Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x -1 ) -1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x -1 ) -1 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x -1 ) -1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x -1 ) -1 zu jedem Funktionswert von e x noch -1 addiert wird, ist der Graph von e -( x -1 ) -1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei e -( x -1 ) -1 das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x -1 ) -1 gegen 0 -1 = -1 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x -1 ) -1 gegen .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 -1 = y | +1
e -0,3x +0,6 = y +1 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y +1 )
-0,3x +0,6 = ln( y +1 ) | -0,6
-0,3x = ln( y +1 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.88( 1 2 ) ≈ 5.42 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,4% seiner Bevölkerung. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 76,21 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 74,4 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also Bneu = B - 2.4 100 ⋅B = (1 - 2.4 100 ) ⋅ B = 0,976 ⋅ B. Somit ist das a=0,976.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,976 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 76.21 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 76.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,976 t ein:

c ⋅ 0.9762 = 76.21

c ⋅ 0.95258 = 76.21 | : 0.95258

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,976 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 80 0,976 8 65,87.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 74.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 74.4:

80 0,976 t = 74,4 |:80
0,976 t = 0,93 |lg(⋅)
lg( 0,976 t ) = lg( 0,93 )
t · lg( 0,976 ) = lg( 0,93 ) |: lg( 0,976 )
t = lg( 0,93 ) lg( 0,976 )
t = 2,9873

Nach ca. 2,987 Jahre ist also der Bestand = 74.4 Millionen Einwohner.