Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( x 4 ) +4 lg( 1 x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( x 4 ) +4 lg( 1 x 3 )
= 2 lg( x 4 ) +4 lg( x -3 )
= 8 lg( x ) -12 lg( x )
= -4 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 ) - lg( 100 x 3 ) + lg( 4 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 ) - lg( 100 x 3 ) + lg( 4 )

= lg( 25 ) - lg( 100 x -3 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 ) - ( lg( 100 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 ) - lg( 100 ) - lg( 1 x 3 ) + lg( 4 ) + lg( 1 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +0 - lg( 100 ) +3 lg( x ) + lg( 4 ) +0

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +0 - lg( 100 ) +3 lg( x ) + lg( 4 ) +0

= 3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 3 lg( x ) + lg( 1 100 · 25 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= 3 lg( x ) + lg( 1 )

= 3 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 -1 = y | +1
2 e x -2 = y +1 |:2
e x -2 = 1 2 y + 1 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 )
x -2 = ln( 1 2 y + 1 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y + 1 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 1 2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu = B - 3 100 ⋅B = (1 - 3 100 ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.97( 1 2 ) ≈ 22.76 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 2000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 6 Jahren beträgt der Kontostand bereits 2388,1€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2900€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 2000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2388.1 € ist, also f(6) = 2388.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 2000 a t ein:

2000 a 6 = 2388,1 |:2000
a 6 = 1,19405 | 6
a1 = - 1,19405 6 = -1,03
a2 = 1,19405 6 = 1,03

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,03 ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 2000 1,03 4 2251,018.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2900 € ist, also f(t) = 2900:

2000 1,03 t = 2900 |:2000
1,03 t = 29 20 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 29 20 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 29 20 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 29 20 ) lg( 1,03 )
t = 12,5703

Nach ca. 12,57 Jahre ist also der Kontostand = 2900 €.