Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{56559}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{56559}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{100000}$ = $\frac{1}{{10}^5}$ = 10^-5 < $\frac{1}{56559}$ und auf $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4 > $\frac{1}{56559}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $\frac{1}{56559}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -5 und -4 liegen, wegen:
10^-5 = $\frac{1}{{10}^5}$ = $\frac{1}{100000}$ < $\frac{1}{56559}$ < $\frac{1}{10000}$ = $\frac{1}{{10}^4}$ = 10^-4

Es gilt somit: -5 < < -4

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-x+1\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,062}}^t$ ablesen: a=1.062.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.062($2$) ≈ 11.52 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 7.71 Millionen Insekten ist, also f(3) = 7.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^3$	=	$\mathrm{7,71}$	|:$13$
$a^3$	=	$\mathrm{0,59308}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,59308}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,59308}}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $13\cdot {\mathrm{0,84}}^{12}$ ≈ 1,604.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.4:

$13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$13$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{0,4154}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4154}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4154}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4154}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0387}$

Nach ca. 5,039 Jahre ist also der Bestand = 5.4 Millionen Insekten.