Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{10000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{10000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{10000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-4$, eben weil $10$^$-4$ = $\frac{1}{10000}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{8}{10}x+2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $2k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{5}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$-e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y-3\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y-3\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-x-3\right)$

f(0) = $172$

f(1) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(2) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(3) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

f(4) = $172$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$ ⋅ $\mathrm{0,9}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,9}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,9}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,9}$-fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 10720.77 € ist, also f(6) = 10720.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁶ = 10720.77

c ⋅ 1.3401 = 10720.77 | : 1.3401

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $8000\cdot {\mathrm{1,05}}^{10}$ ≈ 13031,157.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$8000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$10000$	|:$8000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,5735}$

Nach ca. 4,574 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.