Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $3e^x-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $3e^x-3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $3e^x-3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $3e^x-3$ gegen $0-3$ = $-3$ .

$\lg \left(\frac{1}{25}x\right)+\lg \left(\frac{5}{x^6}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{25}x\right)+\lg \left(5x^{-6}\right)+\lg \left(5x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·5·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x-1\right)$

f(0) = $151$

f(1) = $151$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(2) = $151$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(3) = $151$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

f(4) = $151$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$ ⋅ $\frac{19}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{19}{20}$ multipliziert. Da $\frac{19}{20}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{19}{20}$-fache (oder auf das $\frac{95}{100}$-fache), also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Jahre der Bestand 3.38 Millionen Insekten ist, also f(13) = 3.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92¹³ = 3.38

c ⋅ 0.33825 = 3.38 | : 0.33825

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $10\cdot {\mathrm{0,92}}^6$ ≈ 6,064.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.1:

$10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{5,1}$	|:$10$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,51}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,51}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,51}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0755}$

Nach ca. 8,076 Jahre ist also der Bestand = 5.1 Millionen Insekten.