Zuerst schreiben wir $\sqrt{12}$ um: $\sqrt{12}$ = ${12}^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $12$ suchen, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf ${12}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{12}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{125}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(125x^{-3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+3$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2680.19 € ist, also f(6) = 2680.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^6$	=	$2\mathrm{680,19}$	|:$2000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,3401}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,3401}}$	= $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,3401}}$	= $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $2000\cdot {\mathrm{1,05}}^9$ ≈ 3102,656.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2700 € ist, also f(t) = 2700:

$2000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$2700$	|:$2000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{27}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,1509}$

Nach ca. 6,151 Jahre ist also der Kontostand = 2700 €.