Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

$-\lg \left(1000x^7\right)+\lg \left(50x^3\right)+\lg \left(2x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(1000\right)+\lg \left(x^7\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x^7\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(1000\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1000\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{1000}·50·2)$

= $\lg \left(\frac{1}{10}\right)$

= $\lg \left({10}^{-1}\right)$

= $-1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $3e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{\mathrm{0,3}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$3e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-1$	|:$3$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,122}}^t$ ablesen: a=1.122.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.122($2$) ≈ 6.02 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $2000\cdot {\mathrm{1,16}}^7$ ≈ 5652,439.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

$2000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$32000$	|:$2000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{18,6807}$

Nach ca. 18,681 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.