$\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2($2$) ≈ 3.8 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,19}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 14356.35 Nutzer ist, also f(9) = 14356.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,19}}^t$ ein:

c ⋅ 1.19⁹ = 14356.35

c ⋅ 4.78545 = 14356.35 | : 4.78545

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^8$ ≈ 12064,156.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$13000$	|:$3000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,4295}$

Nach ca. 8,43 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.