Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100000000x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000000\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^8\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $8+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+8$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 16 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,5}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $-\mathrm{1,32}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $\mathrm{1,32}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,32}$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $16\cdot {\mathrm{1,32}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B. Somit ist das a=0,82.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2.04 Millionen Insekten ist, also f(8) = 2.04. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,82}}^t$ ein:

c ⋅ 0.82⁸ = 2.04

c ⋅ 0.20441 = 2.04 | : 0.20441

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $10\cdot {\mathrm{0,82}}^{11}$ ≈ 1,127.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$10\cdot {\mathrm{0,82}}^t$	=	$3$	|:$10$
${\mathrm{0,82}}^t$	=	$\frac{3}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,82}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,82}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,82}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0669}$

Nach ca. 6,067 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.