Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 16 ( 1 4 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 4 um: 1 4 = 4 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis 16 suchen und 16 gerade 4² ist (also 4 = 16 = 16 1 2 ), formen wir 4 -1 noch so um, dass sie 16 als Basis hat:

4 -1 = ( 16 1 2 ) -1 = 16 - 1 2

log 16 ( 1 4 ) = log 16 ( 4 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 -1 = 16 - 1 2 zur Basis 16 suchen, also die Hochzahl mit der man 16 potenzieren muss, um auf 4 -1 = 16 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 16 = 4 -1 = 16 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 16 ( 1 4 ) = log 16 ( 4 -1 ) = log 16 ( 16 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 16 - 1 2 = 1 4 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 3 k e k x +2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 3 k e k x +2 k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x +2 k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 3 k e k x +2 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x +2 k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x +2 k = 0 | - ( 2 k )
    k x = -2 k |:( k )
    x = -2
    Wenn wir nun -2 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-2 ) = 3 k e k ( -2 ) +2 k +2 = 3k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-2 ) = 0 ablesen, es gilt somit:
    3k +2 = 0 | -2
    3k = -2 |:3
    k = - 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,2x +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,2x wird e -0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -4 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,2x noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,2x +3 = y | -3
-4 e -0,2x = y -3 |:-4
e -0,2x = - 1 4 y + 3 4 |ln(⋅)
-0,2x = ln( - 1 4 y + 3 4 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( - 1 4 y + 3 4 )
x = -5 ln( - 1 4 y + 3 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( - 1 4 x + 3 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( - 1 4 x + 3 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 13% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also Bneu = B + 13 100 ⋅B = (1 + 13 100 ) ⋅ B = 1,13 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,13.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.13(2) ≈ 5.67 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 21% vermehrt. Nach 5 Wochen zählt man bereits 20749,94 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 28000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also Bneu = B + 21 100 ⋅B = (1 + 21 100 ) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,21 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 20749.94 Nutzer ist, also f(5) = 20749.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,21 t ein:

c ⋅ 1.215 = 20749.94

c ⋅ 2.59374 = 20749.94 | : 2.59374

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,21 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 8000 1,21 8 36759,784.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer ist, also f(t) = 28000:

8000 1,21 t = 28000 |:8000
1,21 t = 7 2 |lg(⋅)
lg( 1,21 t ) = lg( 7 2 )
t · lg( 1,21 ) = lg( 7 2 ) |: lg( 1,21 )
t = lg( 7 2 ) lg( 1,21 )
t = 6,572

Nach ca. 6,572 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 28000 Nutzer.