Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{180}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{180}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{256}$ = $\frac{1}{2^8}$ = 2^-8 < $\frac{1}{180}$ und auf $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7 > $\frac{1}{180}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{180}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -8 und -7 liegen, wegen:
2^-8 = $\frac{1}{2^8}$ = $\frac{1}{256}$ < $\frac{1}{180}$ < $\frac{1}{128}$ = $\frac{1}{2^7}$ = 2^-7

Es gilt somit: -8 < < -7

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-1\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,881}}^t$ ablesen: a=0.881.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.881($\frac{1}{2}$) ≈ 5.47 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 46.67 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 46.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^6$	=	$\mathrm{46,67}$	|:$55$
$a^6$	=	$\mathrm{0,84855}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,84855}}$	≈ $-\mathrm{0,973}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,84855}}$	≈ $\mathrm{0,973}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,973}$ ≈ 0.973 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $55\cdot {\mathrm{0,973}}^4$ ≈ 49,296.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$35$	|:$55$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\frac{7}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,5132}$

Nach ca. 16,513 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.