Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $-2e^{x+2}+1$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 1 addiert wird, ist der Graph von $-2e^{x+2}+1$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei $-2e^{x+2}+1$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-2e^{x+2}+1$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-2e^{x+2}+1$ gegen $0+1$ = $1$ .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{5}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -5, somit muss $k$ = -5 gelten;
  Also gilt k = $-5$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-5$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,2}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$-e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y-1$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$-y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-y+1\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-y+1\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(-y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(-x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(-x+1\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,098}}^t$ ablesen: a=1.098.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.098($2$) ≈ 7.41 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=20 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 36.45 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 36.45. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot a^t$ ein:

$20a^2$	=	$\mathrm{36,45}$	|:$20$
$a^2$	=	$\mathrm{1,8225}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,8225}}$	= $-\mathrm{1,35}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,8225}}$	= $\mathrm{1,35}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,35}$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $20\cdot {\mathrm{1,35}}^{13}$ ≈ 989,393.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 720 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 720:

$20\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$720$	|:$20$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$36$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(36\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(36\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(36\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,9409}$

Nach ca. 11,941 Stunden ist also der Bestand = 720 Millionen Bakterien.