Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 16 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 16 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 16 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 16

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 16 ) = -4, eben weil 2-4 = 1 16 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e x -1 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e x -1 können die Funktionswerte von 3 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 3 e x -1 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e x -1 -3 = y | +3
3 e x -1 = y +3 |:3
e x -1 = 1 3 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 3 y +1 )
x -1 = ln( 1 3 y +1 ) | +1
x = ln( 1 3 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 3 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 3 x +1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,908 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,908 t ablesen: a=0.908.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.908( 1 2 ) ≈ 7.18 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 23%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 12 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 110 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu = B + 23 100 ⋅B = (1 + 23 100 ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = 10 1,23 12 119,912.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 110 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 110:

10 1,23 t = 110 |:10
1,23 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 11 ) lg( 1,23 )
t = 11,5832

Nach ca. 11,583 Stunden ist also der Bestand = 110 Millionen Bakterien.