Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{92}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{92}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{324}$ = $\frac{1}{{18}^2}$ = 18^-2 < $\frac{1}{92}$ und auf $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1 > $\frac{1}{92}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $\frac{1}{92}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
18^-2 = $\frac{1}{{18}^2}$ = $\frac{1}{324}$ < $\frac{1}{92}$ < $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{18}$ = 18^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $4$

f(1) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $4$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5408 € ist, also f(2) = 5408. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^2$	=	$5408$	|:$5000$
$a^2$	=	$\frac{676}{625}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{676}{625}}$	= $-\frac{26}{25}$
a2	=	$\sqrt{\frac{676}{625}}$	= $\frac{26}{25}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{26}{25}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^5$ ≈ 6083,265.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$7000$	|:$5000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{7}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5789}$

Nach ca. 8,579 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.