$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(25x^{-5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·2·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}x\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{80000}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(80000\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(80000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{80000}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,4}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

f(0) = $45$

f(1) = $45$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $45$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $45$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $45$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 56981.92 Nutzer ist, also f(11) = 56981.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^{11}$	=	$56\mathrm{981,92}$	|:$7000$
$a^{11}$	=	$\mathrm{8,14027}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\mathrm{8,14027}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\mathrm{8,14027}}$ ≈ 1.21 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $7000\cdot {\mathrm{1,21}}^7$ ≈ 26582,488.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer ist, also f(t) = 27000:

$7000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$27000$	|:$7000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0818}$

Nach ca. 7,082 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer.