Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 13 ( 1 169 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 169 zur Basis 13, also die Hochzahl mit der man 13 potenzieren muss, um auf 1 169 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 13 = 1 169 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 13-Potenz zu schreiben versuchen, also 13 = 1 169

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 13 ( 1 169 ) = -2, eben weil 13-2 = 1 169 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x + k ) · e x + 1 2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = - ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k -2 = 0 -2 = -2 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | -2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 1
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,2x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,2x wird e 0,2x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,2x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e 0,2x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,2x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,2x -1 = y | +1
-3 e 0,2x = y +1 |:-3
e 0,2x = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
0,2x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 3 y - 1 3 )
x = 5 ln( - 1 3 y - 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 5 ln( - 1 3 x - 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 5 ln( - 1 3 x - 1 3 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 2000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,3 = 2 | 3,3
a = 2 1 3,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,3 ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 2000 1,23 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 37,64kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 30kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu = B - 3 100 ⋅B = (1 - 3 100 ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,97 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 37.64 kg ist, also f(2) = 37.64. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,97 t ein:

c ⋅ 0.972 = 37.64

c ⋅ 0.9409 = 37.64 | : 0.9409

c = 40

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 40 0,97 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = 40 0,97 13 26,921.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

40 0,97 t = 30 |:40
0,97 t = 3 4 |lg(⋅)
lg( 0,97 t ) = lg( 3 4 )
t · lg( 0,97 ) = lg( 3 4 ) |: lg( 0,97 )
t = lg( 3 4 ) lg( 0,97 )
t = 9,4448

Nach ca. 9,445 Tage ist also der Bestand = 30 kg.