Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 400 ) + lg( 25 ) .

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lg( 400 ) + lg( 25 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 400 · 25 )

= lg( 10000 )

= lg( 10 4 )

= 4

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +2 k = 2 k = 4
    2k = 4 |:2
    k = 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -3 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -3 können die Funktionswerte von 2 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem 2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -3 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -3 +3 = y | -3
2 e x -3 = y -3 |:2
e x -3 = 1 2 y - 3 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 2 y - 3 2 )
x -3 = ln( 1 2 y - 3 2 ) | +3
x = ln( 1 2 y - 3 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x - 3 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x - 3 2 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 40 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 13,5 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 13.5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 13,5 = 1 2 | 13,5
a = ( 1 2 ) 1 13,5

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 13,5 ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 40 0,95 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 10% abnimmt. 14 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 2,29 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 8 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also Bneu = B - 10 100 ⋅B = (1 - 10 100 ) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,9 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 14 Jahre der Bestand 2.29 Millionen Insekten ist, also f(14) = 2.29. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,9 t ein:

c ⋅ 0.914 = 2.29

c ⋅ 0.22877 = 2.29 | : 0.22877

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 10 0,9 8 4,305.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.3:

10 0,9 t = 2,3 |:10
0,9 t = 0,23 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 0,23 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 0,23 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 0,23 ) lg( 0,9 )
t = 13,949

Nach ca. 13,949 Jahre ist also der Bestand = 2.3 Millionen Insekten.