Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{5}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{5}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-1$, eben weil $5$^$-1$ = $\frac{1}{5}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$2e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$2$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 52.83 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 52.83. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^4$	=	$\mathrm{52,83}$	|:$55$
$a^4$	=	$\mathrm{0,96055}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,96055}}$	≈ $-\mathrm{0,99}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,96055}}$	≈ $\mathrm{0,99}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,99}$ ≈ 0.99 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,99}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,99}}^7$ ≈ 51,264.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49.7 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 49.7:

$55\cdot {\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{49,7}$	|:$55$
${\mathrm{0,99}}^t$	=	$\mathrm{0,9036}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,99}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9036}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9036}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,99}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9036}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,99}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,0861}$

Nach ca. 10,086 Jahre ist also der Bestand = 49.7 Millionen Einwohner.