Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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2. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache den Term zu einem Vielfachen von .
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk() = = = 4= |: =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,14.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.14() ≈ 5.29 Stunden
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 29,82kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 11 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 20kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 29.82 kg ist, also f(6) = 29.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.896 = 29.82
c ⋅ 0.49698 = 29.82 | : 0.49698
c = 60
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):
f(11) = ≈ 16,651.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 9,427 Tage ist also der Bestand = 20 kg.
