Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 3 (81) .

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Wir suchen den Logarithmus von 81 zur Basis 3, also die Hochzahl mit der man 3 potenzieren muss, um auf 81 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 3 = 81 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 3 (81) = 4, eben weil 34 = 81 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 2 k e k x - k -1 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann 2 k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm 2 k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -1 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = 2 k e k 1 - k -1 = 2k -1
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = 2 ablesen, es gilt somit:
    2k -1 = 2 | +1
    2k = 3 |:2
    k = 3 2 = 1.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f 3 2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -2 e 0,3x -0,9 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -2 vor e 0,3x -0,9 wird e 0,3x -0,9 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -2 e 0,3x -0,9 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-2 e 0,3x -0,9 = y |:-2
e 0,3x -0,9 = - 1 2 y |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( - 1 2 y )
0,3x -0,9 = ln( - 1 2 y ) | +0,9
0,3x = ln( - 1 2 y ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 2 y ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( - 1 2 x ) + 0,9 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 192 0,9 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 192

f(1) = 192 0,9

f(2) = 192 0,90,9

f(3) = 192 0,90,90,9

f(4) = 192 0,90,90,90,9

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,9 multipliziert. Da 0,9 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,9-fache, also auf 90 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 12% abnimmt. 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn werden nur noch 7,5 Millionen der Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 6 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 7,5 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also Bneu = B - 12 100 ⋅B = (1 - 12 100 ) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 0,88 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 7.5 Millionen Insekten ist, also f(3) = 7.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 0,88 t ein:

c ⋅ 0.883 = 7.5

c ⋅ 0.68147 = 7.5 | : 0.68147

c = 11

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,88 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = 11 0,88 6 5,108.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 7.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 7.5:

11 0,88 t = 7,5 |:11
0,88 t = 0,6818 |lg(⋅)
lg( 0,88 t ) = lg( 0,6818 )
t · lg( 0,88 ) = lg( 0,6818 ) |: lg( 0,88 )
t = lg( 0,6818 ) lg( 0,88 )
t = 2,9962

Nach ca. 2,996 Jahre ist also der Bestand = 7.5 Millionen Insekten.