Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $4$^$-3$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

$\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)-\lg \left(10x^5\right)+\lg \left(2x^2\right)$

= $\lg \left(5x^{-2}\right)-\lg \left(10x^5\right)+\lg \left(2x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^5\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(x^5\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{10}·5·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

f(0) = $129$

f(1) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(2) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(3) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

f(4) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$ ⋅ $\mathrm{1,25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,25}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,25}$-fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $90\cdot {\mathrm{0,94}}^{11}$ ≈ 45,567.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$40$	|:$90$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{4}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1059}$

Nach ca. 13,106 Tage ist also der Bestand = 40 kg.