Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $-x^3+e^{x^2-x}$ = $e^{x^2-x}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+e^{x^2+x}$ = $e^{x^2+x}+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^2-x}-x^3$
weder gleich f(x) = $x^3+e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-\left(x^3+e^{x^2+x}\right)$ = $-\left(e^{x^2+x}+x^3\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{500000}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)+\lg \left(20x^{-7}\right)-\lg \left(500000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(500000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(500000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $160$

f(1) = $160$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $160$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $160$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $160$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 7865.2 € ist, also f(2) = 7865.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^2$	=	$7\mathrm{865,2}$	|:$7000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,1236}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $-\mathrm{1,06}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $\mathrm{1,06}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,06}$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $7000\cdot {\mathrm{1,06}}^5$ ≈ 9367,579.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$7000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$9000$	|:$7000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{9}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,313}$

Nach ca. 4,313 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.