Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,01}x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,01}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-2}\right)+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-2+\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)-2$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 6, somit muss $3k$ = 6 gelten;
  Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$2e^{x-3}$	=	$y+2$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+1\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.8}{100}$) ⋅ B = 1,048 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,048.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.048($2$) ≈ 14.78 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 47.14 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 47.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot a^t$ ein:

$25a^{13}$	=	$\mathrm{47,14}$	|:$25$
$a^{13}$	=	$\mathrm{1,8856}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{1,8856}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{1,8856}}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $25\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 31,907.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30.4 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 30.4:

$25\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{30,4}$	|:$25$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,216}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,216}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,216}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,216}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0083}$

Nach ca. 4,008 Stunden ist also der Bestand = 30.4 Millionen Bakterien.