Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^2\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $-8\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{6}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $6k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $6k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,869}}^t$ ablesen: a=0.869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.869($\frac{1}{2}$) ≈ 4.94 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5100.5 € ist, also f(2) = 5100.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,01}}^t$ ein:

c ⋅ 1.01² = 5100.5

c ⋅ 1.0201 = 5100.5 | : 1.0201

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^{10}$ ≈ 5523,111.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5700 € ist, also f(t) = 5700:

$5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$5700$	|:$5000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{57}{50}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{50}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{50}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{50}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1682}$

Nach ca. 13,168 Jahre ist also der Kontostand = 5700 €.