Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $314$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $314$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $314$ und auf ${18}^2$ = 18² > $314$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $314$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $314$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+4k\right)·e^{x+2k}$ = 0 wird, wenn $x+4k$ = 0 ist, also für x = $-4k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-4k$) = $\left(\left(-4k\right)+4k\right)·e^{\left(-4k\right)+2k}+3$ = $0+3$ = $3$ sein.
  Da bei x = $-4k$ bei ( $x+4k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-4k$| $3$) im abgebildeten Graph bei P(3| $3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-4k$ = 3
  Also gilt k = $-\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-3}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-3}+1$	=	$y$	| $-1$
$3e^{x-3}$	=	$y-1$	|:$3$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+3$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.5}{100}$) ⋅ B = 0,975 ⋅ B. Somit ist das a=0,975.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,975}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 63.26 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 63.26. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,975}}^t$ ein:

c ⋅ 0.975⁴ = 63.26

c ⋅ 0.90369 = 63.26 | : 0.90369

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,975}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $70\cdot {\mathrm{0,975}}^7$ ≈ 58,631.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 66.5:

$70\cdot {\mathrm{0,975}}^t$	=	$\mathrm{66,5}$	|:$70$
${\mathrm{0,975}}^t$	=	$\mathrm{0,95}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,975}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,975}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,975}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,975}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,026}$

Nach ca. 2,026 Jahre ist also der Bestand = 66.5 Millionen Einwohner.