$\lg \left(25x^4\right)-\lg \left(\frac{125}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)$

= $\lg \left(25x^4\right)-\lg \left(125x^{-2}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{x-2}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y+2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+2\right)+2$

f(0) = $122$

f(1) = $122$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $122$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $122$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $122$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.1}{100}$) ⋅ B = 0,979 ⋅ B. Somit ist das a=0,979.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,979}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $60\cdot {\mathrm{0,979}}^4$ ≈ 55,117.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,979}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,979}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,979}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,979}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,979}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5905}$

Nach ca. 8,591 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.