Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-x}+1$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-x}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-x}+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $e^{-x}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-x}+1$ gegen $0+1$ = $1$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-x}+1$ gegen $\infty$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $3kx·e^{kx+3k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $3k·0·e^{k\cdot 0+3k}+3k$ = $3k$ = -4

  $3k$	=	$-4$	|:$3$
  $k$	=	$-\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(-x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,851}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $\mathrm{0,851}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,851}$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,85}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 1123.6 € ist, also f(2) = 1123.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^2$	=	$1\mathrm{123,6}$	|:$1000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,1236}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $-\mathrm{1,06}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $\mathrm{1,06}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,06}$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^{11}$ ≈ 1898,299.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1100 € ist, also f(t) = 1100:

$1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$1100$	|:$1000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{11}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,6357}$

Nach ca. 1,636 Jahre ist also der Kontostand = 1100 €.