Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000000000 x ) -4 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000000000 x ) -4 lg( x )
= lg( 10000000000 ) - lg( x ) -4 lg( x )
= lg( 10 10 ) - lg( x ) -4 lg( x )
= 10 - lg( x ) -4 lg( x )
= -5 lg( x ) +10

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25x ) - lg( 1 2 x 4 ) + lg( 2 x 5 ) soweit wie möglich.

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lg( 25x ) - lg( 1 2 x 4 ) + lg( 2 x 5 )

= lg( 25x ) - lg( 1 2 x -4 ) + lg( 2 x -5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x 5 ) )

= lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 4 ) + lg( 2 ) + lg( 1 x 5 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 1 2 ) +4 lg( x ) + lg( 2 ) -5 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) +4 lg( x ) + lg( 2 ) -5 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 2 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 2 · 2 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -3 +2 = y | -2
-2 e x -3 = y -2 |:-2
e x -3 = - 1 2 y +1 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 2 y +1 )
x -3 = ln( - 1 2 y +1 ) | +3
x = ln( - 1 2 y +1 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x +1 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x +1 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,7% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also Bneu = B + 4.7 100 ⋅B = (1 + 4.7 100 ) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.047(2) ≈ 15.09 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 9,08 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 9,1 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu = B - 13 100 ⋅B = (1 - 13 100 ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,87 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 9.08 Millionen Insekten ist, also f(2) = 9.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,87 t ein:

c ⋅ 0.872 = 9.08

c ⋅ 0.7569 = 9.08 | : 0.7569

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 12 0,87 12 2,256.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.1:

12 0,87 t = 9,1 |:12
0,87 t = 0,7583 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 0,7583 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 0,7583 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 0,7583 ) lg( 0,87 )
t = 1,9867

Nach ca. 1,987 Jahre ist also der Bestand = 9.1 Millionen Insekten.