Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+4\lg \left(\sqrt{x}\right)-2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+4\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)-2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+1$ = $k+1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = -1 ablesen, es gilt somit:

  $k+1$	=	$-1$	| $-1$
  $k$	=	$-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $61$

f(1) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $61$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 62.04 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 62.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^{10}$	=	$\mathrm{62,04}$	|:$70$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,88629}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,88629}}$	≈ $-\mathrm{0,988}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,88629}}$	≈ $\mathrm{0,988}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,988}$ ≈ 0.988 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $70\cdot {\mathrm{0,988}}^9$ ≈ 62,793.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 62 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 62:

$70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$	=	$62$	|:$70$
${\mathrm{0,988}}^t$	=	$\frac{31}{35}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,988}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{35}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$	=	$\lg \left(\frac{31}{35}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{31}{35}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,988}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0526}$

Nach ca. 10,053 Jahre ist also der Bestand = 62 Millionen Einwohner.