$\lg \left(4000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (4000·25)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20x}\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)$
$x$	=	$10\ln \left(y+3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(x+3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(x+3\right)$

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,23.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.23($2$) ≈ 3.35 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $4\cdot {\mathrm{1,2}}^8$ ≈ 17,199.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 104 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 104:

$4\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$104$	|:$4$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$26$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(26\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(26\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(26\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,8701}$

Nach ca. 17,87 Stunden ist also der Bestand = 104 Millionen Bakterien.