Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{8}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{8}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{8}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{8}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $2$^$-3$ = $\frac{1}{8}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{9}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-3e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-3$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,87}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 35.29 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 35.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11⁷ = 35.29

c ⋅ 2.07616 = 35.29 | : 2.07616

c = 17

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $17\cdot {\mathrm{1,11}}^4$ ≈ 25,807.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 77 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 77:

$17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$77$	|:$17$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{77}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{77}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{77}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{77}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,4748}$

Nach ca. 14,475 Stunden ist also der Bestand = 77 Millionen Bakterien.