Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100000000x ) +5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100000000x ) +5 lg( x )
= lg( 100000000 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= lg( 10 8 ) + lg( x ) +5 lg( x )
= 8 + lg( x ) +5 lg( x )
= 6 lg( x ) +8

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 100 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 2 x 2 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 100 x )

= - lg( 1 2 x 2 ) + lg( 50 x 3 ) - lg( 100 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 2 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 3 ) ) - ( lg( 100 ) + lg( 1 x ) )

= - lg( 1 2 ) - lg( x 2 ) + lg( 50 ) + lg( x 3 ) - lg( 100 ) - lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 2 ) -2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 50 ) +3 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( x )

= 2 lg( x ) - lg( 100 ) + lg( 50 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 2 lg( x ) + lg( 1 100 · 50 · 2 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 2 lg( x ) + lg( 1 )

= 2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e -0,2x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e -0,2x können die Funktionswerte von 3 e -0,2x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 3 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von 3 e -0,2x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e -0,2x +1 = y | -1
3 e -0,2x = y -1 |:3
e -0,2x = 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
-0,2x = ln( 1 3 y - 1 3 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( 1 3 y - 1 3 )
x = -5 ln( 1 3 y - 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( 1 3 x - 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( 1 3 x - 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,951 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,951 t ablesen: a=0.951.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.951( 1 2 ) ≈ 13.8 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 4000 Nutzer. Nach 13 Wochen zählt man bereits 72759,58 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 12000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 4000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Wochen der Bestand 72759.58 Nutzer ist, also f(13) = 72759.58. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 4000 a t ein:

4000 a 13 = 72759,58 |:4000
a 13 = 18,1899 | 13
a = 18,1899 13

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 18,1899 13 ≈ 1.25 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,25 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 4000 1,25 8 23841,858.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

4000 1,25 t = 12000 |:4000
1,25 t = 3 |lg(⋅)
lg( 1,25 t ) = lg( 3 )
t · lg( 1,25 ) = lg( 3 ) |: lg( 1,25 )
t = lg( 3 ) lg( 1,25 )
t = 4,9233

Nach ca. 4,923 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.