Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 128 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 1 128 um: 1 128 = 128 -1

Man kann erkennen, dass 128 eine Potenz ist: 128 = 2 7

Also schreiben wir 1 128 = 128 -1 = ( 2 7 ) -1 = 2 -7

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis 4 suchen und 4 gerade 2² ist (also 2 = 4 = 4 1 2 ), formen wir 2 -7 noch so um, dass sie 4 als Basis hat:

2 -7 = ( 4 1 2 ) -7 = 4 - 7 2

log 4 ( 1 128 ) = log 4 ( 2 -7 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 2 -7 = 4 - 7 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 2 -7 = 4 - 7 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 2 -7 = 4 - 7 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 128 ) = log 4 ( 2 -7 ) = log 4 ( 4 - 7 2 ) = - 7 2 , eben weil 4 - 7 2 = 1 128 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 20 x 3 ) + lg( 1 40 x 2 ) - lg( 1 2 x 3 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 20 x 3 ) + lg( 1 40 x 2 ) - lg( 1 2 x 3 )

= - lg( 1 20 x -3 ) + lg( 1 40 x -2 ) - lg( 1 2 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 1 40 ) + lg( 1 x 2 ) ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 3 ) )

= - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 1 40 ) + lg( 1 x 2 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 20 ) +3 lg( x ) + lg( 1 40 ) -2 lg( x ) - lg( 1 2 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 20 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 40 ) -2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) +3 lg( x )

= 4 lg( x ) - lg( 40 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 4 lg( x ) + lg( 1 40 · 20 · 2 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 )

= 4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,4x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem - e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von - e -0,4x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,4x -2 = y | +2
- e -0,4x = y +2 |:-1
e -0,4x = -y -2 |ln(⋅)
-0,4x = ln( -y -2 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( -y -2 )
x = - 5 2 ln( -y -2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( -x -2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( -x -2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,05 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,05 t ablesen: a=1.05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.05(2) ≈ 14.21 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 11 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 64,3 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also Bneu = B - 1.2 100 ⋅B = (1 - 1.2 100 ) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,988 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 70 0,988 11 61,295.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 64.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 64.3:

70 0,988 t = 64,3 |:70
0,988 t = 0,9186 |lg(⋅)
lg( 0,988 t ) = lg( 0,9186 )
t · lg( 0,988 ) = lg( 0,9186 ) |: lg( 0,988 )
t = lg( 0,9186 ) lg( 0,988 )
t = 7,0328

Nach ca. 7,033 Jahre ist also der Bestand = 64.3 Millionen Einwohner.