Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = =
Wenn man das mit f(x) = = vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = gerade das Negative von f(x), also -f(x) = ist.
Es gilt also: f(-x) = -f(x)
Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Da das k ja ein fester Wert ist, kann niemals = 0 werden.
- Wenn der Exponent
jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentianterm
recht
schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Assymtote bei
erkennen.
Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt. - Wir müssen also den Exponent
= 0 bekommen, um einen präzise ablebaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
= 0 | - ( ) = |:( ) =
fk() = =
im abgebildeten Term können wir aber ja f() = 0 ablesen, es gilt somit:= 0 | =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= |
= | | | ||
= | |:() | ||
= |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Alle 6,6 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: TV = loga(2).
Also 6.6 = loga(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
= | | | ||
a1 | = |
|
≈
|
a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Konto wird mit 2% verzinst. 4 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 3247,3€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 8 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 3300€ angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 3247.3 € ist,
also f(4) = 3247.3. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 1.024 = 3247.3
c ⋅ 1.08243 = 3247.3 | : 1.08243
c = 3000
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):
f(8) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3300 € ist, also f(t) = 3300:
|
= | |: |
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
= |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|
= |
|
Nach ca. 4,813 Jahre ist also der Kontostand = 3300 €.