Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{13}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,869}}^t$ ablesen: a=0.869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.869($\frac{1}{2}$) ≈ 4.94 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $50\cdot {\mathrm{0,95}}^5$ ≈ 38,689.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$30$	|:$50$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9589}$

Nach ca. 9,959 Tage ist also der Bestand = 30 kg.