Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( 1 x ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( 1 x )
= 2 lg( x - 1 2 )
= - lg( x )
= - lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 1 16000 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 1 16000 x 3 )

= lg( 4 ) + lg( 4 x -3 ) + lg( 1 16000 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( 1 ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 1 16000 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 4 ) + lg( 1 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 1 16000 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) +0 + lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 1 16000 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) +0 + lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 16000 ) +3 lg( x )

= - lg( 16000 ) + lg( 4 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 16000 · 4 · 4 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,1x +0,1 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,1 +3 = y | -3
e -0,1x +0,1 = y -3 |ln(⋅)
-0,1x +0,1 = ln( y -3 )
-0,1x +0,1 = ln( y -3 ) | -0,1
-0,1x = ln( y -3 ) -0,1 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -3 ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,1 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.8% dazukommen,
also Bneu = B + 5.8 100 ⋅B = (1 + 5.8 100 ) ⋅ B = 1,058 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.058(2) ≈ 12.29 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5408€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,04 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5408 € ist, also f(2) = 5408. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,04 t ein:

c ⋅ 1.042 = 5408

c ⋅ 1.0816 = 5408 | : 1.0816

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 5000 1,04 8 6842,845.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

5000 1,04 t = 7000 |:5000
1,04 t = 7 5 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 7 5 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 7 5 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 7 5 ) lg( 1,04 )
t = 8,5789

Nach ca. 8,579 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.