Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{16}$ zur Basis $4$, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{16}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $\frac{1}{16}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $4$-Potenz zu schreiben versuchen, also $4$^☐ = $\frac{1}{16}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $4$^$-2$ = $\frac{1}{16}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-2kx·e^{kx-2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-2k·0·e^{k\cdot 0-2k}+4k$ = $4k$ = 3

  $4k$	=	$3$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,2}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $31$

f(1) = $31$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $31$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $31$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $31$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$-fache (oder auf das $\frac{140}{100}$-fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 20% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 20% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{20}{100}$⋅B = (1 + $\frac{20}{100}$) ⋅ B = 1,2 ⋅ B. Somit ist das a=1,2.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $15\cdot {\mathrm{1,2}}^6$ ≈ 44,79.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 515 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 515:

$15\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$515$	|:$15$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{103}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{103}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{103}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{103}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,3949}$

Nach ca. 19,395 Stunden ist also der Bestand = 515 Millionen Bakterien.