Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-3\right)+5y$ = $-18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-3\right)+5y$	=	$-18$
$-3+5y$	=	$-18$
$5y-3$	=	$-18$	| $+3$
$5y$	=	$-15$	|:$5$
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|0)
denn 4⋅7 -5⋅0 = 28 +0 = $28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-4)
denn 4⋅2 -5⋅( - 4 ) = 8 +20 = $28$

Oder : (12|4)
denn 4⋅12 -5⋅4 = 48 -20 = $28$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·4-2y$	=	$-14$
$-4-2y$	=	$-14$
$-2y-4$	=	$-14$	| $+4$
$-2y$	=	$-10$	|:($-2$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-16-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-16-4x\right)$	=	$19$
$-3x-16-4x$	=	$19$
$-7x-16$	=	$19$	| $+16$
$-7x$	=	$35$	|:($-7$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-16-4\cdot \left(-5\right)$

= $-16+20$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(3+2y\right)-2y$	=	$18$
$12+8y-2y$	=	$18$
$6y+12$	=	$18$	| $-12$
$6y$	=	$6$	|:$6$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3+2\cdot 1$

= $3+2$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}·\left(5+2x\right)$	=	$-\frac{5}{4}$
$\frac{1}{3}x-\frac{5}{4}-\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{5}{4}$
$-\frac{1}{6}x-\frac{5}{4}$	=	$-\frac{5}{4}$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{1}{6}x-\frac{5}{4}\right)$	=	$-15$
$-2x-15$	=	$-15$	| $+15$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5+2\cdot \left(0\right)$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-6x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = -5 +2 = -3

-6x -1y = -6 +1 = -5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = -3

-6x -1y = -5

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-1$
$2x-1-2x$	=	$-1$
$-1$	=	$-1$	| $+1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(15-2y\right)-7y$	=	$-20$
$45-6y-7y$	=	$-20$
$-13y+45$	=	$-20$	| $-45$
$-13y$	=	$-65$	|:($-13$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-2\cdot 5$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-6): -6 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-6 = 9 -3b +c |-9

---

-7 = -1b +c
-15 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-15+3b\right)$	=	$-7$
$-b-15+3b$	=	$-7$
$2b-15$	=	$-7$	| $+15$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15+3\cdot 4$

= $-15+12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-17): -17 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-17 = 16 -4b +c |-16

---

-9 = -1b +c
-33 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-33+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-33+4b\right)$	=	$-9$
$-b-33+4b$	=	$-9$
$3b-33$	=	$-9$	| $+33$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-33+4\cdot 8$

= $-33+32$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-1$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-1$

= ${\left(x+4\right)}^2-17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x·\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-1$ = $16-32-1$ = -17

also: S(-4|-17).