Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-1}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x-1}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-1}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-1}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{25}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,94}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 9.65 Millionen Insekten ist, also f(3) = 9.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,93}}^t$ ein:

c ⋅ 0.93³ = 9.65

c ⋅ 0.80436 = 9.65 | : 0.80436

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $12\cdot {\mathrm{0,93}}^4$ ≈ 8,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.2:

$12\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{7,2}$	|:$12$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,039}$

Nach ca. 7,039 Jahre ist also der Bestand = 7.2 Millionen Insekten.