Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·3e^{2{\left(-x\right)}^2}$ = $-3x·e^{2x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x·3e^{2x^2}$ = $3x·e^{2x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-3x·e^{2x^2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-3x·e^{2x^2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-2}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+2$

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,35.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.35($2$) ≈ 2.31 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.8}{100}$) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,972}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 48.93 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 48.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,972}}^t$ ein:

c ⋅ 0.972¹⁰ = 48.93

c ⋅ 0.75277 = 48.93 | : 0.75277

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $65\cdot {\mathrm{0,972}}^8$ ≈ 51,79.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 58 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 58:

$65\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$58$	|:$65$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{58}{65}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{58}{65}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{58}{65}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{58}{65}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0122}$

Nach ca. 4,012 Jahre ist also der Bestand = 58 Millionen Einwohner.