Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 4 x 6 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 25 x 4 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 4 x 6 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 25 x 4 )

= lg( 4 x -6 ) - lg( x -2 ) + lg( 25 x 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 4 ) + lg( 1 x 6 ) - ( lg( 1 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 4 ) )

= lg( 4 ) + lg( 1 x 6 ) - lg( 1 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 25 ) + lg( x 4 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 4 ) -6 lg( x ) - lg( 1 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 4 ) -6 lg( x ) - lg( 1 ) +2 lg( x ) + lg( 25 ) +4 lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 4 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| 1 2 ), also gilt f(0)= 1 2 .

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 2 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 2 , also f(x)= 1 2 a x .

Außerdem können wir den Punkt (1| 3 2 ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 3 2 .

In unseren Funktionsterm f(x)= 1 2 a x eingesezt bedeutet das: 3 2 = 1 2 a = 1 2 a .

Es gilt also: 3 2 = 1 2 a | ⋅ 2

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 1 2 3 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,2x +0,2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,2x +0,2 können die Funktionswerte von 2 e -0,2x +0,2 alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,2x +0,2 = y |:2
e -0,2x +0,2 = 1 2 y |ln(⋅)
-0,2x +0,2 = ln( 1 2 y )
-0,2x +0,2 = ln( 1 2 y ) | -0,2
-0,2x = ln( 1 2 y ) -0,2 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( 1 2 y ) + 0,2 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( 1 2 x ) + 0,2 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11,7% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

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Die prozentuale Abnahme um 11.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.7% weggehen,
also Bneu = B - 11.7 100 ⋅B = (1 - 11.7 100 ) ⋅ B = 0,883 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,883.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.883( 1 2 ) ≈ 5.57 Tage

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man von exponentiellem Wachstum aus. Zu Beobachtungsbeginn umfasste die Kultur 10 Milionen Bakterien. 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 25,18Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 7 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 15 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 10 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 25.18 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 25.18. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 10 a t ein:

10 a 12 = 25,18 |:10
a 12 = 2,518 | 12
a1 = - 2,518 12 -1,08
a2 = 2,518 12 1,08

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,08 ≈ 1.08 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 10 1,08 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Stunden, also f(7):

f(7) = 10 1,08 7 17,138.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 15 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 15:

10 1,08 t = 15 |:10
1,08 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,08 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,08 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,08 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,08 )
t = 5,2684

Nach ca. 5,268 Stunden ist also der Bestand = 15 Millionen Bakterien.