Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{4}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)$

= $\lg \left(4x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $57$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $57$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $57$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.2}{100}$) ⋅ B = 0,978 ⋅ B. Somit ist das a=0,978.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,978}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 46.03 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 46.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,978}}^t$ ein:

c ⋅ 0.978⁸ = 46.03

c ⋅ 0.83697 = 46.03 | : 0.83697

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,978}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $55\cdot {\mathrm{0,978}}^{11}$ ≈ 43,062.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,978}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,978}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,978}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,978}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0207}$

Nach ca. 9,021 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.