$\lg \left(20\right)-\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(25x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+0-\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,101}}^t$ ablesen: a=1.101.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.101($2$) ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 35.34 kg ist, also f(2) = 35.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ ein:

$40a^2$	=	$\mathrm{35,34}$	|:$40$
$a^2$	=	$\mathrm{0,8835}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,8835}}$	≈ $-\mathrm{0,94}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,8835}}$	≈ $\mathrm{0,94}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,94}$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $40\cdot {\mathrm{0,94}}^5$ ≈ 29,356.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35.3 kg ist, also f(t) = 35.3:

$40\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$\mathrm{35,3}$	|:$40$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\mathrm{0,8825}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8825}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8825}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8825}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0201}$

Nach ca. 2,02 Tage ist also der Bestand = 35.3 kg.