Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+e^{\left(-x\right)+1}$ = $-x^3+e^{-x+1}$ = $e^{-x+1}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+e^{x+1}$ = $e^{x+1}+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{-x+1}-x^3$
weder gleich f(x) = $x^3+e^{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-\left(x^3+e^{x+1}\right)$ = $-\left(e^{x+1}+x^3\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm $-kx·e^{kx-k}$ = 0 wird.
  Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt S_y(0|2) gut erkennen. Es gilt folglich.
  f_k($0$) = $-k·0·e^{k\cdot 0-k}+4k$ = $4k$ = 2

  $4k$	=	$2$	|:$4$
  $k$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,2}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,2}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $108$

f(1) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(2) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(3) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(4) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,4}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,4}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,4}$-fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $13\cdot {\mathrm{0,86}}^{11}$ ≈ 2,474.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.9:

$13\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{3,9}$	|:$13$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,3}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9827}$

Nach ca. 7,983 Jahre ist also der Bestand = 3.9 Millionen Insekten.