Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 ( 1 9 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 9 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 1 9 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 1 9 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 3-Potenz zu schreiben versuchen, also 3 = 1 9

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 ( 1 9 ) = -2, eben weil 3-2 = 1 9 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -4 = -a = -a .

Es gilt also: -4 = -a | ⋅ -1

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 +2 = y | -2
e -0,3x +0,6 = y -2 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y -2 )
-0,3x +0,6 = ln( y -2 ) | -0,6
-0,3x = ln( y -2 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y -2 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,6 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 23.4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 23,4 = 2 | 23,4
a = 2 1 23,4

Das gesuchte a ist somit 2 1 23,4 ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,03 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Nach 8 Tagen nach sind nur noch 3,28kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 4 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 2,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 3.28 kg ist, also f(8) = 3.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10 a t ein:

10 a 8 = 3,28 |:10
a 8 = 3,28 10 | 8
a1 = - 3,28 10 8 -0,87
a2 = 3,28 10 8 0,87

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,87 ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 10 0,87 4 5,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 kg ist, also f(t) = 2.5:

10 0,87 t = 2,5 |:10
0,87 t = 0,25 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 0,25 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 0,25 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 0,25 ) lg( 0,87 )
t = 9,9546

Nach ca. 9,955 Tage ist also der Bestand = 2.5 kg.