Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e -( x -2 ) +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e -( x -2 ) +3 das x von e x durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von e -( x -2 ) +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei e -( x -2 ) +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von e -( x -2 ) +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei e -( x -2 ) +3 das x von e x durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt e -( x -2 ) +3 gegen 0 +3 = 3 .
  • Für x → - ∞ strebt e -( x -2 ) +3 gegen .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 5 x ) + lg( 1 20 x 2 ) + lg( 4 x 7 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 5 x ) + lg( 1 20 x 2 ) + lg( 4 x 7 )

= - lg( 1 5 x -1 ) + lg( 1 20 x 2 ) + lg( 4 x -7 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 5 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 1 20 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 7 ) )

= - lg( 1 5 ) - lg( 1 x ) + lg( 1 20 ) + lg( x 2 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 7 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 5 ) + lg( x ) + lg( 1 20 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -7 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 5 ) + lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 20 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -7 lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 20 ) + lg( 5 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 20 · 5 · 4 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem - e x -2 wird zu allen Funktionswerten von - e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -2 +2 = y | -2
- e x -2 = y -2 |:-1
e x -2 = -y +2 |ln(⋅)
x -2 = ln( -y +2 )
x -2 = ln( -y +2 ) | +2
x = ln( -y +2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x +2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x +2 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 17.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17,7 = 2 | 17,7
a = 2 1 17,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 17,7 ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,04 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3,3% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also Bneu = B - 3.3 100 ⋅B = (1 - 3.3 100 ) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,967 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 75 0,967 6 61,323.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

75 0,967 t = 35 |:75
0,967 t = 7 15 |lg(⋅)
lg( 0,967 t ) = lg( 7 15 )
t · lg( 0,967 ) = lg( 7 15 ) |: lg( 0,967 )
t = lg( 7 15 ) lg( 0,967 )
t = 22,712

Nach ca. 22,712 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.