Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
=0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

f(0) = $156$

f(1) = $156$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(2) = $156$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(3) = $156$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(4) = $156$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{3}{5}$ multipliziert. Da $\frac{3}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{3}{5}$-fache (oder auf das $\frac{60}{100}$-fache), also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $70\cdot {\mathrm{0,97}}^{11}$ ≈ 50,071.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

$70\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$60$	|:$70$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\frac{6}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0609}$

Nach ca. 5,061 Tage ist also der Bestand = 60 kg.