$\lg \left(40\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40·25)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= 3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,119}}^t$ ablesen: a=1.119.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.119($2$) ≈ 6.16 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 72.91 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 72.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot a^t$ ein:

$75a^2$	=	$\mathrm{72,91}$	|:$75$
$a^2$	=	$\mathrm{0,97213}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,97213}}$	≈ $-\mathrm{0,986}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,97213}}$	≈ $\mathrm{0,986}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,986}$ ≈ 0.986 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,986}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $75\cdot {\mathrm{0,986}}^8$ ≈ 67.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 66.1:

$75\cdot {\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{66,1}$	|:$75$
${\mathrm{0,986}}^t$	=	$\mathrm{0,8813}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,986}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8813}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8813}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,986}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8813}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,986}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,9622}$

Nach ca. 8,962 Jahre ist also der Bestand = 66.1 Millionen Einwohner.