Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $56$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $56$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $56$ und auf $5^3$ = 5³ > $56$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $56$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $56$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

$\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(20x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (25·20·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$-2e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+1\right)+1$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ablesen: a=1.15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15($2$) ≈ 4.96 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $10\cdot {\mathrm{0,91}}^{13}$ ≈ 2,935.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.7:

$10\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{2,7}$	|:$10$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,27}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8832}$

Nach ca. 13,883 Jahre ist also der Bestand = 2.7 Millionen Insekten.