Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{3\left(-x\right)}$ = $-x^3·e^{-3x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{3x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{-3x}$
weder gleich f(x) = $x^3·e^{3x}$ noch gleich -f(x) = $-x^3·e^{3x}$ = $-x^3·e^{3x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

f(0) = $109$

f(1) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $109$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 48.25 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 48.25. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^{10}$	=	$\mathrm{48,25}$	|:$55$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,87727}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,87727}}$	≈ $-\mathrm{0,987}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,87727}}$	≈ $\mathrm{0,987}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,987}$ ≈ 0.987 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,987}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $55\cdot {\mathrm{0,987}}^5$ ≈ 51,517.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 46.4:

$55\cdot {\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{46,4}$	|:$55$
${\mathrm{0,987}}^t$	=	$\mathrm{0,8436}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,987}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8436}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8436}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,987}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8436}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,987}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9976}$

Nach ca. 12,998 Jahre ist also der Bestand = 46.4 Millionen Einwohner.