Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 ( 1 3379 ) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 1 3379 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 3379 ist.

Dabei kommt man auf 1 10000 = 1 10 4 = 10-4 < 1 3379 und auf 1 1000 = 1 10 3 = 10-3 > 1 3379 .

Und da wir bei log 10 ( 1 3379 ) ja das ☐ von 10 = 1 3379 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10-4 = 1 10 4 = 1 10000 < 1 3379 < 1 1000 = 1 10 3 = 10-3

Es gilt somit: -4 < log 10 ( 1 3379 ) < -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x -5 k ) · e x - 5 2 k +3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x -5 k ) · e x - 5 2 k = 0 wird, wenn x -5 k = 0 ist, also für x = 5 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(5 k ) = - ( ( 5 k ) -5 k ) · e ( 5 k ) - 5 2 k +3 = 0 +3 = 3 sein.
    Da bei x = 5 k bei ( x -5 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(5 k | 3 ) im abgebildeten Graph bei P(3| 3 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit 5 k = 3
    Also gilt k = 3 5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,4x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,4x wird e -0,4x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,4x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -4 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,4x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,4x +3 = y | -3
-4 e -0,4x = y -3 |:-4
e -0,4x = - 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
-0,4x = ln( - 1 4 y + 3 4 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( - 1 4 y + 3 4 )
x = - 5 2 ln( - 1 4 y + 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( - 1 4 x + 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( - 1 4 x + 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,138 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,138 t ablesen: a=1.138.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.138(2) ≈ 5.36 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 58,78 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 75 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 58.78 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 58.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 75 a t ein:

75 a 8 = 58,78 |:75
a 8 = 0,78373 | 8
a1 = - 0,78373 8 -0,97
a2 = 0,78373 8 0,97

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,97 ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,97 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 75 0,97 6 62,473.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

75 0,97 t = 55 |:75
0,97 t = 11 15 |lg(⋅)
lg( 0,97 t ) = lg( 11 15 )
t · lg( 0,97 ) = lg( 11 15 ) |: lg( 0,97 )
t = lg( 11 15 ) lg( 0,97 )
t = 10,1826

Nach ca. 10,183 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.