Wir suchen den Logarithmus von $10000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $10000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $10000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $10$^$4$ = $10000$ gilt .

$\lg \left(\frac{25}{x^9}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^4}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

= $\lg \left(25x^{-9}\right)-\lg \left(100x^{-4}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $125$

f(1) = $125$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $125$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $125$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $125$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$-fache (oder auf das $\frac{98}{100}$-fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 1.14 Millionen Insekten ist, also f(13) = 1.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ ein:

c ⋅ 0.84¹³ = 1.14

c ⋅ 0.10366 = 1.14 | : 0.10366

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $11\cdot {\mathrm{0,84}}^7$ ≈ 3,246.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.9:

$11\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{3,9}$	|:$11$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{0,3545}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3545}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3545}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3545}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,948}$

Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Bestand = 3.9 Millionen Insekten.