Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 2 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 2 um: 1 2 = 2 - 1 2

log 2 ( 1 2 ) = log 2 ( 2 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 - 1 2 zur Basis 2 suchen, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 2 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 2 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 2 ( 1 2 ) = log 2 ( 2 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 2 - 1 2 = 1 2 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 7 ) + lg( 5 x 4 ) + lg( 10 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 2 x 7 ) + lg( 5 x 4 ) + lg( 10 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x 7 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 10 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x 7 ) + lg( 5 ) + lg( x 4 ) + lg( 10 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) -7 lg( x ) + lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) -7 lg( x ) + lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) +3 lg( x )

= lg( 10 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 10 · 5 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,8 = y |ln(⋅)
0,4x -0,8 = ln( y )
0,4x -0,8 = ln( y ) | +0,8
0,4x = ln( y ) +0,8 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x ) + 0,8 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,066 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,066 t ablesen: a=1.066.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.066(2) ≈ 10.85 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3581,7€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu = B + 6 100 ⋅B = (1 + 6 100 ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,06 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 3581.7 € ist, also f(10) = 3581.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,06 t ein:

c ⋅ 1.0610 = 3581.7

c ⋅ 1.79085 = 3581.7 | : 1.79085

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 2000 1,06 7 3007,261.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

2000 1,06 t = 3000 |:2000
1,06 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,06 )
t = 6,9585

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.