Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 196 ( 1 14 ) .

Lösung einblenden

Zuerst schreiben wir 1 14 um: 1 14 = 14 -1

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 14 sondern zur Basis 196 suchen und 196 gerade 14² ist (also 14 = 196 = 196 1 2 ), formen wir 14 -1 noch so um, dass sie 196 als Basis hat:

14 -1 = ( 196 1 2 ) -1 = 196 - 1 2

log 196 ( 1 14 ) = log 196 ( 14 -1 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 14 -1 = 196 - 1 2 zur Basis 196 suchen, also die Hochzahl mit der man 196 potenzieren muss, um auf 14 -1 = 196 - 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 196 = 14 -1 = 196 - 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 196 ( 1 14 ) = log 196 ( 14 -1 ) = log 196 ( 196 - 1 2 ) = - 1 2 , eben weil 196 - 1 2 = 1 14 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 25 x 2 ) + lg( 5 x 3 ) + lg( 4 5 x ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 1 25 x 2 ) + lg( 5 x 3 ) + lg( 4 5 x )

= - lg( 1 25 x -2 ) + lg( 5 x -3 ) + lg( 4 5 x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 25 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 4 5 ) + lg( x ) )

= - lg( 1 25 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 5 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 4 5 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 25 ) +2 lg( x ) + lg( 5 ) -3 lg( x ) + lg( 4 5 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 25 ) +2 lg( x ) + lg( 5 ) -3 lg( x ) + lg( 4 ) - lg( 5 ) + lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 4 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e -0,4x +0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e -0,4x +0,4 wird e -0,4x +0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e -0,4x +0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e -0,4x +0,4 = y |:-1
e -0,4x +0,4 = -1 y |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( -y )
-0,4x +0,4 = ln( -y ) | -0,4
-0,4x = ln( -y ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( -y ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( -x ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( -x ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 9.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9.9% weggehen,
also Bneu = B - 9.9 100 ⋅B = (1 - 9.9 100 ) ⋅ B = 0,901 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,901.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.901( 1 2 ) ≈ 6.65 Tage

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 4 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu = B - 16 100 ⋅B = (1 - 16 100 ) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,84 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 13 0,84 4 6,472.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,84 t = 3 |:13
0,84 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,84 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,84 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,84 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,84 )
t = 8,4101

Nach ca. 8,41 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.