Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2+e^{{\left(-x\right)}^2+1}$ = $x^2+e^{x^2+1}$ = $e^{x^2+1}+x^2$

Wenn man das mit f(x) = $x^2+e^{x^2+1}$ = $e^{x^2+1}+x^2$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)+1$

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 29.94 kg ist, also f(10) = 29.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ ein:

c ⋅ 0.95¹⁰ = 29.94

c ⋅ 0.59874 = 29.94 | : 0.59874

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $50\cdot {\mathrm{0,95}}^{13}$ ≈ 25,667.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$50\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$40$	|:$50$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\frac{4}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,3503}$

Nach ca. 4,35 Tage ist also der Bestand = 40 kg.