Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{64}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{64}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{64}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{64}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-6$, eben weil $2$^$-6$ = $\frac{1}{64}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)+\lg \left(25x\right)-\lg \left(\frac{5}{x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}{x}^3\right)+\lg \left(25x\right)-\lg \left(5x^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{2}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right))-(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{2}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(2\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(25\right)+\lg \left(x\right)-\lg \left(5\right)+2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(25\right)-\lg \left(5\right)+\lg \left(2\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{25}{5}·2)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $4$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ können die Funktionswerte von $4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$4e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$y$	|:$4$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}}$	=	$\frac{1}{4}y$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,3}$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)$	| $-\mathrm{0,3}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{4}y\right)-\mathrm{0,3}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}y\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{4}x\right)+\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,3}}$

f(0) = $188$

f(1) = $188$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $188$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $188$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $188$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B. Somit ist das a=0,95.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 27.08 kg ist, also f(2) = 27.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,95}}^t$ ein:

c ⋅ 0.95² = 27.08

c ⋅ 0.9025 = 27.08 | : 0.9025

c = 30

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $30\cdot {\mathrm{0,95}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $30\cdot {\mathrm{0,95}}^6$ ≈ 22,053.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 24.4 kg ist, also f(t) = 24.4:

$30\cdot {\mathrm{0,95}}^t$	=	$\mathrm{24,4}$	|:$30$
${\mathrm{0,95}}^t$	=	$\mathrm{0,8133}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,95}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8133}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8133}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,95}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8133}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,95}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0289}$

Nach ca. 4,029 Tage ist also der Bestand = 24.4 kg.