Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 4 ( 1 16 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 16 zur Basis 4, also die Hochzahl mit der man 4 potenzieren muss, um auf 1 16 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 4 = 1 16 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 4-Potenz zu schreiben versuchen, also 4 = 1 16

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 4 ( 1 16 ) = -2, eben weil 4-2 = 1 16 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-2), also gilt f(0)=-2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -2 , also f(x)= -2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= -2 a x eingesezt bedeutet das: -4 = -2a = -2a .

Es gilt also: -4 = -2a | ⋅ - 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= -2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,3x +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,3x wird e -0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -3 e -0,3x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,3x noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,3x +2 = y | -2
-3 e -0,3x = y -2 |:-3
e -0,3x = - 1 3 y + 2 3 |ln(⋅)
-0,3x = ln( - 1 3 y + 2 3 ) |:-0,3
x = - 1 0,3 ln( - 1 3 y + 2 3 )
x = - 10 3 ln( - 1 3 y + 2 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 10 3 ln( - 1 3 x + 2 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 10 3 ln( - 1 3 x + 2 3 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4 = 2 | 4
a1 = - 2 4 -1,189
a2 = 2 4 1,189

Das gesuchte a ist somit 1,189 ≈ 1.19, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,19 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 6120,6€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6600€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 6120.6 € ist, also f(2) = 6120.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.012 = 6120.6

c ⋅ 1.0201 = 6120.6 | : 1.0201

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 6000 1,01 4 6243,624.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6600 € ist, also f(t) = 6600:

6000 1,01 t = 6600 |:6000
1,01 t = 11 10 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 11 10 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 11 10 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 11 10 ) lg( 1,01 )
t = 9,5786

Nach ca. 9,579 Jahre ist also der Kontostand = 6600 €.