Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (26) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 26, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 26 ist.

Dabei kommt man auf 4 2 = 42 < 26 und auf 4 3 = 43 > 26.

Und da wir bei log 4 (26) ja das ☐ von 4 = 26 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
42 = 4 2 < 26 < 4 3 = 43

Es gilt somit: 2 < log 4 (26) < 3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e x -3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e x -3 können die Funktionswerte von 4 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 4 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 4 e x -3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e x -3 -3 = y | +3
4 e x -3 = y +3 |:4
e x -3 = 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 4 y + 3 4 )
x -3 = ln( 1 4 y + 3 4 ) | +3
x = ln( 1 4 y + 3 4 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 4 x + 3 4 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 4 x + 3 4 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also Bneu = B + 11 100 ⋅B = (1 + 11 100 ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.11(2) ≈ 6.64 Stunden

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 41,06kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 6 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,92 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 41.06 kg ist, also f(8) = 41.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,92 t ein:

c ⋅ 0.928 = 41.06

c ⋅ 0.51322 = 41.06 | : 0.51322

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = 80 0,92 6 48,508.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

80 0,92 t = 50 |:80
0,92 t = 5 8 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 5 8 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 5 8 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 5 8 ) lg( 0,92 )
t = 5,6368

Nach ca. 5,637 Tage ist also der Bestand = 50 kg.