Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (81) .

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Wir suchen den Logarithmus von 81 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 81 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 81 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (81) = 4, eben weil 34 = 81 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 5000 x ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 20 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 5000 x ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 20 x 4 )

= lg( 1 5000 x ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 20 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 5000 ) + lg( x ) + ( lg( 25 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 1 5000 ) + lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x 3 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 5000 ) + lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 5000 ) + lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -4 lg( x )

= - lg( 5000 ) + lg( 25 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 5000 · 25 · 20 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x -3 = y | +3
e -0,1x = y +3 |ln(⋅)
-0,1x = ln( y +3 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( y +3 )
x = -10 ln( y +3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( x +3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( x +3 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,05 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 8492,16€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 8492.16 € ist, also f(6) = 8492.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.016 = 8492.16

c ⋅ 1.06152 = 8492.16 | : 1.06152

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 8000 1,01 7 8577,083.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

8000 1,01 t = 9000 |:8000
1,01 t = 9 8 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 9 8 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 9 8 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 9 8 ) lg( 1,01 )
t = 11,8371

Nach ca. 11,837 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.