Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·e^{{\left(-x\right)}^2+2}$ = $-x·e^{x^2+2}$

Wenn man das mit f(x) = $x·e^{x^2+2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^{x^2+2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x·e^{x^2+2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(\frac{20}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)-\lg \left(\frac{1000}{x^3}\right)$

= $\lg \left(20x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)-\lg \left(1000x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,94}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3000\cdot {\mathrm{1,05}}^{10}$ ≈ 4886,684.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4000 € ist, also f(t) = 4000:

$3000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$4000$	|:$3000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{4}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,8963}$

Nach ca. 5,896 Jahre ist also der Kontostand = 4000 €.