Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 3 ( 405 ) - log 3 ( 5 ) .

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log 3 ( 405 ) - log 3 ( 5 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 3 ( 405 5 )

= log 3 ( 81 )

= log 3 ( 3 4 )

= 4

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 8 10 x -2 k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 8 10 x -2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss 2 k = 1 gelten;
    Also gilt k = 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 2 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 2 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,1x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x +2 = y | -2
2 e -0,1x = y -2 |:2
e -0,1x = 1 2 y -1 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 2 y -1 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y -1 )
x = -10 ln( 1 2 y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 2 x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 2 x -1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,6 = 2 | 3,6
a = 2 1 3,6

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,6 ≈ 1.21, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 4000 1,21 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 17 Milionen Bakterien. 8 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 39,18Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 20,9 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 17 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 39.18 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 39.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 17 a t ein:

17 a 8 = 39,18 |:17
a 8 = 2,30471 | 8
a1 = - 2,30471 8 -1,11
a2 = 2,30471 8 1,11

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,11 ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 17 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 17 1,11 7 35,295.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 20.9:

17 1,11 t = 20,9 |:17
1,11 t = 1,2294 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 1,2294 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 1,2294 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 1,2294 ) lg( 1,11 )
t = 1,979

Nach ca. 1,979 Stunden ist also der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien.