Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 7.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{7,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$ ≈ 1.1, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 32.66 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 32.66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^2$	=	$\mathrm{32,66}$	|:$28$
$a^2$	=	$\mathrm{1,16643}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,16643}}$	≈ $-\mathrm{1,08}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,16643}}$	≈ $\mathrm{1,08}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,08}$ ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = $28\cdot {\mathrm{1,08}}^5$ ≈ 41,141.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 48 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 48:

$28\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$48$	|:$28$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{12}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{12}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0035}$

Nach ca. 7,004 Stunden ist also der Bestand = 48 Millionen Bakterien.