$\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{2000x^2}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^{-2}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

$\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^3\right)$

= $\lg \left(5x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{10}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{10}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-3\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-3\right)$
$x$	=	$5\ln \left(y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(x-3\right)$

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,93.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.93($\frac{1}{2}$) ≈ 9.55 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 1500.73 € ist, also f(6) = 1500.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^6$	=	$1\mathrm{500,73}$	|:$1000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,50073}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $\mathrm{1,07}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $1000\cdot {\mathrm{1,07}}^{13}$ ≈ 2409,845.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1600 € ist, also f(t) = 1600:

$1000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$1600$	|:$1000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{8}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9467}$

Nach ca. 6,947 Jahre ist also der Kontostand = 1600 €.