$\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(\frac{10}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)+\lg \left(10x^{-3}\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·10·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,068}}^t$ ablesen: a=1.068.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.068($2$) ≈ 10.54 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.7}{100}$) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 60.25 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 60.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ ein:

c ⋅ 0.973⁸ = 60.25

c ⋅ 0.80335 = 60.25 | : 0.80335

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75\cdot {\mathrm{0,973}}^5$ ≈ 65,407.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.4:

$75\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{65,4}$	|:$75$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{0,872}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,872}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,872}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,872}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,004}$

Nach ca. 5,004 Jahre ist also der Bestand = 65.4 Millionen Einwohner.