Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-9$, eben weil $10$^$-9$ = $\frac{1}{\mathrm{1.000.000.000}}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-2$), also gilt f(0)=$-2$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-2$ , also $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-2\cdot a$ = $-2a$.

Es gilt also: $-4$ = $-2a$ | ⋅ $-\frac{1}{2}$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $127$

f(1) = $127$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $127$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $127$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $127$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 1.42 Millionen Insekten ist, also f(12) = 1.42. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^{12}$	=	$\mathrm{1,42}$	|:$10$
$a^{12}$	=	$\frac{\mathrm{1,42}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\frac{\mathrm{1,42}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,85}$
a2	=	$\sqrt[12]{\frac{\mathrm{1,42}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,85}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,85}$ ≈ 0.85 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $10\cdot {\mathrm{0,85}}^{11}$ ≈ 1,673.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.2:

$10\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{3,2}$	|:$10$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{0,32}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,32}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,32}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,32}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0111}$

Nach ca. 7,011 Jahre ist also der Bestand = 3.2 Millionen Insekten.