Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\sqrt{x}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{7}{2}\lg \left(x\right)$

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-\left(x+k\right)·e^{x+\frac{1}{2}k}$ = 0 wird, wenn $x+k$ = 0 ist, also für x = $-1k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-1k$) = $-\left(\left(-1k\right)+k\right)·e^{\left(-1k\right)+\frac{1}{2}k}-2$ = $0-2$ = $-2$ sein.
  Da bei x = $-1k$ bei ( $x+k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-1k$| $-2$) im abgebildeten Graph bei P(2| $-2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-1k$ = 2
  Also gilt k = $-2$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,2}x}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y+3\right)$	|:$-\mathrm{0,2}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y+3\right)$
$x$	=	$-5\ln \left(y+3\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-5\ln \left(x+3\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-5\ln \left(x+3\right)$

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.97($\frac{1}{2}$) ≈ 22.76 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=65 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 0,98 ⋅ B. Somit ist das a=0,98.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $65\cdot {\mathrm{0,98}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $65\cdot {\mathrm{0,98}}^7$ ≈ 56,428.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 55 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 55:

$65\cdot {\mathrm{0,98}}^t$	=	$55$	|:$65$
${\mathrm{0,98}}^t$	=	$\frac{11}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,98}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$	=	$\lg \left(\frac{11}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,98}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{11}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,98}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,2689}$

Nach ca. 8,269 Jahre ist also der Bestand = 55 Millionen Einwohner.