Zuerst schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ um: $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Also schreiben wir $\frac{1}{10000000}$ = ${10000000}^{-1}$ = ${\left({10}^7\right)}^{-1}$ = ${10}^{-7}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-7}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-7}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-7}$ = ${100}^{-\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{7}{2}$} = $\frac{1}{10000000}$ gilt .

$\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250x^7}\right)$

= $\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·50·50)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,117}}^t$ ablesen: a=1.117.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.117($2$) ≈ 6.26 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 55.99 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 55.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^2$	=	$\mathrm{55,99}$	|:$60$
$a^2$	=	$\mathrm{0,93317}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,93317}}$	≈ $-\mathrm{0,966}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,93317}}$	≈ $\mathrm{0,966}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,966}$ ≈ 0.966 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,966}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $60\cdot {\mathrm{0,966}}^9$ ≈ 43,949.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,966}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,966}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,966}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,966}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,7215}$

Nach ca. 11,722 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.