Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{3{\left(-x\right)}^2}$ = $-x^3·e^{3x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{3x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{3x^2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x^3·e^{3x^2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(20x^2\right)-\lg \left(1000x^2\right)+\lg \left(50x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$2e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.19($2$) ≈ 3.98 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $1000\cdot {\mathrm{1,01}}^4$ ≈ 1040,604.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1200 € ist, also f(t) = 1200:

$1000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$1200$	|:$1000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,3232}$

Nach ca. 18,323 Jahre ist also der Kontostand = 1200 €.