Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·e^{{\left(-x\right)}^4}$ = $-x·e^{x^4}$

Wenn man das mit f(x) = $x·e^{x^4}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x·e^{x^4}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x·e^{x^4}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-4kx·e^{kx-4k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-4k·0·e^{k\cdot 0-4k}+4k$ = $4k$ = 3

  $4k$	=	$3$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-1}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-1}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-1}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-1}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{x-1}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{x-1}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+1$

f(0) = $181$

f(1) = $181$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $181$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $181$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $181$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{13}{100}$⋅B = (1 - $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $90\cdot {\mathrm{0,87}}^{11}$ ≈ 19,452.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$90\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$10$	|:$90$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{1}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,7776}$

Nach ca. 15,778 Tage ist also der Bestand = 10 kg.