Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+2$ das x von $e^x$ durch ein -x ersetzt wurde, wird der Graph von $e^{-\left(x+3\right)}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion an der y-Achse gespiegelt.

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch 2 addiert wird, ist der Graph von $e^{-\left(x+3\right)}+2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.

Da bei $e^{-\left(x+3\right)}+2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+3' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -3 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer kleiner, die Funktion ist also streng monoton fallend.
• Für x → ∞ strebt $e^{-\left(x+3\right)}+2$ gegen $0+2$ = $2$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{-\left(x+3\right)}+2$ gegen $\infty$ .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-1\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-1\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Zunahme um 17% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 17% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{17}{100}$⋅B = (1 + $\frac{17}{100}$) ⋅ B = 1,17 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,17.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.17($2$) ≈ 4.41 Wochen

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Jahre der Bestand 2.37 Millionen Insekten ist, also f(12) = 2.37. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^{12}$	=	$\mathrm{2,37}$	|:$11$
$a^{12}$	=	$\frac{\mathrm{2,37}}{11}$	|
a1	=	$-\sqrt[12]{\frac{\mathrm{2,37}}{11}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[12]{\frac{\mathrm{2,37}}{11}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^4$ ≈ 6,597.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.1:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{2,1}$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\mathrm{0,1909}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,1909}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,9544}$

Nach ca. 12,954 Jahre ist also der Bestand = 2.1 Millionen Insekten.