Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $215$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $215$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $215$ und auf ${16}^2$ = 16² > $215$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $215$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $215$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

$\lg \left(25\right)+\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(1250x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+0+\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $74$

f(1) = $74$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $74$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $74$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $74$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 51.05 kg ist, also f(8) = 51.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^8$	=	$\mathrm{51,05}$	|:$60$
$a^8$	=	$\mathrm{0,85083}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,85083}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,85083}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $60\cdot {\mathrm{0,98}}^9$ ≈ 50,025.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$60\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$40$	|:$60$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\frac{2}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,0698}$

Nach ca. 20,07 Tage ist also der Bestand = 40 kg.