$\lg \left(40000000\right)$ + $\lg \left(25\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (40000000·25)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-\frac{3}{2}$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-\frac{3}{2}$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}\cdot a$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-\frac{3}{2}$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 3^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ können die Funktionswerte von $4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,2}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\mathrm{0,2}$	|:$\mathrm{0,2}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,2}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,2}}$

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 6.6 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{6,6}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $-\mathrm{1,111}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{6,6}}}$	≈ $\mathrm{1,111}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,111}$ ≈ 1.11, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=18 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Stunden der Bestand 41.4 Millionen Bakterien ist, also f(3) = 41.4. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot a^t$ ein:

$18a^3$	=	$\mathrm{41,4}$	|:$18$
$a^3$	=	$\mathrm{2,3}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{2,3}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{2,3}}$ ≈ 1.32 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot {\mathrm{1,32}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $18\cdot {\mathrm{1,32}}^{11}$ ≈ 381,58.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 68 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 68:

$18\cdot {\mathrm{1,32}}^t$	=	$68$	|:$18$
${\mathrm{1,32}}^t$	=	$\frac{34}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,32}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{34}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$	=	$\lg \left(\frac{34}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,32}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{34}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,32}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,7874}$

Nach ca. 4,787 Stunden ist also der Bestand = 68 Millionen Bakterien.