$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

$\lg \left(\frac{1}{200}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{200}{x}^4\right)+\lg \left(4x^{-7}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,95}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 109139.36 Nutzer ist, also f(13) = 109139.36. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{13}$	=	$109\mathrm{139,36}$	|:$6000$
$a^{13}$	=	$\mathrm{18,18989}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{18,18989}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{18,18989}}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^4$ ≈ 14648,438.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 86000 Nutzer ist, also f(t) = 86000:

$6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$86000$	|:$6000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{43}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{43}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{43}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{43}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9322}$

Nach ca. 11,932 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 86000 Nutzer.