Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 25 ( 5 ) .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis 25 suchen und 25 gerade 5² ist (also 5 = 25 = 25 1 2 ), formen wir 5 noch so um, dass sie 25 als Basis hat:

5 = 25 1 2

log 25 ( 5 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 5 = 25 1 2 zur Basis 25 suchen, also die Hochzahl mit der man 25 potenzieren muss, um auf 5 = 25 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 25 = 5 = 25 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 25 ( 5 ) = log 25 ( 25 1 2 ) = 1 2 , eben weil 25 1 2 = 5 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20x ) - lg( 80 x 2 ) - lg( 1 4 x 5 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 20x ) - lg( 80 x 2 ) - lg( 1 4 x 5 )

= lg( 20x ) - lg( 80 x -2 ) - lg( 1 4 x 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) - ( lg( 80 ) + lg( 1 x 2 ) ) - ( lg( 1 4 ) + lg( x 5 ) )

= lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) - lg( 1 x 2 ) - lg( 1 4 ) - lg( x 5 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) +2 lg( x ) - lg( 1 4 ) -5 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) + lg( x ) - lg( 80 ) +2 lg( x ) - lg( 1 ) + lg( 4 ) -5 lg( x )

= -2 lg( x ) - lg( 80 ) + lg( 20 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -2 lg( x ) + lg( 1 80 · 20 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 4 · 4 )

= -2 lg( x ) + lg( 1 )

= -2 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,2x +0,6 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,2x +0,6 wird e -0,2x +0,6 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,2x +0,6 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,2x +0,6 = y |:-4
e -0,2x +0,6 = - 1 4 y |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( - 1 4 y )
-0,2x +0,6 = ln( - 1 4 y ) | -0,6
-0,2x = ln( - 1 4 y ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( - 1 4 y ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( - 1 4 x ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( - 1 4 x ) + 0,6 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 5,3 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 8000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 5.3 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 5,3 = 2 | 5,3
a = 2 1 5,3

Das gesuchte a ist somit 2 1 5,3 ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 8000 1,14 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,9% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 58,67 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 4 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60,4 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also Bneu = B - 2.9 100 ⋅B = (1 - 2.9 100 ) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,971 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 58.67 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 58.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,971 t ein:

c ⋅ 0.9716 = 58.67

c ⋅ 0.83814 = 58.67 | : 0.83814

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,971 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 70 0,971 4 62,226.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.4:

70 0,971 t = 60,4 |:70
0,971 t = 0,8629 |lg(⋅)
lg( 0,971 t ) = lg( 0,8629 )
t · lg( 0,971 ) = lg( 0,8629 ) |: lg( 0,971 )
t = lg( 0,8629 ) lg( 0,971 )
t = 5,0106

Nach ca. 5,011 Jahre ist also der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner.