Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
= $1$

$\lg \left(50x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2x}\right)+\lg \left(\frac{4}{x}\right)$

= $\lg \left(50x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-1}\right)+\lg \left(4x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·4}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $69$

f(1) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $69$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 9.48 Millionen Insekten ist, also f(3) = 9.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^3$	=	$\mathrm{9,48}$	|:$13$
$a^3$	=	$\mathrm{0,72923}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,72923}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,72923}}$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $13\cdot {\mathrm{0,9}}^8$ ≈ 5,596.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5:

$13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$5$	|:$13$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\frac{5}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,069}$

Nach ca. 9,069 Jahre ist also der Bestand = 5 Millionen Insekten.