Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von
Also was muss in das Kästchen, damit
Wenn wir jetzt die
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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= |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.035(
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 23 Milionen Bakterien. 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 37,46Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 37.46 Millionen Bakterien ist,
also f(10) = 37.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
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≈
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| a2 | = |
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≈
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Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):
f(7) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 7,399 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.
