Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^2·e^{{\left(-x\right)}^2+\left(-x\right)}$ = $x^2·e^{x^2-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x^2·e^{x^2+x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $x^2·e^{x^2-x}$
weder gleich f(x) = $x^2·e^{x^2+x}$ noch gleich -f(x) = $-x^2·e^{x^2+x}$ = $-x^2·e^{x^2+x}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{6}{10}x+k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -3, somit muss $k$ = -3 gelten;
  Also gilt k = $-3$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem $2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x}+1$	=	$y$	| $-1$
$2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y-1$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)$

f(0) = $177$

f(1) = $177$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $177$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $177$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $177$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$-fache (oder auf das $\frac{140}{100}$-fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $1000\cdot {\mathrm{1,25}}^{10}$ ≈ 9313,226.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 41000 Nutzer ist, also f(t) = 41000:

$1000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$41000$	|:$1000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$41$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(41\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(41\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(41\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,6421}$

Nach ca. 16,642 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 41000 Nutzer.