Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 12 (41) liegt.

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Wir suchen 12er-Potenzen in der Näher von 41, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 41 ist.

Dabei kommt man auf 12 = 121 < 41 und auf 12 2 = 122 > 41.

Und da wir bei log 12 (41) ja das ☐ von 12 = 41 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
121 = 12 < 41 < 12 2 = 122

Es gilt somit: 1 < log 12 (41) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x +2 k ) · e x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x +2 k ) · e x + k = 0 wird, wenn x +2 k = 0 ist, also für x = -2 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-2 k ) = ( ( -2 k ) +2 k ) · e ( -2 k ) + k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = -2 k bei ( x +2 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-2 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(3| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -2 k = 3
    Also gilt k = - 3 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 3 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 +2 = y | -2
e -0,1x +0,3 = y -2 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y -2 )
-0,1x +0,3 = ln( y -2 ) | -0,3
-0,1x = ln( y -2 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -2 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,3 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 31 0,6 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 31

f(1) = 31 0,6

f(2) = 31 0,60,6

f(3) = 31 0,60,60,6

f(4) = 31 0,60,60,60,6

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,6 multipliziert. Da 0,6 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,6-fache, also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 2533,54€. a) Wie hoch ist der Kontostand 13 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 2000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2533.54 € ist, also f(8) = 2533.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 2000 a t ein:

2000 a 8 = 2533,54 |:2000
a 8 = 1,26677 | 8
a1 = - 1,26677 8 = -1,03
a2 = 1,26677 8 = 1,03

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,03 ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 2000 1,03 13 2937,067.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2200 € ist, also f(t) = 2200:

2000 1,03 t = 2200 |:2000
1,03 t = 11 10 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 11 10 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 11 10 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 11 10 ) lg( 1,03 )
t = 3,2244

Nach ca. 3,224 Jahre ist also der Kontostand = 2200 €.