$\lg \left(2500000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2500000·4)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $67$

f(1) = $67$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $67$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $67$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $67$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$-fache (oder auf das $\frac{140}{100}$-fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 60.53 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 60.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^2$	=	$\mathrm{60,53}$	|:$65$
$a^2$	=	$\mathrm{0,93123}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,93123}}$	≈ $-\mathrm{0,965}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,93123}}$	≈ $\mathrm{0,965}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,965}$ ≈ 0.965 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,965}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $65\cdot {\mathrm{0,965}}^{13}$ ≈ 40,904.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65\cdot {\mathrm{0,965}}^t$	=	$55$	|:$65$
${\mathrm{0,965}}^t$	=	$\frac{11}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,965}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,965}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,689}$

Nach ca. 4,689 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.