Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Symmetrie e-Funktionen

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit f(x)= x 2 · ( e 3x + e -3x ) vorliegt.

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Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ( -x ) 2 · ( e -3x + e 3x ) = x 2 · ( e -3x + e 3x ) = x 2 · e 3x + x 2 · e -3x

Wenn man das mit f(x) = x 2 · ( e 3x + e -3x ) vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-1) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -1.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -1 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -1 = - 1 2 a | ⋅ -2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,3 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem e -0,1x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,3 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,3 +3 = y | -3
e -0,1x +0,3 = y -3 |ln(⋅)
-0,1x +0,3 = ln( y -3 )
-0,1x +0,3 = ln( y -3 ) | -0,3
-0,1x = ln( y -3 ) -0,3 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y -3 ) + 0,3 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,3 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x -3 ) + 0,3 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 17%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also Bneu = B + 17 100 ⋅B = (1 + 17 100 ) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.17(2) ≈ 4.41 Stunden

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 18 Milionen Bakterien. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 69,9Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 22,2 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=18 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 18 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 69.9 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 69.9. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 18 a t ein:

18 a 13 = 69,9 |:18
a 13 = 3,88333 | 13
a = 3,88333 13

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 3,88333 13 ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 18 1,11 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 18 1,11 7 37,371.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 22.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 22.2:

18 1,11 t = 22,2 |:18
1,11 t = 1,2333 |lg(⋅)
lg( 1,11 t ) = lg( 1,2333 )
t · lg( 1,11 ) = lg( 1,2333 ) |: lg( 1,11 )
t = lg( 1,2333 ) lg( 1,11 )
t = 2,0093

Nach ca. 2,009 Stunden ist also der Bestand = 22.2 Millionen Bakterien.