Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $418533$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $418533$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^5$ = 10⁵ < $418533$ und auf ${10}^6$ = 10⁶ > $418533$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $418533$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
10⁵ = ${10}^5$ < $418533$ < ${10}^6$ = 10⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|4) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+k$ = $k$ = 4

  $k$

  =

  $4$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$4$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)$

f(0) = $83$

f(1) = $83$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(2) = $83$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(3) = $83$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

f(4) = $83$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$ ⋅ $\mathrm{1,45}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,45}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,45}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,45}$-fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 66 Millionen Einwohner ist, also f(2) = 66. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot a^t$ ein:

$70a^2$	=	$66$	|:$70$
$a^2$	=	$\frac{33}{35}$	|
a1	=	$-\sqrt{\frac{33}{35}}$	≈ $-\mathrm{0,971}$
a2	=	$\sqrt{\frac{33}{35}}$	≈ $\mathrm{0,971}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,971}$ ≈ 0.971 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $70\cdot {\mathrm{0,971}}^9$ ≈ 53,712.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

$70\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$50$	|:$70$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\frac{5}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,4334}$

Nach ca. 11,433 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.