Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= -3 e x -2 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am negativen Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der x-Achse gespiegelt (und noch in y-Richtung gestreckt) wurde.

Da bei -3 e x -2 zu jedem Funktionswert von e x noch -2 addiert wird, ist der Graph von -3 e x -2 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte werden so <0, also verläuft der Graph komplett unter der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
  • Für x → ∞ strebt -3 e x -2 gegen - .
  • Für x → - ∞ strebt -3 e x -2 gegen 0 -2 = -2 .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x + k ) · e x + 1 2 k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x + k ) · e x + 1 2 k = 0 wird, wenn x + k = 0 ist, also für x = -1 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-1 k ) = ( ( -1 k ) + k ) · e ( -1 k ) + 1 2 k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = -1 k bei ( x + k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-1 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -1 k = 1
    Also gilt k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e -0,1x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e -0,1x wird e -0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e -0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem -3 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von -3 e -0,1x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e -0,1x -1 = y | +1
-3 e -0,1x = y +1 |:-3
e -0,1x = - 1 3 y - 1 3 |ln(⋅)
-0,1x = ln( - 1 3 y - 1 3 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( - 1 3 y - 1 3 )
x = -10 ln( - 1 3 y - 1 3 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( - 1 3 x - 1 3 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( - 1 3 x - 1 3 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,871 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,871 t ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.871( 1 2 ) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 14% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also Bneu = B - 14 100 ⋅B = (1 - 14 100 ) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,86 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 13 0,86 5 6,116.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,86 t = 3 |:13
0,86 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,86 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,86 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,86 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,86 )
t = 9,7222

Nach ca. 9,722 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.