Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
105 =
Es gilt somit: 5 <
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
2 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?
Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.12(
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 10% vermehrt. Nach 13 Wochen zählt man bereits 20713,63 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 9000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 20713.63 Nutzer ist,
also f(13) = 20713.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.113 = 20713.63
c ⋅ 3.45227 = 20713.63 | : 3.45227
c = 6000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):
f(8) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer ist, also f(t) = 9000:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 9000 Nutzer.
