$\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(\frac{50}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{250x^2}\right)$

= $\lg \left(5x^4\right)+\lg \left(50x^{-1}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+(\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))+(\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^4\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{250}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(250\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(x\right)-\lg \left(250\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{250}·50·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{5}·5)$

= $\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(5x^3\right)-\lg \left(100000x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}{x}^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-(\lg \left(100000\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(x^2\right))$

= $\lg \left(5\right)+\lg \left(x^3\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-\lg \left(x^2\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(5\right)+3\lg \left(x\right)-\lg \left(100000\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(100000\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{100.000}·20·5)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)$

= $\lg \left({10}^{-3}\right)$

= $-3$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-2$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-2}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +1 hinter dem $e^{x-2}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{x-2}$ noch $1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{x-2}+1$	=	$y$	| $-1$
$e^{x-2}$	=	$y-1$	|ln(⋅)
$x-2$	=	$\ln \left(y-1\right)$

$x-2$	=	$\ln \left(y-1\right)$	| $+2$
$x$	=	$\ln \left(y-1\right)+2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(x-1\right)+2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(x-1\right)+2$

f(0) = $42$

f(1) = $42$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(2) = $42$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(3) = $42$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

f(4) = $42$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{6}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{6}{5}$ multipliziert. Da $\frac{6}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{6}{5}$-fache (oder auf das $\frac{120}{100}$-fache), also auf $120$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 120% - 100% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 5.11 Millionen Insekten ist, also f(6) = 5.11. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^6$	=	$\mathrm{5,11}$	|:$11$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{5,11}}{11}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{5,11}}{11}}$	≈ $-\mathrm{0,88}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{5,11}}{11}}$	≈ $\mathrm{0,88}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,88}$ ≈ 0.88 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $11\cdot {\mathrm{0,88}}^7$ ≈ 4,495.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4:

$11\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$4$	|:$11$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{4}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,9134}$

Nach ca. 7,913 Jahre ist also der Bestand = 4 Millionen Insekten.