Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

$-\lg \left(\frac{250}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(250x^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(250\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-2}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,871}}^t$ ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.871($\frac{1}{2}$) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.6}{100}$) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 52.74 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 52.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ ein:

c ⋅ 0.984⁸ = 52.74

c ⋅ 0.87894 = 52.74 | : 0.87894

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $60\cdot {\mathrm{0,984}}^6$ ≈ 54,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 58.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 58.1:

$60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{58,1}$	|:$60$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{0,9683}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9683}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9683}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9683}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9972}$

Nach ca. 1,997 Jahre ist also der Bestand = 58.1 Millionen Einwohner.