Wir suchen $10$er-Potenzen in der Näher von $19467778$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $19467778$ ist.

Dabei kommt man auf ${10}^7$ = 10⁷ < $19467778$ und auf ${10}^8$ = 10⁸ > $19467778$.

Und da wir bei ja das ☐ von 10^☐ = $19467778$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
10⁷ = ${10}^7$ < $19467778$ < ${10}^8$ = 10⁸

Es gilt somit: 7 < < 8

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10}x-3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $4k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $4k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $4k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $\frac{3}{4}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$\frac{3}{4}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{x-2}$ können die Funktionswerte von $4e^{x-2}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -3 hinter dem $4e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $4e^{x-2}$ noch $-3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{x-2}-3$	=	$y$	| $+3$
$4e^{x-2}$	=	$y+3$	|:$4$
$e^{x-2}$	=	$\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)+2$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 24 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,4}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $-\mathrm{1,171}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{4,4}}}$	≈ $\mathrm{1,171}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,171}$ ≈ 1.17, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $24\cdot {\mathrm{1,17}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=15 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B. Somit ist das a=1,26.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $15\cdot {\mathrm{1,26}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Stunden, also f(8):

f(8) = $15\cdot {\mathrm{1,26}}^8$ ≈ 95,292.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 115 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 115:

$15\cdot {\mathrm{1,26}}^t$	=	$115$	|:$15$
${\mathrm{1,26}}^t$	=	$\frac{23}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,26}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$	=	$\lg \left(\frac{23}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,26}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{23}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,26}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,8134}$

Nach ca. 8,813 Stunden ist also der Bestand = 115 Millionen Bakterien.