${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>24</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>24</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_2\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 3

$\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(4x^2\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(4\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{20}{4}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,06.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.06($2$) ≈ 11.9 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $15\cdot {\mathrm{1,08}}^{10}$ ≈ 32,384.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 25:

$15\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$25$	|:$15$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\frac{5}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6375}$

Nach ca. 6,638 Stunden ist also der Bestand = 25 Millionen Bakterien.