Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 16 ( 1 4 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 1 4 um: 1 4 = 4 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis 16 suchen und 16 gerade 4² ist (also 4 = 16 = 16 1 2 ), formen wir 4 -1 noch so um, dass sie 16 als Basis hat:

4 -1 = ( 16 1 2 ) -1 = 16 - 1 2

log 16 ( 1 4 ) = log 16 ( 4 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 -1 = 16 - 1 2 zur Basis 16 suchen, also die Hochzahl mit der man 16 potenzieren muss, um auf 4 -1 = 16 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 16 = 4 -1 = 16 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 16 ( 1 4 ) = log 16 ( 4 -1 ) = log 16 ( 16 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 16 - 1 2 = 1 4 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,1x +0,3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,1x +0,3 wird e -0,1x +0,3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,1x +0,3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,1x +0,3 = y |:-1
e -0,1x +0,3 = -1 y |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( -y )
-0,1x +0,3 = ln( -y ) | -0,3
-0,1x = ln( -y ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( -y ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( -x ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( -x ) + 0,3 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 13,5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 90kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 90 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 13.5 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 13,5 = 1 2 | 13,5
a = ( 1 2 ) 1 13,5

Das gesuchte a ist somit ( 1 2 ) 1 13,5 ≈ 0.95, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 90 0,95 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45,2 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.3% weggehen,
also Bneu = B - 1.3 100 ⋅B = (1 - 1.3 100 ) ⋅ B = 0,987 ⋅ B. Somit ist das a=0,987.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,987 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 55 0,987 9 48,89.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45.2:

55 0,987 t = 45,2 |:55
0,987 t = 0,8218 |lg(⋅)
lg( 0,987 t ) = lg( 0,8218 )
t · lg( 0,987 ) = lg( 0,8218 ) |: lg( 0,987 )
t = lg( 0,8218 ) lg( 0,987 )
t = 14,9984

Nach ca. 14,998 Jahre ist also der Bestand = 45.2 Millionen Einwohner.