Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $41$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $3^3$ = 3³ < $41$ und auf $3^4$ = 3⁴ > $41$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
3³ = $3^3$ < $41$ < $3^4$ = 3⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

$-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^8}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(20x^{-8}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 22.8 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{22,8}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,97}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 2143.59 Nutzer ist, also f(8) = 2143.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^8$	=	$2\mathrm{143,59}$	|:$1000$
$a^8$	=	$\mathrm{2,14359}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{2,14359}}$	= $-\mathrm{1,1}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{2,14359}}$	= $\mathrm{1,1}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,1}$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $1000\cdot {\mathrm{1,1}}^{13}$ ≈ 3452,271.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2542}$

Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer.