Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 4 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 4 um: 1 4 = 4 - 1 2

log 4 ( 1 4 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 - 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 4 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 4 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 4 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 4 - 1 2 = 1 4 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k + k = k = 2
    k = 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,2x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,2x +0,4 wird e -0,2x +0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,2x +0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,2x +0,4 = y |:-1
e -0,2x +0,4 = -1 y |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( -y )
-0,2x +0,4 = ln( -y ) | -0,4
-0,2x = ln( -y ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( -y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( -x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( -x ) + 0,4 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 81 1,05 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 81

f(1) = 81 1,05

f(2) = 81 1,051,05

f(3) = 81 1,051,051,05

f(4) = 81 1,051,051,051,05

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,05 multipliziert. Da 1,05 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,05-fache, also auf 105 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,7 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 11 0,91 12 3,547.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.7:

11 0,91 t = 4,7 |:11
0,91 t = 0,4273 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 0,4273 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 0,4273 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 0,4273 ) lg( 0,91 )
t = 9,0156

Nach ca. 9,016 Jahre ist also der Bestand = 4.7 Millionen Insekten.