Zuerst schreiben wir $\frac{1}{12}$ um: $\frac{1}{12}$ = ${12}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 12 sondern zur Basis $144$ suchen und $144$ gerade 12² ist (also 12 = $\sqrt{144}$ = ${144}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${12}^{-1}$ noch so um, dass sie $144$ als Basis hat:

${12}^{-1}$ = ${\left({144}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $144$ suchen, also die Hochzahl mit der man $144$ potenzieren muss, um auf ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $144$^☐ = ${12}^{-1}$ = ${144}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $144$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{12}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 1
  Also gilt k = $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{x-1}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y+1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+1\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 10.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{10,2}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{10,2}}}$	≈ $\mathrm{1,07}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 48.48 kg ist, also f(10) = 48.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ ein:

c ⋅ 0.94¹⁰ = 48.48

c ⋅ 0.53862 = 48.48 | : 0.53862

c = 90

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $90\cdot {\mathrm{0,94}}^8$ ≈ 54,861.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 kg ist, also f(t) = 70:

$90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$70$	|:$90$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{7}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0616}$

Nach ca. 4,062 Tage ist also der Bestand = 70 kg.