$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+2k$ = $2k$ = -3

  $2k$	=	$-3$	|:$2$
  $k$	=	$-\frac{3}{2}$ = -1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,113}}^t$ ablesen: a=1.113.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.113($2$) ≈ 6.47 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 24490.06 Nutzer ist, also f(13) = 24490.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^{13}$	=	$24\mathrm{490,06}$	|:$5000$
$a^{13}$	=	$\mathrm{4,89801}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{4,89801}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{4,89801}}$ ≈ 1.13 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^9$ ≈ 15020,21.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$8000$	|:$5000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$\frac{8}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,8456}$

Nach ca. 3,846 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.