Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt wurde.

Da bei $-e^{x+2}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $-e^{x+2}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $-e^{x+2}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-e^{x+2}+2$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-e^{x+2}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+3k\right)·e^{x+\frac{3}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+3k$ = 0 ist, also für x = $-3k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-3k$) = $-\left(\left(-3k\right)+3k\right)·e^{\left(-3k\right)+\frac{3}{2}k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $-3k$ bei ( $x+3k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-3k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(1| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-3k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,98}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Stunden der Bestand 63.89 Millionen Bakterien ist, also f(7) = 63.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁷ = 63.89

c ⋅ 4.25928 = 63.89 | : 4.25928

c = 15

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $15\cdot {\mathrm{1,23}}^4$ ≈ 34,333.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 65 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 65:

$15\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$65$	|:$15$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,0833}$

Nach ca. 7,083 Stunden ist also der Bestand = 65 Millionen Bakterien.