Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{\left(-x\right)}$ = $-x^3·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^x$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{-x}$
weder gleich f(x) = $x^3·e^x$ noch gleich -f(x) = $-x^3·e^x$ = $-x^3·e^x$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$\lg \left(\frac{1}{2x^7}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^4}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-7}\right)+\lg \left(50x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{2}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(2\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·4}{2}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,105}}^t$ ablesen: a=1.105.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.105($2$) ≈ 6.94 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^{13}$ ≈ 3330,147.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2700 € ist, also f(t) = 2700:

$2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$2700$	|:$2000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{27}{20}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{20}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{20}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,6517}$

Nach ca. 7,652 Jahre ist also der Kontostand = 2700 €.