Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{3{\left(-x\right)}^2}$ = $-x^3·e^{3x^2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{3x^2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{3x^2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x^3·e^{3x^2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(\frac{5}{x^9}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^3\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(5x^{-9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,2}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$2e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-2$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)$

Die prozentuale Zunahme um 4.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4.3}{100}$) ⋅ B = 1,043 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,043.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.043($2$) ≈ 16.46 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $7000\cdot {\mathrm{1,13}}^9$ ≈ 21028,294.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer ist, also f(t) = 27000:

$7000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$27000$	|:$7000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,0453}$

Nach ca. 11,045 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer.