Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x -3 +2 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x -3 +2 zu jedem Funktionswert von e x noch 2 addiert wird, ist der Graph von e x -3 +2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei e x -3 +2 das x von e x durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x -3 +2 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x -3 +2 gegen 0 +2 = 2 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1000 x 3 ) + lg( 20 x 6 ) - lg( 1 50 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1000 x 3 ) + lg( 20 x 6 ) - lg( 1 50 x )

= - lg( 1000 x -3 ) + lg( 20 x -6 ) - lg( 1 50 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1000 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 6 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( x ) )

= - lg( 1000 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 6 ) - lg( 1 50 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1000 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -6 lg( x ) - lg( 1 50 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1000 ) +3 lg( x ) + lg( 20 ) -6 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) - lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 1000 ) + lg( 50 ) + lg( 20 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 1000 · 50 · 20 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 20 · 20 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e 0,1x -0,1 wird e 0,1x -0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e 0,1x -0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e 0,1x -0,1 = y |:-4
e 0,1x -0,1 = - 1 4 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( - 1 4 y )
0,1x -0,1 = ln( - 1 4 y ) | +0,1
0,1x = ln( - 1 4 y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 4 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,1 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,7% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 5.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.7% weggehen,
also Bneu = B - 5.7 100 ⋅B = (1 - 5.7 100 ) ⋅ B = 0,943 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,943.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.943( 1 2 ) ≈ 11.81 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10% seines Bestands. Zu Beginn sind 80kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 6 Tagen da? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 80 0,9 6 42,515.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

80 0,9 t = 20 |:80
0,9 t = 1 4 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 1 4 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 1 4 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 1 4 ) lg( 0,9 )
t = 13,1576

Nach ca. 13,158 Tage ist also der Bestand = 20 kg.