Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000000 x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000000 x ) +5 lg( x )
= lg( 1000000000 ) - lg( x ) +5 lg( x )
= lg( 10 9 ) - lg( x ) +5 lg( x )
= 9 - lg( x ) +5 lg( x )
= 4 lg( x ) +9

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 4 ) + lg( 1 100 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x 4 ) + lg( 1 100 x 2 ) + lg( 4 x 3 )

= lg( 25 x 4 ) + lg( 1 100 x 2 ) + lg( 4 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 1 100 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) )

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + lg( 1 100 ) + lg( x 2 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 1 100 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x )

= 3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x +1 = y | -1
e 0,2x = y -1 |ln(⋅)
0,2x = ln( y -1 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -1 )
x = 5 ln( y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( x -1 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 5% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.95( 1 2 ) ≈ 13.51 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 52,57 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 65 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 52.57 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 52.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 65 a t ein:

65 a 10 = 52,57 |:65
a 10 = 0,80877 | 10
a1 = - 0,80877 10 -0,979
a2 = 0,80877 10 0,979

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,979 ≈ 0.979 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,979 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 65 0,979 9 53,698.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

65 0,979 t = 55 |:65
0,979 t = 11 13 |lg(⋅)
lg( 0,979 t ) = lg( 11 13 )
t · lg( 0,979 ) = lg( 11 13 ) |: lg( 0,979 )
t = lg( 11 13 ) lg( 0,979 )
t = 7,8711

Nach ca. 7,871 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.