Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+2\cdot \left(-6\right)$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+2\cdot \left(-6\right)$	=	$2$
$-2x-12$	=	$2$	| $+12$
$-2x$	=	$14$	|:($-2$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|0)
denn -3⋅( - 4 ) +3⋅0 = 12 +0 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|3)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅3 = 3 +9 = $12$

Oder : (-7|-3)
denn -3⋅( - 7 ) +3⋅( - 3 ) = 21 -9 = $12$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-6\right)+4y$	=	$10$
$6+4y$	=	$10$
$4y+6$	=	$10$	| $-6$
$4y$	=	$4$	|:$4$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(5-4x\right)$	=	$1$
$2x+5-4x$	=	$1$
$-2x+5$	=	$1$	| $-5$
$-2x$	=	$-4$	|:($-2$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5-4\cdot 2$

= $5-8$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(9-4y\right)-3y$	=	$-10$
$-36+16y-3y$	=	$-10$
$13y-36$	=	$-10$	| $+36$
$13y$	=	$26$	|:$13$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9-4\cdot 2$

= $9-8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-\frac{2}{3}·\left(-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	0
$-x+\frac{14}{9}+\frac{2}{9}x$	=	0
$-\frac{7}{9}x+\frac{14}{9}$	=	0	|⋅ 9
$9\left(-\frac{7}{9}x+\frac{14}{9}\right)$	=	0
$-7x+14$	=	0	| $-14$
$-7x$	=	$-14$	|:($-7$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = 8 +16 = 24

1x -4y = -4 -16 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 24

1x -4y = -20

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x-4·\left(1+3x\right)$	=	$-7$
$12x-4-12x$	=	$-7$
$-4$	=	$-7$	| $+4$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{122}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(\frac{122}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$123$
$3x+122-2x$	=	$123$
$x+122$	=	$123$	| $-122$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{122}{3}-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $\frac{122}{3}-\frac{2}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (1|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(2|12): 12 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
12 = 4 +2b +c |-4

---

6 = 1b +c
8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(8-2b\right)$	=	$6$
$b+8-2b$	=	$6$
$-b+8$	=	$6$	| $-8$
$-b$	=	$-2$	|:($-1$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8-2\cdot 2$

= $8-4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
14 = 1 -1b +c |-1

---

-7 = 1b +c
13 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13+b\right)$	=	$-7$
$b+13+b$	=	$-7$
$2b+13$	=	$-7$	| $-13$
$2b$	=	$-20$	|:$2$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-10$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25+3$

= ${\left(x-5\right)}^2-25+3$

= ${\left(x-5\right)}^2-22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5+3$ = $25-50+3$ = -22

also: S(5|-22).