${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$ - ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>20</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>20</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= ${\log }_4\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}\right)$

= 0

$\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^7\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^7\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^7\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-7\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,921}}^t$ ablesen: a=0.921.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.921($\frac{1}{2}$) ≈ 8.42 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 7313.97 € ist, also f(10) = 7313.97. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^{10}$	=	$7\mathrm{313,97}$	|:$6000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,219}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,219}}$	= $-\mathrm{1,02}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,219}}$	= $\mathrm{1,02}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,02}$ ≈ 1.02 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $6000\cdot {\mathrm{1,02}}^7$ ≈ 6892,114.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6600 € ist, also f(t) = 6600:

$6000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$6600$	|:$6000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{11}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,813}$

Nach ca. 4,813 Jahre ist also der Kontostand = 6600 €.