Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $-x·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $3x·e^{2x}-3x·e^{-2x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(3e^{2x}-3e^{-2x}\right)$ = $3x·e^{2x}-3x·e^{-2x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$-\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(5x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·20}{5}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,877}}^t$ ablesen: a=0.877.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.877($\frac{1}{2}$) ≈ 5.28 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 27.25 kg ist, also f(8) = 27.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot a^t$ ein:

$100a^8$	=	$\mathrm{27,25}$	|:$100$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{27,25}}{100}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{27,25}}{100}}$	≈ $-\mathrm{0,85}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{27,25}}{100}}$	≈ $\mathrm{0,85}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,85}$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $100\cdot {\mathrm{0,85}}^4$ ≈ 52,201.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$100\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$10$	|:$100$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{1}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,1681}$

Nach ca. 14,168 Tage ist also der Bestand = 10 kg.