Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(100x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $2+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+2$

$-\lg \left(\frac{1}{20x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40x}\right)+\lg \left(2x\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-1}\right)+\lg \left(2x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{20}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{40}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(40\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}-1$	=	$y$	| $+1$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y+1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+1\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+1\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x+1\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,2}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,913}}^t$ ablesen: a=0.913.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.913($\frac{1}{2}$) ≈ 7.62 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=22 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 133.18 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 133.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot a^t$ ein:

$22a^6$	=	$\mathrm{133,18}$	|:$22$
$a^6$	=	$\mathrm{6,05364}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{6,05364}}$	≈ $-\mathrm{1,35}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{6,05364}}$	≈ $\mathrm{1,35}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,35}$ ≈ 1.35 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $22\cdot {\mathrm{1,35}}^{13}$ ≈ 1088,333.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1022 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 1022:

$22\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$1022$	|:$22$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$\frac{511}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{511}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(\frac{511}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{511}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,7905}$

Nach ca. 12,791 Stunden ist also der Bestand = 1022 Millionen Bakterien.