Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{x-3}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^5$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.87, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $5000\cdot {\mathrm{1,12}}^4$ ≈ 7867,597.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer ist, also f(t) = 45000:

$5000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$45000$	|:$5000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$9$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(9\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(9\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(9\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,3881}$

Nach ca. 19,388 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 45000 Nutzer.