Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 144 ( 1 12 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 12 um: 1 12 = 12 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis 144 suchen und 144 gerade 12² ist (also 12 = 144 = 144 1 2 ), formen wir 12 -1 noch so um, dass sie 144 als Basis hat:

12 -1 = ( 144 1 2 ) -1 = 144 - 1 2

log 144 ( 1 12 ) = log 144 ( 12 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 12 -1 = 144 - 1 2 zur Basis 144 suchen, also die Hochzahl mit der man 144 potenzieren muss, um auf 12 -1 = 144 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 144☐ = 12 -1 = 144 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 144 ( 1 12 ) = log 144 ( 12 -1 ) = log 144 ( 144 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 144 - 1 2 = 1 12 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e 0,2x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -4 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -4 e 0,2x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e 0,2x -3 = y | +3
-4 e 0,2x = y +3 |:-4
e 0,2x = - 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 4 y - 3 4 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 4 y - 3 4 )
x = 5 ln( - 1 4 y - 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 4 x - 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 4 x - 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.5% weggehen,
also Bneu = B - 4.5 100 ⋅B = (1 - 4.5 100 ) ⋅ B = 0,955 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,955.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.955( 1 2 ) ≈ 15.05 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,2% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 65,85 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.2% weggehen,
also Bneu = B - 3.2 100 ⋅B = (1 - 3.2 100 ) ⋅ B = 0,968 ⋅ B. Somit ist das a=0,968.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,968 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 65.85 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 65.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,968 t ein:

c ⋅ 0.9684 = 65.85

c ⋅ 0.87801 = 65.85 | : 0.87801

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75⋅ 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 75⋅ 0,968 7 ≈ 59,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

75⋅ 0,968 t = 45 |:75
0,968 t = 3 5 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 3 5 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 3 5 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 3 5 ) lg( 0,968 )
t = 15,7065

Nach ca. 15,707 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.