Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-1}$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-1}$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-1}$ gegen 0 .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,947}}^t$ ablesen: a=0.947.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.947($\frac{1}{2}$) ≈ 12.73 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 56.13 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 56.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ ein:

c ⋅ 0.964⁴ = 56.13

c ⋅ 0.86359 = 56.13 | : 0.86359

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,964}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $65\cdot {\mathrm{0,964}}^5$ ≈ 54,113.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,964}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,964}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,964}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,964}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0296}$

Nach ca. 10,03 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.