Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen (einfach)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Wir suchen den Logarithmus von
Also was muss in das Kästchen, damit
Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:
Term aus Graph bestimmen
Beispiel:
Bestimme den Funktionsterm
Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|
In den allgemeinen Funktionsterm
Dadurch wissen wir nun schon: c =
Außerdem können wir den Punkt (1|
In unseren Funktionsterm
Es gilt also:
3 = a
Somit ist der Funtionsterm:
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
|
|ln(⋅) |
|
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= |
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|: |
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= |
|
|
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Ein Konto wird mit 4000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 23,4 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 23.4 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
|
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= | |
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|
|
= |
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 1% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3248,57€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 11 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3100€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 3248.57 € ist,
also f(8) = 3248.57. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.018 = 3248.57
c ⋅ 1.08286 = 3248.57 | : 1.08286
c = 3000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):
f(11) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3100 € ist, also f(t) = 3100:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
|
|:
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= |
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= |
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Nach ca. 3,295 Jahre ist also der Kontostand = 3100 €.
