Wir suchen $4$er-Potenzen in der Näher von $60$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $60$ ist.

Dabei kommt man auf $4^2$ = 4² < $60$ und auf $4^3$ = 4³ > $60$.

Und da wir bei ja das ☐ von 4^☐ = $60$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
4² = $4^2$ < $60$ < $4^3$ = 4³

Es gilt somit: 2 < < 3

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $4k{e}^{kx-2k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $kx-2k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm $4k{e}^{kx-2k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei $-3$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $kx-2k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $kx-2k$	=	0	| - ( $-2k$)
  $kx$	=	$2k$	|:( $k$)
  $x$	=	$2$

  Wenn wir nun $2$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($2$) = $4k{e}^{k\cdot 2-2k}-3$ = $4k-3$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($2$) = 0 ablesen, es gilt somit:

  $4k-3$	=	0	| $+3$
  $4k$	=	$3$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -2 hinter dem $e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x}-2$	=	$y$	| $+2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+2$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y+2\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y+2\right)$
$x$	=	$10\ln \left(y+2\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(x+2\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(x+2\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 34.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{34,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,98}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{34,3}}}$	≈ $\mathrm{0,98}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,98}$ ≈ 0.98, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,98}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 8.46 Millionen Insekten ist, also f(3) = 8.46. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^3$	=	$\mathrm{8,46}$	|:$12$
$a^3$	=	$\mathrm{0,705}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,705}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,705}}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):

f(8) = $12\cdot {\mathrm{0,89}}^8$ ≈ 4,724.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.7:

$12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{4,7}$	|:$12$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\mathrm{0,3917}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3917}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3917}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3917}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,0428}$

Nach ca. 8,043 Jahre ist also der Bestand = 4.7 Millionen Insekten.