Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.8cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.873 und somit β=60.8°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29.2°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 23° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{113°}}{2}$ = 56.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56.5°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(56.5°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(67°)=$\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.8}}{\mathrm{sin(67°)}}$ = 6.3cm

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite c parallel zur x-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe h_c.

Die achsenparallelen Strecken c und h_c kann man direkt ablesen:
c = 6 und h_c = 7

Weil Höhe ja parallel zur y-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_c auf c trefft, den gleichen x-Wert wie C, also x = 3.
Somit ergibt sich AL = 5 und LB = 1

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und b berechnen:

b² = h² + AL² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74

=> b = $\sqrt{\mathrm{74}}$ ≈ 8.6

a² = h² + LB² = 7² + 1² = 49 + 1 = 50

=> a = $\sqrt{\mathrm{50}}$ ≈ 7.07

Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:

Für den Winkel in A gilt: tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

Daraus folgt: α = arctan(1.4) ≈ 54.5°.

Für den Winkel in B gilt: tan(β) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{1}$ = 7

Daraus folgt: β = arctan(7) ≈ 81.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 180°-54.5°-81.9° = 43.6°

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Im kleinen Dreieck können wir die Gegenkathete gk2=15m und die Ankathete ak=12m direkt dem Aufgabentext entnehmen.
Somit gilt: tan(α₂)=$\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{12}}$ ≈ 1.25
also α₂ ≈ 51.3°

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck, nur dass wir hier erst noch die Gegenkathete als Summe von gk2=15m und 7.32m, also gk1=22.32m berechnen müssen.
Somit gilt: tan(α₁)=$\frac{\mathrm{22.32}}{\mathrm{12}}$ ≈ 1.86
also α₁ ≈ 61.7°

Für den gesuchten Winkel α gilt dann:
α=61.7° - 51.3° ≈ 10.4°.