$-\lg \left(250x^8\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(50x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(250\right)+\lg \left(x^8\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(250\right)-\lg \left(x^8\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(250\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(250\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+0+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(800x^3\right)+\lg \left(20x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(800x^3\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(800\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(800\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(800\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(800\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(800\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{800}·20·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.92($\frac{1}{2}$) ≈ 8.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 13770.06 € ist, also f(10) = 13770.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^{10}$	=	$13\mathrm{770,06}$	|:$7000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,96715}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,96715}}$	= $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,96715}}$	= $\mathrm{1,07}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $7000\cdot {\mathrm{1,07}}^6$ ≈ 10505,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

$7000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$15000$	|:$7000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{15}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{15}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{15}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{15}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,2645}$

Nach ca. 11,265 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.