Wir suchen den Logarithmus von $100000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $10$^$5$ = $100000$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1250000}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

= $-\lg \left(1250000x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1250000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(1250000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1250000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1250000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,106}}^t$ ablesen: a=1.106.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.106($2$) ≈ 6.88 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $20\cdot {\mathrm{1,26}}^6$ ≈ 80,03.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 220 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 220:

$20\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$220$	|:$20$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,3755}$

Nach ca. 10,376 Stunden ist also der Bestand = 220 Millionen Bakterien.