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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Das Wachstum einer Algenkultur in einem Teich kann als exponentiell angenommen werden. Zu Beginn der Beobachtung sind 11 Millionen Algen im Teich. Nach 10 Stunden sind es 20,043 Millionen. a) Wie viel Millionen Algen gibt es nach 12 Stunden? b) Wann waren es 16 Milionen Algen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(10)= $11 e^{k \cdot 10}$ = 20,0433.

$11 e^{10 k}$	=	$20,0433$	\|: $11$
$e^{10 k}$	=	$1,8221$	\|ln(⋅)
$10 k$	=	$\ln (1,8221)$	\|: $10$
$k$	=	$\frac{1}{10} \ln (1,8221)$	≈ 0.06

also k ≈ 0.05999896820737, => f(t)= $11 e^{0,06 t}$

Wert zur Zeit 12: f(12)= $11 e^{0,06 \cdot 12}$ ≈ 22.6

Wann wird der Wert 16?: f(t)=16

$11 e^{0,06 t}$	=	$16$	\|: $11$
$e^{0,06 t}$	=	$\frac{16}{11}$	\|ln(⋅)
$0,06 t$	=	$\ln (\frac{16}{11})$	\|: $0,06$
$t$	=	$\frac{1}{0,06} \ln (\frac{16}{11})$	≈ 6.2449

also t=6.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1742 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2180? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,7 Milliarden Blondies?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1742}$ ≈ -0.00039790308872557

=> f(t)= $e^{- 0,0004 t}$

Wert zur Zeit 180: f(180)= $e^{- 0,0004 \cdot 180}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.7?: f(t)=0.7

$e^{- 0,0004 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0004 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0004$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0004} \ln (0,7)$	≈ 896.1682

also t=896.2

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 15% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 55% der Masse da?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $100 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.85) ≈ -0.16251892949777

=> f(t)= $100 e^{- 0,1625 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $100 e^{- 0,1625 \cdot 4}$ ≈ 52.2

Wann wird der Wert 55?: f(t)=55

$100 e^{- 0,1625 t}$	=	$55$	\|: $100$
$e^{- 0,1625 t}$	=	$\frac{11}{20}$	\|ln(⋅)
$- 0,1625 t$	=	$\ln (\frac{11}{20})$	\|: $- 0,1625$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1625} \ln (\frac{11}{20})$	≈ 3.679

also t=3.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 58° erhitzt hat. Nach 3 min ist das Wasser auf 53° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 2 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 58 ist, gilt: f(0)= 58, also 58 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$58$	=	$20 - c$
$58$	=	$- c + 20$	\| $- 58$ $+ c$
$c$	=	$- 38$

somit gilt: f(t)= $20 + 38 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $20 + 38 e^{- k \cdot 3}$ = 53.

20 + 38 e^{- 3 k}

=

53,0026

$38 e^{- 3 k} + 20$	=	$53,0026$	\| $- 20$
$38 e^{- 3 k}$	=	$33,0026$	\|: $38$
$e^{- 3 k}$	=	$0,8685$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,8685)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,8685)$	≈ 0.047

also k ≈ 0.046995897766992, => f(t)= $20 + 38 e^{- 0,047 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $20 + 38 e^{- 0,047 \cdot 2}$ ≈ 54.6

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 38 e^{- 0,047 t}

=

50

$38 e^{- 0,047 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$38 e^{- 0,047 t}$	=	$30$	\|: $38$
$e^{- 0,047 t}$	=	$\frac{15}{19}$	\|ln(⋅)
$- 0,047 t$	=	$\ln (\frac{15}{19})$	\|: $- 0,047$
$t$	=	$- \frac{1}{0,047} \ln (\frac{15}{19})$	≈ 5.0295

also t=5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 4% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 5 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 105ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.04⋅f(t)

wenn man 0.04 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.04( $\frac{7}{0.04}$ - f(t))

also f'(t) = 0.04(175 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=175 und der Wachstumsfaktor k=0.04 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $175 - c \cdot e^{- 0,04 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$175 - c \cdot e^{- 0,04 \cdot 0}$
0	=	$175 - c$
0	=	$- c + 175$	\|0 $+ c$
$c$	=	$175$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $175 - 175 e^{- 0,04 x}$

Wert zur Zeit 5: f(5)= $175 - 175 e^{- 0,04 \cdot 5}$ ≈ 31.7

Wann wird der Wert 105?: f(t)=105

175 - 175 e^{- 0,04 t}

=

105

$- 175 e^{- 0,04 t} + 175$	=	$105$	\| $- 175$
$- 175 e^{- 0,04 t}$	=	$- 70$	\|: $- 175$
$e^{- 0,04 t}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 0,04 t$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 0,04$
$t$	=	$- \frac{1}{0,04} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 22.9073

also t=22.9

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $12 e^{0,02 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,02$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,02$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,02}$ ≈ 34.657 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.