$\lg \left(5000\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (5000·20)$

= $\lg \left(100000\right)$

= $\lg \left({10}^5\right)$

= 5

$\lg \left(\frac{25}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)+\lg \left(\frac{8}{5}{x}^3\right)$

= $\lg \left(25x^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)+\lg \left(\frac{8}{5}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(\frac{8}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{8}{5}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{8}{5}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(25\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(8\right)-\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(8\right)-\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{25·25·8}{5}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem $-2e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$-2e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$-2$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+2$

f(0) = $183$

f(1) = $183$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $183$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $183$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $183$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $4000\cdot {\mathrm{1,11}}^7$ ≈ 8304,641.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,8853}$

Nach ca. 3,885 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 6000 Nutzer.