Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{1000}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{1000}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{1000}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $10$^$-3$ = $\frac{1}{1000}$ gilt .

$\lg \left(\frac{50}{x^5}\right)+\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}x\right)$

= $\lg \left(50x^{-5}\right)+\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+(\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right))$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{2}{5}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(2\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (50·2)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $2$ vor $e^{\mathrm{0,1}x}$ können die Funktionswerte von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $2e^{\mathrm{0,1}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $2e^{\mathrm{0,1}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$2e^{\mathrm{0,1}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$2e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$y+1$	|:$2$
$e^{\mathrm{0,1}x}$	=	$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$
$x$	=	$10\ln \left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $10\ln \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 2.7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.7}{100}$) ⋅ B = 0,973 ⋅ B. Somit ist das a=0,973.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 53.78 Millionen Einwohner ist, also f(4) = 53.78. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,973}}^t$ ein:

c ⋅ 0.973⁴ = 53.78

c ⋅ 0.8963 = 53.78 | : 0.8963

c = 60

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $60\cdot {\mathrm{0,973}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $60\cdot {\mathrm{0,973}}^6$ ≈ 50,913.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50.9 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50.9:

$60\cdot {\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{50,9}$	|:$60$
${\mathrm{0,973}}^t$	=	$\mathrm{0,8483}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,973}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8483}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8483}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,973}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8483}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,973}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,0107}$

Nach ca. 6,011 Jahre ist also der Bestand = 50.9 Millionen Einwohner.