Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)+5\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)-3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $2kx·e^{kx+2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $2k·0·e^{k\cdot 0+2k}+2k$ = $2k$ = -1

  $2k$	=	$-1$	|:$2$
  $k$	=	$-\frac{1}{2}$ = -0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 5.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.9% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.9}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5.9}{100}$) ⋅ B = 1,059 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,059.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.059($2$) ≈ 12.09 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 48.48 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 48.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot a^t$ ein:

$65a^8$	=	$\mathrm{48,48}$	|:$65$
$a^8$	=	$\mathrm{0,74585}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,74585}}$	≈ $-\mathrm{0,964}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,74585}}$	≈ $\mathrm{0,964}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,964}$ ≈ 0.964 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,964}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $65\cdot {\mathrm{0,964}}^5$ ≈ 54,113.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.4:

$65\cdot {\mathrm{0,964}}^t$	=	$\mathrm{60,4}$	|:$65$
${\mathrm{0,964}}^t$	=	$\mathrm{0,9292}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,964}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9292}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9292}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9292}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,964}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0028}$

Nach ca. 2,003 Jahre ist also der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner.