Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 4 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 4 )
= 4 lg( x )
= 4 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 5 x 2 ) - lg( 1 50 x 2 ) - lg( 1 4 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 5 x 2 ) - lg( 1 50 x 2 ) - lg( 1 4 )

= - lg( 1 5 x -2 ) - lg( 1 50 x 2 ) - lg( 1 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 5 ) + lg( 1 x 2 ) ) - ( lg( 1 50 ) + lg( x 2 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( 1 ) )

= - lg( 1 5 ) - lg( 1 x 2 ) - lg( 1 50 ) - lg( x 2 ) - lg( 1 4 ) - lg( 1 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 5 ) +2 lg( x ) - lg( 1 50 ) -2 lg( x ) - lg( 1 4 ) +0

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 5 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) +0

= lg( 50 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,1 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,1x -0,1 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,1 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,1 +1 = y | -1
e 0,1x -0,1 = y -1 |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( y -1 )
0,1x -0,1 = ln( y -1 ) | +0,1
0,1x = ln( y -1 ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y -1 ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x -1 ) + 0,1 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 31 1,5 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 31

f(1) = 31 1,5

f(2) = 31 1,51,5

f(3) = 31 1,51,51,5

f(4) = 31 1,51,51,51,5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,5 multipliziert. Da 1,5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,5-fache, also auf 150 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 60,91 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 65 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 60.91 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 60.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 65 a t ein:

65 a 2 = 60,91 |:65
a 2 = 0,93708 | 2
a1 = - 0,93708 -0,968
a2 = 0,93708 0,968

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,968 ≈ 0.968 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,968 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 65 0,968 8 50,109.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

65 0,968 t = 55 |:65
0,968 t = 11 13 |lg(⋅)
lg( 0,968 t ) = lg( 11 13 )
t · lg( 0,968 ) = lg( 11 13 ) |: lg( 0,968 )
t = lg( 11 13 ) lg( 0,968 )
t = 5,1365

Nach ca. 5,137 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.