Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+2\lg \left(x^2\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3k{e}^{kx+3k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+3k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3k{e}^{kx+3k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $2$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+3k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+3k$	=	0	| - ( $3k$)
  $kx$	=	$-3k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-3$

  Wenn wir nun $-3$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-3$) = $3k{e}^{k\cdot \left(-3\right)+3k}+2$ = $3k+2$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-3$) = -3 ablesen, es gilt somit:

  $3k+2$	=	$-3$	| $-2$
  $3k$	=	$-5$	|:$3$
  $k$	=	$-\frac{5}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{5}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{x-1}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y+3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x+3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x+3\right)+1$

f(0) = $79$

f(1) = $79$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(2) = $79$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(3) = $79$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

f(4) = $79$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$ ⋅ $\frac{24}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{24}{25}$ multipliziert. Da $\frac{24}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{24}{25}$-fache (oder auf das $\frac{96}{100}$-fache), also auf $96$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Wochen der Bestand 9369.44 Nutzer ist, also f(4) = 9369.44. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,17}}^t$ ein:

c ⋅ 1.17⁴ = 9369.44

c ⋅ 1.87389 = 9369.44 | : 1.87389

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,17}}^5$ ≈ 10962,24.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

$5000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$11000$	|:$5000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{11}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0219}$

Nach ca. 5,022 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.