Zuerst schreiben wir $\sqrt{8}$ um: $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $8$ eine Potenz ist: $8$ = $2^3$

Also schreiben wir $\sqrt{8}$ = $8^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $2^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{8}$ gilt .

$\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)$

= $\lg \left(5x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $82$

f(1) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 66.67 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 66.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ ein:

c ⋅ 0.971⁴ = 66.67

c ⋅ 0.88895 = 66.67 | : 0.88895

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $75\cdot {\mathrm{0,971}}^{10}$ ≈ 55,88.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,5392}$

Nach ca. 10,539 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.