Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x+2}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss $2k$ = 2 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $151$

f(1) = $151$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(2) = $151$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(3) = $151$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(4) = $151$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,4}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,4}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,4}$-fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 3.61 Millionen Insekten ist, also f(11) = 3.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^{11}$	=	$\mathrm{3,61}$	|:$13$
$a^{11}$	=	$\frac{\mathrm{3,61}}{13}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{\mathrm{3,61}}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{\mathrm{3,61}}{13}}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $13\cdot {\mathrm{0,89}}^{13}$ ≈ 2,858.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.6:

$13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$13$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,2769}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2769}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2769}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2769}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0191}$

Nach ca. 11,019 Jahre ist also der Bestand = 3.6 Millionen Insekten.