Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+4\lg \left(x^{-1}\right)$
= $4\lg \left(x\right)-4\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{200}{x^4}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(\frac{50}{x^3}\right)$

= $-\lg \left(200x^{-4}\right)+\lg \left(4x\right)+\lg \left(50x^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(200\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(200\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(200\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(200\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)$

= $2\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,882}}^t$ ablesen: a=0.882.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.882($\frac{1}{2}$) ≈ 5.52 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $1000\cdot {\mathrm{1,23}}^{11}$ ≈ 9748,914.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 41000 Nutzer ist, also f(t) = 41000:

$1000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$41000$	|:$1000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$41$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(41\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(41\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(41\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,9387}$

Nach ca. 17,939 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 41000 Nutzer.