Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
106 =
Es gilt somit: 6 <
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann
niemals = 0 werden.k e k x + k - Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialtermk x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote beik e k x + k erkennen.2
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.k x + k
Wenn wir nunk x + k = 0 | - ( )k k x = - k |:( )k x = - 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:- 1
fk( ) =- 1 =k e k ⋅ ( - 1 ) + k + 2 k + 2
im abgebildeten Term können wir aber ja f( ) = 1 ablesen, es gilt somit:- 1 k + 2 = 1 | - 2 k = - 1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Verdopplungszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.039(
c und a gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 12 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 13 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu
= B -
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):
f(13) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:
|
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 18,999 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.
