Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term -2 lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
-2 lg( x 3 )
= -6 lg( x )
= -6 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 3 ) - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 50 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 3 ) - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 50 x 2 )

= lg( 1 100 x -3 ) - lg( 1 2 x -2 ) + lg( 50 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 3 ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 3 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -3 lg( x ) - lg( 1 2 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 2 ) +2 lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x )

= -3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -3 lg( x ) + lg( 1 100 · 50 · 2 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -3 lg( x ) + lg( 1 )

= -3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 = y |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y )
0,2x -0,2 = ln( y ) | +0,2
0,2x = ln( y ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x ) + 0,2 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,3 = 2 | 3,3
a = 2 1 3,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,3 ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,23 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 27 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 297,87Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 9 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 47 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 27 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 297.87 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 297.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 27 a t ein:

27 a 8 = 297,87 |:27
a 8 = 11,03222 | 8
a1 = - 11,03222 8 -1,35
a2 = 11,03222 8 1,35

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,35 ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 27 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = 27 1,35 9 402,131.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 47:

27 1,35 t = 47 |:27
1,35 t = 47 27 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 47 27 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 47 27 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 47 27 ) lg( 1,35 )
t = 1,8471

Nach ca. 1,847 Stunden ist also der Bestand = 47 Millionen Bakterien.