Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,073}}^t$ ablesen: a=1.073.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.073($2$) ≈ 9.84 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 53.79 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 53.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^{10}$	=	$\mathrm{53,79}$	|:$70$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,76843}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,76843}}$	≈ $-\mathrm{0,974}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,76843}}$	≈ $\mathrm{0,974}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,974}$ ≈ 0.974 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,974}}^{13}$ ≈ 49,701.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,7723}$

Nach ca. 12,772 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.