$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+0+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10x^4}\right)$

= $\lg \left(25x\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{10}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,13.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.13($2$) ≈ 5.67 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{1,11}}^8$ ≈ 25,35.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 61 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 61:

$11\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$61$	|:$11$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{61}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{61}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{61}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{61}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,4141}$

Nach ca. 16,414 Stunden ist also der Bestand = 61 Millionen Bakterien.