Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+7$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $50\cdot {\mathrm{0,95}}^7$ ≈ 34,917.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$20$	|:$50$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,8638}$

Nach ca. 17,864 Tage ist also der Bestand = 20 kg.