Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{10}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{10}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\sqrt[3]{10}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{10}$ als ${10}^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $10$^☐ = ${10}^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $10$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{10}$ gilt .

$\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{250x^8}\right)+\lg \left(50x\right)$

= $\lg \left(5x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-8}\right)+\lg \left(50x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,035}}^t$ ablesen: a=1.035.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.035($2$) ≈ 20.15 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 37.46 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 37.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot a^t$ ein:

$23a^{10}$	=	$\mathrm{37,46}$	|:$23$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,6287}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,6287}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,6287}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $23\cdot {\mathrm{1,05}}^7$ ≈ 32,363.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

$23\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$33$	|:$23$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{33}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{33}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{33}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,3993}$

Nach ca. 7,399 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.