Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x-2}+3$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 3 addiert wird, ist der Graph von $e^{x-2}+3$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei $e^{x-2}+3$ das x von $e^x$ durch ein 'x-2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x-2}+3$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x-2}+3$ gegen $0+3$ = $3$ .

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·5·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,3}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 11 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 8.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{8,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,92}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 6756.97 € ist, also f(6) = 6756.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^6$	=	$6\mathrm{756,97}$	|:$6000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,12616}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,12616}}$	= $-\mathrm{1,02}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,12616}}$	= $\mathrm{1,02}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,02}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^8$ ≈ 7029,956.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6500 € ist, also f(t) = 6500:

$6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$6500$	|:$6000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{13}{12}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{12}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{12}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{12}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,042}$

Nach ca. 4,042 Jahre ist also der Kontostand = 6500 €.