Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 13 sondern zur Basis $169$ suchen und $169$ gerade 13² ist (also 13 = $\sqrt{169}$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $13$ noch so um, dass sie $169$ als Basis hat:

$13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $169$ suchen, also die Hochzahl mit der man $169$ potenzieren muss, um auf $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $169$^☐ = $13$ = ${169}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $169$^{$\frac{1}{2}$} = $13$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{100x^7}\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-7}\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,951}}^t$ ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.951($\frac{1}{2}$) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $20\cdot {\mathrm{1,08}}^{11}$ ≈ 46,633.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 50:

$20\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$50$	|:$20$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{5}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9059}$

Nach ca. 11,906 Stunden ist also der Bestand = 50 Millionen Bakterien.