Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $-2e^{x+3}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $-2e^{x+3}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $-2e^{x+3}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-2e^{x+3}-1$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-2e^{x+3}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $4kx·e^{kx+4k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $4k·0·e^{k\cdot 0+4k}+5k$ = $5k$ = -3

  $5k$	=	$-3$	|:$5$
  $k$	=	$-\frac{3}{5}$ = -0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$2e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,88}}^t$ ablesen: a=0.88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.6}{100}$) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 55.32 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 55.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ ein:

c ⋅ 0.984¹⁰ = 55.32

c ⋅ 0.85104 = 55.32 | : 0.85104

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $65\cdot {\mathrm{0,984}}^6$ ≈ 59,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.9:

$65\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{60,9}$	|:$65$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{0,9369}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9369}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9369}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9369}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,041}$

Nach ca. 4,041 Jahre ist also der Bestand = 60.9 Millionen Einwohner.