Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000x ) - lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000x ) - lg( x )
= lg( 10000 ) + lg( x ) - lg( x )
= lg( 10 4 ) + lg( x ) - lg( x )
= 4 + lg( x ) - lg( x )
= 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 20 ) + lg( 50 x 4 ) + lg( 1 1000 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 20 ) + lg( 50 x 4 ) + lg( 1 1000 x 2 )

= - lg( 1 20 ) + lg( 50 x -4 ) + lg( 1 1000 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 20 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 1 1000 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 1 20 ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 4 ) + lg( 1 1000 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 20 ) +0 + lg( 50 ) -4 lg( x ) + lg( 1 1000 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 20 ) +0 + lg( 50 ) -4 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 1000 ) +2 lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 1000 ) + lg( 50 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 1000 · 50 · 20 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e -0,3x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e -0,3x wird e -0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e -0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -2 e -0,3x wird zu allen Funktionswerten von -2 e -0,3x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e -0,3x -3 = y | +3
-2 e -0,3x = y +3 |:-2
e -0,3x = - 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
-0,3x = ln( - 1 2 y - 3 2 ) |:-0,3
x = - 1 0,3 ln( - 1 2 y - 3 2 )
x = - 10 3 ln( - 1 2 y - 3 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 10 3 ln( - 1 2 x - 3 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 10 3 ln( - 1 2 x - 3 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also Bneu = B + 15 100 ⋅B = (1 + 15 100 ) ⋅ B = 1,15 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.15(2) ≈ 4.96 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 6 Wochen zählt man bereits 6594,61 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 2000⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 6594.61 Nutzer ist, also f(6) = 6594.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 2000⋅ a t ein:

2000 a 6 = 6594,61 |:2000
a 6 = 3,29731 | ⋅6
a1 = - 3,29731 6 = -1,22
a2 = 3,29731 6 = 1,22

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,22 ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000⋅ 1,22 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 2000⋅ 1,22 8 ≈ 9815,414.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

2000⋅ 1,22 t = 3000 |:2000
1,22 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,22 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,22 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,22 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,22 )
t = 2,039

Nach ca. 2,039 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.