Wir suchen den Logarithmus von $32$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $32$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $32$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $2$^$5$ = $32$ gilt .

$\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{20}{x}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)+\lg \left(20x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(y-2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(x-2\right)$

Die prozentuale Abnahme um 8.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8.3}{100}$) ⋅ B = 0,917 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,917.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.917($\frac{1}{2}$) ≈ 8 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $25\cdot {\mathrm{1,17}}^{11}$ ≈ 140,6.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 325 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 325:

$25\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$325$	|:$25$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$13$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(13\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(13\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(13\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,3369}$

Nach ca. 16,337 Stunden ist also der Bestand = 325 Millionen Bakterien.