Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= e x +3 +1 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei e x +3 +1 zu jedem Funktionswert von e x noch 1 addiert wird, ist der Graph von e x +3 +1 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 1 nach oben verschoben.

Da bei e x +3 +1 das x von e x durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt e x +3 +1 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt e x +3 +1 gegen 0 +1 = 1 .

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| - 1 2 ), also gilt f(0)= - 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: - 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = - 1 2 , also f(x)= - 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|-2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = -2.

In unseren Funktionsterm f(x)= - 1 2 a x eingesezt bedeutet das: -2 = - 1 2 a = - 1 2 a .

Es gilt also: -2 = - 1 2 a | ⋅ -2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= - 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,4x -0,4 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,4x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,4x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,4x -0,4 wird zu allen Funktionswerten von e 0,4x -0,4 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,4x -0,4 +1 = y | -1
e 0,4x -0,4 = y -1 |ln(⋅)
0,4x -0,4 = ln( y -1 )
0,4x -0,4 = ln( y -1 ) | +0,4
0,4x = ln( y -1 ) +0,4 |:0,4
x = 1 0,4 ln( y -1 ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,4 ln( x -1 ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also Bneu = B + 19 100 ⋅B = (1 + 19 100 ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.19(2) ≈ 3.98 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 28 Milionen Bakterien. 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 221,93Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 5 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 228 Millionen Bakterien?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 28 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 221.93 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 221.93. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 28 a t ein:

28 a 10 = 221,93 |:28
a 10 = 7,92607 | 10
a1 = - 7,92607 10 -1,23
a2 = 7,92607 10 1,23

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,23 ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 28 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Stunden, also f(5):

f(5) = 28 1,23 5 78,829.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 228 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 228:

28 1,23 t = 228 |:28
1,23 t = 57 7 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 57 7 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 57 7 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 57 7 ) lg( 1,23 )
t = 10,1304

Nach ca. 10,13 Stunden ist also der Bestand = 228 Millionen Bakterien.