Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn
= 0 ist, also für x = .
Dann muss ja der y-Wert fk() = = = sein.
Da bei x = bei ( ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(| ) im abgebildeten Graph bei P(5| ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 5
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,91.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.91() ≈ 7.35 Tage
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 7 Wochen zählt man bereits 3797,5 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 12 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 21000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 3797.5 Nutzer ist, also f(7) = 3797.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 1.217 = 3797.5
c ⋅ 3.7975 = 3797.5 | : 3.7975
c = 1000
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):
f(12) = ≈ 9849,733.
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 15,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.
