Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 0,05 ) - lg( 50 ) .

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lg( 0,05 ) - lg( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 0.05 50 )

= lg( 0,001 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 10 ) + lg( 20x ) - lg( 80 x 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 4 x 10 ) + lg( 20x ) - lg( 80 x 4 )

= lg( 4 x -10 ) + lg( 20x ) - lg( 80 x -4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( 1 x 10 ) + ( lg( 20 ) + lg( x ) ) - ( lg( 80 ) + lg( 1 x 4 ) )

= lg( 4 ) + lg( 1 x 10 ) + lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) - lg( 1 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) -10 lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) -10 lg( x ) + lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) +4 lg( x )

= -5 lg( x ) - lg( 80 ) + lg( 20 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -5 lg( x ) + lg( 1 80 · 20 · 4 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -5 lg( x ) + lg( 1 )

= -5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,1x -0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,1x -0,3 wird e 0,1x -0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,1x -0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,1x -0,3 = y |:-2
e 0,1x -0,3 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,1x -0,3 = ln( - 1 2 y )
0,1x -0,3 = ln( - 1 2 y ) | +0,3
0,1x = ln( - 1 2 y ) +0,3 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 2 y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 2 x ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,933 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,933 t ablesen: a=0.933.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.933( 1 2 ) ≈ 9.99 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. 9 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 3,35 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 8,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,86 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 3.35 Millionen Insekten ist, also f(9) = 3.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,86 t ein:

c ⋅ 0.869 = 3.35

c ⋅ 0.25733 = 3.35 | : 0.25733

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 13 0,86 6 5,259.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 8.3:

13 0,86 t = 8,3 |:13
0,86 t = 0,6385 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 0,6385 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 0,6385 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 0,6385 ) lg( 0,86 )
t = 2,9746

Nach ca. 2,975 Jahre ist also der Bestand = 8.3 Millionen Insekten.