Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{50x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $111$

f(1) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 2.18 Millionen Insekten ist, also f(9) = 2.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^9$	=	$\mathrm{2,18}$	|:$13$
$a^9$	=	$\frac{\mathrm{2,18}}{13}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\frac{\mathrm{2,18}}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\frac{\mathrm{2,18}}{13}}$ ≈ 0.82 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $13\cdot {\mathrm{0,82}}^{10}$ ≈ 1,787.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.2:

$13\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{7,2}$	|:$13$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\mathrm{0,5538}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5538}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5538}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,5538}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9778}$

Nach ca. 2,978 Jahre ist also der Bestand = 7.2 Millionen Insekten.