Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(2e^{-x}+2e^x\right)$ = $-x·\left(2e^{-x}+2e^x\right)$ = $-2x·e^x-2x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(2e^x+2e^{-x}\right)$ = $2x·e^x+2x·e^{-x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-2x·e^x-2x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·2e^x+x·2e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x^9}\right)-\lg \left(\frac{100}{x}\right)$

= $\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(50x^{-9}\right)-\lg \left(100x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-9\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.5}{100}$) ⋅ B = 0,975 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,975.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.975($\frac{1}{2}$) ≈ 27.38 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 6.46 Millionen Insekten ist, also f(6) = 6.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^6$	=	$\mathrm{6,46}$	|:$13$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{6,46}}{13}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{6,46}}{13}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{6,46}}{13}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,89}}^4$ ≈ 8,156.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 10.3:

$13\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{10,3}$	|:$13$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,7923}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7923}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7923}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7923}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9978}$

Nach ca. 1,998 Jahre ist also der Bestand = 10.3 Millionen Insekten.