Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000x ) -4 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000x ) -4 lg( x )
= lg( 1000000 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= lg( 10 6 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= 6 + lg( x ) -4 lg( x )
= -3 lg( x ) +6

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 20000 ) - lg( 1 4 x 2 ) + lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 20000 ) - lg( 1 4 x 2 ) + lg( 5 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 20000 ) + lg( 1 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) )

= - lg( 20000 ) - lg( 1 ) - lg( 1 4 ) - lg( x 2 ) + lg( 5 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 20000 ) +0 - lg( 1 4 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 20000 ) +0 - lg( 1 ) + lg( 4 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

= - lg( 20000 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 20000 · 5 · 4 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 +2 = y | -2
e 0,2x -0,2 = y -2 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y -2 )
0,2x -0,2 = ln( y -2 ) | +0,2
0,2x = ln( y -2 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -2 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu = B + 26 100 ⋅B = (1 + 26 100 ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.26(2) ≈ 3 Stunden

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 7% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 11 0,93 5 7,653.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.3:

11 0,93 t = 4,3 |:11
0,93 t = 0,3909 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,3909 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,3909 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,3909 ) lg( 0,93 )
t = 12,9433

Nach ca. 12,943 Jahre ist also der Bestand = 4.3 Millionen Insekten.