Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+0+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+0+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 14.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14.2}{100}$) ⋅ B = 0,858 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,858.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.858($\frac{1}{2}$) ≈ 4.53 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 36 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 36. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ ein:

$25a^2$	=	$36$	|:$25$
$a^2$	=	$\frac{36}{25}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{36}{25}}$	= $-\frac{6}{5}$
a2	=	$\sqrt{\frac{36}{25}}$	= $\frac{6}{5}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{6}{5}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $25\cdot {\mathrm{1,2}}^{11}$ ≈ 185,752.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 65:

$25\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$65$	|:$25$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{13}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,2408}$

Nach ca. 5,241 Stunden ist also der Bestand = 65 Millionen Bakterien.