Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 3 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
2 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch den negativen Koeffizienten vor wird an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| = | |||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 22% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?
Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,22 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,22.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.22() ≈ 3.49 Wochen
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 2%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 2,59Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2,6 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 2.59 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 2.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 1.0213 = 2.59
c ⋅ 1.29361 = 2.59 | : 1.29361
c = 2
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):
f(6) = ≈ 2,252.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2.6:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 13,249 Stunden ist also der Bestand = 2.6 Millionen Bakterien.
