Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen
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1. Logarithmusgesetz rückwärts
Beispiel:
Vereinfache: + .
+
Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:
=
=
=
= 4
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Man kann schnell erkennen, dass der Exponentialterm
= 0 wird, wenn
= 0 ist, also für x = .
Dann muss ja der y-Wert fk() = = = sein.
Da bei x = bei ( ) auch das Vorzeichen wechselt, muss dieser Punkt P(| ) im abgebildeten Graph bei P(1| ) sein.
Für den x-Wert dieses Punkts P gilt somit = 1
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n
Beispiel:
Die Funktion f mit ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.
Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion .
Maximale Definitionsmenge von f
Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= )
Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ
Wertemenge von f
Der Exponent ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.
Wir wissen, dass für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.
Auch mit dem positiven Koeffizienten vor können die Funktionswerte von alles zwischen 0 und ∞ annehmen.
Somit ist der Wertebereich von f: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
Umkehrfunktion
Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:
y =
und erhalten so die Umkehrfunktion (x) =
Exponentialterm mit Halbwertszeit best.
Beispiel:
Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 4,3 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 40kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.
Von der allgemeinen Exponentialfunktion können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.
Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: TH = loga().
Also 4.3 = loga(). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit
| = | | | ||
| a1 | = |
|
≈
|
| a2 | = |
|
≈
|
Das gesuchte a ist somit
c und a gegeben
Beispiel:
Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 10 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 11000 angewachsen?
Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form
Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.
Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also Bneu
= B +
Damit ergibt sich der Funktionsterm
zu a)
Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):
f(10) =
zu b)
Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer ist, also f(t) = 11000:
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Nach ca. 17,157 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 11000 Nutzer.
