$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+0+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(3| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 3
  Also gilt k = $3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

f(0) = $69$

f(1) = $69$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(2) = $69$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(3) = $69$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(4) = $69$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{23}{25}$ multipliziert. Da $\frac{23}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{23}{25}$-fache (oder auf das $\frac{92}{100}$-fache), also auf $92$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 92% = 8 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $7000\cdot {\mathrm{1,2}}^9$ ≈ 36118,462.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer ist, also f(t) = 57000:

$7000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$57000$	|:$7000$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{57}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5024}$

Nach ca. 11,502 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 57000 Nutzer.