$\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{500000}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)$

= $\lg \left(25x\right)-\lg \left(500000x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(500000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(500000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{7}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $2k$ = -2 gelten;
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 15 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 14.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{14,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{14,2}}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 6.86 Millionen Insekten ist, also f(5) = 6.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^5$	=	$\mathrm{6,86}$	|:$11$
$a^5$	=	$\mathrm{0,62364}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{0,62364}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{0,62364}}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $11\cdot {\mathrm{0,91}}^6$ ≈ 6,247.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6.2:

$11\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{6,2}$	|:$11$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,5636}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5636}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,5636}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,5636}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,08}$

Nach ca. 6,08 Jahre ist also der Bestand = 6.2 Millionen Insekten.