Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -2 e x +3 -1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei -2 e x +3 -1 zu jedem Funktionswert von e x noch -1 addiert wird, ist der Graph von -2 e x +3 -1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach unten verschoben.

Da bei -2 e x +3 -1 das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt -2 e x +3 -1 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt -2 e x +3 -1 gegen 0 -1 = -1 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 4 k x · e k x +4 k +5 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm 4 k x · e k x +4 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = 4 k · 0 · e k 0 +4 k +5 k = 5 k = -3
    5k = -3 |:5
    k = - 3 5 = -0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 3 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e x -3 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e x -3 können die Funktionswerte von 2 e x -3 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem 2 e x -3 wird zu allen Funktionswerten von 2 e x -3 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e x -3 +2 = y | -2
2 e x -3 = y -2 |:2
e x -3 = 1 2 y -1 |ln(⋅)
x -3 = ln( 1 2 y -1 )
x -3 = ln( 1 2 y -1 ) | +3
x = ln( 1 2 y -1 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( 1 2 x -1 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( 1 2 x -1 ) +3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,88 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,88 t ablesen: a=0.88.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.88( 1 2 ) ≈ 5.42 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,6% seiner Bevölkerung. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 55,32 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 60,9 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 1.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.6% weggehen,
also Bneu = B - 1.6 100 ⋅B = (1 - 1.6 100 ) ⋅ B = 0,984 ⋅ B. Somit ist das a=0,984.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,984 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 55.32 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 55.32. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,984 t ein:

c ⋅ 0.98410 = 55.32

c ⋅ 0.85104 = 55.32 | : 0.85104

c = 65

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 65 0,984 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 65 0,984 6 59,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.9:

65 0,984 t = 60,9 |:65
0,984 t = 0,9369 |lg(⋅)
lg( 0,984 t ) = lg( 0,9369 )
t · lg( 0,984 ) = lg( 0,9369 ) |: lg( 0,984 )
t = lg( 0,9369 ) lg( 0,984 )
t = 4,041

Nach ca. 4,041 Jahre ist also der Bestand = 60.9 Millionen Einwohner.