Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 17 ( 17 4 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 17 4 zur Basis 17, also die Hochzahl mit der man 17 potenzieren muss, um auf 17 4 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 17 = 17 4 gilt.

Wenn wir jetzt die 17 4 als 17 1 4 umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: 17 = 17 1 4

log 17 ( 17 4 ) = 1 4 , eben weil 17 1 4 = 17 4 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 6 10 x - k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 6 10 x - k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss k = 4 gelten;
    Also gilt k = 4

Der abgebildete Graph ist somit der von f4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,1x -0,3 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,3 -3 = y | +3
e 0,1x -0,3 = y +3 |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( y +3 )
0,1x -0,3 = ln( y +3 ) | +0,3
0,1x = ln( y +3 ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y +3 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x +3 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x +3 ) + 0,3 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 4,4 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 22 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 4.4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,4 = 2 | 4,4
a1 = - 2 1 4,4 -1,171
a2 = 2 1 4,4 1,171

Das gesuchte a ist somit 1,171 ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 22 1,17 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. 7 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 6,72 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 11 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 10,8 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,91 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Jahre der Bestand 6.72 Millionen Insekten ist, also f(7) = 6.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,91 t ein:

c ⋅ 0.917 = 6.72

c ⋅ 0.51676 = 6.72 | : 0.51676

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = 13 0,91 11 4,607.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.8 Millionen Insekten ist, also f(t) = 10.8:

13 0,91 t = 10,8 |:13
0,91 t = 0,8308 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 0,8308 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 0,8308 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 0,8308 ) lg( 0,91 )
t = 1,9655

Nach ca. 1,966 Jahre ist also der Bestand = 10.8 Millionen Insekten.