Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{13}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{13}}$ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $13$ suchen, also die Hochzahl mit der man $13$ potenzieren muss, um auf ${13}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $13$^☐ = ${13}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $13$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{13}}$ gilt .

$\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

= $\lg \left(2x^{-4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$2e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 8014.3 € ist, also f(2) = 8014.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,07}}^t$ ein:

c ⋅ 1.07² = 8014.3

c ⋅ 1.1449 = 8014.3 | : 1.1449

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^7$ ≈ 11240,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$11000$	|:$7000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{11}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6804}$

Nach ca. 6,68 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.