Wir suchen den Logarithmus von $1000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $6$, eben weil $10$^$6$ = $1000000$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-5kx·e^{kx-5k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-5k·0·e^{k\cdot 0-5k}+5k$ = $5k$ = 3

  $5k$	=	$3$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{3}{5}$ = 0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.92($\frac{1}{2}$) ≈ 8.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 7.05 Millionen Insekten ist, also f(3) = 7.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^3$	=	$\mathrm{7,05}$	|:$10$
$a^3$	=	$\mathrm{0,705}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,705}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,705}}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $10\cdot {\mathrm{0,89}}^6$ ≈ 4,97.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.5:

$10\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{2,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,25}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8961}$

Nach ca. 11,896 Jahre ist also der Bestand = 2.5 Millionen Insekten.