Wir suchen den Logarithmus von $121$ zur Basis $11$, also die Hochzahl mit der man $11$ potenzieren muss, um auf $121$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $11$^☐ = $121$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $11$^$2$ = $121$ gilt .

$\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(500x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)$

= $\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(500x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(500\right)+\lg \left(x^8\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(500\right)-\lg \left(x^8\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)-8\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.86($\frac{1}{2}$) ≈ 4.6 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 56.79 kg ist, also f(6) = 56.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ ein:

$100a^6$	=	$\mathrm{56,79}$	|:$100$
$a^6$	=	$\mathrm{0,5679}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,5679}}$	≈ $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,5679}}$	≈ $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $100\cdot {\mathrm{0,91}}^7$ ≈ 51,676.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 80 kg ist, also f(t) = 80:

$100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$80$	|:$100$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{4}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,366}$

Nach ca. 2,366 Tage ist also der Bestand = 80 kg.