Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{3\left(-x\right)}$ = $-x^3·e^{-3x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{3x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{-3x}$
weder gleich f(x) = $x^3·e^{3x}$ noch gleich -f(x) = $-x^3·e^{3x}$ = $-x^3·e^{3x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{6}{10}x-4k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $4k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $4k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $4k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,081}}^t$ ablesen: a=1.081.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.081($2$) ≈ 8.9 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 49.5 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 49.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^4$	=	$\mathrm{49,5}$	|:$55$
$a^4$	=	$\mathrm{0,9}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,9}}$	≈ $-\mathrm{0,974}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,9}}$	≈ $\mathrm{0,974}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,974}$ ≈ 0.974 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,974}}^7$ ≈ 45,738.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45.7:

$55\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$\mathrm{45,7}$	|:$55$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\mathrm{0,8309}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8309}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8309}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8309}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0318}$

Nach ca. 7,032 Jahre ist also der Bestand = 45.7 Millionen Einwohner.