Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+\lg \left(x^{-2}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-1$), also gilt f(0)=$-1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-1$ , also $\text{f(x)}=$ $-a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-3$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-3$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-a^x$ eingesezt bedeutet das: $-3$ = $-a$ = $-a$.

Es gilt also: $-3$ = $-a$ | ⋅ $-1$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$\mathrm{0,4}x-\mathrm{1,2}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $+\mathrm{1,2}$
$\mathrm{0,4}x$	=	$\ln \left(y-3\right)+\mathrm{1,2}$	|:$\mathrm{0,4}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,4}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,4}}$

f(0) = $65$

f(1) = $65$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $65$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $65$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $65$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $1000\cdot {\mathrm{1,02}}^6$ ≈ 1126,162.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 1500 € ist, also f(t) = 1500:

$1000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$1500$	|:$1000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,4753}$

Nach ca. 20,475 Jahre ist also der Kontostand = 1500 €.