Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $47$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $47$ ist.

Dabei kommt man auf $2^5$ = 2⁵ < $47$ und auf $2^6$ = 2⁶ > $47$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $47$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wegen:
2⁵ = $2^5$ < $47$ < $2^6$ = 2⁶

Es gilt somit: 5 < < 6

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm $\left(x+2k\right)·e^{x+k}$ = 0 wird, wenn $x+2k$ = 0 ist, also für x = $-2k$.
  Dann muss ja der y-Wert f_k($-2k$) = $\left(\left(-2k\right)+2k\right)·e^{\left(-2k\right)+k}+2$ = $0+2$ = $2$ sein.
  Da bei x = $-2k$ bei ( $x+2k$) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P($-2k$| $2$) im abgebildeten Graph bei P(1| $2$) sein.
  Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit $-2k$ = 1
  Also gilt k = $-\frac{1}{2}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{1}{2}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y\right)$

$\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,1}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,1}}$

f(0) = $186$

f(1) = $186$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $186$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $186$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $186$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=28 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 13 Stunden der Bestand 412.98 Millionen Bakterien ist, also f(13) = 412.98. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot a^t$ ein:

$28a^{13}$	=	$\mathrm{412,98}$	|:$28$
$a^{13}$	=	$\mathrm{14,74929}$	|
$a$	=	$\sqrt[13]{\mathrm{14,74929}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[13]{\mathrm{14,74929}}$ ≈ 1.23 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $28\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $28\cdot {\mathrm{1,23}}^4$ ≈ 64,088.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 38 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 38:

$28\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$38$	|:$28$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{19}{14}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{14}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{19}{14}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{19}{14}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,4752}$

Nach ca. 1,475 Stunden ist also der Bestand = 38 Millionen Bakterien.