Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 100 ( 10 ) .

Lösung einblenden

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis 100 suchen und 100 gerade 10² ist (also 10 = 100 = 100 1 2 ), formen wir 10 noch so um, dass sie 100 als Basis hat:

10 = 100 1 2

log 100 ( 10 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 10 = 100 1 2 zur Basis 100 suchen, also die Hochzahl mit der man 100 potenzieren muss, um auf 10 = 100 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 100 = 10 = 100 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 100 ( 10 ) = log 100 ( 100 1 2 ) = 1 2 , eben weil 100 1 2 = 10 gilt .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 4 = a = a .

Es gilt also: 4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e 0,2x -0,4 können die Funktionswerte von 2 e 0,2x -0,4 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e 0,2x -0,4 = y |:2
e 0,2x -0,4 = 1 2 y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( 1 2 y )
0,2x -0,4 = ln( 1 2 y ) | +0,4
0,2x = ln( 1 2 y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( 1 2 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,4 0,2

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 86 ( 24 25 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 86

f(1) = 86 24 25

f(2) = 86 24 25 24 25

f(3) = 86 24 25 24 25 24 25

f(4) = 86 24 25 24 25 24 25 24 25

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 24 25 multipliziert. Da 24 25 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 24 25 -fache (oder auf das 96 100 -fache), also auf 96 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 96% = 4 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 14%. 5 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 44,28Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 8 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 123 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also Bneu = B + 14 100 ⋅B = (1 + 14 100 ) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,14 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Stunden der Bestand 44.28 Millionen Bakterien ist, also f(5) = 44.28. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,14 t ein:

c ⋅ 1.145 = 44.28

c ⋅ 1.92541 = 44.28 | : 1.92541

c = 23

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 23 1,14 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = 23 1,14 8 65,609.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 123 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 123:

23 1,14 t = 123 |:23
1,14 t = 123 23 |lg(⋅)
lg( 1,14 t ) = lg( 123 23 )
t · lg( 1,14 ) = lg( 123 23 ) |: lg( 1,14 )
t = lg( 123 23 ) lg( 1,14 )
t = 12,7964

Nach ca. 12,796 Stunden ist also der Bestand = 123 Millionen Bakterien.