$\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(125x^8\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(125x^8\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(125\right)+\lg \left(x^8\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(x^8\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{20000}{x}^4\right)+\lg \left(50x^{-7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{20000}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(20000\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(20000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{20000}·50·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $96$

f(1) = $96$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $96$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $96$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $96$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 6.24 kg ist, also f(10) = 6.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89¹⁰ = 6.24

c ⋅ 0.31182 = 6.24 | : 0.31182

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $20\cdot {\mathrm{0,89}}^6$ ≈ 9,94.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$20\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$10$	|:$20$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,948}$

Nach ca. 5,948 Tage ist also der Bestand = 10 kg.