Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 2 ) + lg( 20 ) + lg( 1 40000 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 2 ) + lg( 20 ) + lg( 1 40000 x 2 )

= lg( 2 x -2 ) + lg( 20 ) + lg( 1 40000 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 1 40000 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 20 ) + lg( 1 ) + lg( 1 40000 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 20 ) +0 + lg( 1 40000 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 20 ) +0 + lg( 1 ) - lg( 40000 ) +2 lg( x )

= - lg( 40000 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 40000 · 20 · 2 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 2 k e k x - k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 2 k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 2 k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = 2 k e k 1 - k -1 = 2k -1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    2k -1 = 0 | +1
    2k = 1 |:2
    k = 1 2 = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,3x wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +3 = y | -3
e -0,3x = y -3 |ln(⋅)
-0,3x = ln( y -3 ) |:-0,3
x = - 1 0,3 ln( y -3 )
x = - 10 3 ln( y -3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 10 3 ln( x -3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 10 3 ln( x -3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.85( 1 2 ) ≈ 4.27 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 7000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 16704,48 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 37000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 7000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 16704.48 Nutzer ist, also f(5) = 16704.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 7000 a t ein:

7000 a 5 = 16704,48 |:7000
a 5 = 2,38635 | 5
a = 2,38635 5

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 2,38635 5 ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,19 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = 7000 1,19 7 23655,208.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer ist, also f(t) = 37000:

7000 1,19 t = 37000 |:7000
1,19 t = 37 7 |lg(⋅)
lg( 1,19 t ) = lg( 37 7 )
t · lg( 1,19 ) = lg( 37 7 ) |: lg( 1,19 )
t = lg( 37 7 ) lg( 1,19 )
t = 9,5716

Nach ca. 9,572 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer.