Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3·e^{{\left(-x\right)}^2+2}$ = $-x^3·e^{x^2+2}$

Wenn man das mit f(x) = $x^3·e^{x^2+2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-x^3·e^{x^2+2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-x^3·e^{x^2+2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

$\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(100x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(100\right)+\lg \left(x^5\right))-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(1\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100\right)-\lg \left(x^5\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(1\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+0$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+0$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(100\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{100}·20·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $3e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 4000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B. Somit ist das a=1,17.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $1000\cdot {\mathrm{1,17}}^7$ ≈ 3001,242.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:

$1000\cdot {\mathrm{1,17}}^t$	=	$11000$	|:$1000$
${\mathrm{1,17}}^t$	=	$11$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,17}}^t\right)$	=	$\lg \left(11\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$	=	$\lg \left(11\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,17}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(11\right)}{\lg \left(\mathrm{1,17}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,2729}$

Nach ca. 15,273 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.