Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}{x}^2\right)+\lg \left(25x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,076}}^t$ ablesen: a=1.076.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.076($2$) ≈ 9.46 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 8745.03 Nutzer ist, also f(4) = 8745.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^4$	=	$8\mathrm{745,03}$	|:$5000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,74901}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,74901}}$	= $-\mathrm{1,15}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,74901}}$	= $\mathrm{1,15}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,15}$ ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,15}}^5$ ≈ 10056,786.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$5000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$9000$	|:$5000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2056}$

Nach ca. 4,206 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.