Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{41}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{41}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4^3}$ = 4^-3 < $\frac{1}{41}$ und auf $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2 > $\frac{1}{41}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $\frac{1}{41}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
4^-3 = $\frac{1}{4^3}$ = $\frac{1}{64}$ < $\frac{1}{41}$ < $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4^2}$ = 4^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

$\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

= $\lg \left(2x^2\right)+\lg \left(2x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{4}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+0$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·2·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$-3e^{x-1}$	=	$y+2$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)+1$

f(0) = $80$

f(1) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(2) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(3) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

f(4) = $80$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$ ⋅ $\mathrm{1,35}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,35}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,35}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,35}$-fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 63.22 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 63.22. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^8$	=	$\mathrm{63,22}$	|:$80$
$a^8$	=	$\mathrm{0,79025}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,79025}}$	≈ $-\mathrm{0,971}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,79025}}$	≈ $\mathrm{0,971}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,971}$ ≈ 0.971 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $80\cdot {\mathrm{0,971}}^5$ ≈ 69,054.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,7755}$

Nach ca. 9,776 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.