Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $26$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $26$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $26$ und auf $3^3$ = 3³ > $26$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $26$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $26$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,851}}^t$ ablesen: a=0.851.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.851($\frac{1}{2}$) ≈ 4.3 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $1000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 1148,686.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,4753}$

Nach ca. 20,475 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.