Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{x}\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $2\lg \left(x^{-1}\right)-2\lg \left(x^4\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{625x^4}\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{625}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{625}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(625\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(625\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{625}·25·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,968}}^t$ ablesen: a=0.968.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.968($\frac{1}{2}$) ≈ 21.31 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6000\cdot {\mathrm{1,03}}^9$ ≈ 7828,639.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$6000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$9000$	|:$6000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,7172}$

Nach ca. 13,717 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.