Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3k{e}^{kx+2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3k{e}^{kx+2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+2k$	=	0	| - ( $2k$)
  $kx$	=	$-2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-2$

  Wenn wir nun $-2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-2$) = $3k{e}^{k\cdot \left(-2\right)+2k}+2$ = $3k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-2$) = -3 ablesen, es gilt somit:

  $3k+2$	=	$-3$	| $-2$
  $3k$	=	$-5$	|:$3$
  $k$	=	$-\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 21 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot {\mathrm{1,02}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 18.65 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 18.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ein:

c ⋅ 1.08¹¹ = 18.65

c ⋅ 2.33164 = 18.65 | : 2.33164

c = 8

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $8\cdot {\mathrm{1,08}}^{12}$ ≈ 20,145.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 13.7:

$8\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{13,7}$	|:$8$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{1,7125}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,7125}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,7125}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,7125}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,99}$

Nach ca. 6,99 Stunden ist also der Bestand = 13.7 Millionen Bakterien.