$\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{8x^9}\right)$

= $\lg \left(4x^4\right)+\lg \left(2x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^{-9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^9}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)-9\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)-9\lg \left(x\right)$

= $-4\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(\frac{2}{5x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-1$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-1}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem $e^{x-1}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-1}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-1}+2$	=	$y$	| $-2$
$e^{x-1}$	=	$y-2$	|ln(⋅)
$x-1$	=	$\ln \left(y-2\right)$

$x-1$	=	$\ln \left(y-2\right)$	| $+1$
$x$	=	$\ln \left(y-2\right)+1$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-2\right)+1$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-2\right)+1$

Die prozentuale Zunahme um 1.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.1}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.1}{100}$) ⋅ B = 1,011 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,011.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.011($2$) ≈ 63.36 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,91}}^4$ ≈ 8,915.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{15,5479}$

Nach ca. 15,548 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.