Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 196 ( 14 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis 196 suchen und 196 gerade 14² ist (also 14 = 196 = 196 1 2 ), formen wir 14 noch so um, dass sie 196 als Basis hat:

14 = 196 1 2

log 196 ( 14 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 14 = 196 1 2 zur Basis 196 suchen, also die Hochzahl mit der man 196 potenzieren muss, um auf 14 = 196 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 196 = 14 = 196 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 196 ( 14 ) = log 196 ( 196 1 2 ) = 1 2 , eben weil 196 1 2 = 14 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x +4 k ) · e x +2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x +4 k ) · e x +2 k = 0 wird, wenn x +4 k = 0 ist, also für x = -4 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-4 k ) = - ( ( -4 k ) +4 k ) · e ( -4 k ) +2 k -2 = 0 -2 = -2 sein.
    Da bei x = -4 k bei ( x +4 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-4 k | -2 ) im abgebildeten Graph bei P(3| -2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -4 k = 3
    Also gilt k = - 3 4

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 3 4

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -1 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem - e x -1 wird zu allen Funktionswerten von - e x -1 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -1 -1 = y | +1
- e x -1 = y +1 |:-1
e x -1 = -y -1 |ln(⋅)
x -1 = ln( -y -1 )
x -1 = ln( -y -1 ) | +1
x = ln( -y -1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x -1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x -1 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 4000 1,05 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 2 Jahren hat der Staat noch 52,82 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50,7 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 52.82 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 52.82. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 2 = 52,82 |:55
a 2 = 0,96036 | 2
a1 = - 0,96036 -0,98
a2 = 0,96036 0,98

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,98 ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,98 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 55 0,98 13 42,296.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.7:

55 0,98 t = 50,7 |:55
0,98 t = 0,9218 |lg(⋅)
lg( 0,98 t ) = lg( 0,9218 )
t · lg( 0,98 ) = lg( 0,9218 ) |: lg( 0,98 )
t = lg( 0,9218 ) lg( 0,98 )
t = 4,0305

Nach ca. 4,031 Jahre ist also der Bestand = 50.7 Millionen Einwohner.