Wir suchen den Logarithmus von $5$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $1$, eben weil $5$^$1$ = $5$ gilt .

$\lg \left(\frac{25}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{12500x}\right)$

= $\lg \left(25x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{12500}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{12500}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{12500}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(12500\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(12500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{12500}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 11.2 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,2}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{11,2}}}$ ≈ 0.94, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,94}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 8042.77 Nutzer ist, also f(8) = 8042.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^8$	=	$8\mathrm{042,77}$	|:$2000$
$a^8$	=	$\mathrm{4,02139}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $-\mathrm{1,19}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{4,02139}}$	= $\mathrm{1,19}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,19}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,19}}^{13}$ ≈ 19192,895.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,3309}$

Nach ca. 2,331 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.