$\lg \left(2000\right)$ + $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (2000·50)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$-2e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)+2$

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.98($\frac{1}{2}$) ≈ 34.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 59 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^6$	=	$59$	|:$65$
$a^6$	=	$\frac{59}{65}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{59}{65}}$	≈ $-\mathrm{0,984}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{59}{65}}$	≈ $\mathrm{0,984}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,984}$ ≈ 0.984 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $65\cdot {\mathrm{0,984}}^7$ ≈ 58,06.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 61.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 61.9:

$65\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{61,9}$	|:$65$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{0,9523}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9523}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9523}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9523}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0302}$

Nach ca. 3,03 Jahre ist also der Bestand = 61.9 Millionen Einwohner.