Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 125 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 125 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 125 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 125 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5 = 1 125

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 ( 1 125 ) = -3, eben weil 5-3 = 1 125 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 +2 = y | -2
2 e x -1 = y -2 |:2
e x -1 = 1 2 y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y -1 )
x -1 = ln( 1 2 y -1 ) | +1
x = ln( 1 2 y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x -1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,8% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 5.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.8% dazukommen,
also Bneu = B + 5.8 100 ⋅B = (1 + 5.8 100 ) ⋅ B = 1,058 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.058(2) ≈ 12.29 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 1000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 13 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 1600€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also Bneu = B + 4 100 ⋅B = (1 + 4 100 ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 1000 1,04 13 1665,074.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1600 € ist, also f(t) = 1600:

1000 1,04 t = 1600 |:1000
1,04 t = 8 5 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 8 5 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 8 5 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 8 5 ) lg( 1,04 )
t = 11,9836

Nach ca. 11,984 Jahre ist also der Kontostand = 1600 €.