Wir suchen $5$er-Potenzen in der Näher von $93$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $93$ ist.

Dabei kommt man auf $5^2$ = 5² < $93$ und auf $5^3$ = 5³ > $93$.

Und da wir bei ja das ☐ von 5^☐ = $93$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
5² = $5^2$ < $93$ < $5^3$ = 5³

Es gilt somit: 2 < < 3

$-\lg \left(\frac{1}{20x^3}\right)-\lg \left(\frac{2}{5}x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{2}{5}x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{2}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{2}{5}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(2\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{20·20·5}{2}\right)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-2}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-2}+3$	=	$y$	| $-3$
$-4e^{x-2}$	=	$y-3$	|:$-4$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 12 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,11}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{8}{100}$) ⋅ B = 0,92 ⋅ B. Somit ist das a=0,92.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $10\cdot {\mathrm{0,92}}^5$ ≈ 6,591.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.3:

$10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{4,3}$	|:$10$
${\mathrm{0,92}}^t$	=	$\mathrm{0,43}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,92}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,43}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,43}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,92}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,43}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,92}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,1218}$

Nach ca. 10,122 Jahre ist also der Bestand = 4.3 Millionen Insekten.