Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1250x}\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^{-1}\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(25x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1250}·25·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{x-2}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y-3\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-3\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-3\right)+2$

Die prozentuale Zunahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6.4}{100}$) ⋅ B = 1,064 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,064.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.064($2$) ≈ 11.17 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $10\cdot {\mathrm{1,08}}^6$ ≈ 15,869.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 50:

$10\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$50$	|:$10$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,9124}$

Nach ca. 20,912 Stunden ist also der Bestand = 50 Millionen Bakterien.