Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[3]{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[3]{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt[3]{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{3}$} = $\sqrt[3]{5}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{6}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $9k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $9k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 6, somit muss $9k$ = 6 gelten;
  Also gilt k = $\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,123}}^t$ ablesen: a=1.123.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.123($2$) ≈ 5.98 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 19.77 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 19.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ ein:

$19a^2$	=	$\mathrm{19,77}$	|:$19$
$a^2$	=	$\mathrm{1,04053}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,04053}}$	≈ $-\mathrm{1,02}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,04053}}$	≈ $\mathrm{1,02}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,02}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $19\cdot {\mathrm{1,02}}^8$ ≈ 22,262.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 25.1 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 25.1:

$19\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{25,1}$	|:$19$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\mathrm{1,3211}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3211}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,3211}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,3211}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,062}$

Nach ca. 14,062 Stunden ist also der Bestand = 25.1 Millionen Bakterien.