Wir suchen den Logarithmus von $64$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $64$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $64$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $4$^$3$ = $64$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+2k\right)·e^{x+k}$ = 0 wird, wenn $x+2k$ = 0 ist, also für x = $-2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-2k$) = $-\left(\left(-2k\right)+2k\right)·e^{\left(-2k\right)+k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $-2k$ bei ( $x+2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-2k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-2k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$2e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+3$

f(0) = $93$

f(1) = $93$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(2) = $93$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(3) = $93$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(4) = $93$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,1}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,1}$-fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $12\cdot {\mathrm{0,86}}^{10}$ ≈ 2,656.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.2:

$12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$12$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,35}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,35}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,35}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,35}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9606}$

Nach ca. 6,961 Jahre ist also der Bestand = 4.2 Millionen Insekten.