Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 ( 1 125 ) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1 125 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 1 125 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 1 125 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 5-Potenz zu schreiben versuchen, also 5 = 1 125

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 ( 1 125 ) = -3, eben weil 5-3 = 1 125 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x 4 ) + lg( 25 x ) + lg( 1 625 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 25 x 4 ) + lg( 25 x ) + lg( 1 625 x 2 )

= lg( 25 x 4 ) + lg( 25 x -1 ) + lg( 1 625 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 25 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 1 625 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 25 ) + lg( x 4 ) + lg( 25 ) + lg( 1 x ) + lg( 1 625 ) + lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 25 ) - lg( x ) + lg( 1 625 ) -2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) +4 lg( x ) + lg( 25 ) - lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 625 ) -2 lg( x )

= lg( x ) - lg( 625 ) + lg( 25 ) + lg( 25 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( x ) + lg( 1 625 · 25 · 25 )

= lg( x ) + lg( 1 25 · 25 )

= lg( x ) + lg( 1 )

= lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,3x -0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,3x -0,6 können die Funktionswerte von 3 e 0,3x -0,6 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,3x -0,6 = y |:3
e 0,3x -0,6 = 1 3 y |ln(⋅)
0,3x -0,6 = ln( 1 3 y )
0,3x -0,6 = ln( 1 3 y ) | +0,6
0,3x = ln( 1 3 y ) +0,6 |:0,3
x = 1 0,3 ln( 1 3 y ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( 1 3 x ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( 1 3 x ) + 0,6 0,3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 22,8 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 80kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 80 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 22.8 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 22,8 = 1 2 | 22,8
a1 = - ( 1 2 ) 1 22,8 -0,97
a2 = ( 1 2 ) 1 22,8 0,97

Das gesuchte a ist somit 0,97 ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 80 0,97 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 2 Jahren beträgt der Kontostand bereits 3244,8€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 5000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3244.8 € ist, also f(2) = 3244.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 2 = 3244,8 |:3000
a 2 = 1,0816 | 2
a1 = - 1,0816 = -1,04
a2 = 1,0816 = 1,04

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,04 ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 3000 1,04 9 4269,935.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

3000 1,04 t = 5000 |:3000
1,04 t = 5 3 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 5 3 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 5 3 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 5 3 ) lg( 1,04 )
t = 13,0244

Nach ca. 13,024 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.