Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{6250x^2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{6250}{x}^{-2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{6250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{6250}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(6250\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(6250\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{6250}·25·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,4}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-3e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-2$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $2\cdot {\mathrm{1,23}}^8$ ≈ 10,478.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:

$2\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$52$	|:$2$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$26$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(26\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(26\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(26\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,7385}$

Nach ca. 15,739 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.