Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $44$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $44$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $44$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $44$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $44$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $44$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

$\lg \left(50x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250.000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250.000}·50·50)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

f(0) = $10$

f(1) = $10$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $10$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $10$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $10$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,88}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 1.84 Millionen Insekten ist, also f(14) = 1.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,88}}^t$ ein:

c ⋅ 0.88¹⁴ = 1.84

c ⋅ 0.16702 = 1.84 | : 0.16702

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^{10}$ ≈ 3,064.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.1:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{2,1}$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,1909}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9544}$

Nach ca. 12,954 Jahre ist also der Bestand = 2.1 Millionen Insekten.