Wir suchen den Logarithmus von $1000000000$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $1000000000$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $1000000000$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $9$, eben weil $10$^$9$ = $1000000000$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{9}{10}x-2k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $6k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $6k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 4, somit muss $6k$ = 4 gelten;
  Also gilt k = $\frac{2}{3}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{2}{3}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $38$

f(1) = $38$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(2) = $38$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(3) = $38$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(4) = $38$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,95}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,95}$-fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $15\cdot {\mathrm{1,35}}^6$ ≈ 90,802.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6015 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 6015:

$15\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$6015$	|:$15$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$401$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(401\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(401\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(401\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,9729}$

Nach ca. 19,973 Stunden ist also der Bestand = 6015 Millionen Bakterien.