Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $3$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $3$ ist.

Dabei kommt man auf $1$ = 4⁰ < $3$ und auf $4$ = 4¹ > $3$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $3$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 0 und 1 liegen, wegen:
4⁰ = $1$ < $3$ < $4$ = 4¹

Es gilt somit: 0 < < 1

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{5}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $3k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,117}}^t$ ablesen: a=1.117.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.117($2$) ≈ 6.26 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.1}{100}$) ⋅ B = 0,969 ⋅ B. Somit ist das a=0,969.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,969}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 40.14 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 40.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,969}}^t$ ein:

c ⋅ 0.969¹⁰ = 40.14

c ⋅ 0.72986 = 40.14 | : 0.72986

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,969}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $55\cdot {\mathrm{0,969}}^9$ ≈ 41,426.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 51.6:

$55\cdot {\mathrm{0,969}}^t$	=	$\mathrm{51,6}$	|:$55$
${\mathrm{0,969}}^t$	=	$\mathrm{0,9382}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,969}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9382}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,969}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9382}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,969}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9382}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,969}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,0257}$

Nach ca. 2,026 Jahre ist also der Bestand = 51.6 Millionen Einwohner.