Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{18}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{18}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\sqrt[5]{18}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{18}$ als ${18}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $18$^☐ = ${18}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $18$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{18}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-1}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-1}-3$	=	$y$	| $+3$
$2e^{x-1}$	=	$y+3$	|:$2$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $21\cdot {\mathrm{1,2}}^4$ ≈ 43,546.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 421 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 421:

$21\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$421$	|:$21$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{421}{21}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{421}{21}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{421}{21}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{421}{21}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,4441}$

Nach ca. 16,444 Stunden ist also der Bestand = 421 Millionen Bakterien.