Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 100.000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 100.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 100.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 100.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 100.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 100.000 ) = -5, eben weil 10-5 = 1 100.000 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x ) + lg( 5 x 2 ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x ) + lg( 5 x 2 ) + lg( 50 x 3 )

= lg( 4 x -1 ) + lg( 5 x -2 ) + lg( 50 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( 1 x ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 4 ) + lg( 1 x ) + lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 50 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) - lg( x ) + lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) - lg( x ) + lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 = y |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y )
-0,3x +0,6 = ln( y ) | -0,6
-0,3x = ln( y ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.17(2) ≈ 4.41 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14% seines Bestands. Zu Beginn sind 90kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 90 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 90 0,86 9 23,159.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

90 0,86 t = 10 |:90
0,86 t = 1 9 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 1 9 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 1 9 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 1 9 ) lg( 0,86 )
t = 14,5682

Nach ca. 14,568 Tage ist also der Bestand = 10 kg.