$\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^4}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)+\lg \left(4x^{-4}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $70$

f(1) = $70$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(2) = $70$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(3) = $70$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(4) = $70$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,95}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,95}$-fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4000\cdot {\mathrm{1,06}}^4$ ≈ 5049,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$4000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$11000$	|:$4000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{11}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,3609}$

Nach ca. 17,361 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.