Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100x ) +2 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100x ) +2 lg( x )
= lg( 100 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= lg( 10 2 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= 2 + lg( x ) +2 lg( x )
= 3 lg( x ) +2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 20 x 4 ) + lg( 1 40 x ) + lg( 2x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 20 x 4 ) + lg( 1 40 x ) + lg( 2x )

= - lg( 1 20 x -4 ) + lg( 1 40 x -1 ) + lg( 2x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 4 ) ) + ( lg( 1 40 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x ) )

= - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 4 ) + lg( 1 40 ) + lg( 1 x ) + lg( 2 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 20 ) +4 lg( x ) + lg( 1 40 ) - lg( x ) + lg( 2 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 20 ) +4 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 40 ) - lg( x ) + lg( 2 ) + lg( x )

= 4 lg( x ) - lg( 40 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 4 lg( x ) + lg( 1 40 · 20 · 2 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 4 lg( x ) + lg( 1 )

= 4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,4 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,2x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,4 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,4 -1 = y | +1
e -0,2x +0,4 = y +1 |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( y +1 )
-0,2x +0,4 = ln( y +1 ) | -0,4
-0,2x = ln( y +1 ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y +1 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x +1 ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,913 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,913 t ablesen: a=0.913.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.913( 1 2 ) ≈ 7.62 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 133,18Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 1022 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 22 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 133.18 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 133.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 22 a t ein:

22 a 6 = 133,18 |:22
a 6 = 6,05364 | 6
a1 = - 6,05364 6 -1,35
a2 = 6,05364 6 1,35

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,35 ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 22 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = 22 1,35 13 1088,333.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1022 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1022:

22 1,35 t = 1022 |:22
1,35 t = 511 11 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 511 11 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 511 11 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 511 11 ) lg( 1,35 )
t = 12,7905

Nach ca. 12,791 Stunden ist also der Bestand = 1022 Millionen Bakterien.