Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 3 ( 243 ) - log 3 ( 3 ) .

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log 3 ( 243 ) - log 3 ( 3 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 3 ( 243 3 )

= log 3 ( 81 )

= log 3 ( 3 4 )

= 4

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 10000 x 2 ) + lg( 25 ) + lg( 4 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 10000 x 2 ) + lg( 25 ) + lg( 4 x 2 )

= - lg( 10000 x -2 ) + lg( 25 ) + lg( 4 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 10000 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( 1 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 10000 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 25 ) + lg( 1 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 10000 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +0 + lg( 4 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 10000 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +0 + lg( 4 ) -2 lg( x )

= - lg( 10000 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 10000 · 25 · 4 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 -2 = y | +2
e -0,3x +0,6 = y +2 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y +2 )
-0,3x +0,6 = ln( y +2 ) | -0,6
-0,3x = ln( y +2 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +2 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +2 ) + 0,6 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 50kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 4.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,3 = 1 2 | 4,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 4,3 -0,851
a2 = ( 1 2 ) 1 4,3 0,851

Das gesuchte a ist somit 0,851 ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 50 0,85 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6615€. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 11000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6615 € ist, also f(2) = 6615. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 2 = 6615 |:6000
a 2 = 441 400 | 2
a1 = - 441 400 = - 21 20
a2 = 441 400 = 21 20

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 21 20 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 6000 1,05 8 8864,733.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

6000 1,05 t = 11000 |:6000
1,05 t = 11 6 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 11 6 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 11 6 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 11 6 ) lg( 1,05 )
t = 12,4233

Nach ca. 12,423 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.