Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

180° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{180°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 180° auch nur $\frac{\mathrm{180°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{180°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{6}{6}$⋅π = $1$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$4$π entspricht also dem Gradmaß $4$⋅180° = 720°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.7 = $\frac{\mathrm{3.7}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{3.7}}{\pi }$⋅180° ≈ 212°

$2\pi$ bedeutet $1$ eines Kreises, also $1$ von 360° = 360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $2\pi$) bzw. für sin(360°) ablesen:

sin( $2\pi$) bzw. sin(360°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $2\pi$°) ≈ -0

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{1}{3}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{1}{3}$π + $\frac{6}{3}$π =$\frac{5}{3}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{3}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{3}$π einfach $-\frac{5}{3}$π + 2 π = $\frac{1}{3}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{3}$π und x₂ = $\frac{1}{3}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{1}{3}$π als $-\frac{1}{3}$⋅ 180° = -60° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 300°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 300° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -300°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -300° + 360° = 60°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{3}$π und x₂ = $\frac{1}{3}$π