Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $3k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $\frac{4}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{4}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$-2e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+1$

f(0) = $132$

f(1) = $132$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $132$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $132$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $132$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 33.46 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 33.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^9$	=	$\mathrm{33,46}$	|:$28$
$a^9$	=	$\mathrm{1,195}$	|
$a$	=	$\sqrt[9]{\mathrm{1,195}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[9]{\mathrm{1,195}}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $28\cdot {\mathrm{1,02}}^{10}$ ≈ 34,132.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 37.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 37.7:

$28\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{37,7}$	|:$28$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,3464}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3464}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3464}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3464}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,0199}$

Nach ca. 15,02 Stunden ist also der Bestand = 37.7 Millionen Bakterien.