Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (5) .

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Wir suchen den Logarithmus von 5 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 5 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (5) = 1, eben weil 51 = 5 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x - k ) · e x - 1 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = - ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(5| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 5
    Also gilt k = 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,4 = y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( y )
0,2x -0,4 = ln( y ) | +0,4
0,2x = ln( y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also Bneu = B + 4.7 100 ⋅B = (1 + 4.7 100 ) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.047(2) ≈ 15.09 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 70,89 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70,9 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 70.89 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 70.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 8 = 70,89 |:80
a 8 = 0,88613 | 8
a1 = - 0,88613 8 -0,985
a2 = 0,88613 8 0,985

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,985 ≈ 0.985 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,985 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 80 0,985 13 65,73.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70.9:

80 0,985 t = 70,9 |:80
0,985 t = 0,8863 |lg(⋅)
lg( 0,985 t ) = lg( 0,8863 )
t · lg( 0,985 ) = lg( 0,8863 ) |: lg( 0,985 )
t = lg( 0,8863 ) lg( 0,985 )
t = 7,9862

Nach ca. 7,986 Jahre ist also der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner.