Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-1}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x-1}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-1}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-1}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}+3$ = $0+3$ = $3$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $3$) im abgebildeten Graph bei P(4| $3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 4
  Also gilt k = $-\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-3}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,098}}^t$ ablesen: a=1.098.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.098($2$) ≈ 7.41 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $50\cdot {\mathrm{0,91}}^{13}$ ≈ 14,673.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$50\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$20$	|:$50$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,7157}$

Nach ca. 9,716 Tage ist also der Bestand = 20 kg.