Wir suchen den Logarithmus von $8$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $8$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $8$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $2$^$3$ = $8$ gilt .

$\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{20x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$3e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,067}}^t$ ablesen: a=1.067.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.067($2$) ≈ 10.69 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 57.04 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 57.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^{10}$	=	$\mathrm{57,04}$	|:$75$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,76053}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,76053}}$	≈ $-\mathrm{0,973}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,76053}}$	≈ $\mathrm{0,973}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,973}$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $75\cdot {\mathrm{0,973}}^{11}$ ≈ 55,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.1:

$75\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{69,1}$	|:$75$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{0,9213}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9213}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9213}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9213}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9947}$

Nach ca. 2,995 Jahre ist also der Bestand = 69.1 Millionen Einwohner.