Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}$ gegen 0 .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}$ gegen $\infty$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></math>}\right)$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $171$

f(1) = $171$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $171$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $171$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $171$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 1104.62 € ist, also f(10) = 1104.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ ein:

c ⋅ 1.01¹⁰ = 1104.62

c ⋅ 1.10462 = 1104.62 | : 1.10462

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $1000\cdot {\mathrm{1,01}}^{13}$ ≈ 1138,093.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1100 € ist, also f(t) = 1100:

$1000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$1100$	|:$1000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{11}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,5786}$

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 1100 €.