Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^2\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{9}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $4$

f(1) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 7401.22 € ist, also f(10) = 7401.22. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ ein:

c ⋅ 1.04¹⁰ = 7401.22

c ⋅ 1.48024 = 7401.22 | : 1.48024

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^9$ ≈ 7116,559.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

$5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$8000$	|:$5000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{8}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9836}$

Nach ca. 11,984 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.