Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-x}$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-x}$ gegen 0 .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-x}$ gegen $\infty$ .

$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(2x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(5\right)+0$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,066}}^t$ ablesen: a=1.066.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.066($2$) ≈ 10.85 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=9 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $9\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $9\cdot {\mathrm{1,08}}^9$ ≈ 17,991.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 19 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 19:

$9\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$19$	|:$9$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{19}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,709}$

Nach ca. 9,709 Stunden ist also der Bestand = 19 Millionen Bakterien.