Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{10}\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $10+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+10$

$\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+0+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{5·4}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.6}{100}$) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 65.92 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 65.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,984}}^t$ ein:

c ⋅ 0.984⁸ = 65.92

c ⋅ 0.87894 = 65.92 | : 0.87894

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $75\cdot {\mathrm{0,984}}^{12}$ ≈ 61,802.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,2292}$

Nach ca. 19,229 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.