Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{10}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $1-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+1$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $3k{e}^{kx+2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx+2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $3k{e}^{kx+2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx+2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx+2k$	=	0	| - ( $2k$)
  $kx$	=	$-2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$-2$

  Wenn wir nun $-2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($-2$) = $3k{e}^{k\cdot \left(-2\right)+2k}+3$ = $3k+3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($-2$) = 2 ablesen, es gilt somit:

  $3k+3$	=	$2$	| $-3$
  $3k$	=	$-1$	|:$3$
  $k$	=	$-\frac{1}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}}$	=	$\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 18% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{18}{100}$⋅B = (1 - $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 0,82 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,82.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.82($\frac{1}{2}$) ≈ 3.49 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $65\cdot {\mathrm{0,989}}^6$ ≈ 60,826.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57.6 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 57.6:

$65\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{57,6}$	|:$65$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{0,8862}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8862}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8862}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8862}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9224}$

Nach ca. 10,922 Jahre ist also der Bestand = 57.6 Millionen Einwohner.