Zuerst schreiben wir $\sqrt{4}$ um: $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{4}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+2k$ = $2k$ = -2

  $2k$	=	$-2$	|:$2$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,979}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 52.83 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 52.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,979}}^t$ ein:

c ⋅ 0.979⁶ = 52.83

c ⋅ 0.88043 = 52.83 | : 0.88043

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $60\cdot {\mathrm{0,979}}^7$ ≈ 51,717.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,1044}$

Nach ca. 19,104 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.