Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\mathrm{0,001}x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(\mathrm{0,001}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^{-3}\right)+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-3+\lg \left(x\right)-3\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)-3$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $1$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{x-2}$ wird $e^{x-2}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{x-2}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem $-3e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{x-2}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{x-2}-1$	=	$y$	| $+1$
$-3e^{x-2}$	=	$y+1$	|:$-3$
$e^{x-2}$	=	$-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 6.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,9}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.5}{100}$) ⋅ B = 0,985 ⋅ B. Somit ist das a=0,985.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,985}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $55\cdot {\mathrm{0,985}}^6$ ≈ 50,232.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,985}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,985}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,985}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,985}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,985}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,2775}$

Nach ca. 13,278 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.