${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>16</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>16</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

$\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)$

= $\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10000}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10000\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.92($\frac{1}{2}$) ≈ 8.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 8211.41 € ist, also f(8) = 8211.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^8$	=	$8\mathrm{211,41}$	|:$6000$
$a^8$	=	$\mathrm{1,36857}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6000\cdot {\mathrm{1,04}}^9$ ≈ 8539,871.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$6000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$9000$	|:$6000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,338}$

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.