Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^3\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $3+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+3$

$\lg \left(\frac{2}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)$

= $\lg \left(2x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40}·2·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,2}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)$

f(0) = $158$

f(1) = $158$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $158$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $158$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $158$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 5582.6 Nutzer ist, also f(3) = 5582.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23³ = 5582.6

c ⋅ 1.86087 = 5582.6 | : 1.86087

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $3000\cdot {\mathrm{1,23}}^{13}$ ≈ 44247,395.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$3000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$13000$	|:$3000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0833}$

Nach ca. 7,083 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.