Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $-\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(4| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 4
  Also gilt k = $-\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $125$

f(1) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 4259.28 Nutzer ist, also f(7) = 4259.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁷ = 4259.28

c ⋅ 4.25928 = 4259.28 | : 4.25928

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $1000\cdot {\mathrm{1,23}}^8$ ≈ 5238,909.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$1000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$8000$	|:$1000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$8$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(8\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(8\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(8\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0449}$

Nach ca. 10,045 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.