Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x · ( e x + e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) · ( e -x + e x ) = - x · ( e -x + e x ) = - x · e x - x · e -x

Wenn man das mit f(x) = x · ( e x + e -x ) vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - x · e x - x · e -x gerade das Negative von f(x), also -f(x) = -( x · e x + x · e -x ) ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 100x ) - lg( 1 20 x ) + lg( 5 x 3 ) soweit wie möglich.

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- lg( 100x ) - lg( 1 20 x ) + lg( 5 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 100 ) + lg( x ) ) - ( lg( 1 20 ) + lg( x ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 3 ) )

= - lg( 100 ) - lg( x ) - lg( 1 20 ) - lg( x ) + lg( 5 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 100 ) - lg( x ) - lg( 1 20 ) - lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 100 ) - lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 5 ) +3 lg( x )

= lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 20 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( x ) + lg( 1 100 · 20 · 5 )

= lg( x ) + lg( 1 5 · 5 )

= lg( x ) + lg( 1 )

= lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -1 können die Funktionswerte von 2 e x -1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 2 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -1 +2 = y | -2
2 e x -1 = y -2 |:2
e x -1 = 1 2 y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( 1 2 y -1 )
x -1 = ln( 1 2 y -1 ) | +1
x = ln( 1 2 y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x -1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 6% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also Bneu = B - 6 100 ⋅B = (1 - 6 100 ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.94( 1 2 ) ≈ 11.2 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 51,86 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 51.86 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 51.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 2 = 51,86 |:55
a 2 = 0,94291 | 2
a1 = - 0,94291 -0,971
a2 = 0,94291 0,971

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,971 ≈ 0.971 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,971 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 55 0,971 13 37,516.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

55 0,971 t = 35 |:55
0,971 t = 7 11 |lg(⋅)
lg( 0,971 t ) = lg( 7 11 )
t · lg( 0,971 ) = lg( 7 11 ) |: lg( 0,971 )
t = lg( 7 11 ) lg( 0,971 )
t = 15,3586

Nach ca. 15,359 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.