$\lg \left(25000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (25000·4)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $5k{e}^{kx+5k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+5k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $5k{e}^{kx+5k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+5k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+5k$	=	0	| - ( $5k$)
  $kx$	=	$-5k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-5$

  Wenn wir nun $-5$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-5$) = $5k{e}^{k\cdot \left(-5\right)+5k}+3$ = $5k+3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-5$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $5k+3$	=	0	| $-3$
  $5k$	=	$-3$	|:$5$
  $k$	=	$-\frac{3}{5}$ = -0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,1}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.92($\frac{1}{2}$) ≈ 8.31 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 7688 Nutzer ist, also f(2) = 7688. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^2$	=	$7688$	|:$5000$
$a^2$	=	$\frac{961}{625}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{961}{625}}$	= $-\frac{31}{25}$
a2	=	$\sqrt{\frac{961}{625}}$	= $\frac{31}{25}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\frac{31}{25}$ ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $5000\cdot {\mathrm{1,24}}^{11}$ ≈ 53285,438.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 85000 Nutzer ist, also f(t) = 85000:

$5000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$85000$	|:$5000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$17$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(17\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(17\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(17\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1709}$

Nach ca. 13,171 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 85000 Nutzer.