$\lg \left(40000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000·25)$

= $\lg \left(1000000\right)$

= $\lg \left({10}^6\right)$

= 6

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,85}}^t$ ablesen: a=0.85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.85($\frac{1}{2}$) ≈ 4.27 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.4}{100}$) ⋅ B = 0,966 ⋅ B. Somit ist das a=0,966.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,966}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $65\cdot {\mathrm{0,966}}^{11}$ ≈ 44,429.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$65\cdot {\mathrm{0,966}}^t$	=	$45$	|:$65$
${\mathrm{0,966}}^t$	=	$\frac{9}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,966}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,966}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,966}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,6305}$

Nach ca. 10,631 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.