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Aufgabenbeispiele von Wachstum

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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 3g vorhanden. Nach 3 Tagen sind nur noch 2,36g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 5 Tagen da? b) Wann sind nur noch 1g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 3 ist, gilt: f(0)= 3, also 3 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 3 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= 3 e k · 3 = 2,3599.

3 e 3k = 2,3599 |:3
e 3k = 0,7866 |ln(⋅)
3k = ln( 0,7866 ) |:3
k = 1 3 ln( 0,7866 ) ≈ -0.08

also k ≈ -0.080011806328143, => f(t)= 3 e -0,08t


Wert zur Zeit 5: f(5)= 3 e -0,08⋅5 ≈ 2


Wann wird der Wert 1?: f(t)=1

3 e -0,08t = 1 |:3
e -0,08t = 1 3 |ln(⋅)
-0,08t = ln( 1 3 ) |:-0,08
t = - 1 0,08 ln( 1 3 ) ≈ 13.7327

also t=13.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 15 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 18-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 14 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 20-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 18 ist, gilt: f(0)= 18, also 18 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 18 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel TV= ln(2) k um zu
k= ln(2) T = ln(2) 15 ≈ 0.04620981203733


=> f(t)= 18 e 0,04621t


Wert zur Zeit 14: f(14)= 18 e 0,04621⋅14 ≈ 34.4


Wann wird der Wert 20?: f(t)=20

18 e 0,04621t = 20 |:18
e 0,04621t = 10 9 |ln(⋅)
0,04621t = ln( 10 9 ) |:0,04621
t = 1 0,04621 ln( 10 9 ) ≈ 2.28

also t=2.3

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 2% seiner Masse. a) Wie viel Prozent seiner Masse sind nach 4 Tagen noch vorhanden. b) Wann sind noch 90% der Masse da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= a · e k · t .

Da der Anfangsbestand 100 ist, gilt: f(0)= 100, also 100 = a · e k · 0 = a = a

somit gilt: f(t)= 100 e k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.98) ≈ -0.020202707317519


=> f(t)= 100 e -0,0202t


Wert zur Zeit 4: f(4)= 100 e -0,0202⋅4 ≈ 92.2


Wann wird der Wert 90?: f(t)=90

100 e -0,0202t = 90 |:100
e -0,0202t = 9 10 |ln(⋅)
-0,0202t = ln( 9 10 ) |:-0,0202
t = - 1 0,0202 ln( 9 10 ) ≈ 5.2159

also t=5.2

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 8° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 13,93°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 7 Minuten? b) Wann ist sie 24°C warm?

Lösung einblenden

Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= S - c · e -k · t .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 8 ist, gilt: f(0)= 8, also 8 = 26 - c · e -k · 0 = 26 - c = 26 - c

8 = 26 - c
8 = -c +26 | -8 + c
c = 18

somit gilt: f(t)= 26 -18 e -k · t , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= 26 -18 e -k · 5 = 13,93.

26 -18 e -5k = 13,9342
-18 e -5k +26 = 13,9342 | -26
-18 e -5k = -12,0658 |:-18
e -5k = 0,6703 |ln(⋅)
-5k = ln( 0,6703 ) |:-5
k = - 1 5 ln( 0,6703 ) ≈ 0.08

also k ≈ 0.080005981123645, => f(t)= 26 -18 e -0,08t


Wert zur Zeit 7: f(7)= 26 -18 e -0,08⋅7 ≈ 15.7


Wann wird der Wert 24?: f(t)=24

26 -18 e -0,08t = 24
-18 e -0,08t +26 = 24 | -26
-18 e -0,08t = -2 |:-18
e -0,08t = 1 9 |ln(⋅)
-0,08t = ln( 1 9 ) |:-0,08
t = - 1 0,08 ln( 1 9 ) ≈ 27.4653

also t=27.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 2ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 10% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 6 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 8ml davon in seinem Blut?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 2 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( 2 0.1 - f(t))

also f'(t) = 0.1(20 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=20 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= 20 - c · e -0,1t haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0 = 20 - c · e -0,1⋅0
0 = 20 - c
0 = -c +20 |0 + c
c = 20

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= 20 -20 e -0,1x


Wert zur Zeit 6: f(6)= 20 -20 e -0,1⋅6 ≈ 9


Wann wird der Wert 8?: f(t)=8

20 -20 e -0,1t = 8
-20 e -0,1t +20 = 8 | -20
-20 e -0,1t = -12 |:-20
e -0,1t = 3 5 |ln(⋅)
-0,1t = ln( 3 5 ) |:-0,1
t = - 1 0,1 ln( 3 5 ) ≈ 5.1083

also t=5.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit f(t)= 17 e -0,03t (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent (-0,03 ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = -0,03 einfach in die Formel TH = - ln(2) k ein:

TH = - ln(2) -0,03 ≈ 23.105 min