Aufgabenbeispiele von Informatik
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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1010.0001)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1010.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 161
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0001)2 = 161
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 161 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 161 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
161 = 128 + 33 = 128 + 32 + 1
= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 161 = (1010.0001)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | |
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | - | ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0100.0111)2
zu (1011.1000)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0101.1111)2 und -b = (1011.1001)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0001.1000)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(100.0100)2 ⋅ (1000.0011)2 =
Der zweite Faktor (1000.0011)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | )2 | ( | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | )2 |
somit gilt:
(100.0100)2 ⋅ (1000.0011)2 = 100.0100 ⋅ (1000.0000 + 10 + 1)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(100.0100)2 ⋅ (1000.0011)2 = (10.0010.0000.0000)2 + (1000.1000)2 + (100.0100)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | ||||||
| ( | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (10.0010.1100.1100)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 68 ⋅ 131 = 8908)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1.0001.1000)2 : (1110)2 =
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | : | 1 | 1 | 1 | 0 | = | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| - | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| - | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (10001)2 - (1110)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 17 - 14 = 3
- Die obige Differenz (01110)2 - (1110)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 14 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 280 : 14 = 20)
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | - | ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0100.1100)2
zu (1011.0011)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0111.1001)2 und -b = (1011.0100)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 1 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0010.1101)2