Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+2\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$
= $\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)+2\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-5\lg \left(x\right)$

$\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,2}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,2}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.88($\frac{1}{2}$) ≈ 5.42 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 10% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10}{100}$⋅B = (1 - $\frac{10}{100}$) ⋅ B = 0,9 ⋅ B. Somit ist das a=0,9.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,9}}^4$ ≈ 8,529.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,9173}$

Nach ca. 13,917 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.