Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $9642$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $9642$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^3$ = 10³ < $9642$ und auf ${10}^4$ = 10⁴ > $9642$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $9642$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 3 und 4 liegen, wegen:
10³ = ${10}^3$ < $9642$ < ${10}^4$ = 10⁴

Es gilt somit: 3 < < 4

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-4$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-4$ = $-a$ | ⋅ $-1$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $+\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)+\mathrm{0,6}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 Stunden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=27 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 573.38 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 573.38. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot a^t$ ein:

$27a^{12}$	=	$\mathrm{573,38}$	|:$27$
$a^{12}$	=	$\mathrm{21,2363}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\mathrm{21,2363}}$	= $-\mathrm{1,29}$
a2	=	$\sqrt[12]{\mathrm{21,2363}}$	= $\mathrm{1,29}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,29}$ ≈ 1.29 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $27\cdot {\mathrm{1,29}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $27\cdot {\mathrm{1,29}}^4$ ≈ 74,769.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 927 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 927:

$27\cdot {\mathrm{1,29}}^t$	=	$927$	|:$27$
${\mathrm{1,29}}^t$	=	$\frac{103}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,29}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{103}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$	=	$\lg \left(\frac{103}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,29}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{103}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,29}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,8866}$

Nach ca. 13,887 Stunden ist also der Bestand = 927 Millionen Bakterien.