Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $36$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $36$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $36$ und auf $4^3$ = 4³ > $36$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $36$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $36$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 1194.05 € ist, also f(6) = 1194.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ ein:

c ⋅ 1.03⁶ = 1194.05

c ⋅ 1.19405 = 1194.05 | : 1.19405

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $1000\cdot {\mathrm{1,03}}^7$ ≈ 1229,874.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1600 € ist, also f(t) = 1600:

$1000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$1600$	|:$1000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{8}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,9006}$

Nach ca. 15,901 Jahre ist also der Kontostand = 1600 €.