Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x ) + lg( 1 250 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x ) + lg( 1 250 x 2 )

= lg( 5 x 4 ) + lg( 50 x -1 ) + lg( 1 250 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 1 250 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 4 ) + lg( 50 ) + lg( 1 x ) + lg( 1 250 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) - lg( x ) + lg( 1 250 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +4 lg( x ) + lg( 50 ) - lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 250 ) -2 lg( x )

= lg( x ) - lg( 250 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( x ) + lg( 1 250 · 50 · 5 )

= lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= lg( x ) + lg( 1 )

= lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 3 ) - lg( 100000x ) - lg( 1 20 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 5 x 3 ) - lg( 100000x ) - lg( 1 20 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( x 3 ) - ( lg( 100000 ) + lg( x ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 5 ) + lg( x 3 ) - lg( 100000 ) - lg( x ) - lg( 1 20 ) - lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 100000 ) - lg( x ) - lg( 1 20 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) +3 lg( x ) - lg( 100000 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) -2 lg( x )

= - lg( 100000 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 100.000 · 20 · 5 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -2 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e x -2 wird zu allen Funktionswerten von e x -2 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -2 +1 = y | -1
e x -2 = y -1 |ln(⋅)
x -2 = ln( y -1 )
x -2 = ln( y -1 ) | +2
x = ln( y -1 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -1 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -1 ) +2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 42 ( 6 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 42

f(1) = 42 6 5

f(2) = 42 6 5 6 5

f(3) = 42 6 5 6 5 6 5

f(4) = 42 6 5 6 5 6 5 6 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 6 5 multipliziert. Da 6 5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 6 5 -fache (oder auf das 120 100 -fache), also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 6 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 5,11 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 11 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 5.11 Millionen Insekten ist, also f(6) = 5.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 11 a t ein:

11 a 6 = 5,11 |:11
a 6 = 5,11 11 | 6
a1 = - 5,11 11 6 -0,88
a2 = 5,11 11 6 0,88

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,88 ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 11 0,88 7 4,495.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4:

11 0,88 t = 4 |:11
0,88 t = 4 11 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 4 11 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 4 11 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 4 11 ) lg( 0,88 )
t = 7,9134

Nach ca. 7,913 Jahre ist also der Bestand = 4 Millionen Insekten.