Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{1}{2}$} = $4$ gilt .

$-\lg \left(10000\right)+\lg \left(\frac{25}{x^2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(25x^{-2}\right)+\lg \left(4x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(10000\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(10000\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(10000\right)+0+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(10000\right)+0+\lg \left(25\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(10000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{10000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 25 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,02}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.2}{100}$) ⋅ B = 0,978 ⋅ B. Somit ist das a=0,978.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,978}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 65.63 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 65.63. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,978}}^t$ ein:

c ⋅ 0.978⁶ = 65.63

c ⋅ 0.87505 = 65.63 | : 0.87505

c = 75

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,978}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $75\cdot {\mathrm{0,978}}^4$ ≈ 68,615.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$75\cdot {\mathrm{0,978}}^t$	=	$55$	|:$75$
${\mathrm{0,978}}^t$	=	$\frac{11}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,978}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,978}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,9423}$

Nach ca. 13,942 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.