$\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{2000x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)+\lg \left(4x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2000}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 4021.39 Nutzer ist, also f(8) = 4021.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^8$	=	$4\mathrm{021,39}$	|:$1000$
$a^8$	=	$\mathrm{4,02139}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $-\mathrm{1,19}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $\mathrm{1,19}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,19}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $1000\cdot {\mathrm{1,19}}^{10}$ ≈ 5694,684.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$1000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$8000$	|:$1000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$8$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(8\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(8\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(8\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,954}$

Nach ca. 11,954 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.