Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·e^{\left(-x\right)+1}$ = $-x·e^{-x+1}$

Wenn man das mit f(x) = $x·e^{x+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^{-x+1}$
weder gleich f(x) = $x·e^{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-x·e^{x+1}$ = $-x·e^{x+1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)$

= $\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(125\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(125\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (125·4·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(x-1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4020.29 € ist, also f(6) = 4020.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^6$	=	$4\mathrm{020,29}$	|:$3000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,3401}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,3401}}$	= $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,3401}}$	= $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^{10}$ ≈ 4886,684.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$5000$	|:$3000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,4698}$

Nach ca. 10,47 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.