Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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2. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( x 3 ) zu einem Vielfachen von lg( x ) .

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a):
lg( x 3 )
= 3 lg( x )
= 3 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= -5 k x · e k x -5 k +5 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm -5 k x · e k x -5 k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = -5 k · 0 · e k 0 -5 k +5 k = 5 k = 2
    5k = 2 |:5
    k = 2 5 = 0.4

Der abgebildete Graph ist somit der von f 2 5

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -2 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e x -2 wird zu allen Funktionswerten von e x -2 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -2 +2 = y | -2
e x -2 = y -2 |ln(⋅)
x -2 = ln( y -2 )
x -2 = ln( y -2 ) | +2
x = ln( y -2 ) +2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -2 ) +2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -2 ) +2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,893 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,893 t ablesen: a=0.893.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.893( 1 2 ) ≈ 6.12 (Zeiteinheiten)

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 4 Jahren beträgt der Kontostand bereits 6243,62€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6400€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6243.62 € ist, also f(4) = 6243.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 4 = 6243,62 |:6000
a 4 = 1,0406 | 4
a1 = - 1,0406 4 = -1,01
a2 = 1,0406 4 = 1,01

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,01 ≈ 1.01 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,01 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 6000 1,01 9 6562,112.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6400 € ist, also f(t) = 6400:

6000 1,01 t = 6400 |:6000
1,01 t = 16 15 |lg(⋅)
lg( 1,01 t ) = lg( 16 15 )
t · lg( 1,01 ) = lg( 16 15 ) |: lg( 1,01 )
t = lg( 16 15 ) lg( 1,01 )
t = 6,4861

Nach ca. 6,486 Jahre ist also der Kontostand = 6400 €.