Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{13}$ zur Basis $13$, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{13}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = $\sqrt[5]{13}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{13}$ als ${13}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $13$^☐ = ${13}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $13$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{13}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $2k$ = -2 gelten;
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $87$

f(1) = $87$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $87$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $87$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $87$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$-fache (oder auf das $\frac{110}{100}$-fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 16.73 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 16.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02⁹ = 16.73

c ⋅ 1.19509 = 16.73 | : 1.19509

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $14\cdot {\mathrm{1,02}}^6$ ≈ 15,766.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 18.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 18.1:

$14\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{18,1}$	|:$14$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,2929}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2929}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2929}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,2929}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9724}$

Nach ca. 12,972 Stunden ist also der Bestand = 18.1 Millionen Bakterien.