Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x ) - lg( 1 5 x ) - lg( 125 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x ) - lg( 1 5 x ) - lg( 125 x 2 )

= lg( 25 x -1 ) - lg( 1 5 x -1 ) - lg( 125 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 x ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x ) ) - ( lg( 125 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 x ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x ) - lg( 125 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) - lg( x ) - lg( 1 5 ) + lg( x ) - lg( 125 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) + lg( x ) - lg( 125 ) +2 lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 125 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 125 · 25 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,3x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,3x +0,3 können die Funktionswerte von 3 e -0,3x +0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,3x +0,3 = y |:3
e -0,3x +0,3 = 1 3 y |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( 1 3 y )
-0,3x +0,3 = ln( 1 3 y ) | -0,3
-0,3x = ln( 1 3 y ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( 1 3 y ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( 1 3 x ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( 1 3 x ) + 0,3 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 189 1,1 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 189

f(1) = 189 1,1

f(2) = 189 1,11,1

f(3) = 189 1,11,11,1

f(4) = 189 1,11,11,11,1

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,1 multipliziert. Da 1,1 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,1-fache, also auf 110 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 617 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 17 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 17 1,29 5 60,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 617 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 617:

17 1,29 t = 617 |:17
1,29 t = 617 17 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 617 17 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 617 17 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 617 17 ) lg( 1,29 )
t = 14,1047

Nach ca. 14,105 Stunden ist also der Bestand = 617 Millionen Bakterien.