Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (schwer)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 16 ( 4 ) .

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Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis 16 suchen und 16 gerade 4² ist (also 4 = 16 = 16 1 2 ), formen wir 4 noch so um, dass sie 16 als Basis hat:

4 = 16 1 2

log 16 ( 4 ) heißt, dass wir den Logarithmus von 4 = 16 1 2 zur Basis 16 suchen, also die Hochzahl mit der man 16 potenzieren muss, um auf 4 = 16 1 2 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 16 = 4 = 16 1 2 gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: log 16 ( 4 ) = log 16 ( 16 1 2 ) = 1 2 , eben weil 16 1 2 = 4 gilt .

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= - k x · e k x - k +3 k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm - k x · e k x - k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|3) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = - k · 0 · e k 0 - k +3 k = 3 k = 3
    3k = 3 |:3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -4 e -0,1x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -4 vor e -0,1x wird e -0,1x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -4 e -0,1x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +1 hinter dem -4 e -0,1x wird zu allen Funktionswerten von -4 e -0,1x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-4 e -0,1x +1 = y | -1
-4 e -0,1x = y -1 |:-4
e -0,1x = - 1 4 y + 1 4 |ln(⋅)
-0,1x = ln( - 1 4 y + 1 4 ) |:-0,1
x = - 1 0,1 ln( - 1 4 y + 1 4 )
x = -10 ln( - 1 4 y + 1 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -10 ln( - 1 4 x + 1 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -10 ln( - 1 4 x + 1 4 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 14,2 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 14.2 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 14,2 = 2 | 14,2
a1 = - 2 1 14,2 -1,05
a2 = 2 1 14,2 1,05

Das gesuchte a ist somit 1,05 ≈ 1.05, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 5000 1,05 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 19% vermehrt. Nach 12 Wochen zählt man bereits 56449,69 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 8 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 12000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also Bneu = B + 19 100 ⋅B = (1 + 19 100 ) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,19 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 56449.69 Nutzer ist, also f(12) = 56449.69. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,19 t ein:

c ⋅ 1.1912 = 56449.69

c ⋅ 8.06424 = 56449.69 | : 8.06424

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7000 1,19 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = 7000 1,19 8 28149,697.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

7000 1,19 t = 12000 |:7000
1,19 t = 12 7 |lg(⋅)
lg( 1,19 t ) = lg( 12 7 )
t · lg( 1,19 ) = lg( 12 7 ) |: lg( 1,19 )
t = lg( 12 7 ) lg( 1,19 )
t = 3,0985

Nach ca. 3,099 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.