Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x-2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $2k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $2k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $2k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{3}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,967}}^t$ ablesen: a=0.967.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.967($\frac{1}{2}$) ≈ 20.66 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 32.92 kg ist, also f(8) = 32.92. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^8$	=	$\mathrm{32,92}$	|:$70$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{32,92}}{70}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{32,92}}{70}}$	≈ $-\mathrm{0,91}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{32,92}}{70}}$	≈ $\mathrm{0,91}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,91}$ ≈ 0.91 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Tage, also f(9):

f(9) = $70\cdot {\mathrm{0,91}}^9$ ≈ 29,955.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$70\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$40$	|:$70$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{4}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,9337}$

Nach ca. 5,934 Tage ist also der Bestand = 40 kg.