Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(2| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 2
  Also gilt k = $-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $43$

f(1) = $43$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $43$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $43$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $43$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 5399.11 Nutzer ist, also f(6) = 5399.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^6$	=	$5\mathrm{399,11}$	|:$2000$
$a^6$	=	$\mathrm{2,69956}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{2,69956}}$	= $-\mathrm{1,18}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{2,69956}}$	= $\mathrm{1,18}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,18}$ ≈ 1.18 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $2000\cdot {\mathrm{1,18}}^9$ ≈ 8870,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,4497}$

Nach ca. 2,45 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.