Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

$\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 70.89 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 70.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^8$	=	$\mathrm{70,89}$	|:$80$
$a^8$	=	$\mathrm{0,88613}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,88613}}$	≈ $-\mathrm{0,985}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,88613}}$	≈ $\mathrm{0,985}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,985}$ ≈ 0.985 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $80\cdot {\mathrm{0,985}}^9$ ≈ 69,826.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70.9:

$80\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{70,9}$	|:$80$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\mathrm{0,8863}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8863}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9862}$

Nach ca. 7,986 Jahre ist also der Bestand = 70.9 Millionen Einwohner.