Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{12}$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{12}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $\sqrt[4]{12}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{12}$ als ${12}^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $12$^☐ = ${12}^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $12$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{12}$ gilt .

$\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)$

= $\lg \left(25x^{-5}\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500}·25·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-3}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-3}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{x-3}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+3$

f(0) = $138$

f(1) = $138$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $138$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $138$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $138$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 71.62 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 71.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^{10}$	=	$\mathrm{71,62}$	|:$80$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,89525}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,89525}}$	≈ $-\mathrm{0,989}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,89525}}$	≈ $\mathrm{0,989}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,989}$ ≈ 0.989 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $80\cdot {\mathrm{0,989}}^{11}$ ≈ 70,835.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 73.2 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 73.2:

$80\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{73,2}$	|:$80$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{0,915}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,915}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,915}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,915}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0311}$

Nach ca. 8,031 Jahre ist also der Bestand = 73.2 Millionen Einwohner.