Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-2\cdot 2$ = $-7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-2\cdot 2$	=	$-7$
$3x-4$	=	$-7$	| $+4$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|5)
denn -5⋅( - 6 ) +5⋅5 = 30 +25 = $55$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|10)
denn -5⋅( - 1 ) +5⋅10 = 5 +50 = $55$

Oder : (-11|0)
denn -5⋅( - 11 ) +5⋅0 = 55 +0 = $55$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·6$	=	$-6$
$2x-12$	=	$-6$	| $+12$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(3-x\right)$	=	$-5$
$-3x+3-x$	=	$-5$
$-4x+3$	=	$-5$	| $-3$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3-2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(10+x\right)$	=	$-2$
$5x+30+3x$	=	$-2$
$8x+30$	=	$-2$	| $-30$
$8x$	=	$-32$	|:$8$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10-4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{5}·\left(6+x\right)$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{6}{5}-\frac{1}{5}x$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{3}{10}x-\frac{6}{5}$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{3}{10}x-\frac{6}{5}\right)$	=	$-15$
$3x-12$	=	$-15$	| $+12$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6-1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = 8 +4 = 12

-2x +2y = 4 -4 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = 12

-2x +2y = 0

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-4·\left(3+2x\right)$	=	$-13$
$8x-12-8x$	=	$-13$
$-12$	=	$-13$	| $+12$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $16-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(16-6y\right)-6y$	=	$-4$
$32-12y-6y$	=	$-4$
$-18y+32$	=	$-4$	| $-32$
$-18y$	=	$-36$	|:($-18$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $16-6\cdot 2$

= $16-12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-17): -17 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
-17 = 9 -3b +c |-9

---

-6 = -1b +c
-26 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-26+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-26+3b\right)$	=	$-6$
$-b-26+3b$	=	$-6$
$2b-26$	=	$-6$	| $+26$
$2b$	=	$20$	|:$2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-26+3\cdot 10$

= $-26+30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-1 = 1 -1b +c |-1

---

-6 = 1b +c
-2 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-2+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-2+b\right)$	=	$-6$
$b-2+b$	=	$-6$
$2b-2$	=	$-6$	| $+2$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-2-2$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-4$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-4$

= ${\left(x-1\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-4$ = $1-2-4$ = -5

also: S(1|-5).