Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{15}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{15}}$ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $15$ suchen, also die Hochzahl mit der man $15$ potenzieren muss, um auf ${15}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $15$^☐ = ${15}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $15$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{15}}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^5\right)-\lg \left(\frac{80}{x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^5\right)-\lg \left(80x^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $95$

f(1) = $95$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(2) = $95$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(3) = $95$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

f(4) = $95$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$ ⋅ $\mathrm{0,75}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,75}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,75}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,75}$-fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 1,08 ⋅ B. Somit ist das a=1,08.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 10.79 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 10.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ein:

c ⋅ 1.08¹⁰ = 10.79

c ⋅ 2.15892 = 10.79 | : 2.15892

c = 5

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5\cdot {\mathrm{1,08}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $5\cdot {\mathrm{1,08}}^{11}$ ≈ 11,658.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.6 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 13.6:

$5\cdot {\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{13,6}$	|:$5$
${\mathrm{1,08}}^t$	=	$\mathrm{2,72}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,08}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,72}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{2,72}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,08}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{2,72}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,08}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,0018}$

Nach ca. 13,002 Stunden ist also der Bestand = 13.6 Millionen Bakterien.