Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 1+4y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 1+4y$	=	$24$
$4+4y$	=	$24$
$4y+4$	=	$24$	| $-4$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (1|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn -3⋅( - 4 ) +3⋅7 = 12 +21 = $33$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|10)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅10 = 3 +30 = $33$

Oder : (-7|4)
denn -3⋅( - 7 ) +3⋅4 = 21 +12 = $33$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+1·\left(-3\right)$	=	$2$
$-x-3$	=	$2$	| $+3$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-18-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(-18-4x\right)$	=	$-13$
$x+72+16x$	=	$-13$
$17x+72$	=	$-13$	| $-72$
$17x$	=	$-85$	|:$17$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-18-4\cdot \left(-5\right)$

= $-18+20$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-1+x\right)$	=	$5$
$5x+4-4x$	=	$5$
$x+4$	=	$5$	| $-4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1+1$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$5$
$\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}y$	=	$5$
$\frac{1}{12}y+\frac{21}{4}$	=	$5$	|⋅ 12
$12\left(\frac{1}{12}y+\frac{21}{4}\right)$	=	$60$
$y+63$	=	$60$	| $-63$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{21}{4}-\frac{1}{4}\cdot \left(-3\right)$

= $\frac{21}{4}+\frac{3}{4}$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

-4x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 2 +15 = 17

-4x -7y = 4 +35 = 39

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = 17

-4x -7y = 39

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x+9·\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-3$
$-6x-3+6x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(14-3y\right)-6y$	=	$-14$
$70-15y-6y$	=	$-14$
$-21y+70$	=	$-14$	| $-70$
$-21y$	=	$-84$	|:($-21$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-3\cdot 4$

= $14-12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-8): -8 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
-8 = 9 -3b +c |-9

---

-9 = -1b +c
-17 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-17+3b\right)$	=	$-9$
$-b-17+3b$	=	$-9$
$2b-17$	=	$-9$	| $+17$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17+3\cdot 4$

= $-17+12$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-9 = 1 -1b +c |-1

---

2 = 1b +c
-10 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-10+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-10+b\right)$	=	$2$
$b-10+b$	=	$2$
$2b-10$	=	$2$	| $+10$
$2b$	=	$12$	|:$2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-10+6$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9-4$

= ${\left(x+3\right)}^2-9-4$

= ${\left(x+3\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)-4$ = $9-18-4$ = -13

also: S(-3|-13).