Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 3 ) + lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 3 ) + lg( 1 x 2 )
= lg( x 3 ) + lg( x -2 )
= 3 lg( x ) -2 lg( x )
= lg( x )

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 ⋅ a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 ⋅ a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 ⋅a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 ⋅ 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 -2 = y | +2
2 e x -1 = y +2 |:2
e x -1 = 1 2 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y +1 )
x -1 = ln( 1 2 y +1 ) | +1
x = ln( 1 2 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x +1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,079 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,079 t ablesen: a=1.079.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.079(2) ≈ 9.12 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 4,33 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 4,3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 11⋅ a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 4.33 Millionen Insekten ist, also f(5) = 4.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 11⋅ a t ein:

11 a 5 = 4,33 |:11
a 5 = 4,33 11 | ⋅5
a = 4,33 11 5

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 4,33 11 5 ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11⋅ 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 11⋅ 0,83 6 ≈ 3,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.3:

11⋅ 0,83 t = 4,3 |:11
0,83 t = 0,3909 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 0,3909 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 0,3909 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 0,3909 ) lg( 0,83 )
t = 5,0411

Nach ca. 5,041 Jahre ist also der Bestand = 4.3 Millionen Insekten.