Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (125) .

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Wir suchen den Logarithmus von 125 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 125 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 125 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (125) = 3, eben weil 53 = 125 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 16 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) - lg( 1 4 x ) soweit wie möglich.

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- lg( 16 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) - lg( 1 4 x )

= - lg( 16 x -2 ) + lg( 4 x -3 ) - lg( 1 4 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 16 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x ) )

= - lg( 16 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) - lg( 1 4 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 16 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x ) - lg( 1 4 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 16 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) - lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 16 ) + lg( 4 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 16 · 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,9 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e 0,3x -0,9 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,9 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,9 -1 = y | +1
e 0,3x -0,9 = y +1 |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( y +1 )
0,3x -0,9 = ln( y +1 ) | +0,9
0,3x = ln( y +1 ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,9 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,079 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,079 t ablesen: a=1.079.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.079(2) ≈ 9.12 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 30kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 9 Tagen da? b) Wann sind nur noch 10kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=30 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also Bneu = B - 9 100 ⋅B = (1 - 9 100 ) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 30 0,91 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = 30 0,91 9 12,838.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

30 0,91 t = 10 |:30
0,91 t = 1 3 |lg(⋅)
lg( 0,91 t ) = lg( 1 3 )
t · lg( 0,91 ) = lg( 1 3 ) |: lg( 0,91 )
t = lg( 1 3 ) lg( 0,91 )
t = 11,6489

Nach ca. 11,649 Tage ist also der Bestand = 10 kg.