$-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{8x}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{5}{x^{10}}\right)-\lg \left(\frac{125}{x^2}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(5x^{-10}\right)-\lg \left(125x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right))-(\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-10\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-10\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 12.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12.5}{100}$) ⋅ B = 0,875 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,875.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.875($\frac{1}{2}$) ≈ 5.19 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 19.88 kg ist, also f(6) = 19.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89⁶ = 19.88

c ⋅ 0.49698 = 19.88 | : 0.49698

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $40\cdot {\mathrm{0,89}}^5$ ≈ 22,336.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 31.7 kg ist, also f(t) = 31.7:

$40\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{31,7}$	|:$40$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,7925}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7925}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7925}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7925}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9957}$

Nach ca. 1,996 Tage ist also der Bestand = 31.7 kg.