Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $-2e^{x-3}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $-2e^{x-3}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $-2e^{x-3}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x-3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-2e^{x-3}-2$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-2e^{x-3}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $k{e}^{kx+k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $k{e}^{kx+k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+k$	=	0	| - ( $k$)
  $kx$	=	$-k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-1$

  Wenn wir nun $-1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-1$) = $k{e}^{k\cdot \left(-1\right)+k}+1$ = $k+1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-1$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $k+1$	=	0	| $-1$
  $k$	=	$-1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-3e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,2}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$5\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $5\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,101}}^t$ ablesen: a=1.101.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.101($2$) ≈ 7.2 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=29 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $29\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = $29\cdot {\mathrm{1,23}}^7$ ≈ 123,519.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2029 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2029:

$29\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$2029$	|:$29$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{2029}{29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2029}{29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2029}{29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2029}{29}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,5203}$

Nach ca. 20,52 Stunden ist also der Bestand = 2029 Millionen Bakterien.