Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)+e^{\left(-x\right)+1}$ = $e^{-x+1}-x$

Wenn man das mit f(x) = $x+e^{x+1}$ = $e^{x+1}+x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{-x+1}-x$
weder gleich f(x) = $x+e^{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-\left(x+e^{x+1}\right)$ = $-\left(e^{x+1}+x\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,92}}^t$ ablesen: a=0.92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.92($\frac{1}{2}$) ≈ 8.31 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 13.95 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 13.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02¹² = 13.95

c ⋅ 1.26824 = 13.95 | : 1.26824

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $11\cdot {\mathrm{1,02}}^9$ ≈ 13,146.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 11.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 11.7:

$11\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{11,7}$	|:$11$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,0636}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,0636}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,0636}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,0636}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,1137}$

Nach ca. 3,114 Stunden ist also der Bestand = 11.7 Millionen Bakterien.