Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
27 =
Es gilt somit: 7 <
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn- ( x + 3 k ) · e x + 3 2 k = 0 ist, also für x =x + 3 k .- 3 k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =- 3 k =- ( ( - 3 k ) + 3 k ) · e ( - 3 k ) + 3 2 k - 1 =0 - 1 sein.- 1
Da bei x = bei (- 3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x + 3 k |- 3 k ) im abgebildeten Graph bei P(5|- 1 ) sein.- 1
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 5- 3 k
Also gilt k =- 5 3
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer. Nach 10 Wochen zählt man bereits 21913,89 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 10000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 21913.89 Nutzer ist,
also f(10) = 21913.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
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= | |: |
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= | |
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| a1 | = |
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=
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| a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):
f(4) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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|
|
= |
|
Nach ca. 6,055 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.
