Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)+\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $e^x+e^{-x}-x$

Wenn man das mit f(x) = $x+\left(e^x+e^{-x}\right)$ = $e^x+e^{-x}+x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^x+e^{-x}-x$
weder gleich f(x) = $x+\left(e^x+e^{-x}\right)$ noch gleich -f(x) = $-(x+\left(e^x+e^{-x}\right))$ = $-\left(e^x+e^{-x}+x\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$10\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(-x+1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^4$	=	$2$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{2}$	≈ $-\mathrm{1,189}$
a2	=	$\sqrt[4]{2}$	≈ $\mathrm{1,189}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,189}$ ≈ 1.19, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 10356.81 Nutzer ist, also f(13) = 10356.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^{13}$	=	$10\mathrm{356,81}$	|:$3000$
$a^{13}$	=	$\mathrm{3,45227}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{3,45227}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{3,45227}}$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=14 Wochen, also f(14):

f(14) = $3000\cdot {\mathrm{1,1}}^{14}$ ≈ 11392,495.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3600 Nutzer ist, also f(t) = 3600:

$3000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$3600$	|:$3000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9129}$

Nach ca. 1,913 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3600 Nutzer.