Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}-1$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x-1\right)}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x-1\right)}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $e^{-\left(x-1\right)}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x-1\right)}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x-1\right)}-1$ gegen $\infty$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $2$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.4}{100}$) ⋅ B = 0,976 ⋅ B. Somit ist das a=0,976.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,976}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 76.21 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 76.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,976}}^t$ ein:

c ⋅ 0.976² = 76.21

c ⋅ 0.95258 = 76.21 | : 0.95258

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,976}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $80\cdot {\mathrm{0,976}}^8$ ≈ 65,87.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 74.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 74.4:

$80\cdot {\mathrm{0,976}}^t$	=	$\mathrm{74,4}$	|:$80$
${\mathrm{0,976}}^t$	=	$\mathrm{0,93}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,976}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,976}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,976}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9873}$

Nach ca. 2,987 Jahre ist also der Bestand = 74.4 Millionen Einwohner.