Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $2\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^{-3}\right)$
= $8\lg \left(x\right)-12\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25\right)-\lg \left(\frac{100}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(100x^{-3}\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·25·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+2$

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.97($\frac{1}{2}$) ≈ 22.76 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2388.1 € ist, also f(6) = 2388.1. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^6$	=	$2\mathrm{388,1}$	|:$2000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,19405}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,19405}}$	= $-\mathrm{1,03}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,19405}}$	= $\mathrm{1,03}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,03}$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $2000\cdot {\mathrm{1,03}}^4$ ≈ 2251,018.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2900 € ist, also f(t) = 2900:

$2000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$2900$	|:$2000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{29}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{29}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,5703}$

Nach ca. 12,57 Jahre ist also der Kontostand = 2900 €.