Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100000000x ) + lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

Lösung einblenden

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100000000x ) + lg( x )
= lg( 100000000 ) + lg( x ) + lg( x )
= lg( 10 8 ) + lg( x ) + lg( x )
= 8 + lg( x ) + lg( x )
= 2 lg( x ) +8

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 2 = 1 2 a | ⋅ 2

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 4 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,2x -0,2 -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,2x -0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,2x -0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem e 0,2x -0,2 wird zu allen Funktionswerten von e 0,2x -0,2 noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,2x -0,2 -3 = y | +3
e 0,2x -0,2 = y +3 |ln(⋅)
0,2x -0,2 = ln( y +3 )
0,2x -0,2 = ln( y +3 ) | +0,2
0,2x = ln( y +3 ) +0,2 |:0,2
x = 1 0,2 ln( y +3 ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,2 ln( x +3 ) + 0,2 0,2

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Bei einem Staat mit 70 Millionen Einwohner geht man davon aus, dass die Einwohnerzahl exponentiell abnimmt. Nach 22,8 Jahren hat sich die Bevölkerung halbiert?Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Einwohnerzahl in Millionen Einwohner nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 22.8 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 22,8 = 1 2 | 22,8
a1 = - ( 1 2 ) 1 22,8 -0,97
a2 = ( 1 2 ) 1 22,8 0,97

Das gesuchte a ist somit 0,97 ≈ 0.97, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 70 0,97 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart exponentiell abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. 2 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden noch 10,53 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 7 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 13 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 10.53 Millionen Insekten ist, also f(2) = 10.53. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 13 a t ein:

13 a 2 = 10,53 |:13
a 2 = 0,81 | 2
a1 = - 0,81 = -0,9
a2 = 0,81 = 0,9

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 0,9 ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,9 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = 13 0,9 7 6,218.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,9 t = 3 |:13
0,9 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,9 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,9 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,9 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,9 )
t = 13,9173

Nach ca. 13,917 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.