Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.85cm}}{\mathrm{7cm}}$=0.836 und somit β=56.7°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.3°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+33.3°=β=56.7° gilt nun: α = 23.4°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 32° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 32° = 58°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{122°}}{2}$ = 61°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(61°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(61°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.8cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(58°)=$\frac{\mathrm{4.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.8}}{\mathrm{sin(58°)}}$ = 5.7cm

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite c parallel zur x-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe h_c.

Die achsenparallelen Strecken c und h_c kann man direkt ablesen:
c = 10 und h_c = 8

Weil Höhe ja parallel zur y-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_c auf c trefft, den gleichen x-Wert wie C, also x = 3.
Somit ergibt sich AL = 8 und LB = 2

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und b berechnen:

b² = h² + AL² = 8² + 8² = 64 + 64 = 128

=> b = $\sqrt{\mathrm{128}}$ ≈ 11.31

a² = h² + LB² = 8² + 2² = 64 + 4 = 68

=> a = $\sqrt{\mathrm{68}}$ ≈ 8.25

Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:

Für den Winkel in A gilt: tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Für den Winkel in B gilt: tan(β) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Daraus folgt: β = arctan(4) ≈ 76°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 180°-45°-76° = 59°

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(39.6°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(34.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 6}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(39.6°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(39.6°) ⋅ x =h |:tan(39.6°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(39.6°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(34.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 6}}$ | ⋅ (x+ 6)

(II) tan(34.4°) ⋅ (x+ 6) = h |:tan(39.6°)

(II) x + 6= $\frac{h}{\mathrm{tan(34.4°)}}$ | -6

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(34.4°)}}$ - 6

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(39.6°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(34.4°)}}$ - 6

$\frac{h}{\mathrm{0.8273}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.6847}}$ - 6

$\frac{1}{\mathrm{0.8273}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.6847}}$ ⋅ h - 6

1.2088 h = 1.4605 h - 6 | - 1.2088 + 6

6 = 0.2517 h | : 0.2517

23.8407 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=23.8m hoch.