Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{40000}{x^2}\right)$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)-\lg \left(40000x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(40000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(40000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(40000\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(40000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $124$

f(1) = $124$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $124$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $124$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $124$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 4410 € ist, also f(2) = 4410. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^2$	=	$4410$	|:$4000$
$a^2$	=	$\frac{441}{400}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{441}{400}}$	= $-\frac{21}{20}$
a2	=	$\sqrt{\frac{441}{400}}$	= $\frac{21}{20}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{21}{20}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^{12}$ ≈ 7183,425.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3104}$

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.