Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-4\cdot \left(-4\right)$ = $19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-4\cdot \left(-4\right)$	=	$19$
$-3x+16$	=	$19$	| $-16$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|0)
denn 4⋅( - 3 ) -4⋅0 = -12 +0 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-4)
denn 4⋅( - 7 ) -4⋅( - 4 ) = -28 +16 = $-12$

Oder : (1|4)
denn 4⋅1 -4⋅4 = 4 -16 = $-12$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $5$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·5+2y$	=	$3$
$5+2y$	=	$3$
$2y+5$	=	$3$	| $-5$
$2y$	=	$-2$	|:$2$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(2+2x\right)$	=	$-26$
$-4x-6-6x$	=	$-26$
$-10x-6$	=	$-26$	| $+6$
$-10x$	=	$-20$	|:($-10$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2+2\cdot 2$

= $2+4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $10-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(10-2y\right)-5y$	=	$-25$
$20-4y-5y$	=	$-25$
$-9y+20$	=	$-25$	| $-20$
$-9y$	=	$-45$	|:($-9$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $10-2\cdot 5$

= $10-10$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $16+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(16+2y\right)-y$	=	$-13$
$-48-6y-y$	=	$-13$
$-7y-48$	=	$-13$	| $+48$
$-7y$	=	$35$	|:($-7$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $16+2\cdot \left(-5\right)$

= $16-10$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = 5 +15 = 20

1x -2y = 1 -10 = -9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = 20

1x -2y = -9

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$16x+8·\left(-\frac{1}{2}-2x\right)$	=	$-1$
$16x-4-16x$	=	$-1$
$-4$	=	$-1$	| $+4$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $56-\frac{8}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(56-\frac{8}{3}x\right)$	=	$110$
$5x+112-\frac{16}{3}x$	=	$110$
$-\frac{1}{3}x+112$	=	$110$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}x+112\right)$	=	$330$
$-x+336$	=	$330$	| $-336$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $56-\frac{8}{3}\cdot 6$

= $56-16$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

---

9 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7+b\right)$	=	$9$
$b-7+b$	=	$9$
$2b-7$	=	$9$	| $+7$
$2b$	=	$16$	|:$2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-11): -11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
-11 = 4 -2b +c |-4

---

9 = 1b +c
-15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-15+2b\right)$	=	$9$
$b-15+2b$	=	$9$
$3b-15$	=	$9$	| $+15$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15+2\cdot 8$

= $-15+16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+1$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+1$

= ${\left(x+4\right)}^2-15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+1$ = $16-32+1$ = -15

also: S(-4|-15).