$\lg \left(\mathrm{0,4}\right)$ - $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.4}{4}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $4k{e}^{kx+2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $4k{e}^{kx+2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+2k$	=	0	| - ( $2k$)
  $kx$	=	$-2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-2$

  Wenn wir nun $-2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-2$) = $4k{e}^{k\cdot \left(-2\right)+2k}+1$ = $4k+1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-2$) = -2 ablesen, es gilt somit:

  $4k+1$	=	$-2$	| $-1$
  $4k$	=	$-3$	|:$4$
  $k$	=	$-\frac{3}{4}$ = -0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y+3\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y+3\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+3\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+3\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 59.83 kg ist, also f(10) = 59.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ ein:

c ⋅ 0.96¹⁰ = 59.83

c ⋅ 0.66483 = 59.83 | : 0.66483

c = 90

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $90\cdot {\mathrm{0,96}}^{11}$ ≈ 57,442.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 80 kg ist, also f(t) = 80:

$90\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$80$	|:$90$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\frac{8}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,8853}$

Nach ca. 2,885 Tage ist also der Bestand = 80 kg.