$\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)+\lg \left(20\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{500}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{500}·25·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(5000x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^3}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)-\lg \left(5000x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(5000\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(5000\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(5000\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(5000\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(5000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{5000}·25·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-2}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-2}-2$	=	$y$	| $+2$
$3e^{x-2}$	=	$y+2$	|:$3$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,123}}^t$ ablesen: a=1.123.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.123($2$) ≈ 5.98 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $5000\cdot {\mathrm{1,06}}^{13}$ ≈ 10664,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

$5000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$9000$	|:$5000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0875}$

Nach ca. 10,088 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.