Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 ( 1 10.000.000 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 10.000.000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1 10.000.000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1 10.000.000 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 10-Potenz zu schreiben versuchen, also 10 = 1 10.000.000

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 ( 1 10.000.000 ) = -7, eben weil 10-7 = 1 10.000.000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,4x +0,8 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,4x +0,8 wird e -0,4x +0,8 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,4x +0,8 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,4x +0,8 = y |:-1
e -0,4x +0,8 = -1 y |ln(⋅)
-0,4x +0,8 = ln( -y )
-0,4x +0,8 = ln( -y ) | -0,8
-0,4x = ln( -y ) -0,8 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( -y ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( -x ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( -x ) + 0,8 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 57 ( 4 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 57

f(1) = 57 4 5

f(2) = 57 4 5 4 5

f(3) = 57 4 5 4 5 4 5

f(4) = 57 4 5 4 5 4 5 4 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 4 5 multipliziert. Da 4 5 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 4 5 -fache (oder auf das 80 100 -fache), also auf 80 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seines Bestands. 4 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 15,66kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,85 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 15.66 kg ist, also f(4) = 15.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,85 t ein:

c ⋅ 0.854 = 15.66

c ⋅ 0.52201 = 15.66 | : 0.52201

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,85 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 30 0,85 11 5,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

30 0,85 t = 10 |:30
0,85 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,85 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,85 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,85 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,85 )
t = 6,7599

Nach ca. 6,76 Tage ist also der Bestand = 10 kg.