Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = ${\left(-x\right)}^3+e^{{\left(-x\right)}^4}$ = $-x^3+e^{x^4}$ = $e^{x^4}-x^3$

Wenn man das mit f(x) = $x^3+e^{x^4}$ = $e^{x^4}+x^3$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $e^{x^4}-x^3$
weder gleich f(x) = $x^3+e^{x^4}$ noch gleich -f(x) = $-\left(x^3+e^{x^4}\right)$ = $-\left(e^{x^4}+x^3\right)$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

$\lg \left(\frac{4}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{1}{16}{x}^2\right)$

= $\lg \left(4x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(\frac{1}{16}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(4\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(4\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)+2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ wird $e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$-\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,1}x$	=	$\ln \left(-y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,1}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,1}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,1}}$

Die prozentuale Zunahme um 1.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 1.8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{1.8}{100}$⋅B = (1 + $\frac{1.8}{100}$) ⋅ B = 1,018 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,018.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.018($2$) ≈ 38.85 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 27.89 kg ist, also f(10) = 27.89. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot a^t$ ein:

$80a^{10}$	=	$\mathrm{27,89}$	|:$80$
$a^{10}$	=	$\frac{\mathrm{27,89}}{80}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\frac{\mathrm{27,89}}{80}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	$\sqrt[10]{\frac{\mathrm{27,89}}{80}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Tage, also f(5):

f(5) = $80\cdot {\mathrm{0,9}}^5$ ≈ 47,239.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 60 kg ist, also f(t) = 60:

$80\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$60$	|:$80$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\frac{3}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,7305}$

Nach ca. 2,731 Tage ist also der Bestand = 60 kg.