Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,99.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.99($\frac{1}{2}$) ≈ 68.97 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 61.41 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 61.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^{10}$	=	$\mathrm{61,41}$	|:$70$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,87729}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,87729}}$	≈ $-\mathrm{0,987}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,87729}}$	≈ $\mathrm{0,987}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,987}$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,987}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $70\cdot {\mathrm{0,987}}^{11}$ ≈ 60,616.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 65.6:

$70\cdot {\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{65,6}$	|:$70$
${\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{0,9371}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,987}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9371}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9371}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9371}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,987}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9648}$

Nach ca. 4,965 Jahre ist also der Bestand = 65.6 Millionen Einwohner.