Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[5]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[5]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[5]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[5]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{5}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{5}}$

= $\frac{1}{5}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{5}$} = $\sqrt[5]{10}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $2k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

f(0) = $200$

f(1) = $200$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $200$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $200$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $200$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 12887.72 Nutzer ist, also f(9) = 12887.72. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁹ = 12887.72

c ⋅ 6.44386 = 12887.72 | : 6.44386

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $2000\cdot {\mathrm{1,23}}^7$ ≈ 8518,552.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer ist, also f(t) = 22000:

$2000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$22000$	|:$2000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5832}$

Nach ca. 11,583 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 22000 Nutzer.