Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-450° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{-450°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -450° auch nur $\frac{\mathrm{-450°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{-450}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{-450°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $-\frac{15}{6}$⋅π = $-\frac{5}{2}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$3$π entspricht also dem Gradmaß $3$⋅180° = 540°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.1 = $\frac{\mathrm{4.1}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{4.1}}{\pi }$⋅180° ≈ 234.9°

$\pi$ bedeutet $\frac{1}{2}$ eines Kreises, also $\frac{1}{2}$ von 360° = 180°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\pi$) bzw. für sin(180°) ablesen:

sin( $\pi$) bzw. sin(180°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\pi$°) ≈ 0

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{41}{12}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{41}{12}$π - $\frac{24}{12}$π =$\frac{17}{12}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{17}{12}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{17}{12}$π = $-\frac{5}{12}$π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{12}$π einfach $-\frac{5}{12}$π + 2 π = $\frac{19}{12}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{17}{12}$π und x₂ = $\frac{19}{12}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{41}{12}$π als $\frac{41}{12}$⋅ 180° = 615° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 255°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 255° als negativen Winkel 255° -360° = -105° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-105°) = -75°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -75° + 360° = 285°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{17}{12}$π und x₂ = $\frac{19}{12}$π