Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·e^x-x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(e^x+e^{-x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^x-x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·e^x+x·e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$-\lg \left(\frac{1250}{x^2}\right)+\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^6}\right)$

= $-\lg \left(1250x^{-2}\right)+\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(25x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $-\lg \left(1250\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$-2e^{x-1}$	=	$y+2$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,4}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,88}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Stunden der Bestand 16.89 Millionen Bakterien ist, also f(4) = 16.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ein:

c ⋅ 1.14⁴ = 16.89

c ⋅ 1.68896 = 16.89 | : 1.68896

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $10\cdot {\mathrm{1,14}}^9$ ≈ 32,519.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 14.8 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 14.8:

$10\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$\mathrm{14,8}$	|:$10$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\mathrm{1,48}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,48}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,48}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,48}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,992}$

Nach ca. 2,992 Stunden ist also der Bestand = 14.8 Millionen Bakterien.