Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 3 ) + lg( 10 x 3 ) + lg( 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 25 x 3 ) + lg( 10 x 3 ) + lg( 4 )

= lg( 25 x 3 ) + lg( 10 x -3 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x 3 ) + ( lg( 10 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 ) )

= lg( 25 ) + lg( x 3 ) + lg( 10 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 4 ) + lg( 1 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 10 ) -3 lg( x ) + lg( 4 ) +0

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +3 lg( x ) + lg( 10 ) -3 lg( x ) + lg( 4 ) +0

= lg( 25 ) + lg( 10 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 10 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 +3 = y | -3
-3 e x -1 = y -3 |:-3
e x -1 = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y +1 )
x -1 = ln( - 1 3 y +1 ) | +1
x = ln( - 1 3 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x +1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,068 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,068 t ablesen: a=1.068.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.068(2) ≈ 10.54 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,7% seiner Bevölkerung. Nach 8 Jahren hat der Staat noch 60,25 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 5 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 65,4 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also Bneu = B - 2.7 100 ⋅B = (1 - 2.7 100 ) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,973 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 60.25 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 60.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,973 t ein:

c ⋅ 0.9738 = 60.25

c ⋅ 0.80335 = 60.25 | : 0.80335

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,973 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 75 0,973 5 65,407.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.4:

75 0,973 t = 65,4 |:75
0,973 t = 0,872 |lg(⋅)
lg( 0,973 t ) = lg( 0,872 )
t · lg( 0,973 ) = lg( 0,872 ) |: lg( 0,973 )
t = lg( 0,872 ) lg( 0,973 )
t = 5,004

Nach ca. 5,004 Jahre ist also der Bestand = 65.4 Millionen Einwohner.