Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 9}}{\mathrm{2\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{9}{18}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Zähler 3 nachher der neue Zähler 27 wird.

Wir müssen also mit 27 : 3 = 9 erweitern.

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}{\mathrm{4\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{27}{36}$

Wir erweitern zuerst $\frac{3}{7}$ mit 3

Dann erweitern wir $\frac{9}{21}$ mit 2 Und dann erweitern wir noch $\frac{18}{42}$ mit 5

Da wir ja Zähler und Nenner erst ⋅ 3, dann ⋅ 2 und dann ⋅ 5 multipliziert haben, hätten wir auch einfach mit 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 30 multiplizieren können, also $\frac{3}{7}$ einfach mit 30 erweitern können:

Beim Kürzen mit 4 dividieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 4:

$\frac{12}{20}$ = $\frac{\mathrm{12\; :\; 4}}{\mathrm{20\; :\; 4}}$ = $\frac{3}{5}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (36) und Nenner (27) sind:

$\frac{36}{27}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{12}{9}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{4}{3}$

$\frac{36}{27}$ = $\frac{4}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{2}{3}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (2) und Nenner (3) sind:

Leider konnten wir keinen Primteiler finden, der sowohl Zähler als auch Nenner teilt. Daher können wir den Bruch $\frac{2}{3}$ nicht kürzen.
Deswegen erweitern wir $\frac{2}{3}$ einfach mit 2:
$\frac{2}{3}$ $\stackrel{\mathrm{e(2)}}{=}$ $\frac{4}{6}$

Weil man $\frac{2}{3}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{4}{6}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{2}{3}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{6}{9}$

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{20}{25}$ können wir anhand des Zählers 4 im anderen Bruch erkennen, dass hier der erste Bruch mit 5 gekürzt wurde, weil 20 ja 5 mal so groß ist wie 4 (20:4=5).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 25 sein, also 25 : 5 = 5.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{4}{5}$ können wir anhand des Nenners 30 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 6 erweitert wurde, weil 30 ja 6 mal so groß ist wie 5 (30:5=6).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit 6 mal so groß wie 4 sein, also 4 · 6 = 24.

Wenn man von der linken Tafel 2 Stücke abbricht, dann ist ja dieses Stück $\frac{2}{8}$ der ganzen Tafel.

Diese $\frac{2}{8}$ kann man aber noch kürzen zu $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Wenn nun von der rechten Tafel ein gleich schweres Stück abgebrochen werden soll, muss diese ja auch $\frac{1}{4}$ dieser Schokoladentafel ausmachen.

Wir müssen also heraus bekommen, wie viele Stücke $\frac{1}{4}$ von den 28 sind.

Dazu müssen wir ja einfach die 28 durch 4 teilen, also: 28 : 4 = 7

(Denn $\frac{1}{4}$ = $\frac{7}{28}$)

Es müssen also 7 Stücke von der rechten Schokoladentafel abgebrochen werden.

Vergleich von $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{8}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{3}{2}$ und $\frac{9}{7}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{21}{14}$

$\frac{9}{7}$ = $\frac{18}{14}$

Also gilt: $\frac{3}{2}$ = $\frac{21}{14}$ > $\frac{18}{14}$ = $\frac{9}{7}$.

Es gilt hier also $\frac{3}{2}$ > $\frac{9}{7}$