$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

$\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(\frac{10}{x^6}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

= $\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(10x^{-6}\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·10·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y-1\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-x-1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,1}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $10\cdot {\mathrm{0,93}}^{11}$ ≈ 4,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.5 kg ist, also f(t) = 6.5:

$10\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{6,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,65}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,65}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,65}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,65}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,936}$

Nach ca. 5,936 Tage ist also der Bestand = 6.5 kg.