Zuerst schreiben wir $\frac{1}{2}$ um: $\frac{1}{2}$ = $2^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis $4$ suchen und $4$ gerade 2² ist (also 2 = $\sqrt{4}$ = $4^{\frac{1}{2}}$), formen wir $2^{-1}$ noch so um, dass sie $4$ als Basis hat:

$2^{-1}$ = ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $2^{-1}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{2}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+4k\right)·e^{x+2k}$ = 0 wird, wenn $x+4k$ = 0 ist, also für x = $-4k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-4k$) = $\left(\left(-4k\right)+4k\right)·e^{\left(-4k\right)+2k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-4k$ bei ( $x+4k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-4k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(3| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-4k$ = 3
  Also gilt k = $-\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $9$

f(1) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $9$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,979}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 48.42 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 48.42. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,979}}^t$ ein:

c ⋅ 0.979⁶ = 48.42

c ⋅ 0.88043 = 48.42 | : 0.88043

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $55\cdot {\mathrm{0,979}}^8$ ≈ 46,411.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 49.5:

$55\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$\mathrm{49,5}$	|:$55$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\mathrm{0,9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9643}$

Nach ca. 4,964 Jahre ist also der Bestand = 49.5 Millionen Einwohner.