Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{8}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $4k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $4k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $4k$ = -2 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $185$

f(1) = $185$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $185$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $185$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $185$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 2.99 kg ist, also f(8) = 2.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ ein:

c ⋅ 0.86⁸ = 2.99

c ⋅ 0.29922 = 2.99 | : 0.29922

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $10\cdot {\mathrm{0,86}}^4$ ≈ 5,47.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.4 kg ist, also f(t) = 1.4:

$10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{1,4}$	|:$10$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,14}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,14}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,14}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,14}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0359}$

Nach ca. 13,036 Tage ist also der Bestand = 1.4 kg.