Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(2e^{-x}-2e^x\right)$ = $-x·\left(2e^{-x}-2e^x\right)$ = $2x·e^x-2x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(2e^x-2e^{-x}\right)$ = $2x·e^x-2x·e^{-x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{4x^9}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)$

= $\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-9}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(x+1\right)$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 3.85 Millionen Insekten ist, also f(9) = 3.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^9$	=	$\mathrm{3,85}$	|:$11$
$a^9$	=	$\frac{\mathrm{3,85}}{11}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\frac{\mathrm{3,85}}{11}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\frac{\mathrm{3,85}}{11}}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $11\cdot {\mathrm{0,89}}^5$ ≈ 6,142.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{2,2}$	|:$11$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8109}$

Nach ca. 13,811 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.