$\lg \left(\mathrm{0,05}\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.05}{50}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

$\lg \left(\frac{4}{x^{10}}\right)+\lg \left(20x\right)-\lg \left(\frac{80}{x^4}\right)$

= $\lg \left(4x^{-10}\right)+\lg \left(20x\right)-\lg \left(80x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^{10}}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-10\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,3}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,3}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,933}}^t$ ablesen: a=0.933.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.933($\frac{1}{2}$) ≈ 9.99 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Jahre der Bestand 3.35 Millionen Insekten ist, also f(9) = 3.35. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,86}}^t$ ein:

c ⋅ 0.86⁹ = 3.35

c ⋅ 0.25733 = 3.35 | : 0.25733

c = 13

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $13\cdot {\mathrm{0,86}}^6$ ≈ 5,259.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 8.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 8.3:

$13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{8,3}$	|:$13$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,6385}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6385}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,6385}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,6385}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9746}$

Nach ca. 2,975 Jahre ist also der Bestand = 8.3 Millionen Insekten.