Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x 2 ) -2 lg( x 4 ) + lg( x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x 2 ) -2 lg( x 4 ) + lg( x 2 )
= lg( x -2 ) -2 lg( x 4 ) + lg( x 2 )
= -2 lg( x ) -8 lg( x ) +2 lg( x )
= -8 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - e - 6 10 x -3 k +6 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm - e - 6 10 x -3 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 6 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → +∞ strebt fk(x) → 0 + 6 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss 6 k = 4 gelten;
    Also gilt k = 2 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,2 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,1x +0,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,2 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,2 +3 = y | -3
e -0,1x +0,2 = y -3 |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( y -3 )
-0,1x +0,2 = ln( y -3 ) | -0,2
-0,1x = ln( y -3 ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -3 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,869 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,869 t ablesen: a=0.869.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.869( 1 2 ) ≈ 4.94 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. 2 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 5100,5€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 10 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5700€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,01 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5100.5 € ist, also f(2) = 5100.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,01 t ein:

c ⋅ 1.012 = 5100.5

c ⋅ 1.0201 = 5100.5 | : 1.0201

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 5000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 5000 1,01 10 5523,111.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5700 € ist, also f(t) = 5700:

5000 1,01 t = 5700 |:5000
1,01 t = 57 50 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 57 50 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 57 50 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 57 50 ) lg( 1,01 )
t = 13,1682

Nach ca. 13,168 Jahre ist also der Kontostand = 5700 €.