Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: lg( 30 ) - lg( 3 ) .

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lg( 30 ) - lg( 3 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= lg( 30 3 )

= lg( 10 )

= 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 20 x ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 1 40 x 6 ) soweit wie möglich.

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lg( 20 x ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 1 40 x 6 )

= lg( 20 x -1 ) + lg( 2 x 3 ) + lg( 1 40 x -6 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 20 ) + lg( 1 x ) + ( lg( 2 ) + lg( x 3 ) ) + ( lg( 1 40 ) + lg( 1 x 6 ) )

= lg( 20 ) + lg( 1 x ) + lg( 2 ) + lg( x 3 ) + lg( 1 40 ) + lg( 1 x 6 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 1 40 ) -6 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 20 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +3 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 40 ) -6 lg( x )

= -4 lg( x ) - lg( 40 ) + lg( 20 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= -4 lg( x ) + lg( 1 40 · 20 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 2 · 2 )

= -4 lg( x ) + lg( 1 )

= -4 lg( x )

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 2 e -0,2x -2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 2 vor e -0,2x können die Funktionswerte von 2 e -0,2x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -2 hinter dem 2 e -0,2x wird zu allen Funktionswerten von 2 e -0,2x noch -2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

2 e -0,2x -2 = y | +2
2 e -0,2x = y +2 |:2
e -0,2x = 1 2 y +1 |ln(⋅)
-0,2x = ln( 1 2 y +1 ) |:-0,2
x = - 1 0,2 ln( 1 2 y +1 )
x = -5 ln( 1 2 y +1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = -5 ln( 1 2 x +1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = -5 ln( 1 2 x +1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 6,6 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 100kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 6.6 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 6,6 = 1 2 | 6,6
a1 = - ( 1 2 ) 1 6,6 -0,9
a2 = ( 1 2 ) 1 6,6 0,9

Das gesuchte a ist somit 0,9 ≈ 0.9, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 100 0,9 t

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer. Nach 3 Wochen zählt man bereits 5582,6 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 6 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 43000 angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 3000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Wochen der Bestand 5582.6 Nutzer ist, also f(3) = 5582.6. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 3000 a t ein:

3000 a 3 = 5582,6 |:3000
a 3 = 1,86087 | 3
a = 1,86087 3

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,86087 3 ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 3000 1,23 t .

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = 3000 1,23 6 10388,478.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 43000 Nutzer ist, also f(t) = 43000:

3000 1,23 t = 43000 |:3000
1,23 t = 43 3 |lg(⋅)
lg( 1,23 t ) = lg( 43 3 )
t · lg( 1,23 ) = lg( 43 3 ) |: lg( 1,23 )
t = lg( 43 3 ) lg( 1,23 )
t = 12,8619

Nach ca. 12,862 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 43000 Nutzer.