Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 0,1x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 0,1x ) -5 lg( x )
= lg( 0,1 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 -1 ) + lg( x ) -5 lg( x )
= -1 + lg( x ) -5 lg( x )
= -4 lg( x ) -1

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= e 8 10 x +3 k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm e 8 10 x +3 k niemals = 0 werden kann.
    Da jedoch der zweite Summand 3 k abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
    Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 + 3 k
    Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -4, somit muss 3 k = -4 gelten;
    Also gilt k = - 4 3

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 4 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e x -1 -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -2 hinter dem -4 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -4 e x -1 noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -2}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e x -1 -2 = y | +2
-4 e x -1 = y +2 |:-4
e x -1 = - 1 4 y - 1 2 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 )
x -1 = ln( - 1 4 y - 1 2 ) | +1
x = ln( - 1 4 y - 1 2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 4 x - 1 2 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,967 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,967 t ablesen: a=0.967.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.967( 1 2 ) ≈ 20.66 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Nach 9 Wochen zählt man bereits 4435,45 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 5 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also Bneu = B + 18 100 ⋅B = (1 + 18 100 ) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,18 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 4435.45 Nutzer ist, also f(9) = 4435.45. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,18 t ein:

c ⋅ 1.189 = 4435.45

c ⋅ 4.43545 = 4435.45 | : 4.43545

c = 1000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,18 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = 1000 1,18 5 2287,758.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

1000 1,18 t = 11000 |:1000
1,18 t = 11 |lg(⋅)
lg( 1,18 t ) = lg( 11 )
t · lg( 1,18 ) = lg( 11 ) |: lg( 1,18 )
t = lg( 11 ) lg( 1,18 )
t = 14,4875

Nach ca. 14,488 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.