Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 4 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 4 um: 1 4 = 4 - 1 2

log 4 ( 1 4 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 - 1 2 zur Basis 4 suchen, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 4 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 4 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 4 ( 1 4 ) = log 4 ( 4 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 4 - 1 2 = 1 4 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,3x -0,3 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,3 -1 = y | +1
e 0,3x -0,3 = y +1 |ln(⋅)
0,3x -0,3 = ln( y +1 )
0,3x -0,3 = ln( y +1 ) | +0,3
0,3x = ln( y +1 ) +0,3 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also Bneu = B + 18 100 ⋅B = (1 + 18 100 ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.18(2) ≈ 4.19 Wochen

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2209,24€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2060€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 2209.24 € ist, also f(10) = 2209.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.0110 = 2209.24

c ⋅ 1.10462 = 2209.24 | : 1.10462

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 2000 1,01 5 2102,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2060 € ist, also f(t) = 2060:

2000 1,01 t = 2060 |:2000
1,01 t = 103 100 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 103 100 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 103 100 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 103 100 ) lg( 1,01 )
t = 2,9706

Nach ca. 2,971 Jahre ist also der Kontostand = 2060 €.