Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}$ gegen 0 .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}$ gegen $\infty$ .

$-\lg \left(4x^5\right)+\lg \left(2x^4\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(4\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,896}}^t$ ablesen: a=0.896.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.896($\frac{1}{2}$) ≈ 6.31 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2737.14 € ist, also f(8) = 2737.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ ein:

c ⋅ 1.04⁸ = 2737.14

c ⋅ 1.36857 = 2737.14 | : 1.36857

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^6$ ≈ 2530,638.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2600 € ist, also f(t) = 2600:

$2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$2600$	|:$2000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{13}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6894}$

Nach ca. 6,689 Jahre ist also der Kontostand = 2600 €.