Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 19 (224) liegt.

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Wir suchen 19er-Potenzen in der Näher von 224, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 224 ist.

Dabei kommt man auf 19 = 191 < 224 und auf 19 2 = 192 > 224.

Und da wir bei log 19 (224) ja das ☐ von 19 = 224 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
191 = 19 < 224 < 19 2 = 192

Es gilt somit: 1 < log 19 (224) < 2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k +3 k = 3 k = -3
    3k = -3 |:3
    k = -1

Der abgebildete Graph ist somit der von f-1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,4x +0,4 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x +0,4 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x +0,4 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,4x +0,4 wird zu allen Funktionswerten von e -0,4x +0,4 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,4x +0,4 -1 = y | +1
e -0,4x +0,4 = y +1 |ln(⋅)
-0,4x +0,4 = ln( y +1 )
-0,4x +0,4 = ln( y +1 ) | -0,4
-0,4x = ln( y +1 ) -0,4 |:(-0,4 )
x = - 1 0,4 ln( y +1 ) + 0,4 0,4

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,4 ln( x +1 ) + 0,4 0,4

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,4 ln( x +1 ) + 0,4 0,4

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 0,963 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Halbwertszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 0,963 t ablesen: a=0.963.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.963( 1 2 ) ≈ 18.38 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6% verzinst. Zu Beginn sind 4000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 6 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 14000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6% dazukommen,
also Bneu = B + 6 100 ⋅B = (1 + 6 100 ) ⋅ B = 1,06 ⋅ B. Somit ist das a=1,06.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 4000 1,06 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 4000 1,06 6 5674,076.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 14000 € ist, also f(t) = 14000:

4000 1,06 t = 14000 |:4000
1,06 t = 7 2 |lg(⋅)
lg( 1,06 t ) = lg( 7 2 )
t · lg( 1,06 ) = lg( 7 2 ) |: lg( 1,06 )
t = lg( 7 2 ) lg( 1,06 )
t = 21,4997

Nach ca. 21,5 Jahre ist also der Kontostand = 14000 €.