Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn
= 0 ist, also für x = .
Dann muss ja der y-Wert fk() = = = sein.
Da bei x = bei ( ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(| ) im abgebildeten Graph bei P(2| ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 2
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Bei einem Staat mit 100 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 69 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga().
Also 69 = loga(). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
|
|
= |
|
Das gesuchte a ist somit
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8189,01€. a) Wie hoch ist der Kontostand 7 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 8189.01 € ist,
also f(4) = 8189.01. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |
|
|
| a1 | = |
|
=
|
| a2 | = |
|
=
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):
f(7) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 9,094 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.
