Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz einfach

Beispiel:

Vereinfache lg( 100 x ) -5 lg( x ) so, dass das Argument des Logarithmus möglichst einfach wird.

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Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
lg( 100 x ) -5 lg( x )
= lg( 100 ) - lg( x ) -5 lg( x )
= lg( 10 2 ) - lg( x ) -5 lg( x )
= 2 - lg( x ) -5 lg( x )
= -6 lg( x ) +2

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k x · e k x + k + k . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Man kann schnell erkennen, dass für x = 0 der Exponentialterm k x · e k x + k = 0 wird.
    Am abgebildeten Graph kann man den y-Achsenabschnitt Sy(0|-2) gut erkennen. Es gilt folglich.
    fk(0 ) = k · 0 · e k 0 + k + k = k = -2
    k = -2

Der abgebildete Graph ist somit der von f-2

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e x -1 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e x -1 wird zu allen Funktionswerten von e x -1 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e x -1 +2 = y | -2
e x -1 = y -2 |ln(⋅)
x -1 = ln( y -2 )
x -1 = ln( y -2 ) | +1
x = ln( y -2 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( x -2 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( x -2 ) +1

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Ein Konto wird mit 1000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 17,7 Jahren hat sich der der Kontostand verdoppelt. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die den Kontostand nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).

Also 17.7 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 17,7 = 2 | 17,7
a = 2 1 17,7

Das gesuchte a ist somit 2 1 17,7 ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 1000 1,04 t

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 8 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 7600,62€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 4 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 6800€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also Bneu = B + 3 100 ⋅B = (1 + 3 100 ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,03 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 7600.62 € ist, also f(8) = 7600.62. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,03 t ein:

c ⋅ 1.038 = 7600.62

c ⋅ 1.26677 = 7600.62 | : 1.26677

c = 6000

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,03 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = 6000 1,03 4 6753,053.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6800 € ist, also f(t) = 6800:

6000 1,03 t = 6800 |:6000
1,03 t = 17 15 |lg(⋅)
lg( 1,03 t ) = lg( 17 15 )
t · lg( 1,03 ) = lg( 17 15 ) |: lg( 1,03 )
t = lg( 17 15 ) lg( 1,03 )
t = 4,2344

Nach ca. 4,234 Jahre ist also der Kontostand = 6800 €.