Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 ( 1 180 ) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 1 180 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 180 ist.

Dabei kommt man auf 1 256 = 1 2 8 = 2-8 < 1 180 und auf 1 128 = 1 2 7 = 2-7 > 1 180 .

Und da wir bei log 2 ( 1 180 ) ja das ☐ von 2 = 1 180 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2-8 = 1 2 8 = 1 256 < 1 180 < 1 128 = 1 2 7 = 2-7

Es gilt somit: -8 < log 2 ( 1 180 ) < -7

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,6 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,2x -0,6 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,6 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,6 +1 = y | -1
e 0,2x -0,6 = y -1 |ln(⋅)
0,2x -0,6 = ln( y -1 )
0,2x -0,6 = ln( y -1 ) | +0,6
0,2x = ln( y -1 ) +0,6 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y -1 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x -1 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,881 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,881 t ablesen: a=0.881.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.881( 1 2 ) ≈ 5.47 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 46,67 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 46.67 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 46.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 6 = 46,67 |:55
a 6 = 0,84855 | 6
a1 = - 0,84855 6 -0,973
a2 = 0,84855 6 0,973

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,973 ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,973 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 55 0,973 4 49,296.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

55 0,973 t = 35 |:55
0,973 t = 7 11 |lg(⋅)
lg( 0,973 t ) = lg( 7 11 )
t · lg( 0,973 ) = lg( 7 11 ) |: lg( 0,973 )
t = lg( 7 11 ) lg( 0,973 )
t = 16,5132

Nach ca. 16,513 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.