Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{10}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{10}}$ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ gilt .

$\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^7\right)+\lg \left(50x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·5·4)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 14.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14.4}{100}$) ⋅ B = 0,856 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,856.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.856($\frac{1}{2}$) ≈ 4.46 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $8000\cdot {\mathrm{1,03}}^5$ ≈ 9274,193.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 15000 € ist, also f(t) = 15000:

$8000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$15000$	|:$8000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{15}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{15}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{15}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{15}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,2664}$

Nach ca. 21,266 Jahre ist also der Kontostand = 15000 €.