Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)+10$

$-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80000\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $-\lg \left(80000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7580 € ist, also f(8) = 7580. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ ein:

c ⋅ 1.01⁸ = 7580

c ⋅ 1.08286 = 7580 | : 1.08286

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^{12}$ ≈ 7887,775.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7300 € ist, also f(t) = 7300:

$7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$7300$	|:$7000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{73}{70}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{73}{70}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{73}{70}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{73}{70}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2174}$

Nach ca. 4,217 Jahre ist also der Kontostand = 7300 €.