Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)-4$

$\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8000x}\right)$

= $\lg \left(4x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8000}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8000\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(8000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{8000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$4e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$4$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.7}{100}$) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.047($2$) ≈ 15.09 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 58.1 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 58.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^2$	=	$\mathrm{58,1}$	|:$60$
$a^2$	=	$\mathrm{0,96833}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,96833}}$	≈ $-\mathrm{0,984}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,96833}}$	≈ $\mathrm{0,984}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,984}$ ≈ 0.984 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $60\cdot {\mathrm{0,984}}^{11}$ ≈ 50,246.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 52.7:

$60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{52,7}$	|:$60$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{0,8783}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8783}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8783}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8783}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0454}$

Nach ca. 8,045 Jahre ist also der Bestand = 52.7 Millionen Einwohner.