Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(4x\right)-\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(5x\right)$

= $\lg \left(4x\right)-\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(5x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,6}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,6}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,6}}}$ ≈ 1.21, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $60\cdot {\mathrm{0,98}}^{13}$ ≈ 46,141.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,0698}$

Nach ca. 20,07 Tage ist also der Bestand = 40 kg.