Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{2}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{2}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\sqrt[5]{2}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{2}$ als $2^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $2$^☐ = $2^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{2}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)-\lg \left(80x^6\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)-\lg \left(80x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,95}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 25.39 kg ist, also f(2) = 25.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot a^t$ ein:

$30a^2$	=	$\mathrm{25,39}$	|:$30$
$a^2$	=	$\mathrm{0,84633}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,84633}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,84633}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $30\cdot {\mathrm{0,92}}^7$ ≈ 16,735.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1757}$

Nach ca. 13,176 Tage ist also der Bestand = 10 kg.