Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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2. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache den Term zu einem Vielfachen von .
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
=
=
=
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 35 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 35 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
|
|
= |
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 36,87Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 13 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 104 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 36.87 Millionen Bakterien ist,
also f(8) = 36.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.328 = 36.87
c ⋅ 9.21704 = 36.87 | : 9.21704
c = 4
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):
f(13) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 104 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 104:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 11,735 Stunden ist also der Bestand = 104 Millionen Bakterien.
