Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(\frac{5}{x^{10}}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^3\right)$

= $\lg \left(25x^2\right)+\lg \left(5x^{-10}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right))+(\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{125}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(125\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ablesen: a=1.14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $11\cdot {\mathrm{0,87}}^7$ ≈ 4,15.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.7:

$11\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{2,7}$	|:$11$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,2455}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2455}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2455}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2455}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,085}$

Nach ca. 10,085 Jahre ist also der Bestand = 2.7 Millionen Insekten.