Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= 3 e x +1 -1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei 3 e x +1 -1 zu jedem Funktionswert von e x noch -1 addiert wird, ist der Graph von 3 e x +1 -1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei 3 e x +1 -1 das x von e x durch ein 'x+1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt 3 e x +1 -1 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt 3 e x +1 -1 gegen 0 -1 = -1 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 3 = a = a .

Es gilt also: 3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -3 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -3 -3 = y | +3
-3 e x -3 = y +3 |:-3
e x -3 = - 1 3 y -1 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 3 y -1 )
x -3 = ln( - 1 3 y -1 ) | +3
x = ln( - 1 3 y -1 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x -1 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x -1 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 20%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also Bneu = B + 20 100 ⋅B = (1 + 20 100 ) ⋅ B = 1,2 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,2.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.2(2) ≈ 3.8 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 7430,64€. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 7300€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 7000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 7430.64 € ist, also f(6) = 7430.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 7000 a t ein:

7000 a 6 = 7430,64 |:7000
a 6 = 1,06152 | 6
a1 = - 1,06152 6 = -1,01
a2 = 1,06152 6 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 7000 1,01 12 7887,775.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7300 € ist, also f(t) = 7300:

7000 1,01 t = 7300 |:7000
1,01 t = 73 70 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 73 70 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 73 70 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 73 70 ) lg( 1,01 )
t = 4,2174

Nach ca. 4,217 Jahre ist also der Kontostand = 7300 €.