$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-2k\right)·e^{x-k}$ = 0 wird, wenn $x-2k$ = 0 ist, also für x = $2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($2k$) = $-\left(\left(2k\right)-2k\right)·e^{\left(2k\right)-k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $2k$ bei ( $x-2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($2k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(5| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $2k$ = 5
  Also gilt k = $\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B. Somit ist das a=1,21.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 3797.5 Nutzer ist, also f(7) = 3797.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,21}}^t$ ein:

c ⋅ 1.21⁷ = 3797.5

c ⋅ 3.7975 = 3797.5 | : 3.7975

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $1000\cdot {\mathrm{1,21}}^{12}$ ≈ 9849,733.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer ist, also f(t) = 21000:

$1000\cdot {\mathrm{1,21}}^t$	=	$21000$	|:$1000$
${\mathrm{1,21}}^t$	=	$21$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,21}}^t\right)$	=	$\lg \left(21\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$	=	$\lg \left(21\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,21}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(21\right)}{\lg \left(\mathrm{1,21}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,9717}$

Nach ca. 15,972 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 21000 Nutzer.