$\lg \left(\mathrm{0,005}\right)$ - $\lg \left(5\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.005}{5}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

$\lg \left(\frac{4}{x}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

= $\lg \left(4x^{-1}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (5·5·4)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$3e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^4$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $-\mathrm{0,841}$
a2	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$	≈ $\mathrm{0,841}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,841}$ ≈ 0.84, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,84}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $11\cdot {\mathrm{0,86}}^8$ ≈ 3,291.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1:

$11\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$1$	|:$11$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\frac{1}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,8987}$

Nach ca. 15,899 Jahre ist also der Bestand = 1 Millionen Insekten.