Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 169 ( 13 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis 169 suchen und 169 gerade 13² ist (also 13 = 169 = 169 1 2 ), formen wir 13 noch so um, dass sie 169 als Basis hat:

13 = 169 1 2

log 169 ( 13 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 13 = 169 1 2 zur Basis 169 suchen, also die Hochzahl mit der man 169 potenzieren muss, um auf 13 = 169 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 169 = 13 = 169 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 169 ( 13 ) = log 169 ( 169 1 2 ) = 1 2 , eben weil 169 1 2 = 13 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 7 ) + lg( 5 x ) - lg( 1 20 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 7 ) + lg( 5 x ) - lg( 1 20 x 4 )

= lg( 1 100 x -7 ) + lg( 5 x -1 ) - lg( 1 20 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 7 ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 7 ) + lg( 5 ) + lg( 1 x ) - lg( 1 20 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -7 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) - lg( 1 20 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -7 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) +4 lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -1 können die Funktionswerte von 4 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -1 +3 = y | -3
4 e x -1 = y -3 |:4
e x -1 = 1 4 y - 3 4 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 4 y - 3 4 )
x -1 = ln( 1 4 y - 3 4 ) | +1
x = ln( 1 4 y - 3 4 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x - 3 4 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x - 3 4 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,951 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,951 t ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.951( 1 2 ) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 20 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 11 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 50 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu = B + 8 100 ⋅B = (1 + 8 100 ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 20 1,08 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = 20 1,08 11 46,633.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 50:

20 1,08 t = 50 |:20
1,08 t = 5 2 |lg(⋅)
lg( 1,08 t ) = lg( 5 2 )
t · lg( 1,08 ) = lg( 5 2 ) |: lg( 1,08 )
t = lg( 5 2 ) lg( 1,08 )
t = 11,9059

Nach ca. 11,906 Stunden ist also der Bestand = 50 Millionen Bakterien.