$-\lg \left(\frac{1}{20x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100x^9}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-9}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100}\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-9\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-2$), also gilt f(0)=$-2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-2$ , also $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-2\cdot a$ = $-2a$.

Es gilt also: $-4$ = $-2a$ | ⋅ $-\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{x-2}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{x-2}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-y+3\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-y+3\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+3\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+3\right)+2$

Die prozentuale Zunahme um 5.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5.2}{100}$) ⋅ B = 1,052 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,052.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.052($2$) ≈ 13.67 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 5.02 Millionen Insekten ist, also f(5) = 5.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ ein:

c ⋅ 0.84⁵ = 5.02

c ⋅ 0.41821 = 5.02 | : 0.41821

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $12\cdot {\mathrm{0,84}}^7$ ≈ 3,541.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$3$	|:$12$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{1}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9511}$

Nach ca. 7,951 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.