Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)$
= $-\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{250}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^3}\right)$

= $\lg \left(250x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(250\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(250\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(250\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(250\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (250·2·2)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 14 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,3}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $-\mathrm{1,352}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,3}}}$	≈ $\mathrm{1,352}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,352}$ ≈ 1.35, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $14\cdot {\mathrm{1,35}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6}{100}$⋅B = (1 + $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $1000\cdot {\mathrm{1,06}}^7$ ≈ 1503,63.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,06}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,06}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,06}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,06}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9585}$

Nach ca. 6,959 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.