Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 0,05 ) - lg( 50 ) .

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lg( 0,05 ) - lg( 50 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 0.05 50 )

= lg( 0,001 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 2 x 4 ) + lg( 10 x 6 ) + lg( 50 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 2 x 4 ) + lg( 10 x 6 ) + lg( 50 x 2 )

= lg( 2 x 4 ) + lg( 10 x -6 ) + lg( 50 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 2 ) + lg( x 4 ) + ( lg( 10 ) + lg( 1 x 6 ) ) + ( lg( 50 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 2 ) + lg( x 4 ) + lg( 10 ) + lg( 1 x 6 ) + lg( 50 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 2 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) -6 lg( x ) + lg( 50 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 2 ) +4 lg( x ) + lg( 10 ) -6 lg( x ) + lg( 50 ) +2 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 10 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 10 · 2 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= - e 0,3x -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -1 vor e 0,3x wird e 0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei - e 0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -1 hinter dem - e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von - e 0,3x noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

- e 0,3x -1 = y | +1
- e 0,3x = y +1 |:-1
e 0,3x = -y -1 |ln(⋅)
0,3x = ln( -y -1 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( -y -1 )
x = 10 3 ln( -y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( -x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( -x -1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 3,1 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 5000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 3.1 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 3,1 = 2 | 3,1
a = 2 1 3,1

Das gesuchte a ist somit 2 1 3,1 ≈ 1.25, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,25 t

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7% seines Bestands. Zu Beginn sind 10kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 11 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6,5kg vorhanden?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also Bneu = B - 7 100 ⋅B = (1 - 7 100 ) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 0,93 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = 10 0,93 11 4,501.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6.5 kg ist, also f(t) = 6.5:

10 0,93 t = 6,5 |:10
0,93 t = 0,65 |lg(⋅)
lg( 0,93 t ) = lg( 0,65 )
t · lg( 0,93 ) = lg( 0,65 ) |: lg( 0,93 )
t = lg( 0,65 ) lg( 0,93 )
t = 5,936

Nach ca. 5,936 Tage ist also der Bestand = 6.5 kg.