Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · e 2x +3 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · e 2( -x ) +3

Wenn man das mit f(x) = x 2 · e 2x +3 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = x 2 · e -2x +3
weder gleich f(x) = x 2 · e 2x +3 noch gleich -f(x) = - x 2 · e 2x +3 = - x 2 · e 2x +3 ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 2 · e 21 +3 = 1 · e 5 ≈ 148.413
Aber: f(-1) = ( -1 ) 2 · e 2( -1 ) +3 = 1 · e ≈ 2.718

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 2 x ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 2 x )

= lg( 5 x -5 ) + lg( 1 10 x 2 ) + lg( 2 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 x 5 ) + ( lg( 1 10 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 x 5 ) + lg( 1 10 ) + lg( x 2 ) + lg( 2 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) -5 lg( x ) + lg( 1 10 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) -5 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 10 ) +2 lg( x ) + lg( 2 ) - lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 10 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 10 · 5 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,4x +1,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +1,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +1,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,4x +1,2 können die Funktionswerte von 4 e -0,4x +1,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,4x +1,2 = y |:4
e -0,4x +1,2 = 1 4 y |ln(⋅)
-0,4x +1,2 = ln( 1 4 y )
-0,4x +1,2 = ln( 1 4 y ) | -1,2
-0,4x = ln( 1 4 y ) -1,2 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( 1 4 y ) + 1,2 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 1,2 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 1,2 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 71 0,95 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 71

f(1) = 71 0,95

f(2) = 71 0,950,95

f(3) = 71 0,950,950,95

f(4) = 71 0,950,950,950,95

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,95 multipliziert. Da 0,95 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,95-fache, also auf 95 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,62 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,93 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 3.62 Millionen Insekten ist, also f(14) = 3.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,93 t ein:

c ⋅ 0.9314 = 3.62

c ⋅ 0.36204 = 3.62 | : 0.36204

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 10 0,93 11 4,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.2:

10 0,93 t = 4,2 |:10
0,93 t = 0,42 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,42 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,42 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,42 ) lg( 0,93 )
t = 11,9539

Nach ca. 11,954 Jahre ist also der Bestand = 4.2 Millionen Insekten.