$-\lg \left(\frac{2}{125x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^3}\right)+\lg \left(\frac{4}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{2}{125}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-3}\right)+\lg \left(4x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{2}{125}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{2}{125}\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(2\right)+\lg \left(125\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(125\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{125·4·4}{2}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

$-\lg \left(40x^2\right)+\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(20x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+2\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+2\right)$
$x$	=	$5\ln \left(y+2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(x+2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(x+2\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,7}}}$ ≈ 1.13, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 146.11 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 146.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,26}}^t$ ein:

c ⋅ 1.26⁸ = 146.11

c ⋅ 6.35279 = 146.11 | : 6.35279

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $23\cdot {\mathrm{1,26}}^{10}$ ≈ 231,971.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 423 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 423:

$23\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$423$	|:$23$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{423}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{423}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{423}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{423}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5994}$

Nach ca. 12,599 Stunden ist also der Bestand = 423 Millionen Bakterien.