Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( x 3 )
= 6 lg( x )
= 6 lg( x )

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 50 x 2 ) - lg( 5 4 x ) + lg( 25 x ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 50 x 2 ) - lg( 5 4 x ) + lg( 25 x )

= lg( 50 x 2 ) - lg( 5 4 x ) + lg( 25 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) - ( lg( 5 4 ) + lg( x ) ) + ( lg( 25 ) + lg( 1 x ) )

= lg( 50 ) + lg( x 2 ) - lg( 5 4 ) - lg( x ) + lg( 25 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 5 4 ) - lg( x ) + lg( 25 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 50 ) +2 lg( x ) - lg( 5 ) + lg( 4 ) - lg( x ) + lg( 25 ) - lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 25 ) - lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 25 5 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,1x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,1x können die Funktionswerte von 4 e -0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 4 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von 4 e -0,1x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,1x +1 = y | -1
4 e -0,1x = y -1 |:4
e -0,1x = 1 4 y - 1 4 |ln(⋅)
-0,1x = ln( 1 4 y - 1 4 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( 1 4 y - 1 4 )
x = -10 ln( 1 4 y - 1 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( 1 4 x - 1 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( 1 4 x - 1 4 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 4,4 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 11 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 4.4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,4 = 2 | 4,4
a1 = - 2 1 4,4 -1,171
a2 = 2 1 4,4 1,171

Das gesuchte a ist somit 1,171 ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 11 1,17 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 4331,43€. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4600€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 4331.43 € ist, also f(8) = 4331.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000 a t ein:

4000 a 8 = 4331,43 |:4000
a 8 = 1,08286 | 8
a1 = - 1,08286 8 = -1,01
a2 = 1,08286 8 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 4000 1,01 4 4162,416.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4600 € ist, also f(t) = 4600:

4000 1,01 t = 4600 |:4000
1,01 t = 23 20 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 23 20 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 23 20 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 23 20 ) lg( 1,01 )
t = 14,046

Nach ca. 14,046 Jahre ist also der Kontostand = 4600 €.