Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $5$^$0$ = $1$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(20x^4\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50}·25·20)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 27 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,23}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11\cdot {\mathrm{0,82}}^9$ ≈ 1,844.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1:

$11\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$1$	|:$11$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\frac{1}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,0831}$

Nach ca. 12,083 Jahre ist also der Bestand = 1 Millionen Insekten.