$\lg \left(250000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000·4)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

$-\lg \left(\frac{1}{50x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)-\lg \left(\frac{25}{2}{x}^6\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{25}{2}{x}^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{25}{2}\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{25}{2}\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)-6\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-2}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,032}}^t$ ablesen: a=1.032.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.032($2$) ≈ 22.01 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 42.44 kg ist, also f(6) = 42.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ein:

c ⋅ 0.92⁶ = 42.44

c ⋅ 0.60636 = 42.44 | : 0.60636

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $70\cdot {\mathrm{0,92}}^5$ ≈ 46,136.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$20$	|:$70$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\frac{2}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,0245}$

Nach ca. 15,025 Tage ist also der Bestand = 20 kg.