Aufgabenbeispiele von Exponentialfunktionen / Logarithmen

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Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term - lg( 12500x ) + lg( 25 x 2 ) + lg( 5 x ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

- lg( 12500x ) + lg( 25 x 2 ) + lg( 5 x )

= - lg( 12500x ) + lg( 25 x 2 ) + lg( 5 x -1 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= -( lg( 12500 ) + lg( x ) ) + ( lg( 25 ) + lg( x 2 ) ) + ( lg( 5 ) + lg( 1 x ) )

= - lg( 12500 ) - lg( x ) + lg( 25 ) + lg( x 2 ) + lg( 5 ) + lg( 1 x )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= - lg( 12500 ) - lg( x ) + lg( 25 ) +2 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= - lg( 12500 ) - lg( x ) + lg( 25 ) +2 lg( x ) + lg( 5 ) - lg( x )

= - lg( 12500 ) + lg( 25 ) + lg( 5 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 1 12500 · 25 · 5 )

= lg( 1 100 )

= lg( 10 -2 )

= -2

Beide Logarithmusgesetze

Beispiel:

Vereinfache den Term lg( 25 x ) + lg( 1 5 x ) + lg( 2 x 2 ) soweit wie möglich.

Lösung einblenden

lg( 25 x ) + lg( 1 5 x ) + lg( 2 x 2 )

= lg( 25 x -1 ) + lg( 1 5 x -1 ) + lg( 2 x 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= lg( 25 ) + lg( 1 x ) + ( lg( 1 5 ) + lg( 1 x ) ) + ( lg( 2 ) + lg( x 2 ) )

= lg( 25 ) + lg( 1 x ) + lg( 1 5 ) + lg( 1 x ) + lg( 2 ) + lg( x 2 )

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(ab) = b⋅log(a) umformen zu:

= lg( 25 ) - lg( x ) + lg( 1 5 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log( a b ) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= lg( 25 ) - lg( x ) + lg( 1 ) - lg( 5 ) - lg( x ) + lg( 2 ) +2 lg( x )

= lg( 25 ) - lg( 5 ) + lg( 2 )

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= lg( 25 5 · 2 )

= lg( 10 )

= lg( 10 )

= 1

Umkehrfunktion von e- und ln-Funkt'n

Beispiel:

Die Funktion f mit f(x)= e -0,2x +0,6 +2 ist auf ihrer maximalen Definitionsmenge umkehrbar.

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge von f sowie einen Term für die Umkehrfunktion f - .

Lösung einblenden

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e0=1; e-c= 1 e c )

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent -0,2x +0,6 ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass e -0,2x +0,6 für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +2 hinter dem e -0,2x +0,6 wird zu allen Funktionswerten von e -0,2x +0,6 noch 2 addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 2}

Umkehrfunktion

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Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

e -0,2x +0,6 +2 = y | -2
e -0,2x +0,6 = y -2 |ln(⋅)
-0,2x +0,6 = ln( y -2 )
-0,2x +0,6 = ln( y -2 ) | -0,6
-0,2x = ln( y -2 ) -0,6 |:(-0,2 )
x = - 1 0,2 ln( y -2 ) + 0,6 0,2

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = - 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

und erhalten so die Umkehrfunktion f - (x) = - 1 0,2 ln( x -2 ) + 0,6 0,2

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also Bneu = B - 15 100 ⋅B = (1 - 15 100 ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.85( 1 2 ) ≈ 4.27 Jahre

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 2,6% seiner Bevölkerung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Land 55 Millionen Einwohner. a) Wie viel Millionen Einwohner hat der Staat noch nach 12 Jahren? b) Wann hat das Land nur noch 35 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form f(t)= c · a t sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also Bneu = B - 2.6 100 ⋅B = (1 - 2.6 100 ) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Damit ergibt sich der Funktionsterm f(t)= 55 0,974 t .

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = 55 0,974 12 40,093.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

55 0,974 t = 35 |:55
0,974 t = 7 11 |lg(⋅)
lg( 0,974 t ) = lg( 7 11 )
t · lg( 0,974 ) = lg( 7 11 ) |: lg( 0,974 )
t = lg( 7 11 ) lg( 0,974 )
t = 17,1571

Nach ca. 17,157 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.