${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>180</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>180</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 2

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+3$

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,12.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.12($2$) ≈ 6.12 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=16 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 122.7 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 122.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot a^t$ ein:

$16a^8$	=	$\mathrm{122,7}$	|:$16$
$a^8$	=	$\mathrm{7,66875}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{7,66875}}$	≈ $-\mathrm{1,29}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{7,66875}}$	≈ $\mathrm{1,29}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,29}$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $16\cdot {\mathrm{1,29}}^{12}$ ≈ 339,779.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 76 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 76:

$16\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$76$	|:$16$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{19}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,119}$

Nach ca. 6,119 Stunden ist also der Bestand = 76 Millionen Bakterien.