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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 84 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 65 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 84: f(84)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 84}$ ≈ 0.3

Wann wird der Wert 65?: f(t)=65

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$65$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$3 250 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (3 250 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (3 250 000)$	≈ 130.2708

also t=130.3

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1516 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2243? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1516}$ ≈ -0.00045722109535616

=> f(t)= $e^{- 0,0005 t}$

Wert zur Zeit 243: f(243)= $e^{- 0,0005 \cdot 243}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0005 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0005 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0005$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0005} \ln (0,7)$	≈ 780.4703

also t=780.5

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 11% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 67% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.89) ≈ -0.11653381625595

=> f(t)= $100 e^{- 0,1165 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1165 \cdot 4}$ ≈ 62.8

Wann wird der Wert 67?: f(t)=67

$100 e^{- 0,1165 t}$	=	$67$	\|: $100$
$e^{- 0,1165 t}$	=	$\frac{67}{100}$	\|ln(⋅)
$- 0,1165 t$	=	$\ln (\frac{67}{100})$	\|: $- 0,1165$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1165} \ln (\frac{67}{100})$	≈ 3.4376

also t=3.4

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 56° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 56 ist, gilt: f(0)= 56, also 56 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$56$	=	$20 - c$
$56$	=	$- c + 20$	\| $- 56$ $+ c$
$c$	=	$- 36$

somit gilt: f(t)= $20 + 36 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 36 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 36 e^{- 3 k}

=

53,0004

$36 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0004$	\| $- 20$
$36 e^{- 3 k}$	=	$33,0004$	\|: $36$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9167$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9167)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9167)$	≈ 0.029

also k ≈ 0.028991671338136, => f(t)= $20 + 36 e^{- 0,029 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 36 e^{- 0,029 \cdot 2}$ ≈ 54

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 36 e^{- 0,029 t}

=

50

$36 e^{- 0,029 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$36 e^{- 0,029 t}$	=	$30$	\|: $36$
$e^{- 0,029 t}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,029 t$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 0,029$
$t$	=	$- \frac{1}{0,029} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 6.287

also t=6.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 2% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2965 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 66 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 6 Monaten? b) Wann beträgt dieser 3277 Wörter ?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 66 - 0.02⋅f(t)

wenn man 0.02 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.02( $\frac{66}{0.02}$ - f(t))

also f'(t) = 0.02(3300 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=3300 und der Wachstumsfaktor k=0.02 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $3 300 - c \cdot e^{- 0,02 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2965 ein (Punktprobe).

$2 965$	=	$3 300 - c \cdot e^{- 0,02 \cdot 0}$
$2 965$	=	$3 300 - c$
$2 965$	=	$- c + 3 300$	\| $- 2 965$ $+ c$
$c$	=	$335$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $3 300 - 335 e^{- 0,02 x}$

Wert zur Zeit 6: f(6)= $3 300 - 335 e^{- 0,02 \cdot 6}$ ≈ 3002.9

Wann wird der Wert 3277?: f(t)=3277

3 300 - 335 e^{- 0,02 t}

=

3 277

$- 335 e^{- 0,02 t} + 3 300$	=	$3 277$	\| $- 3 300$
$- 335 e^{- 0,02 t}$	=	$- 23$	\|: $- 335$
$e^{- 0,02 t}$	=	$\frac{23}{335}$	\|ln(⋅)
$- 0,02 t$	=	$\ln (\frac{23}{335})$	\|: $- 0,02$
$t$	=	$- \frac{1}{0,02} \ln (\frac{23}{335})$	≈ 133.9318

also t=133.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $10 e^{0,04 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,04$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,04$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,04}$ ≈ 17.329 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.