Wir suchen den Logarithmus von $256$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $256$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $256$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $8$, eben weil $2$^$8$ = $256$ gilt .

$\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^4\right)$

= $\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(5x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,082}}^t$ ablesen: a=1.082.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.082($2$) ≈ 8.8 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^{13}$ ≈ 15085,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 14000 € ist, also f(t) = 14000:

$8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$14000$	|:$8000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{7}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,4698}$

Nach ca. 11,47 Jahre ist also der Kontostand = 14000 €.