Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = ${64}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{64}}$ = ${64}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left(4^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = $4^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{64}}$ gilt .

$\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^2}\right)$

= $\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{50}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(50\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+2\lg \left(x\right)$

= $5\lg \left(x\right)-\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{50}·25·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $5\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{x-1}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{x-1}+3$	=	$y$	| $-3$
$-e^{x-1}$	=	$y-3$	|:$-1$
$e^{x-1}$	=	$-y+3$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-y+3\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-y+3\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-x+3\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-x+3\right)+1$

f(0) = $64$

f(1) = $64$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $64$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $64$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $64$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$-fache (oder auf das $\frac{98}{100}$-fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 16.41 kg ist, also f(8) = 16.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,87}}^t$ ein:

c ⋅ 0.87⁸ = 16.41

c ⋅ 0.32821 = 16.41 | : 0.32821

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $50\cdot {\mathrm{0,87}}^9$ ≈ 14,277.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$50\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$10$	|:$50$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{1}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5569}$

Nach ca. 11,557 Tage ist also der Bestand = 10 kg.