Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 (1000000000) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1000000000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1000000000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1000000000 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 (1000000000) = 9, eben weil 109 = 1000000000 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 9 10 x -2 k +6 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 9 10 x -2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 6 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 6 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss 6 k = 4 gelten;
    Also gilt k = 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,9 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,3x +0,9 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,9 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,9 +3 = y | -3
e -0,3x +0,9 = y -3 |ln(⋅)
-0,3x +0,9 = ln( y -3 )
-0,3x +0,9 = ln( y -3 ) | -0,9
-0,3x = ln( y -3 ) -0,9 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y -3 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x -3 ) + 0,9 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 38 0,95 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 38

f(1) = 38 0,95

f(2) = 38 0,950,95

f(3) = 38 0,950,950,95

f(4) = 38 0,950,950,950,95

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,95 multipliziert. Da 0,95 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,95-fache, also auf 95 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

c und a gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 35%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 15 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 6015 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also Bneu = B + 35 100 ⋅B = (1 + 35 100 ) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 15 1,35 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = 15 1,35 6 90,802.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6015 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 6015:

15 1,35 t = 6015 |:15
1,35 t = 401 |lg(⋅)
lg( 1,35 t ) = lg( 401 )
t · lg( 1,35 ) = lg( 401 ) |: lg( 1,35 )
t = lg( 401 ) lg( 1,35 )
t = 19,9729

Nach ca. 19,973 Stunden ist also der Bestand = 6015 Millionen Bakterien.