Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · ( 2 e x -2 e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · ( 2 e -x -2 e x ) = - x · ( 2 e -x -2 e x ) = 2 x · e x -2 x · e -x

Wenn man das mit f(x) = x · ( 2 e x -2 e -x ) = 2 x · e x -2 x · e -x vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 4 ) + lg( 1 4 x 9 ) - lg( 1 2 x ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 4 ) + lg( 1 4 x 9 ) - lg( 1 2 x )

= lg( 2 x 4 ) + lg( 1 4 x -9 ) - lg( 1 2 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 1 4 ) + lg( 1 x 9 ) ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 2 ) + lg( x 4 ) + lg( 1 4 ) + lg( 1 x 9 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +4 lg( x ) + lg( 1 4 ) -9 lg( x ) - lg( 1 2 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +4 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 4 ) -9 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) + lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 4 ) + lg( 2 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 4 · 2 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -1 = y | +1
e 0,3x = y +1 |ln(⋅)
0,3x = ln( y +1 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +1 )
x = 10 3 ln( y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( x +1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.17(2) ≈ 4.41 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 3,85 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 11 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 3.85 Millionen Insekten ist, also f(9) = 3.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 11 a t ein:

11 a 9 = 3,85 |:11
a 9 = 3,85 11 | 9
a = 3,85 11 9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 3,85 11 9 ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,89 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 11 0,89 5 6,142.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

11 0,89 t = 2,2 |:11
0,89 t = 0,2 |lg(⋅)
lg( 0,89 t ) = lg( 0,2 )
t · lg( 0,89 ) = lg( 0,2 ) |: lg( 0,89 )
t = lg( 0,2 ) lg( 0,89 )
t = 13,8109

Nach ca. 13,811 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.