Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+1$

$-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·2·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $185$

f(1) = $185$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $185$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $185$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $185$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 13.83 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 13.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11⁸ = 13.83

c ⋅ 2.30454 = 13.83 | : 2.30454

c = 6

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $6\cdot {\mathrm{1,11}}^9$ ≈ 15,348.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.4 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 7.4:

$6\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{7,4}$	|:$6$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{1,2333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,2333}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0093}$

Nach ca. 2,009 Stunden ist also der Bestand = 7.4 Millionen Bakterien.