Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1+e^{\left(-x\right)+1}$ = $e^{-x+1}+1$

Wenn man das mit f(x) = $1+e^{x+1}$ = $e^{x+1}+1$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{-x+1}+1$
weder gleich f(x) = $1+e^{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-\left(1+e^{x+1}\right)$ = $-\left(e^{x+1}+1\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.6}{100}$) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $60\cdot {\mathrm{0,984}}^7$ ≈ 53,594.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 53.6:

$60\cdot {\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{53,6}$	|:$60$
${\mathrm{0,984}}^t$	=	$\mathrm{0,8933}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,984}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8933}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8933}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,984}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8933}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,984}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9955}$

Nach ca. 6,996 Jahre ist also der Bestand = 53.6 Millionen Einwohner.