Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 10 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 10 um: 1 10 = 10 - 1 2

log 10 ( 1 10 ) = log 10 ( 10 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 - 1 2 zur Basis 10 suchen, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 10 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 10 ( 1 10 ) = log 10 ( 10 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 10 - 1 2 = 1 10 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 3 ) - lg( 1 4 x 7 ) + lg( 50 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 3 ) - lg( 1 4 x 7 ) + lg( 50 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 3 ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 7 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 3 ) - lg( 1 4 ) - lg( x 7 ) + lg( 50 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 4 ) -7 lg( x ) + lg( 50 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -7 lg( x ) + lg( 50 ) +4 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 2 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x -1 = y | +1
2 e -0,1x = y +1 |:2
e -0,1x = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 2 y + 1 2 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y + 1 2 )
x = -10 ln( 1 2 y + 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 2 x + 1 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 14.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.4% weggehen,
also Bneu = B - 14.4 100 ⋅B = (1 - 14.4 100 ) ⋅ B = 0,856 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,856.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.856( 1 2 ) ≈ 4.46 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 15000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu = B + 3 100 ⋅B = (1 + 3 100 ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 8000 1,03 5 9274,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

8000 1,03 t = 15000 |:8000
1,03 t = 15 8 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 15 8 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 15 8 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 15 8 ) lg( 1,03 )
t = 21,2664

Nach ca. 21,266 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.