Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{17}$ zur Basis $17$, also die Hochzahl mit der man $17$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{17}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $17$^☐ = $\sqrt[4]{17}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{17}$ als ${17}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $17$^☐ = ${17}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $17$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{17}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,4}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,17}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 6.72 Millionen Insekten ist, also f(7) = 6.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ ein:

c ⋅ 0.91⁷ = 6.72

c ⋅ 0.51676 = 6.72 | : 0.51676

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $13\cdot {\mathrm{0,91}}^{11}$ ≈ 4,607.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 10.8:

$13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{10,8}$	|:$13$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,8308}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8308}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8308}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8308}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9655}$

Nach ca. 1,966 Jahre ist also der Bestand = 10.8 Millionen Insekten.