Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2+\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $x^2+e^{-x}+e^x$ = $e^x+e^{-x}+x^2$

Wenn man das mit f(x) = $x^2+\left(e^x+e^{-x}\right)$ = $e^x+e^{-x}+x^2$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(\frac{2}{x}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)$

= $\lg \left(2x^{-1}\right)+\lg \left(20x^{-6}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,108}}^t$ ablesen: a=1.108.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.108($2$) ≈ 6.76 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2530.64 € ist, also f(6) = 2530.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ ein:

c ⋅ 1.04⁶ = 2530.64

c ⋅ 1.26532 = 2530.64 | : 1.26532

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^4$ ≈ 2339,717.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2700 € ist, also f(t) = 2700:

$2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$2700$	|:$2000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{27}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,6517}$

Nach ca. 7,652 Jahre ist also der Kontostand = 2700 €.