Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 2 lg( 1 x ) +4 lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
2 lg( 1 x ) +4 lg( 1 x 2 )
= 2 lg( x - 1 2 ) +4 lg( x -2 )
= - lg( x ) -8 lg( x )
= -9 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -1
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -2 können die Funktionswerte von 2 e x -2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 2 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -2 -3 = y | +3
2 e x -2 = y +3 |:2
e x -2 = 1 2 y + 3 2 |ln(⋅)
x -2 = ln( 1 2 y + 3 2 )
x -2 = ln( 1 2 y + 3 2 ) | +2
x = ln( 1 2 y + 3 2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x + 3 2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x + 3 2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also Bneu = B - 4 100 ⋅B = (1 - 4 100 ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.96( 1 2 ) ≈ 16.98 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 8000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 10948,55€. a) Wie hoch ist der Kontostand 5 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 14000€ angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 8000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 10948.55 € ist, also f(8) = 10948.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 8000 a t ein:

8000 a 8 = 10948,55 |:8000
a 8 = 1,36857 | 8
a1 = - 1,36857 8 = -1,04
a2 = 1,36857 8 = 1,04

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,04 ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 8000 1,04 5 9733,223.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 14000 € ist, also f(t) = 14000:

8000 1,04 t = 14000 |:8000
1,04 t = 7 4 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 7 4 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 7 4 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 7 4 ) lg( 1,04 )
t = 14,2684

Nach ca. 14,268 Jahre ist also der Kontostand = 14000 €.