Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,001x ) -3 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,001x ) -3 lg( x )
= lg( 0,001 ) + lg( x ) -3 lg( x )
= lg( 10 -3 ) + lg( x ) -3 lg( x )
= -3 + lg( x ) -3 lg( x )
= -2 lg( x ) -3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 1.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 1 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 1 = 1 2 a | ⋅ 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -2 -1 = y | +1
-3 e x -2 = y +1 |:-3
e x -2 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +2
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 6,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 6.6 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 1 2 | 6,6
a1 = - ( 1 2 ) 1 6,6 -0,9
a2 = ( 1 2 ) 1 6,6 0,9

Das gesuchte a ist somit 0,9 ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 50 0,9 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,5% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.5% weggehen,
also Bneu = B - 1.5 100 ⋅B = (1 - 1.5 100 ) ⋅ B = 0,985 ⋅ B. Somit ist das a=0,985.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,985 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 55 0,985 6 50,232.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

55 0,985 t = 45 |:55
0,985 t = 9 11 |lg(⋅)
lg( 0,985 t ) = lg( 9 11 )
t · lg( 0,985 ) = lg( 9 11 ) |: lg( 0,985 )
t = lg( 9 11 ) lg( 0,985 )
t = 13,2775

Nach ca. 13,278 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.