Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x+2}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

$\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^5}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 96.04 kg ist, also f(2) = 96.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ ein:

$100a^2$	=	$\mathrm{96,04}$	|:$100$
$a^2$	=	$\mathrm{0,9604}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,9604}}$	= $-\mathrm{0,98}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,9604}}$	= $\mathrm{0,98}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $100\cdot {\mathrm{0,98}}^4$ ≈ 92,237.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 90.4 kg ist, also f(t) = 90.4:

$100\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{90,4}$	|:$100$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\mathrm{0,904}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,904}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,904}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,904}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9957}$

Nach ca. 4,996 Tage ist also der Bestand = 90.4 kg.