Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 (10000) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 10000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 10000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 10000 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 (10000) = 4, eben weil 104 = 10000 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -2 = -a = -a .

Es gilt also: -2 = -a | ⋅ -1

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,3x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,3x wird e 0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,3x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,3x -1 = y | +1
-3 e 0,3x = y +1 |:-3
e 0,3x = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
0,3x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 3 y - 1 3 )
x = 10 3 ln( - 1 3 y - 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( - 1 3 x - 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( - 1 3 x - 1 3 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 8,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 8.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 8,3 = 1 2 | 8,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 8,3 -0,92
a2 = ( 1 2 ) 1 8,3 0,92

Das gesuchte a ist somit 0,92 ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 11 0,92 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. Zu Beginn sind 60kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 50kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu = B - 4 100 ⋅B = (1 - 4 100 ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 60 0,96 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = 60 0,96 4 50,961.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

60 0,96 t = 50 |:60
0,96 t = 5 6 |lg(⋅)
lg( 0,96 t ) = lg( 5 6 )
t · lg( 0,96 ) = lg( 5 6 ) |: lg( 0,96 )
t = lg( 5 6 ) lg( 0,96 )
t = 4,4663

Nach ca. 4,466 Tage ist also der Bestand = 50 kg.