$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(50x\right)-\lg \left(\frac{2500}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(50x\right)-\lg \left(2500x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(2500\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(2500\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2500}·50·50)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·50)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{25}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{125}{x^2}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

= $\lg \left(25x^{-4}\right)-\lg \left(125x^{-2}\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(125\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(125\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(125\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{125}·25·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,98.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.98($\frac{1}{2}$) ≈ 34.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5304.5 € ist, also f(2) = 5304.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ ein:

c ⋅ 1.03² = 5304.5

c ⋅ 1.0609 = 5304.5 | : 1.0609

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,03}}^5$ ≈ 5796,37.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$5000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$6000$	|:$5000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,1681}$

Nach ca. 6,168 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.