Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $224$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $224$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $224$ und auf ${19}^2$ = 19² > $224$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $224$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $224$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+3k$ = $3k$ = -3

  $3k$	=	$-3$	|:$3$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ ablesen: a=0.963.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.963($\frac{1}{2}$) ≈ 18.38 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $4000\cdot {\mathrm{1,06}}^6$ ≈ 5674,076.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 14000 € ist, also f(t) = 14000:

$4000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$14000$	|:$4000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{7}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,4997}$

Nach ca. 21,5 Jahre ist also der Kontostand = 14000 €.