Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}+2$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-1\right)}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-1\right)}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-1\right)}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-1\right)}+2$ gegen $\infty$ .

$\lg \left(\frac{4}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)-\lg \left(\frac{80}{x^4}\right)$

= $\lg \left(4x^{-7}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)-\lg \left(80x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,944}}^t$ ablesen: a=0.944.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.944($\frac{1}{2}$) ≈ 12.03 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $30\cdot {\mathrm{0,93}}^{10}$ ≈ 14,519.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$30\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$10$	|:$30$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{1}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,1385}$

Nach ca. 15,139 Tage ist also der Bestand = 10 kg.