Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-2\right)}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-2\right)}+3$ gegen $\infty$ .

$\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^8\right)+\lg \left(\frac{1}{200}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^8\right))+(\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^8\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{200}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y+3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+3\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,8}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,2}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $10\cdot {\mathrm{0,96}}^7$ ≈ 7,514.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.2 kg ist, also f(t) = 4.2:

$10\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$10$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{0,42}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,42}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,42}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,42}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,2508}$

Nach ca. 21,251 Tage ist also der Bestand = 4.2 kg.