Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 (4) .

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Wir suchen den Logarithmus von 4 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 4 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 4 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 (4) = 1, eben weil 41 = 4 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e 0,1x -0,1 wird e 0,1x -0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e 0,1x -0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e 0,1x -0,1 = y |:-4
e 0,1x -0,1 = - 1 4 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( - 1 4 y )
0,1x -0,1 = ln( - 1 4 y ) | +0,1
0,1x = ln( - 1 4 y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 4 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 4 x ) + 0,1 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu = B - 3 100 ⋅B = (1 - 3 100 ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.97( 1 2 ) ≈ 22.76 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 71,59 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 69,9 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 75 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 71.59 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 71.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 75 a t ein:

75 a 2 = 71,59 |:75
a 2 = 0,95453 | 2
a1 = - 0,95453 -0,977
a2 = 0,95453 0,977

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,977 ≈ 0.977 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,977 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 75 0,977 5 66,763.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.9:

75 0,977 t = 69,9 |:75
0,977 t = 0,932 |lg(⋅)
lg( 0,977 t ) = lg( 0,932 )
t · lg( 0,977 ) = lg( 0,932 ) |: lg( 0,977 )
t = lg( 0,932 ) lg( 0,977 )
t = 3,0265

Nach ca. 3,027 Jahre ist also der Bestand = 69.9 Millionen Einwohner.