Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $3e^{x+1}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $3e^{x+1}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $3e^{x+1}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $3e^{x+1}-1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $3e^{x+1}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-3}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-3}-3$	=	$y$	| $+3$
$-3e^{x-3}$	=	$y+3$	|:$-3$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-1\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.2($2$) ≈ 3.8 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7430.64 € ist, also f(6) = 7430.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^6$	=	$7\mathrm{430,64}$	|:$7000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,06152}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,06152}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,06152}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^{12}$ ≈ 7887,775.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7300 € ist, also f(t) = 7300:

$7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$7300$	|:$7000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{73}{70}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{73}{70}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{73}{70}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{73}{70}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2174}$

Nach ca. 4,217 Jahre ist also der Kontostand = 7300 €.