Wir suchen den Logarithmus von $9$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $9$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $9$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $3$^$2$ = $9$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x-k\right)·e^{x-\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x-k$ = 0 ist, also für x = $k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k( $k$) = $-\left(\left(k\right)-k\right)·e^{\left(k\right)-\frac{1}{2}k}+3$ = $0+3$ = $3$ sein.
  Da bei x = $k$ bei ( $x-k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( $k$| $3$) im abgebildeten Graph bei P(2| $3$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $k$ = 2
  Also gilt k = $2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{x-1}$ wird $e^{x-1}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{x-1}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem $-2e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $-2e^{x-1}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{x-1}+1$	=	$y$	| $-1$
$-2e^{x-1}$	=	$y-1$	|:$-2$
$e^{x-1}$	=	$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)+1$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 25 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,23}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.8 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.8. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^{12}$	=	$\mathrm{2,8}$	|:$13$
$a^{12}$	=	$\frac{\mathrm{2,8}}{13}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\frac{\mathrm{2,8}}{13}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[12]{\frac{\mathrm{2,8}}{13}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,88}}^4$ ≈ 7,796.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.2:

$13\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{3,2}$	|:$13$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,2462}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,2462}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9644}$

Nach ca. 10,964 Jahre ist also der Bestand = 3.2 Millionen Insekten.