Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10000000}{x}\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $7-\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+7$

$-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{200x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{200}{x}^{-6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{x-3}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(y+2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+2\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,934}}^t$ ablesen: a=0.934.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.934($\frac{1}{2}$) ≈ 10.15 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 24% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 24% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{24}{100}$⋅B = (1 + $\frac{24}{100}$) ⋅ B = 1,24 ⋅ B. Somit ist das a=1,24.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2000\cdot {\mathrm{1,24}}^9$ ≈ 13861,977.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer ist, also f(t) = 22000:

$2000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$22000$	|:$2000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,1472}$

Nach ca. 11,147 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer.