Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

$\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(40000\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-3}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-3}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{x-3}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{x-3}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-y-1\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-y-1\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x-1\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x-1\right)+3$

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.85($\frac{1}{2}$) ≈ 4.27 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 7282.8 € ist, also f(2) = 7282.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,02}}^t$ ein:

c ⋅ 1.02² = 7282.8

c ⋅ 1.0404 = 7282.8 | : 1.0404

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $7000\cdot {\mathrm{1,02}}^{12}$ ≈ 8877,693.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7600 € ist, also f(t) = 7600:

$7000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$7600$	|:$7000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{38}{35}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{38}{35}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{38}{35}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{38}{35}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,1529}$

Nach ca. 4,153 Jahre ist also der Kontostand = 7600 €.