Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{4}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{16000}{x}^3\right)$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(4x^{-3}\right)+\lg \left(\frac{1}{16000}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))+(\lg \left(\frac{1}{16000}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(\frac{1}{16000}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{16000}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+0+\lg \left(4\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(16000\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(16000\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{16000}·4·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,1}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,1}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,1}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 5.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5.8}{100}$) ⋅ B = 1,058 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,058.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.058($2$) ≈ 12.29 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 5408 € ist, also f(2) = 5408. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,04}}^t$ ein:

c ⋅ 1.04² = 5408

c ⋅ 1.0816 = 5408 | : 1.0816

c = 5000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $5000\cdot {\mathrm{1,04}}^8$ ≈ 6842,845.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7000 € ist, also f(t) = 7000:

$5000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$7000$	|:$5000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{7}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5789}$

Nach ca. 8,579 Jahre ist also der Kontostand = 7000 €.