Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $57$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $57$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $57$ und auf ${11}^2$ = 11² > $57$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $57$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $57$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{6}{10}x-2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $6k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $6k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $6k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 20 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,98}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=50 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,97}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Tage, also f(10):

f(10) = $50\cdot {\mathrm{0,97}}^{10}$ ≈ 36,871.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$50\cdot {\mathrm{0,97}}^t$	=	$30$	|:$50$
${\mathrm{0,97}}^t$	=	$\frac{3}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,97}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,97}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,97}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,7708}$

Nach ca. 16,771 Tage ist also der Bestand = 30 kg.