$\lg \left(50000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000·20)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

f(0) = $12$

f(1) = $12$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $12$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $12$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $12$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$-fache (oder auf das $\frac{120}{100}$-fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2.48 Millionen Insekten ist, also f(8) = 2.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ ein:

c ⋅ 0.84⁸ = 2.48

c ⋅ 0.24788 = 2.48 | : 0.24788

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $10\cdot {\mathrm{0,84}}^9$ ≈ 2,082.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.5:

$10\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{1,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\mathrm{0,15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8809}$

Nach ca. 10,881 Jahre ist also der Bestand = 1.5 Millionen Insekten.