Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $-x^3+e^{x^2-x}$ = $e^{x^2-x}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+e^{x^2+x}$ = $e^{x^2+x}+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^2-x}-x^3$
weder gleich f(x) = $x^3+e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-\left(x^3+e^{x^2+x}\right)$ = $-\left(e^{x^2+x}+x^3\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$-4e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7.54 Millionen Insekten ist, also f(4) = 7.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^4$	=	$\mathrm{7,54}$	|:$11$
$a^4$	=	$\mathrm{0,68545}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,68545}}$	≈ $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,68545}}$	≈ $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $11\cdot {\mathrm{0,91}}^{11}$ ≈ 3,898.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.7:

$11\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{5,7}$	|:$11$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,5182}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5182}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5182}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,5182}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9705}$

Nach ca. 6,971 Jahre ist also der Bestand = 5.7 Millionen Insekten.