Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(x-1\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,904}}^t$ ablesen: a=0.904.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.904($\frac{1}{2}$) ≈ 6.87 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $90\cdot {\mathrm{0,95}}^4$ ≈ 73,306.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$90\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$50$	|:$90$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\frac{5}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,4593}$

Nach ca. 11,459 Tage ist also der Bestand = 50 kg.