Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 4 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann
niemals = 0 werden.k e 1 4 k x - 1 4 k - Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm1 4 k x - 1 4 k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote beik e 1 4 k x - 1 4 k erkennen.- 3
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.1 4 k x - 1 4 k
Wenn wir nun1 4 k x - 1 4 k = 0 |⋅ 4 4 ( 1 4 k x - 1 4 k ) = 0 k x - k = 0 | - ( )- k k x = k |:( )k x = 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:1
fk( ) =1 =k e 1 4 k ⋅ 1 - 1 4 k - 3 k - 3
im abgebildeten Term können wir aber ja f( ) = 1 ablesen, es gilt somit:1 k - 3 = 1 | + 3 k = 4
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch die
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
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= |
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= |
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|ln(⋅) |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %
c und a gegeben
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 3,1% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 60 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 40 Millionen Einwohner?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=60 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Abnahme um 3.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.1% weggehen,
also Bneu
= B -
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):
f(12) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:
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= | |: |
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= | |lg(⋅) | |
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= |
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= |
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|:
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= |
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= |
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Nach ca. 12,876 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.
