 86,49kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 100 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 86.49 kg ist, also f(2) = 86.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 100 a t ein:

100 a 2 = 86,49 |:100
a 2 = 0,8649 | 2
a1 = - 0,8649 = -0,93
a2 = 0,8649 = 0,93

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,93 ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 100 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = 100 0,93 5 69,569.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

100 0,93 t = 40 |:100
0,93 t = 2 5 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 2 5 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 2 5 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 2 5 ) lg( 0,93 )
t = 12,6262

Nach ca. 12,626 Tage ist also der Bestand = 40 kg.