Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{\left(-x\right)+1}$ = $-x^3·e^{-x+1}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{x+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{-x+1}$
weder gleich f(x) = $x^3·e^{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-x^3·e^{x+1}$ = $-x^3·e^{x+1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$\lg \left(50x\right)-\lg \left(\frac{1000000}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^4}\right)$

= $\lg \left(50x\right)-\lg \left(1000000x^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(1000000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1000000\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.000.000}}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}+3$	=	$y$	| $-3$
$2e^{x-3}$	=	$y-3$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02($2$) ≈ 35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 6.14 Millionen Insekten ist, also f(5) = 6.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^5$	=	$\mathrm{6,14}$	|:$11$
$a^5$	=	$\mathrm{0,55818}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{0,55818}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{0,55818}}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11\cdot {\mathrm{0,89}}^6$ ≈ 5,467.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.4:

$11\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{3,4}$	|:$11$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,3091}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3091}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3091}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3091}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0751}$

Nach ca. 10,075 Jahre ist also der Bestand = 3.4 Millionen Insekten.