Zuerst schreiben wir $\frac{1}{17}$ um: $\frac{1}{17}$ = ${17}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis $289$ suchen und $289$ gerade 17² ist (also 17 = $\sqrt{289}$ = ${289}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${17}^{-1}$ noch so um, dass sie $289$ als Basis hat:

${17}^{-1}$ = ${\left({289}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $289$ suchen, also die Hochzahl mit der man $289$ potenzieren muss, um auf ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $289$^☐ = ${17}^{-1}$ = ${289}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $289$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{17}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,072}}^t$ ablesen: a=1.072.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.072($2$) ≈ 9.97 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 17539.58 Nutzer ist, also f(5) = 17539.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^5$	=	$17\mathrm{539,58}$	|:$8000$
$a^5$	=	$\mathrm{2,19245}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{2,19245}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{2,19245}}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $8000\cdot {\mathrm{1,17}}^{13}$ ≈ 61589,431.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer ist, also f(t) = 38000:

$8000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$38000$	|:$8000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{19}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9243}$

Nach ca. 9,924 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer.