Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (5) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 5, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 5 ist.

Dabei kommt man auf 3 = 31 < 5 und auf 3 2 = 32 > 5.

Und da wir bei log 3 (5) ja das ☐ von 3 = 5 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
31 = 3 < 5 < 3 2 = 32

Es gilt somit: 1 < log 3 (5) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 50 x 7 ) - lg( 12500 x 3 ) + lg( 25 x 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 50 x 7 ) - lg( 12500 x 3 ) + lg( 25 x 4 )

= - lg( 1 50 x 7 ) - lg( 12500 x -3 ) + lg( 25 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 50 ) + lg( x 7 ) ) - ( lg( 12500 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 4 ) )

= - lg( 1 50 ) - lg( x 7 ) - lg( 12500 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 25 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 50 ) -7 lg( x ) - lg( 12500 ) +3 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 50 ) -7 lg( x ) - lg( 12500 ) +3 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

= - lg( 12500 ) + lg( 50 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 12500 · 50 · 25 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 +3 = y | -3
2 e x -2 = y -3 |:2
e x -2 = 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y - 3 2 )
x -2 = ln( 1 2 y - 3 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y - 3 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 3 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 3 2 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 5 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5 = 1 2 | 5
a = 1 2 5

Das gesuchte a ist somit 1 2 5 ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 13 0,87 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 19 Milionen Bakterien. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 282,98Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 1019 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 19 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 282.98 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 282.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 19 a t ein:

19 a 9 = 282,98 |:19
a 9 = 14,89368 | 9
a = 14,89368 9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 14,89368 9 ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 19 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 19 1,35 10 382,025.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1019 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1019:

19 1,35 t = 1019 |:19
1,35 t = 1019 19 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 1019 19 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 1019 19 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 1019 19 ) lg( 1,35 )
t = 13,2692

Nach ca. 13,269 Stunden ist also der Bestand = 1019 Millionen Bakterien.