Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\frac{15}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{-\mathrm{0,4}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$-2e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$y+2$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x}$	=	$-\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,4}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$
$x$	=	$-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{5}{2}\ln \left(-\frac{1}{2}x-1\right)$

Die prozentuale Zunahme um 21% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 21% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{21}{100}$⋅B = (1 + $\frac{21}{100}$) ⋅ B = 1,21 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,21.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.21($2$) ≈ 3.64 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 39.81 kg ist, also f(8) = 39.81. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^8$	=	$\mathrm{39,81}$	|:$60$
$a^8$	=	$\mathrm{0,6635}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,6635}}$	≈ $-\mathrm{0,95}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,6635}}$	≈ $\mathrm{0,95}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,95}$ ≈ 0.95 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Tage, also f(12):

f(12) = $60\cdot {\mathrm{0,95}}^{12}$ ≈ 32,422.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,5545}$

Nach ca. 3,555 Tage ist also der Bestand = 50 kg.