Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (1) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (1) = 0, eben weil 50 = 1 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 400 ) + lg( 20 x 6 ) - lg( 1 20 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 400 ) + lg( 20 x 6 ) - lg( 1 20 x 3 )

= - lg( 400 ) + lg( 20 x -6 ) - lg( 1 20 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 400 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 6 ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 3 ) )

= - lg( 400 ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 6 ) - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 400 ) +0 + lg( 20 ) -6 lg( x ) - lg( 1 20 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 400 ) +0 + lg( 20 ) -6 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) +3 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 400 ) + lg( 20 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 400 · 20 · 20 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,2x -0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,2x -0,2 können die Funktionswerte von 2 e 0,2x -0,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,2x -0,2 = y |:2
e 0,2x -0,2 = 1 2 y |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( 1 2 y )
0,2x -0,2 = ln( 1 2 y ) | +0,2
0,2x = ln( 1 2 y ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( 1 2 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,049 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,049 t ablesen: a=1.049.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.049(2) ≈ 14.49 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. 3 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 15,55Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 109 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,2 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 15.55 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 15.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,2 t ein:

c ⋅ 1.23 = 15.55

c ⋅ 1.728 = 15.55 | : 1.728

c = 9

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 9 1,2 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 9 1,2 12 80,245.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 109 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 109:

9 1,2 t = 109 |:9
1,2 t = 109 9 |lg(⋅)
lg( 1,2 t ) = lg( 109 9 )
t · lg( 1,2 ) = lg( 109 9 ) |: lg( 1,2 )
t = lg( 109 9 ) lg( 1,2 )
t = 13,6798

Nach ca. 13,68 Stunden ist also der Bestand = 109 Millionen Bakterien.