Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}-3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x+2}-3$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}-3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}-3$ gegen $0-3$ = $-3$ .

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^3\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$3e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+3$

f(0) = $168$

f(1) = $168$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $168$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $168$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $168$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=16 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 50.81 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 50.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ ein:

$16a^5$	=	$\mathrm{50,81}$	|:$16$
$a^5$	=	$\mathrm{3,17563}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{3,17563}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{3,17563}}$ ≈ 1.26 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $16\cdot {\mathrm{1,26}}^8$ ≈ 101,645.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 116 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 116:

$16\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$116$	|:$16$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{29}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{29}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5716}$

Nach ca. 8,572 Stunden ist also der Bestand = 116 Millionen Bakterien.