Man kann erkennen, dass $10000000$ eine Potenz ist: $10000000$ = ${10}^7$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^7$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^7$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^7$ = ${100}^{\frac{7}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{7}{2}$, eben weil $100$^{$\frac{7}{2}$} = $10000000$ gilt .

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$1$), also gilt f(0)=$1$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $1$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $1$ , also $\text{f(x)}=$ $a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$4$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $4$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ eingesezt bedeutet das: $4$ = $a$ = $a$.

Es gilt also: $4$ = $a$

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $4^x$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten $3$ vor $e^{-\mathrm{0,3}x}$ können die Funktionswerte von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die -1 hinter dem $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ wird zu allen Funktionswerten von $3e^{-\mathrm{0,3}x}$ noch $-1$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > -1}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$3e^{-\mathrm{0,3}x}-1$	=	$y$	| $+1$
$3e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$y+1$	|:$3$
$e^{-\mathrm{0,3}x}$	=	$\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$	|:$-\mathrm{0,3}$
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$
$x$	=	$-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{10}{3}\ln \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)$

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.86($\frac{1}{2}$) ≈ 4.6 Jahre

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Tage der Bestand 25.88 kg ist, also f(6) = 25.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot a^t$ ein:

$40a^6$	=	$\mathrm{25,88}$	|:$40$
$a^6$	=	$\mathrm{0,647}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\mathrm{0,647}}$	≈ $-\mathrm{0,93}$
a2	=	$\sqrt[6]{\mathrm{0,647}}$	≈ $\mathrm{0,93}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,93}$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $40\cdot {\mathrm{0,93}}^{11}$ ≈ 18,004.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,5513}$

Nach ca. 9,551 Tage ist also der Bestand = 20 kg.