Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20 ) - lg( 5 x 2 ) + lg( 25 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 20 ) - lg( 5 x 2 ) + lg( 25 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( 1 ) - ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 20 ) + lg( 1 ) - lg( 5 ) - lg( x 2 ) + lg( 25 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) +0 - lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 25 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) +0 - lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 25 ) +2 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 20 ) - lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 20 5 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -2 = -a = -a .

Es gilt also: -2 = -a | ⋅ -1

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,2x -0,4 wird e 0,2x -0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,2x -0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,2x -0,4 = y |:-2
e 0,2x -0,4 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( - 1 2 y )
0,2x -0,4 = ln( - 1 2 y ) | +0,4
0,2x = ln( - 1 2 y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 2 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,101 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,101 t ablesen: a=1.101.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.101(2) ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Nach 2 Tagen nach sind nur noch 35,34kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 5 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 35,3kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 40 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 35.34 kg ist, also f(2) = 35.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 40 a t ein:

40 a 2 = 35,34 |:40
a 2 = 0,8835 | 2
a1 = - 0,8835 -0,94
a2 = 0,8835 0,94

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,94 ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,94 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = 40 0,94 5 29,356.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35.3 kg ist, also f(t) = 35.3:

40 0,94 t = 35,3 |:40
0,94 t = 0,8825 |lg(⋅)
lg( 0,94 t ) = lg( 0,8825 )
t · lg( 0,94 ) = lg( 0,8825 ) |: lg( 0,94 )
t = lg( 0,8825 ) lg( 0,94 )
t = 2,0201

Nach ca. 2,02 Tage ist also der Bestand = 35.3 kg.