Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 15 ( 11250 ) - log 15 ( 50 ) .

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log 15 ( 11250 ) - log 15 ( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 15 ( 11250 50 )

= log 15 ( 225 )

= log 15 ( 15 2 )

= 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x +3 k ) · e x + 3 2 k = 0 wird, wenn x +3 k = 0 ist, also für x = -3 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-3 k ) = - ( ( -3 k ) +3 k ) · e ( -3 k ) + 3 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = -3 k bei ( x +3 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-3 k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(5| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -3 k = 5
    Also gilt k = - 5 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 5 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,4 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,2x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,4 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,4 +3 = y | -3
e -0,2x +0,4 = y -3 |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( y -3 )
-0,2x +0,4 = ln( y -3 ) | -0,4
-0,2x = ln( y -3 ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y -3 ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x -3 ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x -3 ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,876 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,876 t ablesen: a=0.876.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.876( 1 2 ) ≈ 5.24 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6% seines Bestands. 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 21,54kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 8 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also Bneu = B - 6 100 ⋅B = (1 - 6 100 ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,94 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 21.54 kg ist, also f(10) = 21.54. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,94 t ein:

c ⋅ 0.9410 = 21.54

c ⋅ 0.53862 = 21.54 | : 0.53862

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,94 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = 40 0,94 8 24,383.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

40 0,94 t = 20 |:40
0,94 t = 1 2 |lg(⋅)
lg( 0,94 t ) = lg( 1 2 )
t · lg( 0,94 ) = lg( 1 2 ) |: lg( 0,94 )
t = lg( 1 2 ) lg( 0,94 )
t = 11,2023

Nach ca. 11,202 Tage ist also der Bestand = 20 kg.