Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):

=
=
=
= $2$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $3$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $3$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-3e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 11.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11.5}{100}$) ⋅ B = 0,885 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,885.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.885($\frac{1}{2}$) ≈ 5.67 Tage

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=7000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 11402.26 € ist, also f(10) = 11402.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot a^t$ ein:

$7000a^{10}$	=	$11\mathrm{402,26}$	|:$7000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{1,62889}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{1,62889}}$	= $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{1,62889}}$	= $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $7000\cdot {\mathrm{1,05}}^6$ ≈ 9380,669.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 7700 € ist, also f(t) = 7700:

$7000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$7700$	|:$7000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{11}{10}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{10}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{10}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9535}$

Nach ca. 1,954 Jahre ist also der Kontostand = 7700 €.