Wir suchen den Logarithmus von $1$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $1$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $1$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $1$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $0$, eben weil $4$^$0$ = $1$ gilt .

$-\lg \left(1600x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1600\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(1600\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1600\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1600\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1600\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1600}·4·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,3}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-4e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+2$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $111$

f(1) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(2) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(3) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(4) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,1}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,1}$-fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $40\cdot {\mathrm{0,88}}^9$ ≈ 12,659.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4223}$

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 20 kg.