Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{25}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{25}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\frac{1}{25}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $5$-Potenz zu schreiben versuchen, also $5$^☐ = $\frac{1}{25}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $5$^$-2$ = $\frac{1}{25}$ gilt .

$\lg \left(\frac{20}{x^3}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{500.000}{x}^2\right)$

= $\lg \left(20x^{-3}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{500.000}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{500.000}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500.000}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{500.000}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(500000\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(500000\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{500.000}·25·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+3$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+1\right)$

f(0) = $191$

f(1) = $191$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(2) = $191$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(3) = $191$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

f(4) = $191$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$ ⋅ $\mathrm{0,6}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,6}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,6}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,6}$-fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 50.6 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 50.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ ein:

$22a^3$	=	$\mathrm{50,6}$	|:$22$
$a^3$	=	$\mathrm{2,3}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{2,3}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{2,3}}$ ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $22\cdot {\mathrm{1,32}}^{11}$ ≈ 466,376.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 52 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 52:

$22\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$52$	|:$22$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{26}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{26}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{26}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,0984}$

Nach ca. 3,098 Stunden ist also der Bestand = 52 Millionen Bakterien.