$\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^6}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{250}{x}^3\right)+\lg \left(5x^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^6}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{250}\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-6\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{2}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{400x}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^4}\right)$

= $\lg \left(2x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{400}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(400\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(400\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{400}·2·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.8 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,8}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,8}}}$ ≈ 1.2, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{1,2}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 8063.5 € ist, also f(10) = 8063.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{10}$	=	$8\mathrm{063,5}$	|:$6000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,34392}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $-\mathrm{1,03}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,34392}}$	= $\mathrm{1,03}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,03}$ ≈ 1.03 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $6000\cdot {\mathrm{1,03}}^5$ ≈ 6955,644.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6400 € ist, also f(t) = 6400:

$6000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$6400$	|:$6000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{16}{15}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{16}{15}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{16}{15}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,1834}$

Nach ca. 2,183 Jahre ist also der Kontostand = 6400 €.