Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)+8$

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{100}{x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(100x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$3e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,951}}^t$ ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.951($\frac{1}{2}$) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 72759.58 Nutzer ist, also f(13) = 72759.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^{13}$	=	$72\mathrm{759,58}$	|:$4000$
$a^{13}$	=	$\mathrm{18,1899}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{18,1899}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{18,1899}}$ ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $4000\cdot {\mathrm{1,25}}^8$ ≈ 23841,858.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$4000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$12000$	|:$4000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$3$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(3\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(3\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(3\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9233}$

Nach ca. 4,923 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.