$-\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)$

= $-\lg \left(100\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100\right)+0+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x^4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-4}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.4 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,4}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,4}}}$ ≈ 0.88, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,88}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $2000\cdot {\mathrm{1,12}}^5$ ≈ 3524,683.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer ist, also f(t) = 10000:

$2000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$10000$	|:$2000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$5$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(5\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(5\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(5\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,2015}$

Nach ca. 14,202 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 10000 Nutzer.