Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

$\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)+\lg \left(10x^3\right)$

= $\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)+\lg \left(10x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(10\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(10\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(10\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (20·10·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $7000\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 8933,971.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 17000 € ist, also f(t) = 17000:

$7000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$17000$	|:$7000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,1861}$

Nach ca. 18,186 Jahre ist also der Kontostand = 17000 €.