Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)+10$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.3}{100}$) ⋅ B = 0,977 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,977.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.977($\frac{1}{2}$) ≈ 29.79 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 24192.73 Nutzer ist, also f(12) = 24192.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^{12}$	=	$24\mathrm{192,73}$	|:$3000$
$a^{12}$	=	$\mathrm{8,06424}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{8,06424}}$	= $-\mathrm{1,19}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{8,06424}}$	= $\mathrm{1,19}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,19}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $3000\cdot {\mathrm{1,19}}^9$ ≈ 14356,346.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:

$3000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$9000$	|:$3000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,3156}$

Nach ca. 6,316 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.