Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{\mathrm{0,0001}}{x}\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-4-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)-4$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $84$

f(1) = $84$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $84$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $84$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $84$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $5000\cdot {\mathrm{1,16}}^9$ ≈ 19014,806.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer ist, also f(t) = 25000:

$5000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$25000$	|:$5000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8438}$

Nach ca. 10,844 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 25000 Nutzer.