Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -1

  $k$

  =

  $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{10,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $\mathrm{1,07}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,988}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 63.45 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 63.45. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,988}}^t$ ein:

c ⋅ 0.988² = 63.45

c ⋅ 0.97614 = 63.45 | : 0.97614

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,988}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $65\cdot {\mathrm{0,988}}^5$ ≈ 61,192.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 62.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 62.7:

$65\cdot {\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{62,7}$	|:$65$
${\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{0,9646}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,988}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9646}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9646}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9646}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,988}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9854}$

Nach ca. 2,985 Jahre ist also der Bestand = 62.7 Millionen Einwohner.