Aufgabenbeispiele von LGS

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -2x -2y = -8 .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

-20 -2y = -8

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-20 -2y = -8
-2y = -8 |:(-2 )
y = 4

Die Lösung ist somit: (0|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x -4y = 17 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-2)
denn -3⋅( - 3 ) -4( - 2 ) = 9 +8 = 17

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|1)
denn -3⋅( - 7 ) -41 = 21 -4 = 17

Oder : (1|-5)
denn -3⋅1 -4( - 5 ) = -3 +20 = 17

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -4y = 28 (I) -y = 4 (II)

Lösung einblenden
-4x -4y = 28 (I) -y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-y = 4 |:(-1 )
y = -4

Als neues LGS erhält man so:

-4x -4y = 28 (I) +y = -4 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch -4 ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x -4 · ( -4 ) = 28
-4x +16 = 28 | -16
-4x = 12 |:(-4 )
x = -3

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x +y = -12 (I) -3x +2y = -20 (II)

Lösung einblenden
-2x +y = -12 (I) -3x +2y = -20 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-2x + y = -12
y -2x = -12 | +2x
y = -12 +2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -12 +2x ) (I) -3x +2y = -20 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -12 +2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x + 2 · ( -12 +2x ) = -20
-3x -24 +4x = -20
x -24 = -20 | +24
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -12 +24

= -12 +8

= -4

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -5y = -7 (I) -3x -2y = 4 (II)

Lösung einblenden
x -5y = -7 (I) -3x -2y = 4 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -5y = -7 | +5y
x = -7 +5y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( -7 +5y ) (I) -3x -2y = 4 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( -7 +5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · ( -7 +5y ) -2y = 4
21 -15y -2y = 4
-17y +21 = 4 | -21
-17y = -17 |:(-17 )
y = 1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = -7 +51

= -7 +5

= -2

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x + 2 3 y = 1 3 (I) - 1 4 x - 1 2 y = - 13 4 (II)

Lösung einblenden
-x + 2 3 y = 1 3 (I) - 1 4 x - 1 2 y = - 13 4 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x + 2 3 y = 1 3 |⋅ 3
3( -x + 2 3 y) = 1
-3x +2y = 1 | -2y
-3x = 1 -2y |:(-3 )
x = - 1 3 + 2 3 y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( - 1 3 + 2 3 y ) (I) - 1 4 x - 1 2 y = - 13 4 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( - 1 3 + 2 3 y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

- 1 4 · ( - 1 3 + 2 3 y ) - 1 2 y = - 13 4
1 12 - 1 6 y - 1 2 y = - 13 4
- 2 3 y + 1 12 = - 13 4 |⋅ 12
12( - 2 3 y + 1 12 ) = -39
-8y +1 = -39 | -1
-8y = -40 |:(-8 )
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = - 1 3 + 2 3 5

= - 1 3 + 10 3

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -2y = ?

3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -2y = -2 +8 = 6

3x +4y = 6 -16 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -2y = 6

3x +4y = -10

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

x +5y = 6 (I) -4x +4y = -24 (II)

Lösung einblenden
x +5y = 6 (I) -4x +4y = -24 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +5y = 6 | -5y
x = 6 -5y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 6 -5y ) (I) -4x +4y = -24 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 6 -5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 6 -5y ) +4y = -24
-24 +20y +4y = -24
24y -24 = -24 | +24
24y = 0 |:24
y = 0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 6 -50

= 6 +0

= 6

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 150 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 6 Halogenleuchten zusammen 288 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

5x +3y = 150 (I) 8x +6y = 288 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x +3y = 150
3y +5x = 150 | -5x
3y = 150 -5x |:3
y = 50 - 5 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 50 - 5 3 x ) (I) 8x +6y = 288 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 50 - 5 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

8x + 6 · ( 50 - 5 3 x ) = 288
8x +300 -10x = 288
-2x +300 = 288 | -300
-2x = -12 |:(-2 )
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 50 - 5 3 6

= 50 -10

= 40

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|4) und B(-3|28) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|28): 28 = ( - 3 )2 + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
28 = 9 -3b +c |-9


3 = -1b +c
19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 3 (I) -3b +c = 19 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-3b + c = 19
c -3b = 19 | +3b
c = 19 +3b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 3 (I) +c = ( 19 +3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 19 +3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( 19 +3b ) = 3
-b +19 +3b = 3
2b +19 = 3 | -19
2b = -16 |:2
b = -8

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 19 +3( -8 )

= 19 -24

= -5

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b=-8 und c=-5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -8x -5

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(4|-5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 12 + b⋅1 +c

B(4|-5): -5 = 42 + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-5 = 16 +4b +c |-16


-9 = 1b +c
-21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -9 (I) 4b +c = -21 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

4b + c = -21
c +4b = -21 | -4b
c = -21 -4b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -9 (I) +c = ( -21 -4b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -21 -4b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -21 -4b ) = -9
b -21 -4b = -9
-3b -21 = -9 | +21
-3b = 12 |:(-3 )
b = -4

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -21 -4( -4 )

= -21 +16

= -5

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=-4 und c=-5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -4x -5

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 -4x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -9

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = 2 2 -42 -5 = 4 -8 -5 = -9

also: S(2|-9).