Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-3\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-3\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-3\right)}+3$ gegen $\infty$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $k{e}^{k\cdot 1-k}-1$ = $k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $k-1$	=	0	| $+1$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{x-1}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y-3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-3\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,922}}^t$ ablesen: a=0.922.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.922($\frac{1}{2}$) ≈ 8.54 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,32}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 12.17 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 12.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,32}}^t$ ein:

c ⋅ 1.32⁹ = 12.17

c ⋅ 12.16649 = 12.17 | : 12.16649

c = 1

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ ${\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = ${\mathrm{1,32}}^6$ ≈ 5,29.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 11 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 11:

${\mathrm{1,32}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,637}$

Nach ca. 8,637 Stunden ist also der Bestand = 11 Millionen Bakterien.