Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{13}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{13}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{5^2}$ = 5^-2 < $\frac{1}{13}$ und auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 > $\frac{1}{13}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{13}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
5^-2 = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$ < $\frac{1}{13}$ < $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-1}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

f(0) = $79$

f(1) = $79$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $79$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $79$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $79$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=14 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 178.66 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 178.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot a^t$ ein:

$14a^{10}$	=	$\mathrm{178,66}$	|:$14$
$a^{10}$	=	$\mathrm{12,76143}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{12,76143}}$	= $-\mathrm{1,29}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{12,76143}}$	= $\mathrm{1,29}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,29}$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $14\cdot {\mathrm{1,29}}^9$ ≈ 138,495.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 414 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 414:

$14\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$414$	|:$14$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{207}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{207}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{207}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{207}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,3003}$

Nach ca. 13,3 Stunden ist also der Bestand = 414 Millionen Bakterien.