Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Man kann erkennen, dass
Also schreiben wir
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm
niemals = 0 werden kann.e 7 10 x + k
Da jedoch der zweite Summand abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.3 k
Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 +3 k
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss = -3 gelten;3 k
Also gilt k =- 1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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|: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Halbwertszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.919(
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 26 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 3026 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu
= B +
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):
f(6) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3026 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3026:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 20,583 Stunden ist also der Bestand = 3026 Millionen Bakterien.
