Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,0001}x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,0001}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-4}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $-4+\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)-4$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.4}{100}$) ⋅ B = 0,986 ⋅ B. Somit ist das a=0,986.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,986}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 73.51 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 73.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,986}}^t$ ein:

c ⋅ 0.986⁶ = 73.51

c ⋅ 0.91889 = 73.51 | : 0.91889

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $80\cdot {\mathrm{0,986}}^7$ ≈ 72,482.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 72.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 72.5:

$80\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{72,5}$	|:$80$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,9063}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9063}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9063}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9063}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9782}$

Nach ca. 6,978 Jahre ist also der Bestand = 72.5 Millionen Einwohner.