Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei $3e^{x-2}-1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -1 addiert wird, ist der Graph von $3e^{x-2}-1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei $3e^{x-2}-1$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $3e^{x-2}-1$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $3e^{x-2}-1$ gegen $0-1$ = $-1$ .

$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(50\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·50·50)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $3e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,1}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$3e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-3$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{3}y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{3}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{3}x-1\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.2 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,2}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,2}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,2}}}$ ≈ 1.24, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $13\cdot {\mathrm{0,91}}^{11}$ ≈ 4,607.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.1:

$13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{5,1}$	|:$13$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\mathrm{0,3923}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3923}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3923}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3923}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9218}$

Nach ca. 9,922 Jahre ist also der Bestand = 5.1 Millionen Insekten.