Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$
= $-2\lg \left(x^{-3}\right)$
= $6\lg \left(x\right)$
= $6\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+2$ = $k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = 1 ablesen, es gilt somit:

  $k+2$	=	$1$	| $-2$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(2) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(3) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

f(4) = $57$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$ ⋅ $\mathrm{0,55}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,55}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,55}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,55}$-fache, also auf $55$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2.99 Millionen Insekten ist, also f(8) = 2.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^8$	=	$\mathrm{2,99}$	|:$10$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{2,99}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{2,99}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,86}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{2,99}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,86}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,86}$ ≈ 0.86 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $10\cdot {\mathrm{0,86}}^{10}$ ≈ 2,213.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.4:

$10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{1,4}$	|:$10$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,14}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,14}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,14}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,14}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0359}$

Nach ca. 13,036 Jahre ist also der Bestand = 1.4 Millionen Insekten.