$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^3\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-3}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-3}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{x-3}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

f(0) = $130$

f(1) = $130$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $130$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $130$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $130$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 11.49 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 11.49. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁵ = 11.49

c ⋅ 1.27628 = 11.49 | : 1.27628

c = 9

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $9\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $9\cdot {\mathrm{1,05}}^{12}$ ≈ 16,163.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 14.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 14.7:

$9\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{14,7}$	|:$9$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,6333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,6333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,6333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,6333}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0554}$

Nach ca. 10,055 Stunden ist also der Bestand = 14.7 Millionen Bakterien.