Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 17 (256) liegt.

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Wir suchen 17er-Potenzen in der Näher von 256, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 256 ist.

Dabei kommt man auf 17 = 171 < 256 und auf 17 2 = 172 > 256.

Und da wir bei log 17 (256) ja das ☐ von 17 = 256 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
171 = 17 < 256 < 17 2 = 172

Es gilt somit: 1 < log 17 (256) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 5 k e k x +5 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 5 k e k x +5 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x +5 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm 5 k e k x +5 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x +5 k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x +5 k = 0 | - ( 5 k )
    k x = -5 k |:( k )
    x = -5
    Wenn wir nun -5 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-5 ) = 5 k e k ( -5 ) +5 k +2 = 5k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-5 ) = -1 ablesen, es gilt somit:
    5k +2 = -1 | -2
    5k = -3 |:5
    k = - 3 5 = -0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 3 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,1x +0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,1x +0,1 können die Funktionswerte von 2 e -0,1x +0,1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,1x +0,1 = y |:2
e -0,1x +0,1 = 1 2 y |ln(⋅)
-0,1x +0,1 = ln( 1 2 y )
-0,1x +0,1 = ln( 1 2 y ) | -0,1
-0,1x = ln( 1 2 y ) -0,1 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( 1 2 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( 1 2 x ) + 0,1 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 150 0,65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 150

f(1) = 150 0,65

f(2) = 150 0,650,65

f(3) = 150 0,650,650,65

f(4) = 150 0,650,650,650,65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,65 multipliziert. Da 0,65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 24 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 27,6 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=24 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 24 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 24 1,02 7 27,568.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 27.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 27.6:

24 1,02 t = 27,6 |:24
1,02 t = 1,15 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 1,15 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 1,15 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 1,15 ) lg( 1,02 )
t = 7,0577

Nach ca. 7,058 Stunden ist also der Bestand = 27.6 Millionen Bakterien.