Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^4\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $4+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+4$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(2| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 2
  Also gilt k = $-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,4}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,4}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $4e^{\mathrm{0,4}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,4}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,4}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$4e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$y-1$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,4}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$
$x$	=	$\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{5}{2}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\right)$

f(0) = $41$

f(1) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(2) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(3) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

f(4) = $41$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$ ⋅ $\mathrm{1,2}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,2}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,2}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,2}$-fache, also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,35}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 47.39 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 47.39. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,35}}^t$ ein:

c ⋅ 1.35² = 47.39

c ⋅ 1.8225 = 47.39 | : 1.8225

c = 26

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $26\cdot {\mathrm{1,35}}^6$ ≈ 157,39.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 426 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 426:

$26\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$426$	|:$26$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{213}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{213}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{213}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{213}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,3179}$

Nach ca. 9,318 Stunden ist also der Bestand = 426 Millionen Bakterien.