Wir suchen $16$er-Potenzen in der Näher von $78$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $78$ ist.

Dabei kommt man auf $16$ = 16¹ < $78$ und auf ${16}^2$ = 16² > $78$.

Und da wir bei ja das ☐ von 16^☐ = $78$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
16¹ = $16$ < $78$ < ${16}^2$ = 16²

Es gilt somit: 1 < < 2

$\lg \left(\frac{4}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)$

= $\lg \left(4x^{-4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(\frac{1}{8}{x}^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+\lg \left(x^3\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{2}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{8}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(8\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(8\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{8}·4·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{-\mathrm{0,1}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,1}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,1}x}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$-\mathrm{0,1}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$-10\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-10\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $5$

f(1) = $5$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $5$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $5$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $5$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$-fache (oder auf das $\frac{110}{100}$-fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=4 Wochen, also f(4):

f(4) = $1000\cdot {\mathrm{1,19}}^4$ ≈ 2005,339.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer ist, also f(t) = 8000:

$1000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$8000$	|:$1000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$8$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(8\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(8\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(8\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,954}$

Nach ca. 11,954 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 8000 Nutzer.