Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 2 (47) liegt.

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Wir suchen 2er-Potenzen in der Näher von 47, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 47 ist.

Dabei kommt man auf 2 5 = 25 < 47 und auf 2 6 = 26 > 47.

Und da wir bei log 2 (47) ja das ☐ von 2 = 47 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
25 = 2 5 < 47 < 2 6 = 26

Es gilt somit: 5 < log 2 (47) < 6

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x +2 k ) · e x + k +2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x +2 k ) · e x + k = 0 wird, wenn x +2 k = 0 ist, also für x = -2 k .
    Dann muss ja der y-Wert fk(-2 k ) = ( ( -2 k ) +2 k ) · e ( -2 k ) + k +2 = 0 +2 = 2 sein.
    Da bei x = -2 k bei ( x +2 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(-2 k | 2 ) im abgebildeten Graph bei P(1| 2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit -2 k = 1
    Also gilt k = - 1 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f - 1 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,1x -0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,1x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,1x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,1x -0,2 = y |ln(⋅)
0,1x -0,2 = ln( y )
0,1x -0,2 = ln( y ) | +0,2
0,1x = ln( y ) +0,2 |:0,1
x = 1 0,1 ln( y ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,1 ln( x ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,1 ln( x ) + 0,2 0,1

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 186 1,15 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 186

f(1) = 186 1,15

f(2) = 186 1,151,15

f(3) = 186 1,151,151,15

f(4) = 186 1,151,151,151,15

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,15 multipliziert. Da 1,15 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,15-fache, also auf 115 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. 13 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 412,98Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 38 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 28 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 412.98 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 412.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 28 a t ein:

28 a 13 = 412,98 |:28
a 13 = 14,74929 | 13
a = 14,74929 13

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 14,74929 13 ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 28 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = 28 1,23 4 64,088.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 38 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 38:

28 1,23 t = 38 |:28
1,23 t = 19 14 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 19 14 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 19 14 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 19 14 ) lg( 1,23 )
t = 1,4752

Nach ca. 1,475 Stunden ist also der Bestand = 38 Millionen Bakterien.