Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $x^2·\left(e^{-3x}+e^{3x}\right)$ = $x^2·e^{3x}+x^2·e^{-3x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·\left(e^{3x}+e^{-3x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

$\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400x}\right)+\lg \left(\frac{2}{x^2}\right)$

= $\lg \left(2x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·2·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

f(0) = $103$

f(1) = $103$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $103$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $103$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $103$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 9004.38 € ist, also f(6) = 9004.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^6$	=	$9\mathrm{004,38}$	|:$6000$
$a^6$	=	$\mathrm{1,50073}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,50073}}$	= $\mathrm{1,07}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^{13}$ ≈ 14459,07.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 16000 € ist, also f(t) = 16000:

$6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$16000$	|:$6000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{8}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,4967}$

Nach ca. 14,497 Jahre ist also der Kontostand = 16000 €.