Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 ( 1 4413 ) liegt.

Lösung einblenden

Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 1 4413 , also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 1 4413 ist.

Dabei kommt man auf 1 10000 = 1 10 4 = 10-4 < 1 4413 und auf 1 1000 = 1 10 3 = 10-3 > 1 4413 .

Und da wir bei log 10 ( 1 4413 ) ja das ☐ von 10 = 1 4413 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -4 und -3 liegen, wegen:
10-4 = 1 10 4 = 1 10000 < 1 4413 < 1 1000 = 1 10 3 = 10-3

Es gilt somit: -4 < log 10 ( 1 4413 ) < -3

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 8 10 x -4 k +4 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 8 10 x -4 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 4 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 4 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss 4 k = 3 gelten;
    Also gilt k = 3 4

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e x -3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e x -3 wird e x -3 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e x -3 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von -2 e x -3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e x -3 -1 = y | +1
-2 e x -3 = y +1 |:-2
e x -3 = - 1 2 y - 1 2 |ln(⋅)
x -3 = ln( - 1 2 y - 1 2 )
x -3 = ln( - 1 2 y - 1 2 ) | +3
x = ln( - 1 2 y - 1 2 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 2 x - 1 2 ) +3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 198 0,95 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 198

f(1) = 198 0,95

f(2) = 198 0,950,95

f(3) = 198 0,950,950,95

f(4) = 198 0,950,950,950,95

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,95 multipliziert. Da 0,95 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,95-fache, also auf 95 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 25 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 2025 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 25 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 25 1,29 7 148,617.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2025 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2025:

25 1,29 t = 2025 |:25
1,29 t = 81 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 81 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 81 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 81 ) lg( 1,29 )
t = 17,2573

Nach ca. 17,257 Stunden ist also der Bestand = 2025 Millionen Bakterien.