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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + 2 y$ = $10$ .

Bestimme x so, dass (x|5) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x + 2 \cdot 5$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x + 2 \cdot 5$	=	$10$
$2 x + 10$	=	$10$	\| $- 10$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|5)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x - y$ = $- 25$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn -4⋅5 -1⋅5 = -20 -5 = $- 25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|9)
denn -4⋅4 -1⋅9 = -16 -9 = $- 25$

Oder : (6|1)
denn -4⋅6 -1⋅1 = -24 -1 = $- 25$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & = & 20 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ - 4 x & = & 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 5$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & - y & = & - 1 & (I) \\ x & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $- 5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1 \cdot (- 5) - y$	=	$- 1$
$- 5 - y$	=	$- 1$
$- y - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- y$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $- 5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ 2 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ 2 x & + y & = & 13 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$2 x + y$	=	$13$
$y + 2 x$	=	$13$	\| $- 2 x$
$y$	=	$13 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & - 4 y & = & - 32 & (I) \\ + y & = & (13 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (13 - 2 x)$	=	$- 32$
$- 4 x - 52 + 8 x$	=	$- 32$
$4 x - 52$	=	$- 32$	\| $+ 52$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13 - 2 \cdot 5$

= $13 - 10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 55 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 5 x & - 5 y & = & - 55 & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 5 x - 5 y$	=	$- 55$
$- 5 y - 5 x$	=	$- 55$	\| $+ 5 x$
$- 5 y$	=	$- 55 + 5 x$	\|:( $- 5$ )
$y$	=	$11 - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (11 - x) & (I) \\ - 5 x & + 5 y & = & 5 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11 - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x + 5 \cdot (11 - x)$	=	$5$
$- 5 x + 55 - 5 x$	=	$5$
$- 10 x + 55$	=	$5$	\| $- 55$
$- 10 x$	=	$- 50$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11 - 5$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 13 & (I) \\ \frac{3}{2} x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & - 3 y & = & - 13 & (I) \\ \frac{3}{2} x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x - 3 y$	=	$- 13$	\| $+ 3 y$
$- x$	=	$- 13 + 3 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$13 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (13 - 3 y) & (I) \\ \frac{3}{2} x & + 3 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{2} \cdot (13 - 3 y) + 3 y$	=	$12$
$\frac{39}{2} - \frac{9}{2} y + 3 y$	=	$12$
$- \frac{3}{2} y + \frac{39}{2}$	=	$12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} y + \frac{39}{2})$	=	$24$
$- 3 y + 39$	=	$24$	\| $- 39$
$- 3 y$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13 - 3 \cdot 5$

= $13 - 15$

= $- 2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 8 -12 = -4

1x -1y = -4 -4 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = -4

1x -1y = -8

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 2 & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - y & = & - 2 & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x - y$	=	$- 2$
$- y + 3 x$	=	$- 2$	\| $- 3 x$
$- y$	=	$- 2 - 3 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$2 + 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (2 + 3 x) & (I) \\ - 12 x & + 4 y & = & 8 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2 + 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 12 x + 4 \cdot (2 + 3 x)$	=	$8$
$- 12 x + 8 + 12 x$	=	$8$
$8$	=	$8$	\| $- 8$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 5-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 23. Wenn man aber vom 6-fachen von x 2 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 10. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 5 y & = & 23 & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 5 y$	=	$23$	\| $- 5 y$
$x$	=	$23 - 5 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (23 - 5 y) & (I) \\ 6 x & - 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $23 - 5 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (23 - 5 y) - 2 y$	=	$10$
$138 - 30 y - 2 y$	=	$10$
$- 32 y + 138$	=	$10$	\| $- 138$
$- 32 y$	=	$- 128$	\|:( $- 32$ )
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $23 - 5 \cdot 4$

= $23 - 20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|1) und B(1|9) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 -1b +c |-1
9 = 1 +1b +c |-1

0 = -1b +c
8 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ b & + c & = & 8 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$8$
$c + b$	=	$8$	\| $- b$
$c$	=	$8 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 0 & (I) \\ + c & = & (8 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (8 - b)$	=	0
$- b + 8 - b$	=	0
$- 2 b + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 b$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8 - 4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b= $4$ und c= $4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|6) und B(-2|13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|13): 13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 -2b +c |-4

5 = -1b +c
9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ - 2 b & + c & = & 9 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$9$
$c - 2 b$	=	$9$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$9 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & 5 & (I) \\ + c & = & (9 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (9 + 2 b)$	=	$5$
$- b + 9 + 2 b$	=	$5$
$b + 9$	=	$5$	\| $- 9$
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9 + 2 \cdot (- 4)$

= $9 - 8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 4 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 4 + 1$

= ${(x - 2)}^{2} - 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 4 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 1$ = $4 - 8 + 1$ = -3

also: S(2|-3).

Aufgabenbeispiele von LGS

Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg