Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{9}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{9}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{9}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{9}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $3$^$-2$ = $\frac{1}{9}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 3.28 kg ist, also f(8) = 3.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^8$	=	$\mathrm{3,28}$	|:$10$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{3,28}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{3,28}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,87}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{3,28}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,87}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,87}$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $10\cdot {\mathrm{0,87}}^4$ ≈ 5,729.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.5 kg ist, also f(t) = 2.5:

$10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{2,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,25}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9546}$

Nach ca. 9,955 Tage ist also der Bestand = 2.5 kg.