Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100000}{x}\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $5-\lg \left(x\right)-\lg \left(x\right)$
= $-2\lg \left(x\right)+5$

$\lg \left(50x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250x^7}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

= $\lg \left(50x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}{x}^{-7}\right)+\lg \left(25x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+(\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^7}\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{1250}\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(1250\right)-7\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-3}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-3}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-3}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-3}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{x-3}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{x-3}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+3$

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $1000\cdot {\mathrm{1,05}}^6$ ≈ 1340,096.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3104}$

Nach ca. 8,31 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.