Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000000}{x}\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $10-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·5·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,2}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,917}}^t$ ablesen: a=0.917.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.917($\frac{1}{2}$) ≈ 8 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $60\cdot {\mathrm{0,972}}^5$ ≈ 52,057.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,4199}$

Nach ca. 6,42 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.