$\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^6\right)-\lg \left(\frac{10}{x^4}\right)$

= $\lg \left(50x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^6\right)-\lg \left(10x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^6\right))-(\lg \left(10\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^6\right)-\lg \left(10\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-6\lg \left(x\right)-\lg \left(10\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(10\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{50·20}{10}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

$-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(5x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)+0+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ wird $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 7.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{7,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{7,3}}}$ ≈ 0.91, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,88}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Tage der Bestand 35.98 kg ist, also f(4) = 35.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,88}}^t$ ein:

c ⋅ 0.88⁴ = 35.98

c ⋅ 0.5997 = 35.98 | : 0.5997

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $60\cdot {\mathrm{0,88}}^6$ ≈ 27,864.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$60\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$30$	|:$60$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,4223}$

Nach ca. 5,422 Tage ist also der Bestand = 30 kg.