Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+4\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-8\lg \left(x\right)$
= $-9\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $kx·e^{kx+k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|-1) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $k·0·e^{k\cdot 0+k}+k$ = $k$ = -1

  $k$

  =

  $-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $2e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$2e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$2$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)+2$

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 10948.55 € ist, also f(8) = 10948.55. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^8$	=	$10\mathrm{948,55}$	|:$8000$
$a^8$	=	$\mathrm{1,36857}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{1,36857}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $8000\cdot {\mathrm{1,04}}^5$ ≈ 9733,223.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 14000 € ist, also f(t) = 14000:

$8000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$14000$	|:$8000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{7}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,2684}$

Nach ca. 14,268 Jahre ist also der Kontostand = 14000 €.