Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 ( 1 2 ) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 1 2 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 2 ist.

Dabei kommt man auf 1 5 = 1 5 = 5-1 < 1 2 und auf 1 = 1 = 5-0 > 1 2 .

Und da wir bei log 5 ( 1 2 ) ja das ☐ von 5 = 1 2 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5-1 = 1 5 = 1 5 < 1 2 < 1 = 1 = 5-0

Es gilt somit: -1 < log 5 ( 1 2 ) < -0

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,3x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,3x können die Funktionswerte von 4 e -0,3x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 4 e -0,3x wird zu allen Funktionswerten von 4 e -0,3x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,3x -3 = y | +3
4 e -0,3x = y +3 |:4
e -0,3x = 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
-0,3x = ln( 1 4 y + 3 4 ) |:-0,3
x = - 1 0,3 ln( 1 4 y + 3 4 )
x = - 10 3 ln( 1 4 y + 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 10 3 ln( 1 4 x + 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 10 3 ln( 1 4 x + 3 4 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 88 0,95 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 88

f(1) = 88 0,95

f(2) = 88 0,950,95

f(3) = 88 0,950,950,95

f(4) = 88 0,950,950,950,95

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,95 multipliziert. Da 0,95 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,95-fache, also auf 95 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer. Nach 11 Wochen zählt man bereits 17392,75 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 5000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 17392.75 Nutzer ist, also f(11) = 17392.75. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 5000 a t ein:

5000 a 11 = 17392,75 |:5000
a 11 = 3,47855 | 11
a = 3,47855 11

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 3,47855 11 ≈ 1.12 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,12 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = 5000 1,12 13 21817,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

5000 1,12 t = 11000 |:5000
1,12 t = 11 5 |lg(⋅)
lg( 1,12 t ) = lg( 11 5 )
t · lg( 1,12 ) = lg( 11 5 ) |: lg( 1,12 )
t = lg( 11 5 ) lg( 1,12 )
t = 6,9573

Nach ca. 6,957 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.