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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 11g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 7,014g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 6g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $11 e^{k \cdot 9}$ = 7,0139.

$11 e^{9 k}$	=	$7,0139$	\|: $11$
$e^{9 k}$	=	$0,6376$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,6376)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,6376)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050004905722904, => f(t)= $11 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $11 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 6.7

Wann wird der Wert 6?: f(t)=6

$11 e^{- 0,05 t}$	=	$6$	\|: $11$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{6}{11}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{6}{11})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{6}{11})$	≈ 12.1227

also t=12.1

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 48 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 8g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 85 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 1,6g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $8 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{48}$ ≈ -0.014440566261666

=> f(t)= $8 e^{- 0,0144 t}$

Wert zur Zeit 85: f(85)= $8 e^{- 0,0144 \cdot 85}$ ≈ 2.3

Wann wird der Wert 1.6?: f(t)=1.6

$8 e^{- 0,0144 t}$	=	$1,6$	\|: $8$
$e^{- 0,0144 t}$	=	$0,2$	\|ln(⋅)
$- 0,0144 t$	=	$\ln (0,2)$	\|: $- 0,0144$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0144} \ln (0,2)$	≈ 111.4492

also t=111.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 5 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 60% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.92) ≈ -0.083381608939051

=> f(t)= $100 e^{- 0,0834 t}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $100 e^{- 0,0834 \cdot 5}$ ≈ 65.9

Wann wird der Wert 60?: f(t)=60

$100 e^{- 0,0834 t}$	=	$60$	\|: $100$
$e^{- 0,0834 t}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,0834 t$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 0,0834$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0834} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 6.125

also t=6.1

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 31°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 9 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 11,79°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 11 Minuten? b) Wann ist sie 17°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=31 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = $31 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $31 - c$ = $31 - c$

$8$	=	$31 - c$
$8$	=	$- c + 31$	\| $- 8$ $+ c$
$c$	=	$23$

somit gilt: f(t)= $31 - 23 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $31 - 23 e^{- k \cdot 9}$ = 11,79.

31 - 23 e^{- 9 k}

=

11,7888

$- 23 e^{- 9 k} + 31$	=	$11,7888$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 9 k}$	=	$- 19,2112$	\|: $- 23$
$e^{- 9 k}$	=	$0,8353$	\|ln(⋅)
$- 9 k$	=	$\ln (0,8353)$	\|: $- 9$
$k$	=	$- \frac{1}{9} \ln (0,8353)$	≈ 0.02

also k ≈ 0.01999603746892, => f(t)= $31 - 23 e^{- 0,02 t}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $31 - 23 e^{- 0,02 \cdot 11}$ ≈ 12.5

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

31 - 23 e^{- 0,02 t}

=

17

$- 23 e^{- 0,02 t} + 31$	=	$17$	\| $- 31$
$- 23 e^{- 0,02 t}$	=	$- 14$	\|: $- 23$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{14}{23}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{14}{23})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{14}{23})$	≈ 24.8218

also t=24.8

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2782 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 74 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 11 Monaten? b) Wann beträgt dieser 1880 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 74 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{74}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(740 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=740 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $740 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2782 ein (Punktprobe).

$2 782$	=	$740 - c$
$2 782$	=	$- c + 740$	\| $- 2 782$ $+ c$
$c$	=	$- 2 042$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $740 + 2 042 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 11: f(11)= $740 + 2 042 e^{- 0,1 \cdot 11}$ ≈ 1419.7

Wann wird der Wert 1880?: f(t)=1880

740 + 2 042 e^{- 0,1 t}

=

1 880

$2 042 e^{- 0,1 t} + 740$	=	$1 880$	\| $- 740$
$2 042 e^{- 0,1 t}$	=	$1 140$	\|: $2 042$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{570}{1021}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{570}{1021})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{570}{1021})$	≈ 5.829

also t=5.8

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $19 e^{0,09 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,09$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,09$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,09}$ ≈ 7.702 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.