Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{4}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{4}}$ = $4^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{4}}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,4}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y+1$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$-y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y-1\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y-1\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(-y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(-x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(-x-1\right)$

f(0) = $183$

f(1) = $183$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $183$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $183$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $183$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$-fache (oder auf das $\frac{120}{100}$-fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4255.56 € ist, also f(6) = 4255.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^6$	=	$4\mathrm{255,56}$	|:$3000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,41852}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,41852}}$	= $-\mathrm{1,06}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,41852}}$	= $\mathrm{1,06}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,06}$ ≈ 1.06 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $3000\cdot {\mathrm{1,06}}^5$ ≈ 4014,677.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$3000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$7000$	|:$3000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{7}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,5412}$

Nach ca. 14,541 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.