$\lg \left(500\right)$ + $\lg \left(20\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (500·20)$

= $\lg \left(10000\right)$

= $\lg \left({10}^4\right)$

= 4

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-2kx·e^{kx-2k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-2k·0·e^{k\cdot 0-2k}+6k$ = $6k$ = 4

  $6k$	=	$4$	|:$6$
  $k$	=	$\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,3}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$3e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-1$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

f(0) = $121$

f(1) = $121$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $121$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $121$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $121$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1}{100}$) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^4$ ≈ 5203,02.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5600 € ist, also f(t) = 5600:

$5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$	=	$5600$	|:$5000$
${\mathrm{1,01}}^t$	=	$\frac{28}{25}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,01}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{28}{25}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$	=	$\lg \left(\frac{28}{25}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,01}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{28}{25}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,01}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,3894}$

Nach ca. 11,389 Jahre ist also der Kontostand = 5600 €.