Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log im Interval bestimmen
Beispiel:
Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus liegt.
Wir suchen
Dabei kommt man auf
Und da wir bei
23 =
Es gilt somit: 3 <
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm
niemals = 0 werden kann.- e - 8 10 x - k
Da jedoch der zweite Summand abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.3 k
Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 +3 k
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss = 3 gelten;3 k
Also gilt k =1
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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|: |
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= |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 14,2 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 24 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
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= | |
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| a1 | = |
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≈
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| a2 | = |
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≈
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Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 1310,8€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 1310.8 € ist,
also f(4) = 1310.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.074 = 1310.8
c ⋅ 1.3108 = 1310.8 | : 1.3108
c = 1000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):
f(8) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3000 € ist, also f(t) = 3000:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
|
Nach ca. 16,238 Jahre ist also der Kontostand = 3000 €.
