${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>108</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>108</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>27</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_3\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+5k\right)·e^{x+\frac{5}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+5k$ = 0 ist, also für x = $-5k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-5k$) = $-\left(\left(-5k\right)+5k\right)·e^{\left(-5k\right)+\frac{5}{2}k}-3$ = $0-3$ = $-3$ sein.
  Da bei x = $-5k$ bei ( $x+5k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-5k$| $-3$) im abgebildeten Graph bei P(2| $-3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-5k$ = 2
  Also gilt k = $-\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-3}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-3}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{x-3}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(y+2\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+2\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+2\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,869}}^t$ ablesen: a=0.869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.869($\frac{1}{2}$) ≈ 4.94 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 29.38 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 29.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ ein:

$17a^3$	=	$\mathrm{29,38}$	|:$17$
$a^3$	=	$\mathrm{1,72824}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,72824}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,72824}}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $17\cdot {\mathrm{1,2}}^9$ ≈ 87,716.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 27 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 27:

$17\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$27$	|:$17$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{27}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,5374}$

Nach ca. 2,537 Stunden ist also der Bestand = 27 Millionen Bakterien.