Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 x 2 ) + lg( x 2 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( 1 x 2 ) + lg( x 2 )
= lg( x -2 ) + lg( x 2 )
= -2 lg( x ) +2 lg( x )
=0

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|-1), also gilt f(0)=-1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: -1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = -1 , also f(x)= - a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-3) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -3.

In unseren Funktionsterm f(x)= - a x eingesezt bedeutet das: -3 = -a = -a .

Es gilt also: -3 = -a | ⋅ -1

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,1x wird e -0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -4 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,1x -1 = y | +1
-4 e -0,1x = y +1 |:-4
e -0,1x = - 1 4 y - 1 4 |ln(⋅)
-0,1x = ln( - 1 4 y - 1 4 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( - 1 4 y - 1 4 )
x = -10 ln( - 1 4 y - 1 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( - 1 4 x - 1 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( - 1 4 x - 1 4 )

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 156 ( 3 5 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 156

f(1) = 156 3 5

f(2) = 156 3 5 3 5

f(3) = 156 3 5 3 5 3 5

f(4) = 156 3 5 3 5 3 5 3 5

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 3 5 multipliziert. Da 3 5 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 3 5 -fache (oder auf das 60 100 -fache), also auf 60 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 3% seines Bestands. Zu Beginn sind 70kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 60kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu = B - 3 100 ⋅B = (1 - 3 100 ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B. Somit ist das a=0,97.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,97 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 70 0,97 11 50,071.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

70 0,97 t = 60 |:70
0,97 t = 6 7 |lg(⋅)
lg( 0,97 t ) = lg( 6 7 )
t · lg( 0,97 ) = lg( 6 7 ) |: lg( 0,97 )
t = lg( 6 7 ) lg( 0,97 )
t = 5,0609

Nach ca. 5,061 Tage ist also der Bestand = 60 kg.