Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x+2}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}-2$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-2$), also gilt f(0)=$-2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-2$ , also $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-2\cdot a$ = $-2a$.

Es gilt also: $-4$ = $-2a$ | ⋅ $-\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-4e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

f(0) = $89$

f(1) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $89$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $2\cdot {\mathrm{1,05}}^{11}$ ≈ 3,421.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 3:

$2\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$3$	|:$2$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3104}$

Nach ca. 8,31 Stunden ist also der Bestand = 3 Millionen Bakterien.