Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-7$, eben weil $10$^$-7$ = $\frac{1}{\mathrm{10.000.000}}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $57$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $57$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $57$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$-fache (oder auf das $\frac{80}{100}$-fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 15.66 kg ist, also f(4) = 15.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ ein:

c ⋅ 0.85⁴ = 15.66

c ⋅ 0.52201 = 15.66 | : 0.52201

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $30\cdot {\mathrm{0,85}}^{11}$ ≈ 5,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,7599}$

Nach ca. 6,76 Tage ist also der Bestand = 10 kg.