Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -4

  $k$

  =

  $-4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,2}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$3e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+3$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{3}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{3}x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $5000\cdot {\mathrm{1,19}}^{11}$ ≈ 33883,369.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 85000 Nutzer ist, also f(t) = 85000:

$5000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$85000$	|:$5000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$17$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(17\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(17\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(17\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,2872}$

Nach ca. 16,287 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 85000 Nutzer.