Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $10$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

$10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = $10$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{1}{2}$} = $10$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $86$

f(1) = $86$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $86$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $86$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $86$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 44.28 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 44.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ein:

c ⋅ 1.14⁵ = 44.28

c ⋅ 1.92541 = 44.28 | : 1.92541

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $23\cdot {\mathrm{1,14}}^8$ ≈ 65,609.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 123 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 123:

$23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$123$	|:$23$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{123}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{123}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{123}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{123}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,7964}$

Nach ca. 12,796 Stunden ist also der Bestand = 123 Millionen Bakterien.