Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term 4 lg( 1 x ) +4 lg( 1 x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
4 lg( 1 x ) +4 lg( 1 x 2 )
= 4 lg( x - 1 2 ) +4 lg( x -2 )
= -2 lg( x ) -8 lg( x )
= -10 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -3 k x · e k x -3 k +4 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -3 k x · e k x -3 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -3 k · 0 · e k 0 -3 k +4 k = 4 k = 3
    4k = 3 |:4
    k = 3 4 = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,3x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,3 +2 = y | -2
e -0,3x +0,3 = y -2 |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( y -2 )
-0,3x +0,3 = ln( y -2 ) | -0,3
-0,3x = ln( y -2 ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y -2 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,3 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.25(2) ≈ 3.11 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 49,09 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 49.09 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 49.09. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 4 = 49,09 |:55
a 4 = 0,89255 | 4
a1 = - 0,89255 4 -0,972
a2 = 0,89255 4 0,972

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,972 ≈ 0.972 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,972 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 55 0,972 12 39,116.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

55 0,972 t = 45 |:55
0,972 t = 9 11 |lg(⋅)
lg( 0,972 t ) = lg( 9 11 )
t · lg( 0,972 ) = lg( 9 11 ) |: lg( 0,972 )
t = lg( 9 11 ) lg( 0,972 )
t = 7,066

Nach ca. 7,066 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.