Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{2}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{2}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{2}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{2}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{2}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{2}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

f(0) = $88$

f(1) = $88$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(2) = $88$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(3) = $88$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(4) = $88$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,95}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,95}$-fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 17392.75 Nutzer ist, also f(11) = 17392.75. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^{11}$	=	$17\mathrm{392,75}$	|:$5000$
$a^{11}$	=	$\mathrm{3,47855}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\mathrm{3,47855}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\mathrm{3,47855}}$ ≈ 1.12 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $5000\cdot {\mathrm{1,12}}^{13}$ ≈ 21817,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

$5000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$11000$	|:$5000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$\frac{11}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9573}$

Nach ca. 6,957 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.