Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-2$), also gilt f(0)=$-2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-2$ , also $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-2\cdot a$ = $-2a$.

Es gilt also: $-4$ = $-2a$ | ⋅ $-\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,949}}^t$ ablesen: a=0.949.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.949($\frac{1}{2}$) ≈ 13.24 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 20955.64 Nutzer ist, also f(8) = 20955.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁸ = 20955.64

c ⋅ 5.23891 = 20955.64 | : 5.23891

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $4000\cdot {\mathrm{1,23}}^7$ ≈ 17037,104.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 64000 Nutzer ist, also f(t) = 64000:

$4000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$64000$	|:$4000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,3932}$

Nach ca. 13,393 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 64000 Nutzer.