Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^2}\right)$

= $-\lg \left(2\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(2\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(2\right)+0+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5·4}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,148}}^t$ ablesen: a=1.148.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.148($2$) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^5$ ≈ 5187,485.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 92000 Nutzer ist, also f(t) = 92000:

$2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$92000$	|:$2000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$46$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(46\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(46\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(46\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,0852}$

Nach ca. 20,085 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 92000 Nutzer.