$\lg \left(\mathrm{0,02}\right)$ - $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{0.02}{20}\right)$

= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= -3

$-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{400x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·20·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-2\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 6.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,9}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 7.37 kg ist, also f(10) = 7.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,97}}^t$ ein:

c ⋅ 0.97¹⁰ = 7.37

c ⋅ 0.73742 = 7.37 | : 0.73742

c = 10

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $10\cdot {\mathrm{0,97}}^9$ ≈ 7,602.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.5 kg ist, also f(t) = 6.5:

$10\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{6,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\mathrm{0,65}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,65}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,65}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,65}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,1429}$

Nach ca. 14,143 Tage ist also der Bestand = 6.5 kg.