Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$\text{f '(x)}=$ $4·1·e^{\frac{1}{3}x}+4x·e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}+0$
= $4e^{\frac{1}{3}x}+\frac{4}{3}x·e^{\frac{1}{3}x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{3}x}·\left(4+\frac{4}{3}x\right)$
= $e^{\frac{1}{3}x}·\left(\frac{4}{3}x+4\right)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{3}x}·\left(\frac{4}{3}x+4\right)$	=	0
$\left(\frac{4}{3}x+4\right)·e^{\frac{1}{3}x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $-3$}

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$\text{f '(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}+2\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}\right)+0$
= $2e^{-\mathrm{0,5}x}-\left(x+4\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{-\mathrm{0,5}x}·(2-\left(x+4\right))$
= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(2-x-4\right)$
= $e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-2\right)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{-\mathrm{0,5}x}·\left(-x-2\right)$	=	0
$\left(-x-2\right)·e^{-\mathrm{0,5}x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $-2$}