Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Eigenschaften von e-Funktionen

Beispiel:

Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= 2 e x -1 +3 .

Tipp: Skizziere zuerst den Graph von f auf einem Stück Papier.

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Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Am Koeffizient vor dem e x erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.

Da bei 2 e x -1 +3 zu jedem Funktionswert von e x noch 3 addiert wird, ist der Graph von 2 e x -1 +3 gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 3 nach oben verschoben.

Da bei 2 e x -1 +3 das x von e x durch ein 'x-1' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um 1 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

  • Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
  • Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
  • Für x → ∞ strebt 2 e x -1 +3 gegen .
  • Für x → - ∞ strebt 2 e x -1 +3 gegen 0 +3 = 3 .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 10 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 25x ) soweit wie möglich.

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lg( 10 x 2 ) + lg( 4 x 3 ) + lg( 25x )

= lg( 10 x 2 ) + lg( 4 x -3 ) + lg( 25x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 10 ) + lg( x 2 ) + ( lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x ) )

= lg( 10 ) + lg( x 2 ) + lg( 4 ) + lg( 1 x 3 ) + lg( 25 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 10 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 10 ) +2 lg( x ) + lg( 4 ) -3 lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x )

= lg( 25 ) + lg( 10 ) + lg( 4 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 · 10 · 4 )

= lg( 1000 )

= lg( 10 3 )

= 3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e 0,3x -0,9 +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent 0,3x -0,9 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e 0,3x -0,9 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem e 0,3x -0,9 wird zu allen Funktionswerten von e 0,3x -0,9 noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e 0,3x -0,9 +1 = y | -1
e 0,3x -0,9 = y -1 |ln(⋅)
0,3x -0,9 = ln( y -1 )
0,3x -0,9 = ln( y -1 ) | +0,9
0,3x = ln( y -1 ) +0,9 |:0,3
x = 1 0,3 ln( y -1 ) + 0,9 0,3

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = 1 0,3 ln( x -1 ) + 0,9 0,3

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = 1 0,3 ln( x -1 ) + 0,9 0,3

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 99 ( 51 50 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = 99

f(1) = 99 51 50

f(2) = 99 51 50 51 50

f(3) = 99 51 50 51 50 51 50

f(4) = 99 51 50 51 50 51 50 51 50

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 51 50 multipliziert. Da 51 50 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 51 50 -fache (oder auf das 102 100 -fache), also auf 102 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 1,9% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 70 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 13 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 50 Millionen Einwohner?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.9% weggehen,
also Bneu = B - 1.9 100 ⋅B = (1 - 1.9 100 ) ⋅ B = 0,981 ⋅ B. Somit ist das a=0,981.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 70 0,981 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Jahre, also f(13):

f(13) = 70 0,981 13 54,55.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 50:

70 0,981 t = 50 |:70
0,981 t = 5 7 |lg(⋅)
lg( 0,981 t ) = lg( 5 7 )
t · lg( 0,981 ) = lg( 5 7 ) |: lg( 0,981 )
t = lg( 5 7 ) lg( 0,981 )
t = 17,5403

Nach ca. 17,54 Jahre ist also der Bestand = 50 Millionen Einwohner.