Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) =
=
vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) =
weder gleich f(x) =
noch gleich -f(x) =
=
ist.
Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:
f(1) =
=
≈ 4.086
Aber: f(-1) =
=
≈ 2.086
Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)
Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
2 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | |||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,02.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.02() ≈ 35 Stunden
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,13 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 9,6 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.13 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.13. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.8612 = 2.13
c ⋅ 0.16367 = 2.13 | : 0.16367
c = 13
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):
f(7) = ≈ 4,523.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.6:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 2,01 Jahre ist also der Bestand = 9.6 Millionen Insekten.
