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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 7 Millionen Algen im Teich. Nach 7 Stunden sind es 12,255 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 9 Stunden? b) Wann waren es 10 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(7)= $7 e^{k \cdot 7}$ = 12,2547.

$7 e^{7 k}$	=	$12,2547$	\|: $7$
$e^{7 k}$	=	$1,7507$	\|ln(⋅)
$7 k$	=	$\ln (1,7507)$	\|: $7$
$k$	=	$\frac{1}{7} \ln (1,7507)$	≈ 0.08

also k ≈ 0.080002243993821, => f(t)= $7 e^{0,08 t}$

Wert zur Zeit 9: f(9)= $7 e^{0,08 \cdot 9}$ ≈ 14.4

Wann wird der Wert 10?: f(t)=10

$7 e^{0,08 t}$	=	$10$	\|: $7$
$e^{0,08 t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|ln(⋅)
$0,08 t$	=	$\ln (\frac{10}{7})$	\|: $0,08$
$t$	=	$\frac{1}{0,08} \ln (\frac{10}{7})$	≈ 4.4584

also t=4.5

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1457 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2262? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,5 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1457}$ ≈ -0.00047573588233352

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 262: f(262)= $e^{- 0,0005 \cdot 262}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.5?: f(t)=0.5

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,5$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,5)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,5)$	≈ 1456.1916

also t=1456.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 3 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 1 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $3 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $3 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $3 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 2.2

Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

$3 e^{- 0,1508 t}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 7.2852

also t=7.3

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 4 min ist das Wasser auf 51° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(4)= $20 + 38 e^{- k \cdot 4}$ = 51.

20 + 38 e^{- 4 k}

=

51

$38 e^{- 4 k} + 20$	=	$51$	\| $- 20$
$38 e^{- 4 k}$	=	$31$	\|: $38$
$e^{- 4 k}$	=	$\frac{31}{38}$	\|ln(⋅)
$- 4 k$	=	$\ln (\frac{31}{38})$	\|: $- 4$
$k$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{31}{38})$	≈ 0.0509

also k ≈ 0.05089973881031, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,0509 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 38 e^{- 0,0509 \cdot 4}$ ≈ 51

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,0509 t}

=

50

$38 e^{- 0,0509 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,0509 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,0509 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,0509 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,0509$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0509} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 4.6442

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1,4% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 10 Jahren, wenn jedes Jahr 0,4 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 54 Millionen Einwohner?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.4 - 0.014⋅f(t)

wenn man 0.014 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.014( $\frac{0.4}{0.014}$ - f(t))

also f'(t) = 0.014(28.57 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=28.57 und der Wachstumsfaktor k=0.014 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $28,57 - c \cdot e^{- 0,014 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$28,57 - c \cdot e^{- 0,014 \cdot 0}$
$80$	=	$28,57 - c$
$80$	=	$- c + 28,57$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 51,43$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 x}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $28,57 + 51,43 e^{- 0,014 \cdot 10}$ ≈ 73.3

Wann wird der Wert 54?: f(t)=54

28,57 + 51,43 e^{- 0,014 t}

=

54

$51,43 e^{- 0,014 t} + 28,57$	=	$54$	\| $- 28,57$
$51,43 e^{- 0,014 t}$	=	$25,43$	\|: $51,43$
$e^{- 0,014 t}$	=	$0,4945$	\|ln(⋅)
$- 0,014 t$	=	$\ln (0,4945)$	\|: $- 0,014$
$t$	=	$- \frac{1}{0,014} \ln (0,4945)$	≈ 50.3006

also t=50.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $5 e^{- 0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,04$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.