Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(x^3\right)$
= $12\lg \left(x\right)$
= $12\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math>}\right)$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{x-2}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,98}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 37252.9 Nutzer ist, also f(9) = 37252.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^9$	=	$37\mathrm{252,9}$	|:$5000$
$a^9$	=	$\mathrm{7,45058}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{7,45058}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{7,45058}}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $5000\cdot {\mathrm{1,25}}^7$ ≈ 23841,858.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer ist, also f(t) = 15000:

$5000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$15000$	|:$5000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9233}$

Nach ca. 4,923 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer.