Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,1}x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-1}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-1+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-1$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $2kx·e^{kx+2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $2k·0·e^{k\cdot 0+2k}+6k$ = $6k$ = -3

  $6k$	=	$-3$	|:$6$
  $k$	=	$-\frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $8000\cdot {\mathrm{1,23}}^5$ ≈ 22522,445.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 68000 Nutzer ist, also f(t) = 68000:

$8000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$68000$	|:$8000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{17}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,3378}$

Nach ca. 10,338 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 68000 Nutzer.