Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x ) +2 lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x ) +2 lg( 1 x )
= lg( x 1 2 ) +2 lg( x - 1 2 )
= 1 2 lg( x ) - lg( x )
= - 1 2 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +3 = y | -3
e -0,1x = y -3 |ln(⋅)
-0,1x = ln( y -3 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( y -3 )
x = -10 ln( y -3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( x -3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( x -3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 6.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.1% weggehen,
also Bneu = B - 6.1 100 ⋅B = (1 - 6.1 100 ) ⋅ B = 0,939 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,939.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.939( 1 2 ) ≈ 11.01 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 1125,51€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 1200€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 1000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1125.51 € ist, also f(4) = 1125.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 1000 a t ein:

1000 a 4 = 1125,51 |:1000
a 4 = 1,12551 | 4
a1 = - 1,12551 4 = -1,03
a2 = 1,12551 4 = 1,03

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,03 ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 1000 1,03 5 1159,274.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1200 € ist, also f(t) = 1200:

1000 1,03 t = 1200 |:1000
1,03 t = 6 5 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 6 5 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 6 5 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 6 5 ) lg( 1,03 )
t = 6,1681

Nach ca. 6,168 Jahre ist also der Kontostand = 1200 €.