Wir suchen den Logarithmus von $4$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $4$^$1$ = $4$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.93($\frac{1}{2}$) ≈ 9.55 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 70.69 kg ist, also f(2) = 70.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ ein:

c ⋅ 0.94² = 70.69

c ⋅ 0.8836 = 70.69 | : 0.8836

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $80\cdot {\mathrm{0,94}}^5$ ≈ 58,712.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$80\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$40$	|:$80$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,2023}$

Nach ca. 11,202 Tage ist also der Bestand = 40 kg.