Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (13) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 13, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 13 ist.

Dabei kommt man auf 4 = 41 < 13 und auf 4 2 = 42 > 13.

Und da wir bei log 4 (13) ja das ☐ von 4 = 13 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
41 = 4 < 13 < 4 2 = 42

Es gilt somit: 1 < log 4 (13) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 625.000 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 25 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 625.000 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 25 x 3 )

= lg( 1 625.000 ) + lg( 25 x 3 ) + lg( 25 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 625.000 ) + lg( 1 ) + ( lg( 25 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( 1 x 3 ) )

= lg( 1 625.000 ) + lg( 1 ) + lg( 25 ) + lg( x 3 ) + lg( 25 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 625.000 ) +0 + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 25 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 625000 ) +0 + lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 25 ) -3 lg( x )

= - lg( 625000 ) + lg( 25 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 625.000 · 25 · 25 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,4x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,4x -0,4 können die Funktionswerte von 2 e 0,4x -0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,4x -0,4 = y |:2
e 0,4x -0,4 = 1 2 y |ln(⋅)
0,4x -0,4 = ln( 1 2 y )
0,4x -0,4 = ln( 1 2 y ) | +0,4
0,4x = ln( 1 2 y ) +0,4 |:0,4
x = 1 0,4 ln( 1 2 y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 4.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.2% weggehen,
also Bneu = B - 4.2 100 ⋅B = (1 - 4.2 100 ) ⋅ B = 0,958 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,958.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.958( 1 2 ) ≈ 16.15 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. 11 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 40,97Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,11 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 40.97 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 40.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,11 t ein:

c ⋅ 1.1111 = 40.97

c ⋅ 3.15176 = 40.97 | : 3.15176

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = 13 1,11 6 24,315.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

13 1,11 t = 33 |:13
1,11 t = 33 13 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 33 13 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 33 13 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 33 13 ) lg( 1,11 )
t = 8,9264

Nach ca. 8,926 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.