Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
=0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,4}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,854}}^t$ ablesen: a=0.854.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.854($\frac{1}{2}$) ≈ 4.39 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 52.39 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 52.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^2$	=	$\mathrm{52,39}$	|:$55$
$a^2$	=	$\mathrm{0,95255}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,95255}}$	≈ $-\mathrm{0,976}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,95255}}$	≈ $\mathrm{0,976}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,976}$ ≈ 0.976 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,976}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $55\cdot {\mathrm{0,976}}^9$ ≈ 44,199.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,976}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,976}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,976}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,976}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,2605}$

Nach ca. 8,261 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.