Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $-x^3·\left(3e^{-2x}-3e^{2x}\right)$ = $3x^3·e^{2x}-3x^3·e^{-2x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·\left(3e^{2x}-3e^{-2x}\right)$ = $3x^3·e^{2x}-3x^3·e^{-2x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{25}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(25\right)+0$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(25\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{25}·5)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{x-1}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y-3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-3\right)+1$

Die prozentuale Zunahme um 4.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.7% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.7}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.7}{100}$) ⋅ B = 1,047 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,047.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.047($2$) ≈ 15.09 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 8857.81 Nutzer ist, also f(6) = 8857.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^6$	=	$8\mathrm{857,81}$	|:$5000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,77156}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,77156}}$	= $-\mathrm{1,1}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,77156}}$	= $\mathrm{1,1}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,1}$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $5000\cdot {\mathrm{1,1}}^{10}$ ≈ 12968,712.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7500 Nutzer ist, also f(t) = 7500:

$5000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$7500$	|:$5000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,2542}$

Nach ca. 4,254 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7500 Nutzer.