$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(5| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 5
  Also gilt k = $5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$5$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,937}}^t$ ablesen: a=0.937.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.937($\frac{1}{2}$) ≈ 10.65 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 41.3 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 41.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot a^t$ ein:

$23a^{12}$	=	$\mathrm{41,3}$	|:$23$
$a^{12}$	=	$\mathrm{1,79565}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{1,79565}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{1,79565}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $23\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 29,354.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 26.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 26.6:

$23\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{26,6}$	|:$23$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,1565}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1565}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1565}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,1565}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9801}$

Nach ca. 2,98 Stunden ist also der Bestand = 26.6 Millionen Bakterien.