Man kann erkennen, dass $27$ eine Potenz ist: $27$ = $3^3$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 3 sondern zur Basis $9$ suchen und $9$ gerade 3² ist (also 3 = $\sqrt{9}$ = $9^{\frac{1}{2}}$), formen wir $3^3$ noch so um, dass sie $9$ als Basis hat:

$3^3$ = ${\left(9^{\frac{1}{2}}\right)}^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $9$ suchen, also die Hochzahl mit der man $9$ potenzieren muss, um auf $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $9$^☐ = $3^3$ = $9^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $9$^{$\frac{3}{2}$} = $27$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-2$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-3$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-3e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$-3$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$-\frac{1}{3}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-\frac{1}{3}x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $17$

f(1) = $17$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $17$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $17$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $17$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 3182.7 € ist, also f(2) = 3182.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,03}}^t$ ein:

c ⋅ 1.03² = 3182.7

c ⋅ 1.0609 = 3182.7 | : 1.0609

c = 3000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $3000\cdot {\mathrm{1,03}}^{10}$ ≈ 4031,749.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 3500 € ist, also f(t) = 3500:

$3000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$	=	$3500$	|:$3000$
${\mathrm{1,03}}^t$	=	$\frac{7}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,03}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,03}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,03}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,2151}$

Nach ca. 5,215 Jahre ist also der Kontostand = 3500 €.