$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

$\lg \left(\frac{2}{5}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5x}\right)$

= $\lg \left(\frac{2}{5}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{2}{5}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 30 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 17 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{17}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[17]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.96, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,96}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 16972.84 Nutzer ist, also f(10) = 16972.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ ein:

c ⋅ 1.13¹⁰ = 16972.84

c ⋅ 3.39457 = 16972.84 | : 3.39457

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^{12}$ ≈ 21672,616.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

$5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$25000$	|:$5000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1686}$

Nach ca. 13,169 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.