Wir suchen den Logarithmus von $100000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $100000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $100000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $5$, eben weil $10$^$5$ = $100000$ gilt .

$\lg \left(25x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+2\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $197$

f(1) = $197$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $197$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $197$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $197$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6.56 Millionen Insekten ist, also f(4) = 6.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^4$	=	$\mathrm{6,56}$	|:$12$
$a^4$	=	$\mathrm{0,54667}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,54667}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,54667}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $12\cdot {\mathrm{0,86}}^{11}$ ≈ 2,284.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.6:

$12\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{7,6}$	|:$12$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,6333}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6333}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6333}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,6333}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0288}$

Nach ca. 3,029 Jahre ist also der Bestand = 7.6 Millionen Insekten.