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Aufgabenbeispiele von Algebra-Support

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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 2$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $4 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $4 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$
= $8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (8 x + x^{2})$
= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (x^{2} + 8 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{4} x} \cdot (x^{2} + 8 x)$	=	0
$(x^{2} + 8 x) \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 8$ ; 0}

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$
= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - (x + 5))$
= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 5)$
= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 3)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 3)$	=	0
$(- x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{- 0,5 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 3$ }