Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 1 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|), also gilt f(0)=.
In den allgemeinen Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = c ⋅ 1.
Dadurch wissen wir nun schon: c = , also .
Außerdem können wir den Punkt (1|) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = .
In unseren Funktionsterm eingesezt bedeutet das: = = .
Es gilt also: = | ⋅
3 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 11,2 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 60kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 60 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga().
Also 11.2 = loga(). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
|
|
= |
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. 15 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 1,47 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,5 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 15 Jahre der Bestand 1.47 Millionen Insekten ist,
also f(15) = 1.47. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 0.8815 = 1.47
c ⋅ 0.14697 = 1.47 | : 0.14697
c = 10
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.5:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 14,841 Jahre ist also der Bestand = 1.5 Millionen Insekten.
