Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem $e^x$ erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei $-3e^x-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $-3e^x-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $-3e^x-2$ gegen $-\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $-3e^x-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{4}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^2\right)+\lg \left(4x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^2\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-2\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-2\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,112}}^t$ ablesen: a=1.112.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.112($2$) ≈ 6.53 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 5 Jahre der Bestand 5.02 Millionen Insekten ist, also f(5) = 5.02. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,84}}^t$ ein:

c ⋅ 0.84⁵ = 5.02

c ⋅ 0.41821 = 5.02 | : 0.41821

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $12\cdot {\mathrm{0,84}}^{12}$ ≈ 1,481.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$2$	|:$12$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,2766}$

Nach ca. 10,277 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.