Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $31$

f(1) = $31$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $31$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $31$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $31$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 60.91 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 60.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^2$	=	$\mathrm{60,91}$	|:$65$
$a^2$	=	$\mathrm{0,93708}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,93708}}$	≈ $-\mathrm{0,968}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,93708}}$	≈ $\mathrm{0,968}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,968}$ ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,968}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $65\cdot {\mathrm{0,968}}^8$ ≈ 50,109.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65\cdot {\mathrm{0,968}}^t$	=	$55$	|:$65$
${\mathrm{0,968}}^t$	=	$\frac{11}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,968}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,968}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,968}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,1365}$

Nach ca. 5,137 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.