Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-2kx·e^{kx-2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-2k·0·e^{k\cdot 0-2k}+6k$ = $6k$ = 3

  $6k$	=	$3$	|:$6$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+2$

Die prozentuale Zunahme um 3.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3.7}{100}$) ⋅ B = 1,037 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,037.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.037($2$) ≈ 19.08 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $75\cdot {\mathrm{0,971}}^8$ ≈ 59,267.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,5392}$

Nach ca. 10,539 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.