Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)+\lg \left(20\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}·20·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,045}}^t$ ablesen: a=1.045.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.045($2$) ≈ 15.75 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 6.59 Millionen Insekten ist, also f(3) = 6.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ein:

c ⋅ 0.87³ = 6.59

c ⋅ 0.6585 = 6.59 | : 0.6585

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $10\cdot {\mathrm{0,87}}^{12}$ ≈ 1,88.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.9:

$10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{2,9}$	|:$10$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,29}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,8888}$

Nach ca. 8,889 Jahre ist also der Bestand = 2.9 Millionen Insekten.