Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1+\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $e^{3x}+e^{-3x}+1$

Wenn man das mit f(x) = $1+\left(e^{3x}+e^{-3x}\right)$ = $e^{3x}+e^{-3x}+1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{50000x^4}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{50000}{x}^{-4}\right)+\lg \left(20x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(\frac{1}{50000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{50000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(\frac{1}{50000}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(50000\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(50000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{50000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,918}}^t$ ablesen: a=0.918.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.918($\frac{1}{2}$) ≈ 8.1 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.7}{100}$) ⋅ B = 0,963 ⋅ B. Somit ist das a=0,963.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 54.87 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 54.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ ein:

c ⋅ 0.963¹⁰ = 54.87

c ⋅ 0.6859 = 54.87 | : 0.6859

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $80\cdot {\mathrm{0,963}}^{12}$ ≈ 50,887.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$	=	$50$	|:$80$
${\mathrm{0,963}}^t$	=	$\frac{5}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,963}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,963}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,4663}$

Nach ca. 12,466 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.