Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 289 ( 1 17 ) .

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Zuerst schreiben wir 1 17 um: 1 17 = 17 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 17 sondern zur Basis 289 suchen und 289 gerade 17² ist (also 17 = 289 = 289 1 2 ), formen wir 17 -1 noch so um, dass sie 289 als Basis hat:

17 -1 = ( 289 1 2 ) -1 = 289 - 1 2

log 289 ( 1 17 ) = log 289 ( 17 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 17 -1 = 289 - 1 2 zur Basis 289 suchen, also die Hochzahl mit der man 289 potenzieren muss, um auf 17 -1 = 289 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 289 = 17 -1 = 289 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 289 ( 1 17 ) = log 289 ( 17 -1 ) = log 289 ( 289 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 289 - 1 2 = 1 17 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -4.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -4 = -a = -a .

Es gilt also: -4 = -a | ⋅ -1

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,6 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e -0,2x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,6 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,6 -3 = y | +3
e -0,2x +0,6 = y +3 |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( y +3 )
-0,2x +0,6 = ln( y +3 ) | -0,6
-0,2x = ln( y +3 ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y +3 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,072 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,072 t ablesen: a=1.072.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.072(2) ≈ 9.97 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer. Nach 5 Wochen zählt man bereits 17539,58 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 38000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 8000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 5 Wochen der Bestand 17539.58 Nutzer ist, also f(5) = 17539.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 8000 a t ein:

8000 a 5 = 17539,58 |:8000
a 5 = 2,19245 | 5
a = 2,19245 5

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 2,19245 5 ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 8000 1,17 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):

f(13) = 8000 1,17 13 61589,431.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer ist, also f(t) = 38000:

8000 1,17 t = 38000 |:8000
1,17 t = 19 4 |lg(⋅)
lg( 1,17 t ) = lg( 19 4 )
t · lg( 1,17 ) = lg( 19 4 ) |: lg( 1,17 )
t = lg( 19 4 ) lg( 1,17 )
t = 9,9243

Nach ca. 9,924 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 38000 Nutzer.