Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
=0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,99}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $8000\cdot {\mathrm{1,02}}^{10}$ ≈ 9751,955.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$8000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$9000$	|:$8000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{9}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,9478}$

Nach ca. 5,948 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.