Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{3}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $3^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $3^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $3$ suchen, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $3^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $3^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $3$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -3

  $k$

  =

  $-3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,874}}^t$ ablesen: a=0.874.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.874($\frac{1}{2}$) ≈ 5.15 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 14828.89 Nutzer ist, also f(10) = 14828.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^{10}$	=	$14\mathrm{828,89}$	|:$4000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{3,70722}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{3,70722}}$	= $-\mathrm{1,14}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{3,70722}}$	= $\mathrm{1,14}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,14}$ ≈ 1.14 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $4000\cdot {\mathrm{1,14}}^{13}$ ≈ 21969,646.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer ist, also f(t) = 14000:

$4000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$14000$	|:$4000$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{7}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,561}$

Nach ca. 9,561 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 14000 Nutzer.