Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+6$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+2k\right)·e^{x+k}$ = 0 wird, wenn $x+2k$ = 0 ist, also für x = $-2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-2k$) = $\left(\left(-2k\right)+2k\right)·e^{\left(-2k\right)+k}+1$ = $0+1$ = $1$ sein.
  Da bei x = $-2k$ bei ( $x+2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-2k$| $1$) im abgebildeten Graph bei P(1| $1$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-2k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-2$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-2e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$y$	|:$-2$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}}$	=	$-\frac{1}{2}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,8}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)$	| $+\mathrm{0,8}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\mathrm{0,8}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}y\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-\frac{1}{2}x\right)+\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $122$

f(1) = $122$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $122$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $122$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $122$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$-fache (oder auf das $\frac{80}{100}$-fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.1}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.1}{100}$) ⋅ B = 0,989 ⋅ B. Somit ist das a=0,989.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $75\cdot {\mathrm{0,989}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $75\cdot {\mathrm{0,989}}^9$ ≈ 67,893.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 69.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 69.4:

$75\cdot {\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{69,4}$	|:$75$
${\mathrm{0,989}}^t$	=	$\mathrm{0,9253}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,989}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9253}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,9253}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,989}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,9253}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,989}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,019}$

Nach ca. 7,019 Jahre ist also der Bestand = 69.4 Millionen Einwohner.