Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-2$ = $-a$ | ⋅ $-1$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-2^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,6}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,6}$
$-\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,6}$	|:($-\mathrm{0,2}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2}}$

f(0) = $122$

f(1) = $122$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(2) = $122$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(3) = $122$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

f(4) = $122$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$ ⋅ $\frac{21}{20}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{21}{20}$ multipliziert. Da $\frac{21}{20}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{21}{20}$-fache (oder auf das $\frac{105}{100}$-fache), also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 48.48 kg ist, also f(10) = 48.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot a^t$ ein:

$90a^{10}$	=	$\mathrm{48,48}$	|:$90$
$a^{10}$	=	$\mathrm{0,53867}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{0,53867}}$	≈ $-\mathrm{0,94}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{0,53867}}$	≈ $\mathrm{0,94}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,94}$ ≈ 0.94 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $90\cdot {\mathrm{0,94}}^8$ ≈ 54,861.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$90\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$40$	|:$90$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{4}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,1059}$

Nach ca. 13,106 Tage ist also der Bestand = 40 kg.