Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $71$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $71$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $71$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $71$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $71$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $71$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+k$ = $k$ = 1

  $k$

  =

  $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $56$

f(1) = $56$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $56$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $56$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $56$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$-fache (oder auf das $\frac{140}{100}$-fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7.88 Millionen Insekten ist, also f(6) = 7.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^6$	=	$\mathrm{7,88}$	|:$13$
$a^6$	=	$\mathrm{0,60615}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,60615}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,60615}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $13\cdot {\mathrm{0,92}}^7$ ≈ 7,252.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.1:

$13\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{6,1}$	|:$13$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,4692}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4692}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4692}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4692}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0755}$

Nach ca. 9,076 Jahre ist also der Bestand = 6.1 Millionen Insekten.