Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 + e x 2 vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 + e ( -x ) 2 = x 2 + e x 2 = e x 2 + x 2

Wenn man das mit f(x) = x 2 + e x 2 = e x 2 + x 2 vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +2 = k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = 1 ablesen, es gilt somit:
    k +2 = 1 | -2
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x +0,2 wird e -0,2x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x +0,2 = y |:-3
e -0,2x +0,2 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y )
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y ) | -0,2
-0,2x = ln( - 1 3 y ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,952 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,952 t ablesen: a=0.952.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.952( 1 2 ) ≈ 14.09 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 65,87 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 10 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 65.87 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 65.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 8 = 65,87 |:80
a 8 = 0,82338 | 8
a1 = - 0,82338 8 -0,976
a2 = 0,82338 8 0,976

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,976 ≈ 0.976 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,976 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 80 0,976 10 62,746.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

80 0,976 t = 60 |:80
0,976 t = 3 4 |lg(⋅)
lg( 0,976 t ) = lg( 3 4 )
t · lg( 0,976 ) = lg( 3 4 ) |: lg( 0,976 )
t = lg( 3 4 ) lg( 0,976 )
t = 11,8423

Nach ca. 11,842 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.