Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 10 (1000000) .

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Wir suchen den Logarithmus von 1000000 zur Basis 10, also die Hochzahl mit der man 10 potenzieren muss, um auf 1000000 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 10 = 1000000 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 10 (1000000) = 6, eben weil 106 = 1000000 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x + k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x + k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm k e k x + k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei 2 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x + k = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x + k = 0 | - ( k )
    k x = - k |:( k )
    x = -1
    Wenn wir nun -1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(-1 ) = k e k ( -1 ) + k +2 = k +2
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(-1 ) = 1 ablesen, es gilt somit:
    k +2 = 1 | -2
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e x -2 wird e x -2 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e x -2 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem - e x -2 wird zu allen Funktionswerten von - e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e x -2 +2 = y | -2
- e x -2 = y -2 |:-1
e x -2 = -y +2 |ln(⋅)
x -2 = ln( -y +2 )
x -2 = ln( -y +2 ) | +2
x = ln( -y +2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( -x +2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( -x +2 ) +2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

In einem Land halbiert sich die Anzahl einer bestimmten Insektenart alle 4,3 Jahre. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl in Milionen der Insekten in Millionen nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 4.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,3 = 1 2 | 4,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 4,3 -0,851
a2 = ( 1 2 ) 1 4,3 0,851

Das gesuchte a ist somit 0,851 ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,85 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1% verzinst. Zu Beginn sind 1000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 1200€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu = B + 1 100 ⋅B = (1 + 1 100 ) ⋅ B = 1,01 ⋅ B. Somit ist das a=1,01.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 1000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 1000 1,01 5 1051,01.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1200 € ist, also f(t) = 1200:

1000 1,01 t = 1200 |:1000
1,01 t = 6 5 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 6 5 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 6 5 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 6 5 ) lg( 1,01 )
t = 18,3232

Nach ca. 18,323 Jahre ist also der Kontostand = 1200 €.