Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·\left(e^{-x}+e^x\right)$ = $-x·e^x-x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(e^x+e^{-x}\right)$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^x-x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·e^x+x·e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$-\lg \left(100x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}x\right)+\lg \left(5x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$2e^{x-1}$	=	$y-2$	|:$2$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{2}y-1$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-1\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x-1\right)+1$

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.94($\frac{1}{2}$) ≈ 11.2 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 51.86 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 51.86. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^2$	=	$\mathrm{51,86}$	|:$55$
$a^2$	=	$\mathrm{0,94291}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,94291}}$	≈ $-\mathrm{0,971}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,94291}}$	≈ $\mathrm{0,971}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,971}$ ≈ 0.971 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = $55\cdot {\mathrm{0,971}}^{13}$ ≈ 37,516.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$35$	|:$55$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{7}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,3586}$

Nach ca. 15,359 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.