Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

$\lg \left(20x\right)-\lg \left(\frac{80}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^5\right)$

= $\lg \left(20x\right)-\lg \left(80x^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-(\lg \left(80\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-2\lg \left(x\right)-\lg \left(80\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{80}·20·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-2\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y$	|:$-4$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$-\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(-\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 5.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{5,3}}}$ ≈ 1.14, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,14}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 0,971 ⋅ B. Somit ist das a=0,971.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 58.67 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 58.67. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,971}}^t$ ein:

c ⋅ 0.971⁶ = 58.67

c ⋅ 0.83814 = 58.67 | : 0.83814

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,971}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $70\cdot {\mathrm{0,971}}^4$ ≈ 62,226.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60.4:

$70\cdot {\mathrm{0,971}}^t$	=	$\mathrm{60,4}$	|:$70$
${\mathrm{0,971}}^t$	=	$\mathrm{0,8629}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,971}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8629}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8629}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,971}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8629}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,971}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,0106}$

Nach ca. 5,011 Jahre ist also der Bestand = 60.4 Millionen Einwohner.