Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $k{e}^{k\cdot 1-k}-2$ = $k-2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = -1 ablesen, es gilt somit:

  $k-2$	=	$-1$	| $+2$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,06}}^t$ ablesen: a=1.06.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.06($2$) ≈ 11.9 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 3.96 Millionen Insekten ist, also f(8) = 3.96. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^8$	=	$\mathrm{3,96}$	|:$11$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{3,96}}{11}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{3,96}}{11}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{3,96}}{11}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^9$ ≈ 3,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.6:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{6,6}$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,996}$

Nach ca. 3,996 Jahre ist also der Bestand = 6.6 Millionen Insekten.