Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(40\right)+\lg \left(2x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^9\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^9\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)+0+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y-2\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(-y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(-x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(-x-2\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,033}}^t$ ablesen: a=1.033.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.033($2$) ≈ 21.35 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 4214.78 Nutzer ist, also f(3) = 4214.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^3$	=	$4\mathrm{214,78}$	|:$3000$
$a^3$	=	$\mathrm{1,40493}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,40493}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,40493}}$ ≈ 1.12 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $3000\cdot {\mathrm{1,12}}^6$ ≈ 5921,468.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$3000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$7000$	|:$3000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{7}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,4765}$

Nach ca. 7,477 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.