Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $x^2·e^{x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{8}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $4k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $4k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $4k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $98$

f(1) = $98$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $98$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $98$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $98$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$-fache (oder auf das $\frac{104}{100}$-fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 10% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{10}{100}$⋅B = (1 + $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 1,1 ⋅ B. Somit ist das a=1,1.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 4287.18 Nutzer ist, also f(8) = 4287.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ein:

c ⋅ 1.1⁸ = 4287.18

c ⋅ 2.14359 = 4287.18 | : 2.14359

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $2000\cdot {\mathrm{1,1}}^5$ ≈ 3221,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer ist, also f(t) = 2700:

$2000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$2700$	|:$2000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{27}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,1487}$

Nach ca. 3,149 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 2700 Nutzer.