Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $70$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $70$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $70$ und auf $5^3$ = 5³ > $70$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $70$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $70$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-3kx·e^{kx-3k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-3k·0·e^{k\cdot 0-3k}+3k$ = $3k$ = 4

  $3k$	=	$4$	|:$3$
  $k$	=	$\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,033}}^t$ ablesen: a=1.033.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.033($2$) ≈ 21.35 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 21.4 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 21.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ ein:

$19a^6$	=	$\mathrm{21,4}$	|:$19$
$a^6$	=	$\mathrm{1,12632}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,12632}}$	≈ $-\mathrm{1,02}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,12632}}$	≈ $\mathrm{1,02}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,02}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $19\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 21,825.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22.3 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22.3:

$19\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{22,3}$	|:$19$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,1737}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1737}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1737}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,1737}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0879}$

Nach ca. 8,088 Stunden ist also der Bestand = 22.3 Millionen Bakterien.