Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Man kann erkennen, dass
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
4 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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|: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 3% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3182,7€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3500€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3182.7 € ist,
also f(2) = 3182.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.032 = 3182.7
c ⋅ 1.0609 = 3182.7 | : 1.0609
c = 3000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 5,215 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.
