Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log im Interval bestimmen

Beispiel:

Finde zwei benachbarte ganze Zahlen, zwischen denen der Logarithmus log 10 (89124817) liegt.

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Wir suchen 10er-Potenzen in der Näher von 89124817, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als 89124817 ist.

Dabei kommt man auf 10 7 = 107 < 89124817 und auf 10 8 = 108 > 89124817.

Und da wir bei log 10 (89124817) ja das ☐ von 10 = 89124817 suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 7 und 8 liegen, wegen:
107 = 10 7 < 89124817 < 10 8 = 108

Es gilt somit: 7 < log 10 (89124817) < 8

Parameter mit Graph bestimmen

Beispiel:

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Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= k e k x - k -3 . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.

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Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

  • Da das k ja ein fester Wert ist, kann k e k x - k niemals = 0 werden.
  • Wenn der Exponent k x - k jedoch betragsmäßig sehr große und negative Werte annimmt, strebt der Exponentialterm k e k x - k recht schnell gegen 0. Das lässt sich auch gut in der waagrechten Asymptote bei -3 erkennen.
    Dieser zweite Summand ist aber unabhängig von k, so dass uns die Lage der Asymptote keinen Anhaltspunkt für den Wert von k gibt.
  • Wir müssen also den Exponent k x - k = 0 bekommen, um einen präzise ablesbaren Punkt auf dem Graph zu bekommen.
    k x - k = 0 | - ( - k )
    k x = k |:( k )
    x = 1
    Wenn wir nun 1 in fk einsetzen erhalten wir folgende Gleichung:
    fk(1 ) = k e k 1 - k -3 = k -3
    im abgebildeten Term können wir aber ja f(1 ) = -2 ablesen, es gilt somit:
    k -3 = -2 | +3
    k = 1

Der abgebildete Graph ist somit der von f1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e 0,3x -3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e 0,3x wird e 0,3x an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e 0,3x die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die -3 hinter dem -3 e 0,3x wird zu allen Funktionswerten von -3 e 0,3x noch -3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < -3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e 0,3x -3 = y | +3
-3 e 0,3x = y +3 |:-3
e 0,3x = - 1 3 y -1 |ln(⋅)
0,3x = ln( - 1 3 y -1 ) |:0,3
x = 1 0,3 ln( - 1 3 y -1 )
x = 10 3 ln( - 1 3 y -1 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 10 3 ln( - 1 3 x -1 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 10 3 ln( - 1 3 x -1 )

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 10kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion f(t)= c · a t können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga( 1 2 ).

Also 4.3 = loga( 1 2 ). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

a 4,3 = 1 2 | 4,3
a1 = - ( 1 2 ) 1 4,3 -0,851
a2 = ( 1 2 ) 1 4,3 0,851

Das gesuchte a ist somit 0,851 ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm f(t)= 10 0,85 t

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 13 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 9 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 3 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=13 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu = B - 13 100 ⋅B = (1 - 13 100 ) ⋅ B = 0,87 ⋅ B. Somit ist das a=0,87.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 13 0,87 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 13 0,87 9 3,712.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

13 0,87 t = 3 |:13
0,87 t = 3 13 |lg(⋅)
lg( 0,87 t ) = lg( 3 13 )
t · lg( 0,87 ) = lg( 3 13 ) |: lg( 0,87 )
t = lg( 3 13 ) lg( 0,87 )
t = 10,5293

Nach ca. 10,529 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.