Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\left(-x\right)·\left(2e^{-x}+2e^x\right)$ = $-x·\left(2e^{-x}+2e^x\right)$ = $-2x·e^x-2x·e^{-x}$

Wenn man das mit f(x) = $x·\left(2e^x+2e^{-x}\right)$ = $2x·e^x+2x·e^{-x}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-2x·e^x-2x·e^{-x}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $-(x·2e^x+x·2e^{-x})$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzige Möglichkeit gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $-e^{-\frac{7}{10}x+3k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $5k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → +∞ strebt f_k(x) → 0 + $5k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = -2, somit muss $5k$ = -2 gelten;
  Also gilt k = $-\frac{2}{5}$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_{$-\frac{2}{5}$}

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-1$ vor $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ wird $e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y < 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$y$	|:$-1$
$e^{\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}}$	=	$-1y$	|ln(⋅)
$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-y\right)$

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(-y\right)$	| $+\mathrm{0,9}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(-y\right)+\mathrm{0,9}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-y\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(-x\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.86($\frac{1}{2}$) ≈ 4.6 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 4862.03 € ist, also f(4) = 4862.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁴ = 4862.03

c ⋅ 1.21551 = 4862.03 | : 1.21551

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $4000\cdot {\mathrm{1,05}}^5$ ≈ 5105,126.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 5000 € ist, also f(t) = 5000:

$4000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$5000$	|:$4000$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\frac{5}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,5735}$

Nach ca. 4,574 Jahre ist also der Kontostand = 5000 €.