Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(0.00001x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(0.00001\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-5}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-5+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-5$

$-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^6\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^6\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,2}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-4e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y+1$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 3138.43 Nutzer ist, also f(6) = 3138.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^6$	=	$3\mathrm{138,43}$	|:$1000$
$a^6$	=	$\mathrm{3,13843}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{3,13843}}$	= $-\mathrm{1,21}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{3,13843}}$	= $\mathrm{1,21}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,21}$ ≈ 1.21 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^5$ ≈ 2593,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$7000$	|:$1000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$7$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(7\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(7\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(7\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,2083}$

Nach ca. 10,208 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.