$-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·20·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

$\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{2500x^4}\right)$

= $\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(\frac{1}{2500}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(2500\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2500\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2500}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $7$

f(1) = $7$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $7$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $7$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $7$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4243.6 € ist, also f(2) = 4243.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^2$	=	$4\mathrm{243,6}$	|:$4000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,0609}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,0609}}$	= $-\mathrm{1,03}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,0609}}$	= $\mathrm{1,03}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,03}$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $4000\cdot {\mathrm{1,03}}^8$ ≈ 5067,08.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$4000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$5000$	|:$4000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,5491}$

Nach ca. 7,549 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.