Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (27) .

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Wir suchen den Logarithmus von 27 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 27 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 27 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (27) = 3, eben weil 33 = 27 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem - e x -3 wird zu allen Funktionswerten von - e x -3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -3 -3 = y | +3
- e x -3 = y +3 |:-1
e x -3 = -y -3 |ln(⋅)
x -3 = ln( -y -3 )
x -3 = ln( -y -3 ) | +3
x = ln( -y -3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x -3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x -3 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,131 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,131 t ablesen: a=1.131.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.131(2) ≈ 5.63 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7293,04€. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7293.04 € ist, also f(4) = 7293.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 4 = 7293,04 |:6000
a 4 = 1,21551 | 4
a1 = - 1,21551 4 = -1,05
a2 = 1,21551 4 = 1,05

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,05 ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,05 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 6000 1,05 10 9773,368.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

6000 1,05 t = 7000 |:6000
1,05 t = 7 6 |lg(⋅)
lg( 1,05 t ) = lg( 7 6 )
t · lg( 1,05 ) = lg( 7 6 ) |: lg( 1,05 )
t = lg( 7 6 ) lg( 1,05 )
t = 3,1595

Nach ca. 3,16 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.