$-\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(20x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{10}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{10}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(10\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·10·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-5) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+2k$ = $2k$ = -5

  $2k$	=	$-5$	|:$2$
  $k$	=	$-\frac{5}{2}$ = -2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,89.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.89($\frac{1}{2}$) ≈ 5.95 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $2000\cdot {\mathrm{1,21}}^{12}$ ≈ 19699,465.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer ist, also f(t) = 22000:

$2000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$22000$	|:$2000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5794}$

Nach ca. 12,579 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer.