Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{100}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{100}\right)-\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+0-\lg \left(\frac{1}{100}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(100\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(100\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (100·5·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-2e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+1$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 1.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.7}{100}$) ⋅ B = 1,017 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,017.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.017($2$) ≈ 41.12 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 6627.73 € ist, also f(10) = 6627.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{10}$	=	$6\mathrm{627,73}$	|:$6000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,10462}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,10462}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,10462}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $6000\cdot {\mathrm{1,01}}^5$ ≈ 6306,06.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6400 € ist, also f(t) = 6400:

$6000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$6400$	|:$6000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{16}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{16}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,4861}$

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 6400 €.