Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 1 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm
= 0 wird.
Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
fk() = = = 4= |: = = 0.8
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 13 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga().
Also 4.3 = loga(). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
| a1 | = |
|
≈
|
| a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Nach 8 Wochen zählt man bereits 35762,79 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 4 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 15000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 35762.79 Nutzer ist,
also f(8) = 35762.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.258 = 35762.79
c ⋅ 5.96046 = 35762.79 | : 5.96046
c = 6000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):
f(4) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer ist, also f(t) = 15000:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 4,106 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 15000 Nutzer.
