Wir suchen den Logarithmus von $324$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $324$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $324$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $18$^$2$ = $324$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+3k$ = $3k$ = 3

  $3k$	=	$3$	|:$3$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $137$

f(1) = $137$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(2) = $137$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(3) = $137$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

f(4) = $137$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$ ⋅ $\mathrm{1,1}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,1}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,1}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,1}$-fache, also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,2}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 2488.32 Nutzer ist, also f(5) = 2488.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,2}}^t$ ein:

c ⋅ 1.2⁵ = 2488.32

c ⋅ 2.48832 = 2488.32 | : 2.48832

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $1000\cdot {\mathrm{1,2}}^6$ ≈ 2985,984.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,2239}$

Nach ca. 2,224 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1500 Nutzer.