Wir suchen den Logarithmus von $1000000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $9$, eben weil $10$^$9$ = $1000000000$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-4kx·e^{kx-4k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-4k·0·e^{k\cdot 0-4k}+5k$ = $5k$ = 3

  $5k$	=	$3$	|:$5$
  $k$	=	$\frac{3}{5}$ = 0.6

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{-\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,7}}}$ ≈ 1.13, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=19 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 25.46 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 25.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot a^t$ ein:

$19a^6$	=	$\mathrm{25,46}$	|:$19$
$a^6$	=	$\mathrm{1,34}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{1,34}}$	≈ $-\mathrm{1,05}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{1,34}}$	≈ $\mathrm{1,05}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,05}$ ≈ 1.05 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $19\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $19\cdot {\mathrm{1,05}}^{12}$ ≈ 34,121.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 20.9:

$19\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{20,9}$	|:$19$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,1}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9535}$

Nach ca. 1,954 Stunden ist also der Bestand = 20.9 Millionen Bakterien.