Wir suchen den Logarithmus von $1000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $10$^$3$ = $1000$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{x-3}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

f(0) = $172$

f(1) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 2.71 Millionen Insekten ist, also f(7) = 2.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^7$	=	$\mathrm{2,71}$	|:$10$
$a^7$	=	$\frac{\mathrm{2,71}}{10}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\frac{\mathrm{2,71}}{10}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\frac{\mathrm{2,71}}{10}}$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $10\cdot {\mathrm{0,83}}^6$ ≈ 3,269.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

$10\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{2,3}$	|:$10$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{0,23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,23}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8875}$

Nach ca. 7,888 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.