Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·2e^{{\left(-x\right)}^4}$ = $-2x·e^{x^4}$

Wenn man das mit f(x) = $x·2e^{x^4}$ = $2x·e^{x^4}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-2x·e^{x^4}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-2x·e^{x^4}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$2$), also gilt f(0)=$2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $2$ , also $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $2\cdot a$ = $2a$.

Es gilt also: $4$ = $2a$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$-3e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$-3$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^{11}$ ≈ 2768,468.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,7172}$

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.