$\lg \left(500000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500000000·2)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{5}x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4.8}{100}$) ⋅ B = 0,952 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,952.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.952($\frac{1}{2}$) ≈ 14.09 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.3}{100}$) ⋅ B = 0,977 ⋅ B. Somit ist das a=0,977.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 59.22 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 59.22. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,977}}^t$ ein:

c ⋅ 0.977⁴ = 59.22

c ⋅ 0.91113 = 59.22 | : 0.91113

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,977}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $65\cdot {\mathrm{0,977}}^9$ ≈ 52,719.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.6:

$65\cdot {\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{60,6}$	|:$65$
${\mathrm{0,977}}^t$	=	$\mathrm{0,9323}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,977}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9323}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9323}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,977}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9323}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,977}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0127}$

Nach ca. 3,013 Jahre ist also der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner.