Zuerst schreiben wir $\frac{1}{16}$ um: $\frac{1}{16}$ = ${16}^{-1}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 16 sondern zur Basis $256$ suchen und $256$ gerade 16² ist (also 16 = $\sqrt{256}$ = ${256}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${16}^{-1}$ noch so um, dass sie $256$ als Basis hat:

${16}^{-1}$ = ${\left({256}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zur Basis $256$ suchen, also die Hochzahl mit der man $256$ potenzieren muss, um auf ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $256$^☐ = ${16}^{-1}$ = ${256}^{-\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{1}{2}$, eben weil $256$^{$-\frac{1}{2}$} = $\frac{1}{16}$ gilt .

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Da das k ja ein fester Wert ist, kann $2k{e}^{\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k}$ niemals = 0 werden.
• Wenn der Exponent $\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k$ jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm $2k{e}^{\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k}$ recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei $-1$ erkennen.
  Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
• Wir müssen also den Exponent $\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k$ = 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.

  $\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k$	=	0	|⋅ 3
  $3\left(\frac{1}{3}kx-\frac{1}{3}k\right)$	=	0
  $kx-k$	=	0	| - ( $-k$)
  $kx$	=	$k$	|:( $k$)
  $x$	=	$1$

  Wenn wir nun $1$ in f_k einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
  f_k($1$) = $2k{e}^{\frac{1}{3}k\cdot 1-\frac{1}{3}k}-1$ = $2k-1$
  im abgebildeten Term können wir aber ja f($1$) = 4 ablesen, es gilt somit:

  $2k-1$	=	$4$	| $+1$
  $2k$	=	$5$	|:$2$
  $k$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{5}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,954}}^t$ ablesen: a=0.954.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.954($\frac{1}{2}$) ≈ 14.72 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Tage der Bestand 28.77 kg ist, also f(8) = 28.77. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^8$	=	$\mathrm{28,77}$	|:$80$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{28,77}}{80}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{28,77}}{80}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{28,77}}{80}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $80\cdot {\mathrm{0,88}}^6$ ≈ 37,152.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$80\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$20$	|:$80$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{1}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,8445}$

Nach ca. 10,845 Tage ist also der Bestand = 20 kg.