$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $66$

f(1) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $66$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.7}{100}$) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $65\cdot {\mathrm{0,973}}^7$ ≈ 53,666.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,4347}$

Nach ca. 13,435 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.