Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $55$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $55$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $55$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $55$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $55$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $55$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{400x}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 6.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6.3}{100}$) ⋅ B = 1,063 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,063.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.063($2$) ≈ 11.35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 57.78 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 57.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ ein:

c ⋅ 0.971⁴ = 57.78

c ⋅ 0.88895 = 57.78 | : 0.88895

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $65\cdot {\mathrm{0,971}}^{13}$ ≈ 44,337.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,4954}$

Nach ca. 12,495 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.