Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 9 ( 1 27 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 27 um: 1 27 = 27 -1

Man kann erkennen, dass 27 eine Potenz ist: 27 = 3 3

Also schreiben wir 1 27 = 27 -1 = ( 3 3 ) -1 = 3 -3

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis 9 suchen und 9 gerade 3² ist (also 3 = 9 = 9 1 2 ), formen wir 3 -3 noch so um, dass sie 9 als Basis hat:

3 -3 = ( 9 1 2 ) -3 = 9 - 3 2

log 9 ( 1 27 ) = log 9 ( 3 -3 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 3 -3 = 9 - 3 2 zur Basis 9 suchen, also die Hochzahl mit der man 9 potenzieren muss, um auf 3 -3 = 9 - 3 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 9 = 3 -3 = 9 - 3 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 9 ( 1 27 ) = log 9 ( 3 -3 ) = log 9 ( 9 - 3 2 ) = - 3 2 , eben weil 9 - 3 2 = 1 27 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k +2 k = 2 k = -2
    2k = -2 |:2
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,2x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,2x +0,2 wird e -0,2x +0,2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,2x +0,2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,2x +0,2 = y |:-3
e -0,2x +0,2 = - 1 3 y |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y )
-0,2x +0,2 = ln( - 1 3 y ) | -0,2
-0,2x = ln( - 1 3 y ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 3 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 3 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,962 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,962 t ablesen: a=0.962.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.962( 1 2 ) ≈ 17.89 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8662,85€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 8000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 8662.85 € ist, also f(8) = 8662.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 8000 a t ein:

8000 a 8 = 8662,85 |:8000
a 8 = 1,08286 | 8
a1 = - 1,08286 8 = -1,01
a2 = 1,08286 8 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 8000 1,01 9 8749,482.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

8000 1,01 t = 9000 |:8000
1,01 t = 9 8 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 9 8 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 9 8 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 9 8 ) lg( 1,01 )
t = 11,8371

Nach ca. 11,837 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.