Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{32}$ zur Basis $2$, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{32}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $\frac{1}{32}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $2$-Potenz zu schreiben versuchen, also $2$^☐ = $\frac{1}{32}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-5$, eben weil $2$^$-5$ = $\frac{1}{32}$ gilt .

$-\lg \left(\frac{1}{5x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{4x}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^{-4}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}{x}^{-5}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-1}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))+(\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right))-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^5}\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{2000}\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)+4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(2000\right)-5\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x\right)$

= $-\lg \left(2000\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{1}{2000}·5·4)$

= $\lg \left(\frac{1}{100}\right)$

= $\lg \left({10}^{-2}\right)$

= $-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $x-3$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{x-3}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch den negativen Koeffizienten $-4$ vor $e^{x-3}$ wird $e^{x-3}$ an der x-Achse gespiegelt. Dadurch liegen bei $-4e^{x-3}$ die Funktionswerte zwischen -∞ und 0.

Durch die +2 hinter dem $-4e^{x-3}$ wird zu allen Funktionswerten von $-4e^{x-3}$ noch $2$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y < 2}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$-4e^{x-3}+2$	=	$y$	| $-2$
$-4e^{x-3}$	=	$y-2$	|:$-4$
$e^{x-3}$	=	$-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}$	|ln(⋅)
$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$

$x-3$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)$	| $+3$
$x$	=	$\ln \left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}\right)+3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\ln \left(-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)+3$

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,871}}^t$ ablesen: a=0.871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.871($\frac{1}{2}$) ≈ 5.02 (Zeiteinheiten)

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Jahre der Bestand 2.59 Millionen Insekten ist, also f(11) = 2.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^{11}$	=	$\mathrm{2,59}$	|:$12$
$a^{11}$	=	$\frac{\mathrm{2,59}}{12}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\frac{\mathrm{2,59}}{12}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\frac{\mathrm{2,59}}{12}}$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $12\cdot {\mathrm{0,87}}^6$ ≈ 5,204.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 6:

$12\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$6$	|:$12$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,9773}$

Nach ca. 4,977 Jahre ist also der Bestand = 6 Millionen Insekten.