Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}{x}^2\right)$

= $\lg \left(50x^{-3}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1000000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y+2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y+2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y+2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y+2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+2\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,043}}^t$ ablesen: a=1.043.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.043($2$) ≈ 16.46 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $6000\cdot {\mathrm{1,05}}^{12}$ ≈ 10775,138.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

$6000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$15000$	|:$6000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{5}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,7802}$

Nach ca. 18,78 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.