Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $-\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}-1$ = $0-1$ = $-1$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $-1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 1
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-1}+1$	=	$y$	| $-1$
$-4e^{x-1}$	=	$y-1$	|:$-4$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 22.8 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{22,8}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{22,8}}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,97}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2687.83 € ist, also f(10) = 2687.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^{10}$	=	$2\mathrm{687,83}$	|:$2000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,34392}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $-\mathrm{1,03}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $\mathrm{1,03}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,03}$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^{13}$ ≈ 2937,067.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2900 € ist, also f(t) = 2900:

$2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$2900$	|:$2000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{29}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{29}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5703}$

Nach ca. 12,57 Jahre ist also der Kontostand = 2900 €.