Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 ( 1 3838 ) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 1 3838 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 3838 ist.

Dabei kommt man auf 1 10000 = 1 10 4 = 10-4 < 1 3838 und auf 1 1000 = 1 10 3 = 10-3 > 1 3838 .

Und da wir bei log 10 ( 1 3838 ) ja das ☐ von 10 = 1 3838 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10-4 = 1 10 4 = 1 10000 < 1 3838 < 1 1000 = 1 10 3 = 10-3

Es gilt somit: -4 < log 10 ( 1 3838 ) < -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x +2 k +9 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x +2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 9 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 9 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss 9 k = -6 gelten;
    Also gilt k = - 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,3x +0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,3x +0,6 können die Funktionswerte von 4 e -0,3x +0,6 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,3x +0,6 = y |:4
e -0,3x +0,6 = 1 4 y |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( 1 4 y )
-0,3x +0,6 = ln( 1 4 y ) | -0,6
-0,3x = ln( 1 4 y ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( 1 4 y ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( 1 4 x ) + 0,6 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 6,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 6.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 2 | 6,6
a1 = - 2 1 6,6 -1,111
a2 = 2 1 6,6 1,111

Das gesuchte a ist somit 1,111 ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 4000 1,11 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seines Bestands. 8 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 30,79kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,92 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 30.79 kg ist, also f(8) = 30.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,92 t ein:

c ⋅ 0.928 = 30.79

c ⋅ 0.51322 = 30.79 | : 0.51322

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,92 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 60 0,92 11 23,978.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

60 0,92 t = 20 |:60
0,92 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,92 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,92 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,92 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,92 )
t = 13,1757

Nach ca. 13,176 Tage ist also der Bestand = 20 kg.