Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 11 (13) liegt.

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Wir suchen 11er-Potenzen in der Näher von 13, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 13 ist.

Dabei kommt man auf 11 = 111 < 13 und auf 11 2 = 112 > 13.

Und da wir bei log 11 (13) ja das ☐ von 11 = 13 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
111 = 11 < 13 < 11 2 = 112

Es gilt somit: 1 < log 11 (13) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k + k = k = 1
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,1x können die Funktionswerte von 3 e 0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 3 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,1x -1 = y | +1
3 e 0,1x = y +1 |:3
e 0,1x = 1 3 y + 1 3 |ln(⋅)
0,1x = ln( 1 3 y + 1 3 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 3 y + 1 3 )
x = 10 ln( 1 3 y + 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( 1 3 x + 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( 1 3 x + 1 3 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 14 ( 6 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 14

f(1) = 14 6 5

f(2) = 14 6 5 6 5

f(3) = 14 6 5 6 5 6 5

f(4) = 14 6 5 6 5 6 5 6 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 6 5 multipliziert. Da 6 5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 6 5 -fache (oder auf das 120 100 -fache), also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 18% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 0,62 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also Bneu = B - 18 100 ⋅B = (1 - 18 100 ) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,82 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 0.62 Millionen Insekten ist, also f(14) = 0.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,82 t ein:

c ⋅ 0.8214 = 0.62

c ⋅ 0.06214 = 0.62 | : 0.06214

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,82 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 10 0,82 11 1,127.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.5:

10 0,82 t = 4,5 |:10
0,82 t = 0,45 |lg(⋅)
lg( 0,82 t ) = lg( 0,45 )
t · lg( 0,82 ) = lg( 0,45 ) |: lg( 0,82 )
t = lg( 0,45 ) lg( 0,82 )
t = 4,0237

Nach ca. 4,024 Jahre ist also der Bestand = 4.5 Millionen Insekten.