Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+3}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+3}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x+3}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+3}-1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+3}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x-2k\right)·e^{x-k}$ = 0 wird, wenn $x-2k$ = 0 ist, also für x = $2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($2k$) = $\left(\left(2k\right)-2k\right)·e^{\left(2k\right)-k}-3$ = $0-3$ = $-3$ sein.
  Da bei x = $2k$ bei ( $x-2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($2k$| $-3$) im abgebildeten Graph bei P(3| $-3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2k$ = 3
  Also gilt k = $\frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $90$

f(1) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(2) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(3) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

f(4) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$ ⋅ $\mathrm{0,65}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,65}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,65}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,65}$-fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,964}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,964}}^7$ ≈ 42,55.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55\cdot {\mathrm{0,964}}^t$	=	$35$	|:$55$
${\mathrm{0,964}}^t$	=	$\frac{7}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,964}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,964}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,3278}$

Nach ca. 12,328 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.