Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 4000 ) + lg( 25 ) .

Lösung einblenden

lg( 4000 ) + lg( 25 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 4000 · 25 )

= lg( 100000 )

= lg( 10 5 )

= 5

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,1x -0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,1x -0,1 wird e 0,1x -0,1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,1x -0,1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,1x -0,1 = y |:-3
e 0,1x -0,1 = - 1 3 y |ln(⋅)
0,1x -0,1 = ln( - 1 3 y )
0,1x -0,1 = ln( - 1 3 y ) | +0,1
0,1x = ln( - 1 3 y ) +0,1 |:0,1
x = 1 0,1 ln( - 1 3 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( - 1 3 x ) + 0,1 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht davon aus, dass sie sich innerhalb von 5,3 Stunden verdoppelt. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Bakterienanzahl in Milionen nach t Stunden angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 28 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 5.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,3 = 2 | 5,3
a = 2 1 5,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 5,3 ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 28 1,14 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 35,91Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 54 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,17 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 35.91 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 35.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,17 t ein:

c ⋅ 1.176 = 35.91

c ⋅ 2.56516 = 35.91 | : 2.56516

c = 14

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 14 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = 14 1,17 4 26,234.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 54 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 54:

14 1,17 t = 54 |:14
1,17 t = 27 7 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 27 7 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 27 7 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 27 7 ) lg( 1,17 )
t = 8,5981

Nach ca. 8,598 Stunden ist also der Bestand = 54 Millionen Bakterien.