Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (16) .

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Wir suchen den Logarithmus von 16 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 16 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (16) = 4, eben weil 24 = 16 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 7 10 x +5 k +15 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 7 10 x +5 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 15 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 15 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss 15 k = -6 gelten;
    Also gilt k = - 2 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 2 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x +0,2 wird e -0,2x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x +0,2 = y |:-3
e -0,2x +0,2 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y )
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y ) | -0,2
-0,2x = ln( - 1 3 y ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,9.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.9( 1 2 ) ≈ 6.58 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2020 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 20 1,29 9 197,851.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2020 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2020:

20 1,29 t = 2020 |:20
1,29 t = 101 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 101 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 101 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 101 ) lg( 1,29 )
t = 18,1239

Nach ca. 18,124 Stunden ist also der Bestand = 2020 Millionen Bakterien.