Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
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Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term soweit wie möglich.
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Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
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Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
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Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log() = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:
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Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
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Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 23% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?
Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,23 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=1,23.
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.23() ≈ 3.35 Wochen
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 12% vermehrt. Nach 6 Wochen zählt man bereits 11842,94 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 13 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 8000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form sein.
Die prozentuale Zunahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 12% dazukommen,
also Bneu
= B + ⋅B = (1 + ) ⋅ B = 1,12 ⋅ B. Somit ist das a=1,12.
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm mit einem Anfangswert c sein muss.
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 11842.94 Nutzer ist, also f(6) = 11842.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm ein:
c ⋅ 1.126 = 11842.94
c ⋅ 1.97382 = 11842.94 | : 1.97382
c = 6000
Damit ergibt sich der Funktionsterm .
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=13 Wochen, also f(13):
f(13) = ≈ 26180,959.
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
Nach ca. 2,539 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.
