Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,3}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $59$

f(1) = $59$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $59$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $59$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $59$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$-fache (oder auf das $\frac{104}{100}$-fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 20.95 kg ist, also f(8) = 20.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^8$	=	$\mathrm{20,95}$	|:$70$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{20,95}}{70}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{20,95}}{70}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{20,95}}{70}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Tage, also f(7):

f(7) = $70\cdot {\mathrm{0,86}}^7$ ≈ 24,355.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$70\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$20$	|:$70$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\frac{2}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3062}$

Nach ca. 8,306 Tage ist also der Bestand = 20 kg.