Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (47) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 47, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 47 ist.

Dabei kommt man auf 2 5 = 25 < 47 und auf 2 6 = 26 > 47.

Und da wir bei log 2 (47) ja das ☐ von 2 = 47 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
25 = 2 5 < 47 < 2 6 = 26

Es gilt somit: 5 < log 2 (47) < 6

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 4 ) + lg( 4x ) + lg( 1 100 x ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x 4 ) + lg( 4x ) + lg( 1 100 x )

= lg( 25 x 4 ) + lg( 4x ) + lg( 1 100 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 4 ) + lg( x ) ) + ( lg( 1 100 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + lg( 4 ) + lg( x ) + lg( 1 100 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x ) + lg( 1 100 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) - lg( x )

= 4 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 4 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 )

= 4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,6 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,2x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,6 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,6 +1 = y | -1
e 0,2x -0,6 = y -1 |ln(⋅)
0,2x -0,6 = ln( y -1 )
0,2x -0,6 = ln( y -1 ) | +0,6
0,2x = ln( y -1 ) +0,6 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -1 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,146 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,146 t ablesen: a=1.146.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.146(2) ≈ 5.09 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 11 Wochen zählt man bereits 56981,92 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 37000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also Bneu = B + 21 100 ⋅B = (1 + 21 100 ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,21 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 56981.92 Nutzer ist, also f(11) = 56981.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,21 t ein:

c ⋅ 1.2111 = 56981.92

c ⋅ 8.14027 = 56981.92 | : 8.14027

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,21 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = 7000 1,21 12 68948,129.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer ist, also f(t) = 37000:

7000 1,21 t = 37000 |:7000
1,21 t = 37 7 |lg(⋅)
lg( 1,21 t ) = lg( 37 7 )
t · lg( 1,21 ) = lg( 37 7 ) |: lg( 1,21 )
t = lg( 37 7 ) lg( 1,21 )
t = 8,7347

Nach ca. 8,735 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer.