Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 3 ) + lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 3 ) + lg( 1 x )
= lg( x 3 ) + lg( x -1 )
= 3 lg( x ) - lg( x )
= 2 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 ) - lg( 1 100 x 4 ) - lg( 1 2 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 ) - lg( 1 100 x 4 ) - lg( 1 2 x 4 )

= lg( 5 ) - lg( 1 100 x 4 ) - lg( 1 2 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 ) - ( lg( 1 100 ) + lg( x 4 ) ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 ) - lg( 1 100 ) - lg( x 4 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +0 - lg( 1 100 ) -4 lg( x ) - lg( 1 2 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +0 - lg( 1 ) + lg( 100 ) -4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) +4 lg( x )

= lg( 100 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 100 · 5 · 2 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,4x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -2 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -2 e -0,4x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,4x -1 = y | +1
-2 e -0,4x = y +1 |:-2
e -0,4x = - 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 2 y - 1 2 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 2 y - 1 2 )
x = - 5 2 ln( - 1 2 y - 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 2 x - 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 2 x - 1 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.7% dazukommen,
also Bneu = B + 1.7 100 ⋅B = (1 + 1.7 100 ) ⋅ B = 1,017 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,017.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.017(2) ≈ 41.12 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 10 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6627,73€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6400€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6627.73 € ist, also f(10) = 6627.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 10 = 6627,73 |:6000
a 10 = 1,10462 | 10
a1 = - 1,10462 10 = -1,01
a2 = 1,10462 10 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 6000 1,01 5 6306,06.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6400 € ist, also f(t) = 6400:

6000 1,01 t = 6400 |:6000
1,01 t = 16 15 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 16 15 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 16 15 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 16 15 ) lg( 1,01 )
t = 6,4861

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 6400 €.