Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{8}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $6k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $6k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $6k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(y+2\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+2\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+2\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3.3}{100}$) ⋅ B = 1,033 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,033.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.033($2$) ≈ 21.35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 3203.23 Nutzer ist, also f(3) = 3203.23. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^3$	=	$3\mathrm{203,23}$	|:$2000$
$a^3$	=	$\mathrm{1,60162}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{1,60162}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{1,60162}}$ ≈ 1.17 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $2000\cdot {\mathrm{1,17}}^5$ ≈ 4384,896.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

$2000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$3000$	|:$2000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,5825}$

Nach ca. 2,583 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.