$\lg \left(5000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000000·2)$

= $\lg \left(10000000\right)$

= $\lg \left({10}^7\right)$

= 7

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $52$

f(1) = $52$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $52$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $52$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $52$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$) ⋅ B = 1,32 ⋅ B. Somit ist das a=1,32.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $29\cdot {\mathrm{1,32}}^{13}$ ≈ 1071,172.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 629 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 629:

$29\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$629$	|:$29$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{629}{29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{629}{29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{629}{29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{629}{29}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0824}$

Nach ca. 11,082 Stunden ist also der Bestand = 629 Millionen Bakterien.