Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 8 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 8 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 8 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 8 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 8

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 8 ) = -3, eben weil 2-3 = 1 8 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 9 10 x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 9 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss k = 4 gelten;
    Also gilt k = 4

Der abgebildete Graph ist somit der von f4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -3 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -3 +2 = y | -2
-3 e x -3 = y -2 |:-3
e x -3 = - 1 3 y + 2 3 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 3 y + 2 3 )
x -3 = ln( - 1 3 y + 2 3 ) | +3
x = ln( - 1 3 y + 2 3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x + 2 3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x + 2 3 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 5 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5 = 1 2 | 5
a = 1 2 5

Das gesuchte a ist somit 1 2 5 ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 11 0,87 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 35,29Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 77 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,11 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 35.29 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 35.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,11 t ein:

c ⋅ 1.117 = 35.29

c ⋅ 2.07616 = 35.29 | : 2.07616

c = 17

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 17 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = 17 1,11 4 25,807.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 77 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 77:

17 1,11 t = 77 |:17
1,11 t = 77 17 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 77 17 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 77 17 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 77 17 ) lg( 1,11 )
t = 14,4748

Nach ca. 14,475 Stunden ist also der Bestand = 77 Millionen Bakterien.