Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
log berechnen (schwer)
Beispiel:
Berechne den Logarithmus .
Zuerst schreiben wir
Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 2 sondern zur Basis
Also was muss in das Kästchen, damit
Damit steht die Lösung praktisch schon da:
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn( x + 4 k ) · e x + 2 k = 0 ist, also für x =x + 4 k .- 4 k
Dann muss ja der y-Wert fk( ) =- 4 k =( ( - 4 k ) + 4 k ) · e ( - 4 k ) + 2 k + 2 =0 + 2 sein.2
Da bei x = bei (- 4 k ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(x + 4 k |- 4 k ) im abgebildeten Graph bei P(3|2 ) sein.2
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 3- 4 k
Also gilt k =- 3 4
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c=
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent
Wir wissen, dass
Durch den negativen Koeffizienten
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %
a und ein Funktionswert gegeben
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 2,1% seiner Bevölkerung. Nach 6 Jahren hat der Staat noch 48,42 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 8 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 49,5 Millionen Einwohner?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Die prozentuale Abnahme um 2.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.1% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm
Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 48.42 Millionen Einwohner ist,
also f(6) = 48.42. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm
c ⋅ 0.9796 = 48.42
c ⋅ 0.88043 = 48.42 | : 0.88043
c = 55
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Jahre, also f(8):
f(8) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann der Bestand = 49.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 49.5:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 4,964 Jahre ist also der Bestand = 49.5 Millionen Einwohner.
