Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-2k\right)·e^{x-k}$ = 0 wird, wenn $x-2k$ = 0 ist, also für x = $2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($2k$) = $-\left(\left(2k\right)-2k\right)·e^{\left(2k\right)-k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $2k$ bei ( $x-2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($2k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2k$ = 1
  Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$3e^{x-2}$	=	$y-3$	|:$3$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ablesen: a=0.87.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.87($\frac{1}{2}$) ≈ 4.98 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 64.2 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 64.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ ein:

c ⋅ 0.964⁶ = 64.2

c ⋅ 0.80253 = 64.2 | : 0.80253

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,964}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $80\cdot {\mathrm{0,964}}^8$ ≈ 59,663.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,964}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,964}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,964}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,964}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8464}$

Nach ca. 7,846 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.