Wir suchen $19$er-Potenzen in der Näher von $103$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $103$ ist.

Dabei kommt man auf $19$ = 19¹ < $103$ und auf ${19}^2$ = 19² > $103$.

Und da wir bei ja das ☐ von 19^☐ = $103$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
19¹ = $19$ < $103$ < ${19}^2$ = 19²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $3k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $90$

f(1) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $90$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 2080.8 € ist, also f(2) = 2080.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02² = 2080.8

c ⋅ 1.0404 = 2080.8 | : 1.0404

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $2000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 2297,371.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2500 € ist, also f(t) = 2500:

$2000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$2500$	|:$2000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,2684}$

Nach ca. 11,268 Jahre ist also der Kontostand = 2500 €.