Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $2^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{100x^6}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(5x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-6}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 9.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9.2}{100}$) ⋅ B = 0,908 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,908.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.908($\frac{1}{2}$) ≈ 7.18 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 27.43 kg ist, also f(4) = 27.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ ein:

$40a^4$	=	$\mathrm{27,43}$	|:$40$
$a^4$	=	$\mathrm{0,68575}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,68575}}$	= $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,68575}}$	= $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $40\cdot {\mathrm{0,91}}^5$ ≈ 24,961.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,3496}$

Nach ca. 7,35 Tage ist also der Bestand = 20 kg.