Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ um: $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000000000$ eine Potenz ist: $1000000000$ = ${10}^9$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000000000}$ = ${1000000000}^{-1}$ = ${\left({10}^9\right)}^{-1}$ = ${10}^{-9}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-9}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-9}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-9}$ = ${100}^{-\frac{9}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{9}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{9}{2}$} = $\frac{1}{1000000000}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{100000}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^7\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $-\lg \left(100000x^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^7\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(100000\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(100000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(100000\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·25·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,107}}^t$ ablesen: a=1.107.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.107($2$) ≈ 6.82 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 5.85 Millionen Insekten ist, also f(11) = 5.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^{11}$	=	$\mathrm{5,85}$	|:$13$
$a^{11}$	=	$\frac{\mathrm{5,85}}{13}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{\mathrm{5,85}}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{\mathrm{5,85}}{13}}$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $13\cdot {\mathrm{0,93}}^7$ ≈ 7,822.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 5.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 5.9:

$13\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{5,9}$	|:$13$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,4538}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4538}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4538}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4538}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8873}$

Nach ca. 10,887 Jahre ist also der Bestand = 5.9 Millionen Insekten.