Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-2\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)$
= $\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3k{e}^{kx+2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3k{e}^{kx+2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+2k$	=	0	| - ( $2k$)
  $kx$	=	$-2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-2$

  Wenn wir nun $-2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-2$) = $3k{e}^{k\cdot \left(-2\right)+2k}+2$ = $3k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-2$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $3k+2$	=	$1$	| $-2$
  $3k$	=	$-1$	|:$3$
  $k$	=	$-\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 7.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7.1}{100}$) ⋅ B = 0,929 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,929.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.929($\frac{1}{2}$) ≈ 9.41 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $20\cdot {\mathrm{1,32}}^{12}$ ≈ 559,651.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 320 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 320:

$20\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$320$	|:$20$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9866}$

Nach ca. 9,987 Stunden ist also der Bestand = 320 Millionen Bakterien.