Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 64 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 64 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 64 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 64 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 64

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 64 ) = -6, eben weil 2-6 = 1 64 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 3 ) + lg( 25x ) - lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 2 x 3 ) + lg( 25x ) - lg( 5 x 2 )

= - lg( 1 2 x 3 ) + lg( 25x ) - lg( 5 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x ) ) - ( lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x 3 ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 5 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x ) - lg( 5 ) +2 lg( x )

= lg( 25 ) - lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 5 · 2 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,3x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,3x +0,3 können die Funktionswerte von 4 e -0,3x +0,3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,3x +0,3 = y |:4
e -0,3x +0,3 = 1 4 y |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( 1 4 y )
-0,3x +0,3 = ln( 1 4 y ) | -0,3
-0,3x = ln( 1 4 y ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,3 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 188 1,05 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 188

f(1) = 188 1,05

f(2) = 188 1,051,05

f(3) = 188 1,051,051,05

f(4) = 188 1,051,051,051,05

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,05 multipliziert. Da 1,05 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,05-fache, also auf 105 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 27,08kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 24,4kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also Bneu = B - 5 100 ⋅B = (1 - 5 100 ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,95 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 27.08 kg ist, also f(2) = 27.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,95 t ein:

c ⋅ 0.952 = 27.08

c ⋅ 0.9025 = 27.08 | : 0.9025

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,95 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 30 0,95 6 22,053.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24.4 kg ist, also f(t) = 24.4:

30 0,95 t = 24,4 |:30
0,95 t = 0,8133 |lg(⋅)
lg( 0,95 t ) = lg( 0,8133 )
t · lg( 0,95 ) = lg( 0,8133 ) |: lg( 0,95 )
t = lg( 0,8133 ) lg( 0,95 )
t = 4,0289

Nach ca. 4,029 Tage ist also der Bestand = 24.4 kg.