Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

$-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(10x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0+\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (10·5·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 69 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{69}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	$\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[69]{\frac{1}{2}}$ ≈ 0.99, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,99}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 5920.98 € ist, also f(10) = 5920.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^{10}$	=	$5\mathrm{920,98}$	|:$4000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,48025}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,48025}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,48025}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $4000\cdot {\mathrm{1,04}}^9$ ≈ 5693,247.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$4000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$7000$	|:$4000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{7}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,2684}$

Nach ca. 14,268 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.