Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
1. Logarithmusgesetz einfach
Beispiel:
Vereinfache so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.
Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
=
=
=
=
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn- ( x - 2 k ) · e x - k = 0 ist, also für x =x - 2 k .2 k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =2 k =- ( ( 2 k ) - 2 k ) · e ( 2 k ) - k + 1 =0 + 1 sein.1
Da bei x = bei (2 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x - 2 k |2 k ) im abgebildeten Graph bei P(5|1 ) sein.1
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 52 k
Also gilt k =5 2
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Auch mit dem positiven Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit
Bestimme die Halbwertszeit.
Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.954(
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 443,85Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 6 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 52 Millionen Bakterien?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 443.85 Millionen Bakterien ist,
also f(13) = 443.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.2613 = 443.85
c ⋅ 20.17516 = 443.85 | : 20.17516
c = 22
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):
f(6) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 3,722 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.
