Wir suchen den Logarithmus von $361$ zur Basis $19$, also die Hochzahl mit der man $19$ potenzieren muss, um auf $361$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $19$^☐ = $361$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $19$^$2$ = $361$ gilt .

$\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{25x^4}\right)-\lg \left(1250x^7\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(\frac{1}{25}{x}^{-4}\right)-\lg \left(1250x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-(\lg \left(\frac{1}{25}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))-(\lg \left(1250\right)+\lg \left(x^7\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(\frac{1}{25}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)-\lg \left(1250\right)-\lg \left(x^7\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(\frac{1}{25}\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-7\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)+0-\lg \left(1\right)+\lg \left(25\right)+4\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)-7\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(1250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(25\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1250}·50·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{25}·25)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,3}x}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem $-3e^{\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $-3e^{\mathrm{0,3}x}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,3}x}+3$	=	$y$	| $-3$
$-3e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$y-3$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,3}x}$	=	$-\frac{1}{3}y+1$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$
$x$	=	$\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}y+1\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{10}{3}\ln \left(-\frac{1}{3}x+1\right)$

f(0) = $102$

f(1) = $102$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $102$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $102$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $102$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$-fache (oder auf das $\frac{90}{100}$-fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 7864.78 € ist, also f(4) = 7864.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot a^t$ ein:

$6000a^4$	=	$7\mathrm{864,78}$	|:$6000$
$a^4$	=	$\mathrm{1,3108}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{1,3108}}$	= $-\mathrm{1,07}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{1,3108}}$	= $\mathrm{1,07}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,07}$ ≈ 1.07 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $6000\cdot {\mathrm{1,07}}^6$ ≈ 9004,382.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 16000 € ist, also f(t) = 16000:

$6000\cdot {\mathrm{1,07}}^t$	=	$16000$	|:$6000$
${\mathrm{1,07}}^t$	=	$\frac{8}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,07}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$	=	$\lg \left(\frac{8}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,07}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{8}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,07}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,4967}$

Nach ca. 14,497 Jahre ist also der Kontostand = 16000 €.