Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis $16$ suchen und $16$ gerade 4² ist (also 4 = $\sqrt{16}$ = ${16}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $4^3$ noch so um, dass sie $16$ als Basis hat:

$4^3$ = ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $16$ suchen, also die Hochzahl mit der man $16$ potenzieren muss, um auf $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $16$^☐ = $4^3$ = ${16}^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $16$^{$\frac{3}{2}$} = $64$ gilt .

$\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}{x}^4\right)$

= $\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(25x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}{x}^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250000\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1250000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{\mathrm{1.250.000}}·50·25)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem $3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-1}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-1}-2$	=	$y$	| $+2$
$3e^{x-1}$	=	$y+2$	|:$3$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)+1$

f(0) = $164$

f(1) = $164$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(2) = $164$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(3) = $164$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

f(4) = $164$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$ ⋅ $\mathrm{0,8}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,8}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,8}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,8}$-fache, also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 45.17 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 45.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot a^t$ ein:

$60a^{10}$	=	$\mathrm{45,17}$	|:$60$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,75283}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,75283}}$	≈ $-\mathrm{0,972}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,75283}}$	≈ $\mathrm{0,972}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,972}$ ≈ 0.972 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,972}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $60\cdot {\mathrm{0,972}}^8$ ≈ 47,806.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$60\cdot {\mathrm{0,972}}^t$	=	$50$	|:$60$
${\mathrm{0,972}}^t$	=	$\frac{5}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,972}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,972}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,972}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,4199}$

Nach ca. 6,42 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.