$-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)+\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{20}{x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^3\right)+\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(20x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{20}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ablesen: a=1.14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.5}{100}$) ⋅ B = 0,965 ⋅ B. Somit ist das a=0,965.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,965}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $55\cdot {\mathrm{0,965}}^8$ ≈ 41,36.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,965}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,965}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,965}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,965}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,6325}$

Nach ca. 5,633 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.