Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 10000000x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 10000000x ) -5 lg( x )
= lg( 10000000 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 7 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= 7 + lg( x ) -5 lg( x )
= -4 lg( x ) +7

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -2 = -a = -a .

Es gilt also: -2 = -a | ⋅ -1

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,2 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e -0,1x +0,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,2 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,2 -2 = y | +2
e -0,1x +0,2 = y +2 |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( y +2 )
-0,1x +0,2 = ln( y +2 ) | -0,2
-0,1x = ln( y +2 ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y +2 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x +2 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu = B + 8 100 ⋅B = (1 + 8 100 ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.08(2) ≈ 9.01 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,5% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also Bneu = B - 2.5 100 ⋅B = (1 - 2.5 100 ) ⋅ B = 0,975 ⋅ B. Somit ist das a=0,975.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,975 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 70 0,975 12 51,66.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

70 0,975 t = 40 |:70
0,975 t = 4 7 |lg(⋅)
lg( 0,975 t ) = lg( 4 7 )
t · lg( 0,975 ) = lg( 4 7 ) |: lg( 0,975 )
t = lg( 4 7 ) lg( 0,975 )
t = 22,1036

Nach ca. 22,104 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.