Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$4\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $4\lg \left(x^{-2}\right)-2\lg \left(x^{-2}\right)+\lg \left(x^4\right)$
= $-8\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{40}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{2}{x}\right)$

= $-\lg \left(40x^{-2}\right)+\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(2x^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(40\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))+(\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(40\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(2\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(40\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(x\right)-\lg \left(40\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{40}·20·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{2}·2)$

= $-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +2 hinter dem $4e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,3}x}+2$	=	$y$	| $-2$
$4e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-2$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}\right)$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 69.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{69,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{69,7}}}$ ≈ 1.01, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,01}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B. Somit ist das a=1,22.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $2000\cdot {\mathrm{1,22}}^6$ ≈ 6594,608.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer ist, also f(t) = 32000:

$2000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$32000$	|:$2000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$16$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(16\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(16\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(16\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,9431}$

Nach ca. 13,943 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 32000 Nutzer.