Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 2500 ) + lg( 4 ) .

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lg( 2500 ) + lg( 4 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= lg( 2500 · 4 )

= lg( 10000 )

= lg( 10 4 )

= 4

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +2 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|1) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +2 k = 2 k = 1
    2k = 1 |:2
    k = 1 2 = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 -3 = y | +3
e 0,2x -0,2 = y +3 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y +3 )
0,2x -0,2 = ln( y +3 ) | +0,2
0,2x = ln( y +3 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +3 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,041 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,041 t ablesen: a=1.041.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.041(2) ≈ 17.25 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. Nach 4 Jahren hat der Staat noch 50,52 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 9 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 55 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 50.52 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 50.52. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 55 a t ein:

55 a 4 = 50,52 |:55
a 4 = 0,91855 | 4
a1 = - 0,91855 4 -0,979
a2 = 0,91855 4 0,979

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,979 ≈ 0.979 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,979 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 55 0,979 9 45,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

55 0,979 t = 45 |:55
0,979 t = 9 11 |lg(⋅)
lg( 0,979 t ) = lg( 9 11 )
t · lg( 0,979 ) = lg( 9 11 ) |: lg( 0,979 )
t = lg( 9 11 ) lg( 0,979 )
t = 9,4551

Nach ca. 9,455 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.