Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000x ) -2 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000x ) -2 lg( x )
= lg( 1000 ) + lg( x ) -2 lg( x )
= lg( 10 3 ) + lg( x ) -2 lg( x )
= 3 + lg( x ) -2 lg( x )
= - lg( x ) +3

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|2), also gilt f(0)=2.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 2 , also f(x)= 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|4) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 4.

In unseren Funktionsterm f(x)= 2 a x eingesezt bedeutet das: 4 = 2a = 2a .

Es gilt also: 4 = 2a | ⋅ 1 2

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -3 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -3 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -3 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e x -3 wird zu allen Funktionswerten von e x -3 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -3 -3 = y | +3
e x -3 = y +3 |ln(⋅)
x -3 = ln( y +3 )
x -3 = ln( y +3 ) | +3
x = ln( y +3 ) +3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x +3 ) +3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x +3 ) +3

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,05 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einem Staat geht man näherungsweise davon aus, dass dessen Bevölkerung exponentiell abnimmt. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 80 Millionen Einwohner. Nach 10 Jahren hat der Staat noch 54,31 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 6 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 70 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 80 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 54.31 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 54.31. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 80 a t ein:

80 a 10 = 54,31 |:80
a 10 = 0,67888 | 10
a1 = - 0,67888 10 -0,962
a2 = 0,67888 10 0,962

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,962 ≈ 0.962 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 80 0,962 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 80 0,962 6 63,407.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 70 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 70:

80 0,962 t = 70 |:80
0,962 t = 7 8 |lg(⋅)
lg( 0,962 t ) = lg( 7 8 )
t · lg( 0,962 ) = lg( 7 8 ) |: lg( 0,962 )
t = lg( 7 8 ) lg( 0,962 )
t = 3,4468

Nach ca. 3,447 Jahre ist also der Bestand = 70 Millionen Einwohner.