Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 1 10 x 5 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 5 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 1 10 x 5 ) + lg( 2 x 2 ) + lg( 5 x 2 )

= lg( 1 10 x 5 ) + lg( 2 x -2 ) + lg( 5 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 1 10 ) + lg( x 5 ) + ( lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 1 10 ) + lg( x 5 ) + lg( 2 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 5 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 1 10 ) +5 lg( x ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 1 ) - lg( 10 ) +5 lg( x ) + lg( 2 ) -2 lg( x ) + lg( 5 ) +2 lg( x )

= 5 lg( x ) - lg( 10 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= 5 lg( x ) + lg( 1 10 · 5 · 2 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= 5 lg( x ) + lg( 1 )

= 5 lg( x )

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - ( x + k ) · e x + 1 2 k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

Lösung einblenden

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm - ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = - ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k -1 = 0 -1 = -1 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | -1 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -1 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 2
    Also gilt k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,3x +0,3 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,3x +0,3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,3x +0,3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,3x +0,3 wird zu allen Funktionswerten von e -0,3x +0,3 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,3x +0,3 -1 = y | +1
e -0,3x +0,3 = y +1 |ln(⋅)
-0,3x +0,3 = ln( y +1 )
-0,3x +0,3 = ln( y +1 ) | -0,3
-0,3x = ln( y +1 ) -0,3 |:(-0,3 )
x = - 1 0,3 ln( y +1 ) + 0,3 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,3 ln( x +1 ) + 0,3 0,3

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,137 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,137 t ablesen: a=1.137.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.137(2) ≈ 5.4 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,8% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 75 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 55 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=75 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.8% weggehen,
also Bneu = B - 2.8 100 ⋅B = (1 - 2.8 100 ) ⋅ B = 0,972 ⋅ B. Somit ist das a=0,972.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 75 0,972 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = 75 0,972 8 59,757.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

75 0,972 t = 55 |:75
0,972 t = 11 15 |lg(⋅)
lg( 0,972 t ) = lg( 11 15 )
t · lg( 0,972 ) = lg( 11 15 ) |: lg( 0,972 )
t = lg( 11 15 ) lg( 0,972 )
t = 10,9212

Nach ca. 10,921 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.