$-\lg \left(\frac{1}{8x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^5\right)+\lg \left(5x^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^5\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{8}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·8·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,862}}^t$ ablesen: a=0.862.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.862($\frac{1}{2}$) ≈ 4.67 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $40\cdot {\mathrm{0,87}}^7$ ≈ 15,09.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$40\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$10$	|:$40$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{1}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9546}$

Nach ca. 9,955 Tage ist also der Bestand = 10 kg.