Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x +2 ) +1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x +2 ) +1 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x +2 ) +1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x +2 ) +1 zu jedem Funktionswert von e x noch 1 addiert wird, ist der Graph von e -( x +2 ) +1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei e -( x +2 ) +1 das x von e x durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x +2 ) +1 gegen 0 +1 = 1 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x +2 ) +1 gegen .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| - 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = - 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: - 3 2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: - 3 2 = - 1 2 a | ⋅ -2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem - e x -1 wird zu allen Funktionswerten von - e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -1 -1 = y | +1
- e x -1 = y +1 |:-1
e x -1 = -y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( -y -1 )
x -1 = ln( -y -1 ) | +1
x = ln( -y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x -1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 11.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.5% weggehen,
also Bneu = B - 11.5 100 ⋅B = (1 - 11.5 100 ) ⋅ B = 0,885 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,885.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.885( 1 2 ) ≈ 5.67 Tage

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 12064,16 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 23000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also Bneu = B + 19 100 ⋅B = (1 + 19 100 ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,19 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 12064.16 Nutzer ist, also f(8) = 12064.16. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,19 t ein:

c ⋅ 1.198 = 12064.16

c ⋅ 4.02139 = 12064.16 | : 4.02139

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,19 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = 3000 1,19 6 8519,283.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer ist, also f(t) = 23000:

3000 1,19 t = 23000 |:3000
1,19 t = 23 3 |lg(⋅)
lg( 1,19 t ) = lg( 23 3 )
t · lg( 1,19 ) = lg( 23 3 ) |: lg( 1,19 )
t = lg( 23 3 ) lg( 1,19 )
t = 11,7094

Nach ca. 11,709 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 23000 Nutzer.