Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^3\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$
= $-6\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{100x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\lg \left(\frac{50}{x^2}\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^{-2}\right)+\lg \left(50x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(100\right)-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·50·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Stunden der Bestand 297.87 Millionen Bakterien ist, also f(8) = 297.87. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ ein:

$27a^8$	=	$\mathrm{297,87}$	|:$27$
$a^8$	=	$\mathrm{11,03222}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{11,03222}}$	≈ $-\mathrm{1,35}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{11,03222}}$	≈ $\mathrm{1,35}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,35}$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Stunden, also f(9):

f(9) = $27\cdot {\mathrm{1,35}}^9$ ≈ 402,131.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 47:

$27\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$47$	|:$27$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{47}{27}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{27}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{47}{27}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{47}{27}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,8471}$

Nach ca. 1,847 Stunden ist also der Bestand = 47 Millionen Bakterien.