Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (1) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5 = 1

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (1) = 0, eben weil 50 = 1 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 2
    Also gilt k = 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e x -1 wird zu allen Funktionswerten von e x -1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -1 +1 = y | -1
e x -1 = y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( y -1 )
x -1 = ln( y -1 ) | +1
x = ln( y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -1 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 81 1,2 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 81

f(1) = 81 1,2

f(2) = 81 1,21,2

f(3) = 81 1,21,21,2

f(4) = 81 1,21,21,21,2

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,2 multipliziert. Da 1,2 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,2-fache, also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 6,06 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 6.06 Millionen Insekten ist, also f(6) = 6.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10 a t ein:

10 a 6 = 6,06 |:10
a 6 = 0,606 | 6
a1 = - 0,606 6 -0,92
a2 = 0,606 6 0,92

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,92 ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 10 0,92 9 4,722.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4:

10 0,92 t = 4 |:10
0,92 t = 2 5 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 2 5 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 2 5 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 2 5 ) lg( 0,92 )
t = 10,9891

Nach ca. 10,989 Jahre ist also der Bestand = 4 Millionen Insekten.