Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x+2}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}+2$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .

$\lg \left(\frac{1}{50}{x}^4\right)+\lg \left(2x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{50}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{10,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $\mathrm{1,07}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.5}{100}$) ⋅ B = 0,965 ⋅ B. Somit ist das a=0,965.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,965}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 69.84 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 69.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,965}}^t$ ein:

c ⋅ 0.965² = 69.84

c ⋅ 0.93123 = 69.84 | : 0.93123

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,965}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $75\cdot {\mathrm{0,965}}^5$ ≈ 62,762.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,965}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,965}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,965}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,965}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,965}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,7056}$

Nach ca. 8,706 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.