Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,1}}{x}\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-1-\lg \left(x\right)-5\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)-1$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $-\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(2| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 2
  Also gilt k = $-\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,064}}^t$ ablesen: a=1.064.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.064($2$) ≈ 11.17 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $5\cdot {\mathrm{1,05}}^{13}$ ≈ 9,428.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 7:

$5\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$7$	|:$5$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{7}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,8963}$

Nach ca. 6,896 Stunden ist also der Bestand = 7 Millionen Bakterien.