Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{5}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss $3k$ = -4 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{10,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $\mathrm{1,07}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{29}{100}$⋅B = (1 + $\frac{29}{100}$) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 552.14 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 552.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,29}}^t$ ein:

c ⋅ 1.29¹² = 552.14

c ⋅ 21.23619 = 552.14 | : 21.23619

c = 26

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $26\cdot {\mathrm{1,29}}^7$ ≈ 154,561.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 526 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 526:

$26\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$526$	|:$26$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{263}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{263}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{263}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{263}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8095}$

Nach ca. 11,81 Stunden ist also der Bestand = 526 Millionen Bakterien.