Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 1000000000x ) -4 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 1000000000x ) -4 lg( x )
= lg( 1000000000 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= lg( 10 9 ) + lg( x ) -4 lg( x )
= 9 + lg( x ) -4 lg( x )
= -3 lg( x ) +9

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ( x - k ) · e x - 1 2 k -2 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm ( x - k ) · e x - 1 2 k = 0 wird, wenn x - k = 0 ist, also für x = k .
    Dann muss ja der y-Wert fk( k ) = ( ( k ) - k ) · e ( k ) - 1 2 k -2 = 0 -2 = -2 sein.
    Da bei x = k bei ( x - k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P( k | -2 ) im abgebildeten Graph bei P(2| -2 ) sein.
    Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit k = 2
    Also gilt k = 2

Der abgebildete Graph ist somit der von f2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,2x -0,4 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,2x -0,4 wird e 0,2x -0,4 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,2x -0,4 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,2x -0,4 = y |:-2
e 0,2x -0,4 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,2x -0,4 = ln( - 1 2 y )
0,2x -0,4 = ln( - 1 2 y ) | +0,4
0,2x = ln( - 1 2 y ) +0,4 |:0,2
x = 1 0,2 ln( - 1 2 y ) + 0,4 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,4 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( - 1 2 x ) + 0,4 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also Bneu = B + 19 100 ⋅B = (1 + 19 100 ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,19.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.19(2) ≈ 3.98 Wochen

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 10 Millionen dieser Insekten geschätzt. 12 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 1,07 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 0,6 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 1.07 Millionen Insekten ist, also f(12) = 1.07. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10 a t ein:

10 a 12 = 1,07 |:10
a 12 = 1,07 10 | 12
a1 = - 1,07 10 12 -0,83
a2 = 1,07 10 12 0,83

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,83 ≈ 0.83 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,83 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = 10 0,83 5 3,939.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 0.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 0.6:

10 0,83 t = 0,6 |:10
0,83 t = 0,06 |lg(⋅)
lg( 0,83 t ) = lg( 0,06 )
t · lg( 0,83 ) = lg( 0,06 ) |: lg( 0,83 )
t = lg( 0,06 ) lg( 0,83 )
t = 15,0991

Nach ca. 15,099 Jahre ist also der Bestand = 0.6 Millionen Insekten.