Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 (256) .

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Wir suchen den Logarithmus von 256 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 256 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 256 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 (256) = 8, eben weil 28 = 256 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| - 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = - 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: - 3 2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: - 3 2 = - 1 2 a | ⋅ -2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,1x +0,1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,1x +0,1 können die Funktionswerte von 3 e -0,1x +0,1 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,1x +0,1 = y |:3
e -0,1x +0,1 = 1 3 y |ln(⋅)
-0,1x +0,1 = ln( 1 3 y )
-0,1x +0,1 = ln( 1 3 y ) | -0,1
-0,1x = ln( 1 3 y ) -0,1 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( 1 3 y ) + 0,1 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( 1 3 x ) + 0,1 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( 1 3 x ) + 0,1 0,1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 23.4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 23,4 = 2 | 23,4
a = 2 1 23,4

Das gesuchte a ist somit 2 1 23,4 ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,03 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. 6 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 2837,04€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 2800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu = B + 6 100 ⋅B = (1 + 6 100 ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,06 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 2837.04 € ist, also f(6) = 2837.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,06 t ein:

c ⋅ 1.066 = 2837.04

c ⋅ 1.41852 = 2837.04 | : 1.41852

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 2000 1,06 10 3581,695.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2800 € ist, also f(t) = 2800:

2000 1,06 t = 2800 |:2000
1,06 t = 7 5 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 7 5 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 7 5 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 7 5 ) lg( 1,06 )
t = 5,7745

Nach ca. 5,775 Jahre ist also der Kontostand = 2800 €.