Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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log berechnen (einfach)

Beispiel:

Berechne den Logarithmus log 5 (125) .

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Wir suchen den Logarithmus von 125 zur Basis 5, also die Hochzahl mit der man 5 potenzieren muss, um auf 125 zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit 5 = 125 gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

log 5 (125) = 3, eben weil 53 = 125 gilt .

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 5 x ) + lg( 50 x 2 ) + lg( 1 2500 x 3 ) soweit wie möglich.

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lg( 5 x ) + lg( 50 x 2 ) + lg( 1 2500 x 3 )

= lg( 5 x -1 ) + lg( 50 x -2 ) + lg( 1 2500 x 3 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 5 ) + lg( 1 x ) + ( lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) ) + ( lg( 1 2500 ) + lg( x 3 ) )

= lg( 5 ) + lg( 1 x ) + lg( 50 ) + lg( 1 x 2 ) + lg( 1 2500 ) + lg( x 3 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) + lg( 1 2500 ) +3 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 50 ) -2 lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 2500 ) +3 lg( x )

= - lg( 2500 ) + lg( 50 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 2500 · 50 · 5 )

= lg( 1 10 )

= lg( 10 -1 )

= -1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= 4 e -0,4x +1 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

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Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,4x ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,4x für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Auch mit dem positiven Koeffizienten 4 vor e -0,4x können die Funktionswerte von 4 e -0,4x alles zwischen 0 und ∞ annehmen.

Durch die +1 hinter dem 4 e -0,4x wird zu allen Funktionswerten von 4 e -0,4x noch 1 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 1}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

4 e -0,4x +1 = y | -1
4 e -0,4x = y -1 |:4
e -0,4x = 1 4 y - 1 4 |ln(⋅)
-0,4x = ln( 1 4 y - 1 4 ) |:-0,4
x = - 1 0,4 ln( 1 4 y - 1 4 )
x = - 5 2 ln( 1 4 y - 1 4 )

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 5 2 ln( 1 4 x - 1 4 )

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 5 2 ln( 1 4 x - 1 4 )

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit f(t)= c · 1,137 t mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm f(t)= c · 1,137 t ablesen: a=1.137.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.137(2) ≈ 5.4 (Zeiteinheiten)

c und a gegeben

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 11% abnimmt. Zu Beginn der Beobachtung wurden 11 Millionen dieser Insekten geschätzt. a) Wie viele Millionen der Insekten gibt es in dem Land noch nach 10 Jahren? b) Wann erwartet man nur noch 1,7 Millionen dieser Insekten?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also Bneu = B - 11 100 ⋅B = (1 - 11 100 ) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 11 0,89 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = 11 0,89 10 3,43.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1.7 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1.7:

11 0,89 t = 1,7 |:11
0,89 t = 0,1545 |lg(⋅)
lg( 0,89 t ) = lg( 0,1545 )
t · lg( 0,89 ) = lg( 0,1545 ) |: lg( 0,89 )
t = lg( 0,1545 ) lg( 0,89 )
t = 16,0259

Nach ca. 16,026 Jahre ist also der Bestand = 1.7 Millionen Insekten.