Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 4 (2) liegt.

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Wir suchen 4er-Potenzen in der Näher von 2, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 2 ist.

Dabei kommt man auf 1 = 40 < 2 und auf 4 = 41 > 2.

Und da wir bei log 4 (2) ja das ☐ von 4 = 2 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
40 = 1 < 2 < 4 = 41

Es gilt somit: 0 < log 4 (2) < 1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 7 10 x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 7 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 2 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 2 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 2, somit muss 2 k = 2 gelten;
    Also gilt k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,2x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,2x +0,4 können die Funktionswerte von 2 e -0,2x +0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,2x +0,4 = y |:2
e -0,2x +0,4 = 1 2 y |ln(⋅)
-0,2x +0,4 = ln( 1 2 y )
-0,2x +0,4 = ln( 1 2 y ) | -0,4
-0,2x = ln( 1 2 y ) -0,4 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( 1 2 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also Bneu = B - 1 100 ⋅B = (1 - 1 100 ) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.99( 1 2 ) ≈ 68.97 Jahre

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3121,2€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu = B + 2 100 ⋅B = (1 + 2 100 ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,02 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3121.2 € ist, also f(2) = 3121.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,02 t ein:

c ⋅ 1.022 = 3121.2

c ⋅ 1.0404 = 3121.2 | : 1.0404

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,02 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 3000 1,02 4 3247,296.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4000 € ist, also f(t) = 4000:

3000 1,02 t = 4000 |:3000
1,02 t = 4 3 |lg(⋅)
lg( 1,02 t ) = lg( 4 3 )
t · lg( 1,02 ) = lg( 4 3 ) |: lg( 1,02 )
t = lg( 4 3 ) lg( 1,02 )
t = 14,5275

Nach ca. 14,528 Jahre ist also der Kontostand = 4000 €.