Aufgabenbeispiele von Informatik
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Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100.0100)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100.0100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 196
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.0100)2 = 196
Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 122 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 122 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
122 = 64 + 58 = 64 + 32 + 26 = 64 + 32 + 16 + 10 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2
= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 122 = (111.1010)2
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0011.1111)2
zu (1100.0000)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
| ( | 1 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| ( | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0100.1110)2 und -b = (1100.0001)2 addieren:
| ( | 0 | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0000.1111)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(100.1011)2 ⋅ (1001.0100)2 =
Der zweite Faktor (1001.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
| ( | 1 | 0 | 0 | )2 | ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 | |||
| ( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
somit gilt:
(100.1011)2 ⋅ (1001.0100)2 = 100.1011 ⋅ (1000.0000 + 1.0000 + 100)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(100.1011)2 ⋅ (1001.0100)2 = (10.0101.1000.0000)2 + (100.1011.0000)2 + (1.0010.1100)2
Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
| ( | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:
| ( | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 0 | )2 |
| 1 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (10.1011.0101.1100)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 75 ⋅ 148 = 11100)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1010.1000)2 : (1000)2 =
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | : | 1 | 0 | 0 | 0 | = | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| - | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| - | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (1010)2 - (1000)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 10 - 8 = 2
- Die obige Differenz (01010)2 - (1000)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 10 - 8 = 2
- Die obige Differenz (01000)2 - (1000)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 8 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 168 : 8 = 21)
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | 1 | 1 | )2 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
| ( | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |