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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 91 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 26 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 91: f(91)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 91}$ ≈ 0.7

Wann wird der Wert 26?: f(t)=26

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$26$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 300 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 300 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 300 000)$	≈ 122.3099

also t=122.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 16 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 7-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 36 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 7,78-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{16}$ ≈ 0.043321698784997

=> f(t)= $7 e^{0,0433 t}$

Wert zur Zeit 36: f(36)= $7 e^{0,0433 \cdot 36}$ ≈ 33.3

Wann wird der Wert 7.78?: f(t)=7.78

$7 e^{0,0433 t}$	=	$7,78$	\|: $7$
$e^{0,0433 t}$	=	$1,1114$	\|ln(⋅)
$0,0433 t$	=	$\ln (1,1114)$	\|: $0,0433$
$t$	=	$\frac{1}{0,0433} \ln (1,1114)$	≈ 2.438

also t=2.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 12% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 6 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 4 Stunden? b) Wann sind es 10 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 6 ist, gilt: f(0)= 6, also 6 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $6 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.12) ≈ 0.113328685307

=> f(t)= $6 e^{0,1133 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $6 e^{0,1133 \cdot 4}$ ≈ 9.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$6 e^{0,1133 t}$	=	$10$	\|: $6$
$e^{0,1133 t}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$0,1133 t$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $0,1133$
$t$	=	$\frac{1}{0,1133} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 4.5086

also t=4.5

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 60° erhitzt hat. Nach 2 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 3 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 60 ist, gilt: f(0)= 60, also 60 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$60$	=	$20 - c$
$60$	=	$- c + 20$	\| $- 60$ $+ c$
$c$	=	$- 40$

somit gilt: f(t)= $20 + 40 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(2)= $20 + 40 e^{- k \cdot 2}$ = 51.

20 + 40 e^{- 2 k}

=

51,0029

$40 e^{- 2 k} + 20$	=	$51,0029$	\| $- 20$
$40 e^{- 2 k}$	=	$31,0029$	\|: $40$
$e^{- 2 k}$	=	$0,7751$	\|ln(⋅)
$- 2 k$	=	$\ln (0,7751)$	\|: $- 2$
$k$	=	$- \frac{1}{2} \ln (0,7751)$	≈ 0.1274

also k ≈ 0.12738161284734, => f(t)= $20 + 40 e^{- 0,1274 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $20 + 40 e^{- 0,1274 \cdot 3}$ ≈ 47.3

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 40 e^{- 0,1274 t}

=

50

$40 e^{- 0,1274 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$40 e^{- 0,1274 t}$	=	$30$	\|: $40$
$e^{- 0,1274 t}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 0,1274 t$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 0,1274$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1274} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 2.2581

also t=2.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,2% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 14 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 71 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.012⋅f(t)

wenn man 0.012 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.012( $\frac{0.5}{0.012}$ - f(t))

also f'(t) = 0.012(41.67 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=41.67 und der Wachstumsfaktor k=0.012 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $41,67 - c \cdot e^{- 0,012 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$41,67 - c \cdot e^{- 0,012 \cdot 0}$
$80$	=	$41,67 - c$
$80$	=	$- c + 41,67$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 38,33$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $41,67 + 38,33 e^{- 0,012 x}$

Wert zur Zeit 14: f(14)= $41,67 + 38,33 e^{- 0,012 \cdot 14}$ ≈ 74.1

Wann wird der Wert 71?: f(t)=71

41,67 + 38,33 e^{- 0,012 t}

=

71

$38,33 e^{- 0,012 t} + 41,67$	=	$71$	\| $- 41,67$
$38,33 e^{- 0,012 t}$	=	$29,33$	\|: $38,33$
$e^{- 0,012 t}$	=	$0,7652$	\|ln(⋅)
$- 0,012 t$	=	$\ln (0,7652)$	\|: $- 0,012$
$t$	=	$- \frac{1}{0,012} \ln (0,7652)$	≈ 22.3015

also t=22.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $8 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.