Aufgabenbeispiele von Informatik
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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (10.1000)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(10.1000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 40
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1000)2 = 40
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 273 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 273 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
273 = 256 + 17 = 256 + 16 + 1
= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 273 = (1.0001.0001)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | |||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0001.0110)2
zu (1110.1001)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0100.0100)2 und -b = (1110.1010)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0010.1110)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(110.1100)2 ⋅ (10.1100)2 =
Der zweite Faktor (10.1100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
somit gilt:
(110.1100)2 ⋅ (10.1100)2 = 110.1100 ⋅ (10.0000 + 1000 + 100)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(110.1100)2 ⋅ (10.1100)2 = (1101.1000.0000)2 + (11.0110.0000)2 + (1.1011.0000)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (1.0010.1001.0000)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 108 ⋅ 44 = 4752)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1.1001.0101)2 : (1111)2 =
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | : | 1 | 1 | 1 | 1 | = | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| - | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| - | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| - | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| - | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (11001)2 - (1111)2 = (1010)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 25 - 15 = 10
- Die obige Differenz (10100)2 - (1111)2 = (101)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 20 - 15 = 5
- Die obige Differenz (10110)2 - (1111)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 22 - 15 = 7
- Die obige Differenz (01111)2 - (1111)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 15 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 405 : 15 = 27)
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |