Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 4 lg( x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
4 lg( x 2 )
= 8 lg( x )
= 8 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 50 x 10 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 25 x 3 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 1 50 x 10 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 25 x 3 )

= lg( 1 50 x -10 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 25 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 50 ) + lg( 1 x 10 ) + ( lg( 2 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 1 50 ) + lg( 1 x 10 ) + lg( 2 ) + lg( x 2 ) + lg( 25 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 50 ) -10 lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 50 ) -10 lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +3 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 50 ) + lg( 25 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 50 · 25 · 2 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e 0,4x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e 0,4x -0,4 können die Funktionswerte von 4 e 0,4x -0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e 0,4x -0,4 = y |:4
e 0,4x -0,4 = 1 4 y |ln(⋅)
0,4x -0,4 = ln( 1 4 y )
0,4x -0,4 = ln( 1 4 y ) | +0,4
0,4x = ln( 1 4 y ) +0,4 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 4 y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 4 x ) + 0,4 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 111 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 111

f(1) = 111 0,55

f(2) = 111 0,550,55

f(3) = 111 0,550,550,55

f(4) = 111 0,550,550,550,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,8 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 11 0,88 9 3,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.8:

11 0,88 t = 1,8 |:11
0,88 t = 0,1636 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 0,1636 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 0,1636 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 0,1636 ) lg( 0,88 )
t = 14,1616

Nach ca. 14,162 Jahre ist also der Bestand = 1.8 Millionen Insekten.