Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(x^3\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{5}{4}x\right)+\lg \left(\frac{25}{x}\right)$

= $\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{5}{4}x\right)+\lg \left(25x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{5}{4}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{5}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{5}{4}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50·25}{5}·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,4}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{1,17}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 4331.43 € ist, also f(8) = 4331.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot a^t$ ein:

$4000a^8$	=	$4\mathrm{331,43}$	|:$4000$
$a^8$	=	$\mathrm{1,08286}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,08286}}$	= $-\mathrm{1,01}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,08286}}$	= $\mathrm{1,01}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,01}$ ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $4000\cdot {\mathrm{1,01}}^4$ ≈ 4162,416.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 4600 € ist, also f(t) = 4600:

$4000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$4600$	|:$4000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{23}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{23}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,046}$

Nach ca. 14,046 Jahre ist also der Kontostand = 4600 €.