Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $6$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{kx-2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2k{e}^{kx-2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-2k$	=	0	| - ( $-2k$)
  $kx$	=	$2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$2$

  Wenn wir nun $2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($2$) = $2k{e}^{k\cdot 2-2k}-2$ = $2k-2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($2$) = -1 ablesen, es gilt somit:

  $2k-2$	=	$-1$	| $+2$
  $2k$	=	$1$	|:$2$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $31$

f(1) = $31$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $31$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $31$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $31$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$-fache (oder auf das $\frac{104}{100}$-fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 14702.39 Nutzer ist, also f(5) = 14702.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^5$	=	$14\mathrm{702,39}$	|:$7000$
$a^5$	=	$\mathrm{2,10034}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{2,10034}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{2,10034}}$ ≈ 1.16 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $7000\cdot {\mathrm{1,16}}^6$ ≈ 17054,774.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer ist, also f(t) = 27000:

$7000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$27000$	|:$7000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0953}$

Nach ca. 9,095 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer.