Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von
Also was muss in das Kästchen, damit
An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag
des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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|: |
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= | |ln(⋅) | |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.08(
c und a gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 5%. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 9 Milionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 14 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=9 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu
= B +
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 14 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 14:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 9,056 Stunden ist also der Bestand = 14 Millionen Bakterien.
