Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -4x + y = 16 .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

-4x + 0 = 16

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

-4x + 0 = 16
-4x = 16 |:(-4 )
x = -4

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x +5y = 10 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|2)
denn -1⋅0 +52 = 0 +10 = 10

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn -1⋅5 +53 = -5 +15 = 10

Oder : (-5|1)
denn -1⋅( - 5 ) +51 = 5 +5 = 10

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

3x = -6 (I) 3x -y = 0 (II)

Lösung einblenden
3x = -6 (I) 3x -y = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

3x = -6 |:3
x = -2

Als neues LGS erhält man so:

x = -2 (I) 3x -y = 0 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch -2 ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( -2 ) - y = 0
-6 - y = 0
-y -6 = 0 | +6
-y = 6 |:(-1 )
y = -6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +3y = -13 (I) x -2y = 9 (II)

Lösung einblenden
-x +3y = -13 (I) x -2y = 9 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -2y = 9 | +2y
x = 9 +2y

Als neues LGS erhält man so:

-x +3y = -13 (I) x = ( 9 +2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 9 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-1 · ( 9 +2y ) +3y = -13
-9 -2y +3y = -13
y -9 = -13 | +9
y = -4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 9 +2( -4 )

= 9 -8

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x -2y = -22 (I) -x -2y = -7 (II)

Lösung einblenden
4x -2y = -22 (I) -x -2y = -7 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x -2y = -7 | +2y
-x = -7 +2y |:(-1 )
x = 7 -2y

Als neues LGS erhält man so:

4x -2y = -22 (I) x = ( 7 -2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 7 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 7 -2y ) -2y = -22
28 -8y -2y = -22
-10y +28 = -22 | -28
-10y = -50 |:(-10 )
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 7 -25

= 7 -10

= -3

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4y = 4x -5( 5 + y) (I)
-3( x + y) -5 = -x (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-4y = 4x -5( 5 + y) (I)
-3( x + y) -5 = -x (II)
-4y = 4x -25 -5y | -4x +5y (I)
-3x -5 -3y = -x | + 5 + x (II)
-4x +y = -25 (I) -2x -3y = 5 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-4x + y = -25
y -4x = -25 | +4x
y = -25 +4x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -25 +4x ) (I) -2x -3y = 5 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -25 +4x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -3 · ( -25 +4x ) = 5
-2x +75 -12x = 5
-14x +75 = 5 | -75
-14x = -70 |:(-14 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -25 +45

= -25 +20

= -5

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = -25 +10 = -15

7x -8y = -35 +16 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = -15

7x -8y = -19

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-12x +8y = 5 (I) 3x -2y = -1 (II)

Lösung einblenden
-12x +8y = 5 (I) 3x -2y = -1 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-12x +8y = 5
8y -12x = 5 | +12x
8y = 5 +12x |:8
y = 5 8 + 3 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 5 8 + 3 2 x ) (I) 3x -2y = -1 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 5 8 + 3 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x -2 · ( 5 8 + 3 2 x ) = -1
3x - 5 4 -3x = -1
- 5 4 = -1 | + 5 4
0 = 1 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 3 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 7 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 146 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 8 Halogenleuchten zusammen 166 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

3x +7y = 146 (I) 3x +8y = 166 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

3x +7y = 146
7y +3x = 146 | -3x
7y = 146 -3x |:7
y = 146 7 - 3 7 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 146 7 - 3 7 x ) (I) 3x +8y = 166 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 146 7 - 3 7 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3x + 8 · ( 146 7 - 3 7 x ) = 166
3x + 1168 7 - 24 7 x = 166
- 3 7 x + 1168 7 = 166 |⋅ 7
7( - 3 7 x + 1168 7 ) = 1162
-3x +1168 = 1162 | -1168
-3x = -6 |:(-3 )
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 146 7 - 3 7 2

= 146 7 - 6 7

= 20

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(3|-18) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 12 + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 32 + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9


-7 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -7 (I) 3b +c = -27 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

3b + c = -27
c +3b = -27 | -3b
c = -27 -3b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -7 (I) +c = ( -27 -3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -27 -3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -27 -3b ) = -7
b -27 -3b = -7
-2b -27 = -7 | +27
-2b = 20 |:(-2 )
b = -10

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -27 -3( -10 )

= -27 +30

= 3

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=-10 und c=3 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -10x +3

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-6) und B(4|3) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 12 + b⋅1 +c

B(4|3): 3 = 42 + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
3 = 16 +4b +c |-16


-7 = 1b +c
-13 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -7 (I) 4b +c = -13 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

4b + c = -13
c +4b = -13 | -4b
c = -13 -4b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -7 (I) +c = ( -13 -4b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -13 -4b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -13 -4b ) = -7
b -13 -4b = -7
-3b -13 = -7 | +13
-3b = 6 |:(-3 )
b = -2

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -13 -4( -2 )

= -13 +8

= -5

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b=-2 und c=-5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -2x -5

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 -2x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 -5

= ( x -1 ) 2 -1 -5

= ( x -1 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = 1 2 -21 -5 = 1 -2 -5 = -6

also: S(1|-6).