Wir suchen $14$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{181}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{181}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{196}$ = $\frac{1}{{14}^2}$ = 14^-2 < $\frac{1}{181}$ und auf $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1 > $\frac{1}{181}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 14^☐ = $\frac{1}{181}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -2 und -1 liegen, wegen:
14^-2 = $\frac{1}{{14}^2}$ = $\frac{1}{196}$ < $\frac{1}{181}$ < $\frac{1}{14}$ = $\frac{1}{14}$ = 14^-1

Es gilt somit: -2 < < -1

$\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)+\lg \left(20x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-5\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(20\right)+\lg \left(20\right)-\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(\frac{20·20}{4}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= $2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ablesen: a=1.08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08($2$) ≈ 9.01 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 1.91 Millionen Insekten ist, also f(11) = 1.91. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot a^t$ ein:

$13a^{11}$	=	$\mathrm{1,91}$	|:$13$
$a^{11}$	=	$\frac{\mathrm{1,91}}{13}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{\mathrm{1,91}}{13}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{\mathrm{1,91}}{13}}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Jahre, also f(4):

f(4) = $13\cdot {\mathrm{0,84}}^4$ ≈ 6,472.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$13\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$3$	|:$13$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{3}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,4101}$

Nach ca. 8,41 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.