Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 8 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 8 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 8 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 8 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 8

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 8 ) = -3, eben weil 2-3 = 1 8 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 250 x 2 ) + lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 1 250 x 2 ) + lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x 3 )

= lg( 1 250 x -2 ) + lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 250 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 5 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 1 250 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 5 ) + lg( x 4 ) + lg( 50 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 250 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 250 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x )

= 5 lg( x ) - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 5 lg( x ) + lg( 1 250 · 50 · 5 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 )

= 5 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,6 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e 0,3x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,6 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,6 +3 = y | -3
e 0,3x -0,6 = y -3 |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( y -3 )
0,3x -0,6 = ln( y -3 ) | +0,6
0,3x = ln( y -3 ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y -3 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,6 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,868 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,868 t ablesen: a=0.868.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.868( 1 2 ) ≈ 4.9 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 5,68kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 9 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 7,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,91 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 5.68 kg ist, also f(6) = 5.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,91 t ein:

c ⋅ 0.916 = 5.68

c ⋅ 0.56787 = 5.68 | : 0.56787

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 10 0,91 9 4,279.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.5 kg ist, also f(t) = 7.5:

10 0,91 t = 7,5 |:10
0,91 t = 0,75 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 0,75 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 0,75 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 0,75 ) lg( 0,91 )
t = 3,0504

Nach ca. 3,05 Tage ist also der Bestand = 7.5 kg.