Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am negativen Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch -3 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach unten verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Konto wird mit 7,6% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 7.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 7.6% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,076 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,076.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.076() ≈ 9.46 Jahre
c und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Nach 4 Tagen nach sind nur noch 26,24kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 10 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.
Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 26.24 kg ist, also f(4) = 26.24. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
| = | |: | ||
| = | | | ||
| a1 | = |
|
≈
|
| a2 | = |
|
≈
|
Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a=
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 13,158 Tage ist also der Bestand = 10 kg.
