Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -3

  $k$

  =

  $-3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $20$

f(1) = $20$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $20$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $20$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $20$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 57.54 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 57.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ ein:

c ⋅ 0.97⁴ = 57.54

c ⋅ 0.88529 = 57.54 | : 0.88529

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $65\cdot {\mathrm{0,97}}^{10}$ ≈ 47,933.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,0727}$

Nach ca. 12,073 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.