Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)$
= $3\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{250x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+0+\lg \left(\frac{1}{250}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{x-1}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y+2\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+2\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+2\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,859}}^t$ ablesen: a=0.859.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.859($\frac{1}{2}$) ≈ 4.56 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $80\cdot {\mathrm{0,85}}^{11}$ ≈ 13,387.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$80\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$30$	|:$80$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{3}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0352}$

Nach ca. 6,035 Tage ist also der Bestand = 30 kg.