Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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1. Logarithmusgesetz rückwärts

Beispiel:

Vereinfache: log 4 ( 16 ) - log 4 ( 4 ) .

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log 4 ( 16 ) - log 4 ( 4 )

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= log 4 ( 16 4 )

= log 4 ( 4 )

= 1

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x 2 ) + lg( 1 10000 ) - lg( 1 2 x 2 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x 2 ) + lg( 1 10000 ) - lg( 1 2 x 2 )

= lg( 5 x -2 ) + lg( 1 10000 ) - lg( 1 2 x -2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) + ( lg( 1 10000 ) + lg( 1 ) ) - ( lg( 1 2 ) + lg( 1 x 2 ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 10000 ) + lg( 1 ) - lg( 1 2 ) - lg( 1 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 1 10000 ) +0 - lg( 1 2 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 10000 ) +0 - lg( 1 ) + lg( 2 ) +2 lg( x )

= - lg( 10000 ) + lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 10000 · 5 · 2 )

= lg( 1 1000 )

= lg( 10 -3 )

= -3

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= -3 e x -1 +3 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent x -1 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e x -1 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten -3 vor e x -1 wird e x -1 an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei -3 e x -1 die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +3 hinter dem -3 e x -1 wird zu allen Funktionswerten von -3 e x -1 noch 3 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 3}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

-3 e x -1 +3 = y | -3
-3 e x -1 = y -3 |:-3
e x -1 = - 1 3 y +1 |ln(⋅)
x -1 = ln( - 1 3 y +1 )
x -1 = ln( - 1 3 y +1 ) | +1
x = ln( - 1 3 y +1 ) +1

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ln( - 1 3 x +1 ) +1

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = ln( - 1 3 x +1 ) +1

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 8% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8% weggehen,
also Bneu = B - 8 100 ⋅B = (1 - 8 100 ) ⋅ B = 0,92 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,92.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.92( 1 2 ) ≈ 8.31 Jahre

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8211,41€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 9000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm f(t)= 6000 a t mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 8211.41 € ist, also f(8) = 8211.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm f(t)= 6000 a t ein:

6000 a 8 = 8211,41 |:6000
a 8 = 1,36857 | 8
a1 = - 1,36857 8 = -1,04
a2 = 1,36857 8 = 1,04

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= 1,04 ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 6000 1,04 t .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = 6000 1,04 9 8539,871.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 9000 € ist, also f(t) = 9000:

6000 1,04 t = 9000 |:6000
1,04 t = 3 2 |lg(⋅)
lg( 1,04 t ) = lg( 3 2 )
t · lg( 1,04 ) = lg( 3 2 ) |: lg( 1,04 )
t = lg( 3 2 ) lg( 1,04 )
t = 10,338

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 9000 €.