$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$ - $\lg \left(3\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.3}{3}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,1}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= -1

$\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20x^8}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

= $\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-8}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^8}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-8\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,935}}^t$ ablesen: a=0.935.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.935($\frac{1}{2}$) ≈ 10.31 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 22.69 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 22.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23² = 22.69

c ⋅ 1.5129 = 22.69 | : 1.5129

c = 15

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $15\cdot {\mathrm{1,23}}^{10}$ ≈ 118,889.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22.7 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22.7:

$15\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$\mathrm{22,7}$	|:$15$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\mathrm{1,5133}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,5133}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,5133}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,5133}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0013}$

Nach ca. 2,001 Stunden ist also der Bestand = 22.7 Millionen Bakterien.