Wir suchen den Logarithmus von $128$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $128$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $128$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $7$, eben weil $2$^$7$ = $128$ gilt .

$\lg \left(\frac{20}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100000x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50x^3}\right)$

= $\lg \left(20x^{-2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}{x}^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^{-3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+(\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^3}\right))$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{100.000}\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+3\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+3\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·50·20)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ wird $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{0,4}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{0,4}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 7000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,9}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.7}{100}$) ⋅ B = 0,963 ⋅ B. Somit ist das a=0,963.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 59.17 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 59.17. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,963}}^t$ ein:

c ⋅ 0.963⁸ = 59.17

c ⋅ 0.73962 = 59.17 | : 0.73962

c = 80

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $80\cdot {\mathrm{0,963}}^7$ ≈ 61,443.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,963}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,963}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,963}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,963}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,963}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,6304}$

Nach ca. 7,63 Jahre ist also der Bestand = 60 Millionen Einwohner.