$\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{50}{x^6}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^2\right)+\lg \left(50x^{-6}\right)+\lg \left(25x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx-k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx-k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $k{e}^{k\cdot 1-k}-1$ = $k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $k-1$	=	0	| $+1$
  $k$	=	$1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +3 hinter dem $4e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,2}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$4e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-3$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 14 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,11}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,35}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 760.03 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 760.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,35}}^t$ ein:

c ⋅ 1.35¹¹ = 760.03

c ⋅ 27.14385 = 760.03 | : 27.14385

c = 28

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $28\cdot {\mathrm{1,35}}^{10}$ ≈ 562,984.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 528 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 528:

$28\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$528$	|:$28$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{132}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{132}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{132}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{132}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,7862}$

Nach ca. 9,786 Stunden ist also der Bestand = 528 Millionen Bakterien.