$\lg \left(8x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(8\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(8\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+0$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·8·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

$\lg \left(\frac{1}{100000x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-1}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

f(0) = $77$

f(1) = $77$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $77$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $77$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $77$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $3000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 3446,057.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$3500$	|:$3000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{7}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,7844}$

Nach ca. 7,784 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.