Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x )
= lg( x -1 )
= - lg( x )
= - lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 20000 x ) - lg( 1 5 x 4 ) - lg( 1 4 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 20000 x ) - lg( 1 5 x 4 ) - lg( 1 4 x 3 )

= lg( 1 20000 x -1 ) - lg( 1 5 x -4 ) - lg( 1 4 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 20000 ) + lg( 1 x ) - ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 4 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 1 20000 ) + lg( 1 x ) - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 4 ) - lg( 1 4 ) - lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 20000 ) - lg( x ) - lg( 1 5 ) +4 lg( x ) - lg( 1 4 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 20000 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 5 ) +4 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -3 lg( x )

= - lg( 20000 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 20000 · 5 · 4 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,3x -0,3 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,3 -3 = y | +3
e 0,3x -0,3 = y +3 |ln(⋅)
0,3x -0,3 = ln( y +3 )
0,3x -0,3 = ln( y +3 ) | +0,3
0,3x = ln( y +3 ) +0,3 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +3 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x +3 ) + 0,3 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 12 1,4 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 12

f(1) = 12 1,4

f(2) = 12 1,41,4

f(3) = 12 1,41,41,4

f(4) = 12 1,41,41,41,4

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,4 multipliziert. Da 1,4 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,4-fache, also auf 140 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 17% vermehrt. Nach 10 Wochen zählt man bereits 4806,83 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 1900 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,17 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 4806.83 Nutzer ist, also f(10) = 4806.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,17 t ein:

c ⋅ 1.1710 = 4806.83

c ⋅ 4.80683 = 4806.83 | : 4.80683

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 1000 1,17 8 3511,453.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1900 Nutzer ist, also f(t) = 1900:

1000 1,17 t = 1900 |:1000
1,17 t = 19 10 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 19 10 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 19 10 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 19 10 ) lg( 1,17 )
t = 4,0881

Nach ca. 4,088 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1900 Nutzer.