Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz rückwärts
Beispiel:
Vereinfache: + .
+
Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:
=
=
=
= 9
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,8% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.8% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,952 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,952.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.952() ≈ 14.09 Tage
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 2,3% seiner Bevölkerung. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 59,22 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60,6 Millionen Einwohner?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Abnahme um 2.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.3% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,977 ⋅ B. Somit ist das a=0,977.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 59.22 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 59.22. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 0.9774 = 59.22
c ⋅ 0.91113 = 59.22 | : 0.91113
c = 65
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):
f(9) = ≈ 52,719.
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.6:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 3,013 Jahre ist also der Bestand = 60.6 Millionen Einwohner.
