Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,071}}^t$ ablesen: a=1.071.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.071($2$) ≈ 10.11 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $7000\cdot {\mathrm{1,04}}^{11}$ ≈ 10776,178.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 11000 € ist, also f(t) = 11000:

$7000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$11000$	|:$7000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{11}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5241}$

Nach ca. 11,524 Jahre ist also der Kontostand = 11000 €.