Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{4}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{4}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{4}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{4}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $4$^$-1$ = $\frac{1}{4}$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{4000x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{4000}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4000}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4000\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(4000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{4000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}+2$	=	$y$	| $-2$
$-2e^{x-2}$	=	$y-2$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 13.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{13,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{13,5}}}$ ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,95}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 5559.92 Nutzer ist, also f(9) = 5559.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ ein:

c ⋅ 1.21⁹ = 5559.92

c ⋅ 5.55992 = 5559.92 | : 5.55992

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^4$ ≈ 2143,589.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1800 Nutzer ist, also f(t) = 1800:

$1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$1800$	|:$1000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0835}$

Nach ca. 3,084 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1800 Nutzer.