Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 4 ( 2 ) - log 4 ( 2 ) .

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log 4 ( 2 ) - log 4 ( 2 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 4 ( 2 2 )

= log 4 ( 1 )

= 0

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -1 -1 = y | +1
-2 e x -1 = y +1 |:-2
e x -1 = - 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 2 y - 1 2 )
x -1 = ln( - 1 2 y - 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 2 y - 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 16 0,9 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 16

f(1) = 16 0,9

f(2) = 16 0,90,9

f(3) = 16 0,90,90,9

f(4) = 16 0,90,90,90,9

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,9 multipliziert. Da 0,9 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,9-fache, also auf 90 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7868,61€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu = B + 7 100 ⋅B = (1 + 7 100 ) ⋅ B = 1,07 ⋅ B. Somit ist das a=1,07.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,07 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 7868.61 € ist, also f(10) = 7868.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,07 t ein:

c ⋅ 1.0710 = 7868.61

c ⋅ 1.96715 = 7868.61 | : 1.96715

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,07 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 4000 1,07 5 5610,207.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

4000 1,07 t = 9000 |:4000
1,07 t = 9 4 |lg(⋅)
lg( 1,07 t ) = lg( 9 4 )
t · lg( 1,07 ) = lg( 9 4 ) |: lg( 1,07 )
t = lg( 9 4 ) lg( 1,07 )
t = 11,9856

Nach ca. 11,986 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.