Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}-2$ gegen $\infty$ .

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{x-1}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y+3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+3\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,3}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $-\mathrm{1,352}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $\mathrm{1,352}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,352}$ ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,35}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 30.48 kg ist, also f(8) = 30.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ ein:

c ⋅ 0.94⁸ = 30.48

c ⋅ 0.60957 = 30.48 | : 0.60957

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $50\cdot {\mathrm{0,94}}^{13}$ ≈ 22,368.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 41.5 kg ist, also f(t) = 41.5:

$50\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$\mathrm{41,5}$	|:$50$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\mathrm{0,83}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0114}$

Nach ca. 3,011 Tage ist also der Bestand = 41.5 kg.