$\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^2\right)$

= $\lg \left(2x^{-2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(\frac{1}{40000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(40000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(40000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{40000}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $2k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $2k{e}^{k\cdot 1-k}-1$ = $2k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $2k-1$	=	0	| $+1$
  $2k$	=	$1$	|:$2$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(y-3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(x-3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(x-3\right)$

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.85($\frac{1}{2}$) ≈ 4.27 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 16704.48 Nutzer ist, also f(5) = 16704.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^5$	=	$16\mathrm{704,48}$	|:$7000$
$a^5$	=	$\mathrm{2,38635}$	|
$a$	=	$\sqrt[5]{\mathrm{2,38635}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[5]{\mathrm{2,38635}}$ ≈ 1.19 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $7000\cdot {\mathrm{1,19}}^7$ ≈ 23655,208.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer ist, also f(t) = 37000:

$7000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$37000$	|:$7000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$\frac{37}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(\frac{37}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{37}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,5716}$

Nach ca. 9,572 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 37000 Nutzer.