Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $-x^3·e^{x^2-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{x^2+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{x^2-x}$
weder gleich f(x) = $x^3·e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-x^3·e^{x^2+x}$ = $-x^3·e^{x^2+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -1

  $k$

  =

  $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,4}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,938}}^t$ ablesen: a=0.938.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.938($\frac{1}{2}$) ≈ 10.83 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 1340.1 € ist, also f(6) = 1340.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁶ = 1340.1

c ⋅ 1.3401 = 1340.1 | : 1.3401

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^4$ ≈ 1215,506.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1400 € ist, also f(t) = 1400:

$1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$1400$	|:$1000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{7}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,8963}$

Nach ca. 6,896 Jahre ist also der Kontostand = 1400 €.