Wir suchen den Logarithmus von $16$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $16$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $16$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $2$^$4$ = $16$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(2| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 2
  Also gilt k = $-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-4e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^5$ ≈ 2593,742.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:

$1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$21000$	|:$1000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$21$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(21\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(21\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(21\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,9717}$

Nach ca. 15,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.