Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -x -3 .

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -x -3 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -x -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -x -3 zu jedem Funktionswert von e x noch -3 addiert wird, ist der Graph von e -x -3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -x -3 gegen 0 -3 = -3 .
  • Für x → - ∞ strebt e -x -3 gegen .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -2 -1 = y | +1
-3 e x -2 = y +1 |:-3
e x -2 = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 )
x -2 = ln( - 1 3 y - 1 3 ) | +2
x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x - 1 3 ) +2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 54 0,55 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 54

f(1) = 54 0,55

f(2) = 54 0,550,55

f(3) = 54 0,550,550,55

f(4) = 54 0,550,550,550,55

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,55 multipliziert. Da 0,55 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,55-fache, also auf 55 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 4776,21€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 4900€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu = B + 3 100 ⋅B = (1 + 3 100 ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,03 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4776.21 € ist, also f(6) = 4776.21. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,03 t ein:

c ⋅ 1.036 = 4776.21

c ⋅ 1.19405 = 4776.21 | : 1.19405

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 4000 1,03 4 4502,035.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4900 € ist, also f(t) = 4900:

4000 1,03 t = 4900 |:4000
1,03 t = 49 40 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 49 40 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 49 40 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 49 40 ) lg( 1,03 )
t = 6,8657

Nach ca. 6,866 Jahre ist also der Kontostand = 4900 €.