Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{13}$ als ${13}^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{13}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math>}\right)$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-y+2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y+2\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y+2\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-y+2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x+2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x+2\right)$

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,87.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.87($\frac{1}{2}$) ≈ 4.98 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^9$ ≈ 10232,148.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,8853}$

Nach ca. 3,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.