Wir suchen $15$er-Potenzen in der Näher von $67$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $67$ ist.

Dabei kommt man auf $15$ = 15¹ < $67$ und auf ${15}^2$ = 15² > $67$.

Und da wir bei ja das ☐ von 15^☐ = $67$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
15¹ = $15$ < $67$ < ${15}^2$ = 15²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+2$ = $k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $k+2$	=	$1$	| $-2$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $82$

f(1) = $82$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $82$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $82$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $82$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^{11}$ ≈ 5536,935.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$7000$	|:$4000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{7}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,9323}$

Nach ca. 18,932 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.