Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^2\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
=0

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,142}}^t$ ablesen: a=1.142.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.142($2$) ≈ 5.22 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,988}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 62.04 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 62.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,988}}^t$ ein:

c ⋅ 0.988¹⁰ = 62.04

c ⋅ 0.88628 = 62.04 | : 0.88628

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $70\cdot {\mathrm{0,988}}^5$ ≈ 65,9.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 61.3 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 61.3:

$70\cdot {\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{61,3}$	|:$70$
${\mathrm{0,988}}^t$	=	$\mathrm{0,8757}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,988}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8757}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8757}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8757}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,988}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9945}$

Nach ca. 10,995 Jahre ist also der Bestand = 61.3 Millionen Einwohner.