Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\sqrt{x}\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$2e^{x-2}$	=	$y-3$	|:$2$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,057}}^t$ ablesen: a=1.057.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.057($2$) ≈ 12.5 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 48.69 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 48.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^4$	=	$\mathrm{48,69}$	|:$55$
$a^4$	=	$\mathrm{0,88527}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,88527}}$	≈ $-\mathrm{0,97}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,88527}}$	≈ $\mathrm{0,97}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,97}$ ≈ 0.97 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $55\cdot {\mathrm{0,97}}^6$ ≈ 45,813.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 51.7:

$55\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{51,7}$	|:$55$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{0,94}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0314}$

Nach ca. 2,031 Jahre ist also der Bestand = 51.7 Millionen Einwohner.