Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+1$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x+3\right)}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x+3\right)}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x+3\right)}+1$ gegen $0+1$ = $1$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x+3\right)}+1$ gegen $\infty$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 6000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.1 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,1}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,1}}}$ ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{12}{100}$⋅B = (1 + $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $1000\cdot {\mathrm{1,12}}^7$ ≈ 2210,681.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$1000\cdot {\mathrm{1,12}}^t$	=	$6000$	|:$1000$
${\mathrm{1,12}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,12}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,12}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,12}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,8103}$

Nach ca. 15,81 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.