Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $-2\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-8\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $-\frac{17}{2}\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -6, somit muss $3k$ = -6 gelten;
  Also gilt k = $-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 3.5 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 0.82, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,82}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $4000\cdot {\mathrm{1,23}}^{12}$ ≈ 47964,655.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 204000 Nutzer ist, also f(t) = 204000:

$4000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$204000$	|:$4000$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$51$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(51\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(51\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(51\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,993}$

Nach ca. 18,993 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 204000 Nutzer.