Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 5 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 5 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 5 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 5 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5 = 1 5

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 ( 1 5 ) = -1, eben weil 5-1 = 1 5 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,2x können die Funktionswerte von 2 e -0,2x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 2 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,2x +1 = y | -1
2 e -0,2x = y -1 |:2
e -0,2x = 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
-0,2x = ln( 1 2 y - 1 2 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( 1 2 y - 1 2 )
x = -5 ln( 1 2 y - 1 2 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( 1 2 x - 1 2 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( 1 2 x - 1 2 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 9% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.91( 1 2 ) ≈ 7.35 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 52,83 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 7 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 49,7 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 52.83 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 52.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 4 = 52,83 |:55
a 4 = 0,96055 | 4
a1 = - 0,96055 4 -0,99
a2 = 0,96055 4 0,99

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,99 ≈ 0.99 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,99 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 55 0,99 7 51,264.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 49.7:

55 0,99 t = 49,7 |:55
0,99 t = 0,9036 |lg(⋅)
lg( 0,99 t ) = lg( 0,9036 )
t · lg( 0,99 ) = lg( 0,9036 ) |: lg( 0,99 )
t = lg( 0,9036 ) lg( 0,99 )
t = 10,0861

Nach ca. 10,086 Jahre ist also der Bestand = 49.7 Millionen Einwohner.