Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$4e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$4$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+2$

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,89.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.89($\frac{1}{2}$) ≈ 5.95 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 70.18 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 70.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^6$	=	$\mathrm{70,18}$	|:$75$
$a^6$	=	$\mathrm{0,93573}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,93573}}$	≈ $-\mathrm{0,989}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,93573}}$	≈ $\mathrm{0,989}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,989}$ ≈ 0.989 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $75\cdot {\mathrm{0,989}}^{12}$ ≈ 65,678.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 71 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 71:

$75\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$71$	|:$75$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\frac{71}{75}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{71}{75}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\frac{71}{75}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{71}{75}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9551}$

Nach ca. 4,955 Jahre ist also der Bestand = 71 Millionen Einwohner.