Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-2\cdot 3$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-2\cdot 3$	=	$9$
$-3x-6$	=	$9$	| $+6$
$-3x$	=	$15$	|:($-3$)
$x$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (-5|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|5)
denn -2⋅( - 2 ) -3⋅5 = 4 -15 = $-11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|7)
denn -2⋅( - 5 ) -3⋅7 = 10 -21 = $-11$

Oder : (1|3)
denn -2⋅1 -3⋅3 = -2 -9 = $-11$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(-5\right)$	=	$-7$
$2x-5$	=	$-7$	| $+5$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-14-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-14-2x\right)$	=	$26$
$-2x+42+6x$	=	$26$
$4x+42$	=	$26$	| $-42$
$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-14-2\cdot \left(-4\right)$

= $-14+8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(9+4y\right)-5y$	=	$9$
$-9-4y-5y$	=	$9$
$-9y-9$	=	$9$	| $+9$
$-9y$	=	$18$	|:($-9$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9+4\cdot \left(-2\right)$

= $9-8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-10+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-1·\left(-10+3x\right)$	=	$2$
$-x+10-3x$	=	$2$
$-4x+10$	=	$2$	| $-10$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-10+3\cdot 2$

= $-10+6$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

6x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = 8 +9 = 17

6x -6y = 24 +18 = 42

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = 17

6x -6y = 42

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(1-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-11$
$4x+3-\frac{6}{5}x$	=	$-11$
$\frac{14}{5}x+3$	=	$-11$	|⋅ 5
$5\left(\frac{14}{5}x+3\right)$	=	$-55$
$14x+15$	=	$-55$	| $-15$
$14x$	=	$-70$	|:$14$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{2}{5}\cdot \left(-5\right)$

= $1+2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-40+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-40+\frac{1}{2}x\right)$	=	$345$
$3x+120-\frac{3}{2}x$	=	$345$
$\frac{3}{2}x+120$	=	$345$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x+120\right)$	=	$690$
$3x+240$	=	$690$	| $-240$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-40+\frac{1}{2}\cdot 150$

= $-40+75$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|22): 22 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
22 = 9 +3b +c |-9

---

5 = 1b +c
13 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13-3b\right)$	=	$5$
$b+13-3b$	=	$5$
$-2b+13$	=	$5$	| $-13$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-3\cdot 4$

= $13-12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|6): 6 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
6 = 16 -4b +c |-16

---

-4 = -1b +c
-10 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-10+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-10+4b\right)$	=	$-4$
$-b-10+4b$	=	$-4$
$3b-10$	=	$-4$	| $+10$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-10+4\cdot 2$

= $-10+8$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-2$ = $1-2-2$ = -3

also: S(-1|-3).