Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $4\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-10\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-3kx·e^{kx-3k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-3k·0·e^{k\cdot 0-3k}+4k$ = $4k$ = 3

  $4k$	=	$3$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.25($2$) ≈ 3.11 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 49.09 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 49.09. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^4$	=	$\mathrm{49,09}$	|:$55$
$a^4$	=	$\mathrm{0,89255}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,89255}}$	≈ $-\mathrm{0,972}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,89255}}$	≈ $\mathrm{0,972}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,972}$ ≈ 0.972 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $55\cdot {\mathrm{0,972}}^{12}$ ≈ 39,116.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,066}$

Nach ca. 7,066 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.