Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 2 ( 1 64 ) .

Lösung einblenden

Wir suchen den Logarithmus von 1 64 zur Basis 2, also die Hochzahl mit der man 2 potenzieren muss, um auf 1 64 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 2 = 1 64 gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als 2-Potenz zu schreiben versuchen, also 2 = 1 64

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 2 ( 1 64 ) = -6, eben weil 2-6 = 1 64 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x + k ) · e x + 1 2 k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = - ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k -3 = 0 -3 = -3 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | -3 ) im abgebildeten Graph bei P(1| -3 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 1
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 3 e 0,1x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 3 vor e 0,1x können die Funktionswerte von 3 e 0,1x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem 3 e 0,1x wird zu allen Funktionswerten von 3 e 0,1x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

3 e 0,1x -3 = y | +3
3 e 0,1x = y +3 |:3
e 0,1x = 1 3 y +1 |ln(⋅)
0,1x = ln( 1 3 y +1 ) |:0,1
x = 1 0,1 ln( 1 3 y +1 )
x = 10 ln( 1 3 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 ln( 1 3 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 ln( 1 3 x +1 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 72 ( 6 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 72

f(1) = 72 6 5

f(2) = 72 6 5 6 5

f(3) = 72 6 5 6 5 6 5

f(4) = 72 6 5 6 5 6 5 6 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 6 5 multipliziert. Da 6 5 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 6 5 -fache (oder auf das 120 100 -fache), also auf 120 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 9 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 29,68Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 33 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,29 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 29.68 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 29.68. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,29 t ein:

c ⋅ 1.299 = 29.68

c ⋅ 9.89253 = 29.68 | : 9.89253

c = 3

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = 3 1,29 4 8,308.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 33 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 33:

3 1,29 t = 33 |:3
1,29 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 11 ) lg( 1,29 )
t = 9,4167

Nach ca. 9,417 Stunden ist also der Bestand = 33 Millionen Bakterien.