$\lg \left(50\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50·20)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+3k$ = $3k$ = -3

  $3k$	=	$-3$	|:$3$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$-e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$-1$
$e^{x-2}$	=	$-y-2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-y-2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-y-2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-y-2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-2\right)+2$

Die prozentuale Zunahme um 5.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5.1}{100}$) ⋅ B = 1,051 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.051($2$) ≈ 13.93 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 48.6 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 48.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^8$	=	$\mathrm{48,6}$	|:$60$
$a^8$	=	$\mathrm{0,81}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,81}}$	≈ $-\mathrm{0,974}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,81}}$	≈ $\mathrm{0,974}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,974}$ ≈ 0.974 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $60\cdot {\mathrm{0,974}}^9$ ≈ 47,335.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9208}$

Nach ca. 6,921 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.