Zuerst schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ um: $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $100000$ eine Potenz ist: $100000$ = ${10}^5$

Also schreiben wir $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ = ${100000}^{-\frac{1}{2}}$ = ${\left({10}^5\right)}^{-\frac{1}{2}}$ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zur Basis $10$ suchen, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-\frac{5}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = ${10}^{-\frac{5}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $-\frac{5}{2}$, eben weil $10$^{$-\frac{5}{2}$} = $\frac{1}{\sqrt{100000}}$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesetzt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $\left(\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math>}\right)$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}-3$	=	$y$	| $+3$
$e^{-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}}$	=	$y+3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$

$-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,4}$	=	$\ln \left(y+3\right)$	| $-\mathrm{0,4}$
$-\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y+3\right)-\mathrm{0,4}$	|:($-\mathrm{0,4}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x+3\right)+\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $177$

f(1) = $177$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(2) = $177$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(3) = $177$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

f(4) = $177$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$ ⋅ $\mathrm{1,4}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,4}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,4}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,4}$-fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $5000\cdot {\mathrm{1,18}}^{11}$ ≈ 30879,63.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer ist, also f(t) = 35000:

$5000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$35000$	|:$5000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$7$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(7\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(7\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(7\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,7567}$

Nach ca. 11,757 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 35000 Nutzer.