Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $183$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $183$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $183$ und auf ${16}^2$ = 16² > $183$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $183$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $183$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $156$

f(1) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 18.48 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 18.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11² = 18.48

c ⋅ 1.2321 = 18.48 | : 1.2321

c = 15

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $15\cdot {\mathrm{1,11}}^{12}$ ≈ 52,477.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 65:

$15\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$65$	|:$15$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,0508}$

Nach ca. 14,051 Stunden ist also der Bestand = 65 Millionen Bakterien.