Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+8$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$4e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.97($\frac{1}{2}$) ≈ 22.76 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 12005.84 € ist, also f(6) = 12005.84. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^6$	=	$12\mathrm{005,84}$	|:$8000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,50073}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $\mathrm{1,07}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $8000\cdot {\mathrm{1,07}}^8$ ≈ 13745,489.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$8000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$11000$	|:$8000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{11}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,7068}$

Nach ca. 4,707 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.