Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100x ) +2 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100x ) +2 lg( x )
= lg( 100 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= lg( 10 2 ) + lg( x ) +2 lg( x )
= 2 + lg( x ) +2 lg( x )
= 3 lg( x ) +2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x + k ) · e x + 1 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(2| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 2
    Also gilt k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,6 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,3x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,6 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,6 +2 = y | -2
e -0,3x +0,6 = y -2 |ln(⋅)
-0,3x +0,6 = ln( y -2 )
-0,3x +0,6 = ln( y -2 ) | -0,6
-0,3x = ln( y -2 ) -0,6 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y -2 ) + 0,6 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,6 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x -2 ) + 0,6 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 43 0,75 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 43

f(1) = 43 0,75

f(2) = 43 0,750,75

f(3) = 43 0,750,750,75

f(4) = 43 0,750,750,750,75

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,75 multipliziert. Da 0,75 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,75-fache, also auf 75 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 2000 Nutzer. Nach 6 Wochen zählt man bereits 5399,11 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 9 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 3000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 2000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 5399.11 Nutzer ist, also f(6) = 5399.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 2000 a t ein:

2000 a 6 = 5399,11 |:2000
a 6 = 2,69956 | 6
a1 = - 2,69956 6 = -1,18
a2 = 2,69956 6 = 1,18

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,18 ≈ 1.18 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 2000 1,18 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = 2000 1,18 9 8870,908.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer ist, also f(t) = 3000:

2000 1,18 t = 3000 |:2000
1,18 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,18 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,18 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,18 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,18 )
t = 2,4497

Nach ca. 2,45 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 3000 Nutzer.