${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>25</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>25</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_5\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 1

$\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^3\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 1.28 Millionen Insekten ist, also f(12) = 1.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^{12}$	=	$\mathrm{1,28}$	|:$12$
$a^{12}$	=	$\frac{\mathrm{1,28}}{12}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\frac{\mathrm{1,28}}{12}}$	≈ $-\mathrm{0,83}$
a2	=	$\sqrt[12]{\frac{\mathrm{1,28}}{12}}$	≈ $\mathrm{0,83}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,83}$ ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,83}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $12\cdot {\mathrm{0,83}}^{13}$ ≈ 1,065.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.2:

$12\cdot {\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{2,2}$	|:$12$
${\mathrm{0,83}}^t$	=	$\mathrm{0,1833}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,83}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1833}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1833}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,83}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1833}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,83}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,1055}$

Nach ca. 9,106 Jahre ist also der Bestand = 2.2 Millionen Insekten.