Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

$\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{4x^7}\right)$

= $\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+2\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Abnahme um 5.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5.5}{100}$) ⋅ B = 0,945 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,945.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.945($\frac{1}{2}$) ≈ 12.25 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 27156.54 Nutzer ist, also f(10) = 27156.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ ein:

c ⋅ 1.13¹⁰ = 27156.54

c ⋅ 3.39457 = 27156.54 | : 3.39457

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $8000\cdot {\mathrm{1,13}}^7$ ≈ 18820,844.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer ist, also f(t) = 48000:

$8000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$48000$	|:$8000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,6604}$

Nach ca. 14,66 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer.