$\lg \left(50x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}x\right)-\lg \left(200\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(200\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+0$

= $3\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $3\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x\right)+\lg \left(5x^2\right)-\lg \left(250x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(250\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(250\right)-\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)-3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)-3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(250\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{250}·5·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $111$

f(1) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $111$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.3}{100}$) ⋅ B = 0,967 ⋅ B. Somit ist das a=0,967.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,967}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $55\cdot {\mathrm{0,967}}^8$ ≈ 42,051.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55\cdot {\mathrm{0,967}}^t$	=	$35$	|:$55$
${\mathrm{0,967}}^t$	=	$\frac{7}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,967}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,967}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,967}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,967}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,4693}$

Nach ca. 13,469 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.