Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 1 50 x 2 ) + lg( 1 10 x 4 ) + lg( 20 x 6 ) soweit wie möglich.

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- lg( 1 50 x 2 ) + lg( 1 10 x 4 ) + lg( 20 x 6 )

= - lg( 1 50 x -2 ) + lg( 1 10 x 4 ) + lg( 20 x -6 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 1 50 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 1 10 ) + lg( x 4 ) ) + ( lg( 20 ) + lg( 1 x 6 ) )

= - lg( 1 50 ) - lg( 1 x 2 ) + lg( 1 10 ) + lg( x 4 ) + lg( 20 ) + lg( 1 x 6 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 1 50 ) +2 lg( x ) + lg( 1 10 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) -6 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 1 ) + lg( 50 ) +2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 10 ) +4 lg( x ) + lg( 20 ) -6 lg( x )

= lg( 50 ) + lg( 20 ) - lg( 10 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 50 · 20 10 )

= lg( 100 )

= lg( 10 2 )

= 2

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

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Bestimme den Funktionsterm c · a x der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

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Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), also gilt f(0)=1.

In den allgemeinen Funktionsterm f(x)= c · a x eingesezt bedeutet das: 1 = c · a 0 = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = 1 , also f(x)= a x .

Außerdem können wir den Punkt (1|2) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = 2.

In unseren Funktionsterm f(x)= a x eingesezt bedeutet das: 2 = a = a .

Es gilt also: 2 = a

Somit ist der Funtionsterm: f(x)= 2 x

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,1x +0,2 -1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,1x +0,2 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,1x +0,2 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die -1 hinter dem e -0,1x +0,2 wird zu allen Funktionswerten von e -0,1x +0,2 noch -1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,1x +0,2 -1 = y | +1
e -0,1x +0,2 = y +1 |ln(⋅)
-0,1x +0,2 = ln( y +1 )
-0,1x +0,2 = ln( y +1 ) | -0,2
-0,1x = ln( y +1 ) -0,2 |:(-0,1 )
x = - 1 0,1 ln( y +1 ) + 0,2 0,1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,1 ln( x +1 ) + 0,2 0,1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,148 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,148 t ablesen: a=1.148.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.148(2) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 29%. 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn sind es bereits 148,65Millionen Bakterien.a) Wie viel Millionen Bakterien hat die Bakterienkultur nach 10 Stunden? b) Wann umfasst die Kultur 57 Millionen Bakterien?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Die prozentuale Zunahme um 29% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 29% dazukommen,
also Bneu = B + 29 100 ⋅B = (1 + 29 100 ) ⋅ B = 1,29 ⋅ B. Somit ist das a=1,29.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= c · 1,29 t mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Stunden der Bestand 148.65 Millionen Bakterien ist, also f(12) = 148.65. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= c · 1,29 t ein:

c ⋅ 1.2912 = 148.65

c ⋅ 21.23619 = 148.65 | : 21.23619

c = 7

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 7 1,29 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = 7 1,29 10 89,33.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 57:

7 1,29 t = 57 |:7
1,29 t = 57 7 |lg(⋅)
lg( 1,29 t ) = lg( 57 7 )
t · lg( 1,29 ) = lg( 57 7 ) |: lg( 1,29 )
t = lg( 57 7 ) lg( 1,29 )
t = 8,2356

Nach ca. 8,236 Stunden ist also der Bestand = 57 Millionen Bakterien.