Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei -3 e x -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von -3 e x -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt -3 e x -2 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt -3 e x -2 gegen 0 -2 = -2 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 8 x 2 ) + lg( 4 x 2 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 8 x 2 ) + lg( 4 x 2 )

= - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 1 8 x 2 ) + lg( 4 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 1 8 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 2 ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x 2 ) + lg( 1 8 ) + lg( x 2 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 8 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 8 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -2 lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 8 ) + lg( 4 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 8 · 4 · 2 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e 0,1x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,1x -0,2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 +2 = y | -2
e 0,1x -0,2 = y -2 |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y -2 )
0,1x -0,2 = ln( y -2 ) | +0,2
0,1x = ln( y -2 ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y -2 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x -2 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,112 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,112 t ablesen: a=1.112.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.112(2) ≈ 6.53 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. 5 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 5,02 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 12 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 2 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,84 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 5.02 Millionen Insekten ist, also f(5) = 5.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,84 t ein:

c ⋅ 0.845 = 5.02

c ⋅ 0.41821 = 5.02 | : 0.41821

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 12 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 12 0,84 12 1,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

12 0,84 t = 2 |:12
0,84 t = 1 6 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 1 6 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 1 6 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 1 6 ) lg( 0,84 )
t = 10,2766

Nach ca. 10,277 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.