$\lg \left(\frac{125}{2}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{125}{2}{x}^4\right)+\lg \left(4x^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{125}{2}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{125}{2}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{125}{2}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(125\right)-\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{125·4·4}{2}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

$-\lg \left(80x^3\right)+\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)$

= $-\lg \left(80x^3\right)+\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(80\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(80\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(80\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(80\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $11$

f(1) = $11$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(2) = $11$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(3) = $11$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(4) = $11$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{3}{5}$ multipliziert. Da $\frac{3}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{3}{5}$-fache (oder auf das $\frac{60}{100}$-fache), also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 52.93 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 52.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^2$	=	$\mathrm{52,93}$	|:$55$
$a^2$	=	$\mathrm{0,96236}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,96236}}$	≈ $-\mathrm{0,981}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,96236}}$	≈ $\mathrm{0,981}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,981}$ ≈ 0.981 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,981}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55\cdot {\mathrm{0,981}}^4$ ≈ 50,938.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 52.9:

$55\cdot {\mathrm{0,981}}^t$	=	$\mathrm{52,9}$	|:$55$
${\mathrm{0,981}}^t$	=	$\mathrm{0,9618}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,981}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9618}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9618}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,981}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9618}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,981}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0304}$

Nach ca. 2,03 Jahre ist also der Bestand = 52.9 Millionen Einwohner.