Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $130$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $130$ ist.

Dabei kommt man auf $2^7$ = 2⁷ < $130$ und auf $2^8$ = 2⁸ > $130$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $130$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
2⁷ = $2^7$ < $130$ < $2^8$ = 2⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $-\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(5| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 5
  Also gilt k = $-\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $54$

f(1) = $54$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $54$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $54$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $54$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 21913.89 Nutzer ist, also f(10) = 21913.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^{10}$	=	$21\mathrm{913,89}$	|:$3000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{7,30463}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{7,30463}}$	= $-\mathrm{1,22}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{7,30463}}$	= $\mathrm{1,22}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,22}$ ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $3000\cdot {\mathrm{1,22}}^4$ ≈ 6646,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$3000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$10000$	|:$3000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$\frac{10}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{10}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(\frac{10}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{10}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0547}$

Nach ca. 6,055 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.