Zuerst schreiben wir $\frac{1}{14}$ um: $\frac{1}{14}$ = ${14}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis $196$ suchen und $196$ gerade 14² ist (also 14 = $\sqrt{196}$ = ${196}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${14}^{-1}$ noch so um, dass sie $196$ als Basis hat:

${14}^{-1}$ = ${\left({196}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $196$ suchen, also die Hochzahl mit der man $196$ potenzieren muss, um auf ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $196$^☐ = ${14}^{-1}$ = ${196}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $196$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{14}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{4}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 9.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9.9}{100}$) ⋅ B = 0,901 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,901.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.901($\frac{1}{2}$) ≈ 6.65 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,84}}^4$ ≈ 6,472.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,4101}$

Nach ca. 8,41 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.