Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

210° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{210°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 210° auch nur $\frac{\mathrm{210°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{210}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{210°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{7}{6}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{8}{3}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{8}{3}$⋅180° = 480°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.9 = $\frac{\mathrm{1.9}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{1.9}}{\pi }$⋅180° ≈ 108.9°

$-\frac{3}{2}\pi$ bedeutet $-\frac{3}{4}$ eines Kreises, also $-\frac{3}{4}$ von 360° = -270°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -270° + 360° = 90°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $-\frac{3}{2}\pi$) bzw. für sin(-270°) ablesen:

sin( $-\frac{3}{2}\pi$) bzw. sin(-270°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $-\frac{3}{2}\pi$°) ≈ 1

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{8}{3}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{8}{3}$π - $\frac{6}{3}$π =$\frac{2}{3}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{2}{3}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{2}{3}$π = $\frac{1}{3}$π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{2}{3}$π und x₂ = $\frac{1}{3}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{8}{3}$π als $\frac{8}{3}$⋅ 180° = 480° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 120°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 120° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 120°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 120° = 60°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{2}{3}$π und x₂ = $\frac{1}{3}$π