Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= 1 + ( e x - e -x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = 1 + ( e -x - e x ) = - e x + e -x +1

Wenn man das mit f(x) = 1 + ( e x - e -x ) = e x - e -x +1 vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = - e x + e -x +1
weder gleich f(x) = 1 + ( e x - e -x ) noch gleich -f(x) = -( 1 + ( e x - e -x )) = -( e x - e -x +1 ) ist.

Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:

f(1) = 1 + ( e - e -1 ) = 1 + e - e -1 ≈ 3.35
Aber: f(-1) = 1 + ( e -1 - e -( -1 ) ) = 1 + e -1 - e ≈ -1.35

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 9 10 x -2 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 9 10 x -2 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 1, somit muss 3 k = 1 gelten;
    Also gilt k = 1 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f 1 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem -3 e x -2 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -2 +2 = y | -2
-3 e x -2 = y -2 |:-3
e x -2 = - 1 3 y + 2 3 |ln(⋅)
x -2 = ln( - 1 3 y + 2 3 )
x -2 = ln( - 1 3 y + 2 3 ) | +2
x = ln( - 1 3 y + 2 3 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x + 2 3 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x + 2 3 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,904 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,904 t ablesen: a=0.904.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.904( 1 2 ) ≈ 6.87 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,2% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 65 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 45 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.2% weggehen,
also Bneu = B - 2.2 100 ⋅B = (1 - 2.2 100 ) ⋅ B = 0,978 ⋅ B. Somit ist das a=0,978.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,978 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 65 0,978 4 59,466.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

65 0,978 t = 45 |:65
0,978 t = 9 13 |lg(⋅)
lg( 0,978 t ) = lg( 9 13 )
t · lg( 0,978 ) = lg( 9 13 ) |: lg( 0,978 )
t = lg( 9 13 ) lg( 0,978 )
t = 16,5302

Nach ca. 16,53 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.