Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)$
$x$	=	$10\ln \left(y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(x-3\right)$

f(0) = $37$

f(1) = $37$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $37$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $37$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $37$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 1123.6 € ist, also f(2) = 1123.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^2$	=	$1\mathrm{123,6}$	|:$1000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,1236}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $-\mathrm{1,06}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,1236}}$	= $\mathrm{1,06}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,06}$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^{10}$ ≈ 1790,848.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1900 € ist, also f(t) = 1900:

$1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$1900$	|:$1000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{19}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0154}$

Nach ca. 11,015 Jahre ist also der Kontostand = 1900 €.