Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $129$

f(1) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(2) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(3) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(4) = $129$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,4}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,4}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,4}$-fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 7.98 Millionen Insekten ist, also f(3) = 7.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ ein:

c ⋅ 0.85³ = 7.98

c ⋅ 0.61413 = 7.98 | : 0.61413

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $13\cdot {\mathrm{0,85}}^5$ ≈ 5,768.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 9.4:

$13\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{9,4}$	|:$13$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\mathrm{0,7231}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7231}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,7231}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,7231}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9949}$

Nach ca. 1,995 Jahre ist also der Bestand = 9.4 Millionen Insekten.