Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 5 (22) liegt.

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Wir suchen 5er-Potenzen in der Näher von 22, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 22 ist.

Dabei kommt man auf 5 = 51 < 22 und auf 5 2 = 52 > 22.

Und da wir bei log 5 (22) ja das ☐ von 5 = 22 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
51 = 5 < 22 < 5 2 = 52

Es gilt somit: 1 < log 5 (22) < 2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 100 x 8 ) + lg( 4x ) - lg( 1 25 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 100 x 8 ) + lg( 4x ) - lg( 1 25 x 3 )

= lg( 1 100 x -8 ) + lg( 4x ) - lg( 1 25 x -3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 8 ) + ( lg( 4 ) + lg( x ) ) - ( lg( 1 25 ) + lg( 1 x 3 ) )

= lg( 1 100 ) + lg( 1 x 8 ) + lg( 4 ) + lg( x ) - lg( 1 25 ) - lg( 1 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 100 ) -8 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x ) - lg( 1 25 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 100 ) -8 lg( x ) + lg( 4 ) + lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 25 ) +3 lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,3 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e 0,3x -0,3 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,3 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,3 -2 = y | +2
e 0,3x -0,3 = y +2 |ln(⋅)
0,3x -0,3 = ln( y +2 )
0,3x -0,3 = ln( y +2 ) | +0,3
0,3x = ln( y +2 ) +0,3 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +2 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,3 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 66 0,65 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 66

f(1) = 66 0,65

f(2) = 66 0,650,65

f(3) = 66 0,650,650,65

f(4) = 66 0,650,650,650,65

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,65 multipliziert. Da 0,65 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,65-fache, also auf 65 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 7 Wochen zählt man bereits 18030,67 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 6000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 18030.67 Nutzer ist, also f(7) = 18030.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000 a t ein:

4000 a 7 = 18030,67 |:4000
a 7 = 4,50767 | 7
a = 4,50767 7

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 4,50767 7 ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,24 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 4000 1,24 8 22358,027.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

4000 1,24 t = 6000 |:4000
1,24 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,24 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,24 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,24 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,24 )
t = 1,8849

Nach ca. 1,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.