Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}-3$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}-3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}-3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -3 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}-3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}-3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}-3$ gegen $0-3$ = $-3$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}-3$ gegen $\infty$ .

$\lg \left(\frac{1}{40x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-4}\right)+\lg \left(20x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.4}{100}$) ⋅ B = 1,014 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,014.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.014($2$) ≈ 49.86 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 22243.33 Nutzer ist, also f(10) = 22243.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{10}$	=	$22\mathrm{243,33}$	|:$6000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{3,70722}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{3,70722}}$	= $-\mathrm{1,14}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{3,70722}}$	= $\mathrm{1,14}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,14}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $6000\cdot {\mathrm{1,14}}^{11}$ ≈ 25357,394.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer ist, also f(t) = 16000:

$6000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$16000$	|:$6000$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{8}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,4856}$

Nach ca. 7,486 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 16000 Nutzer.