Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{80}{x}^3\right)+\lg \left(20x^2\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{80}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(80\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y+3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+3\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,3}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $-\mathrm{1,352}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $\mathrm{1,352}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,352}$ ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,35}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^5$ ≈ 6740,233.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer ist, also f(t) = 34000:

$4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$34000$	|:$4000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{17}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,5066}$

Nach ca. 20,507 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 34000 Nutzer.