Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Beide Logarithmusgesetze
Beispiel:
Vereinfache den Term
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:
=
=
Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(
=
=
Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:
=
=
=
=
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|: |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 30kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga(
Also 5 = loga(
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= | |
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= |
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Das gesuchte a ist somit
c und a gegeben
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 16% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 5 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1 Millionen dieser Insekten?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also Bneu
= B -
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):
f(5) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 13,753 Jahre ist also der Bestand = 1 Millionen Insekten.
