Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 3 (71) liegt.

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Wir suchen 3er-Potenzen in der Näher von 71, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 71 ist.

Dabei kommt man auf 3 3 = 33 < 71 und auf 3 4 = 34 > 71.

Und da wir bei log 3 (71) ja das ☐ von 3 = 71 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
33 = 3 3 < 71 < 3 4 = 34

Es gilt somit: 3 < log 3 (71) < 4

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k + k = k = 1
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +0,8 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,8 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,8 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,4x +0,8 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +0,8 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +0,8 +3 = y | -3
e -0,4x +0,8 = y -3 |ln(⋅)
-0,4x +0,8 = ln( y -3 )
-0,4x +0,8 = ln( y -3 ) | -0,8
-0,4x = ln( y -3 ) -0,8 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y -3 ) + 0,8 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x -3 ) + 0,8 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x -3 ) + 0,8 0,4

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 56 ( 7 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 56

f(1) = 56 7 5

f(2) = 56 7 5 7 5

f(3) = 56 7 5 7 5 7 5

f(4) = 56 7 5 7 5 7 5 7 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 7 5 multipliziert. Da 7 5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 7 5 -fache (oder auf das 140 100 -fache), also auf 140 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 7,88 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 6,1 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 13 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7.88 Millionen Insekten ist, also f(6) = 7.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 13 a t ein:

13 a 6 = 7,88 |:13
a 6 = 0,60615 | 6
a1 = - 0,60615 6 -0,92
a2 = 0,60615 6 0,92

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,92 ≈ 0.92 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 13 0,92 7 7,252.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.1:

13 0,92 t = 6,1 |:13
0,92 t = 0,4692 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 0,4692 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 0,4692 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 0,4692 ) lg( 0,92 )
t = 9,0755

Nach ca. 9,076 Jahre ist also der Bestand = 6.1 Millionen Insekten.