Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{3}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{3}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ = 5^-1 < $\frac{1}{3}$ und auf $1$ = $1$ = 5^-0 > $\frac{1}{3}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $\frac{1}{3}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -1 und -0 liegen, wegen:
5^-1 = $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ < $\frac{1}{3}$ < $1$ = $1$ = 5^-0

Es gilt somit: -1 < < -0

$\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{50}{x^7}\right)-\lg \left(\frac{100}{x^3}\right)$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(50x^{-7}\right)-\lg \left(100x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))-(\lg \left(100\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+0+\lg \left(50\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,8}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,8}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,6}}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 69.19 kg ist, also f(2) = 69.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^2$	=	$\mathrm{69,19}$	|:$80$
$a^2$	=	$\mathrm{0,86488}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,86488}}$	≈ $-\mathrm{0,93}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,86488}}$	≈ $\mathrm{0,93}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,93}$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $80\cdot {\mathrm{0,93}}^6$ ≈ 51,759.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$80\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$30$	|:$80$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{3}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,5155}$

Nach ca. 13,516 Tage ist also der Bestand = 30 kg.