Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+2\cdot \left(-4\right)$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+2\cdot \left(-4\right)$	=	$16$
$4x-8$	=	$16$	| $+8$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn -5⋅( - 1 ) -1⋅( - 5 ) = 5 +5 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|0)
denn -5⋅( - 2 ) -1⋅0 = 10 +0 = $10$

Oder : (0|-10)
denn -5⋅0 -1⋅( - 10 ) = 0 +10 = $10$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·4$	=	$-6$
$x-8$	=	$-6$	| $+8$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-8+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-8+2y\right)+3y$	=	$26$
$-16+4y+3y$	=	$26$
$7y-16$	=	$26$	| $+16$
$7y$	=	$42$	|:$7$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-8+2\cdot 6$

= $-8+12$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(\frac{13}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-3$
$-3x-\frac{39}{4}-\frac{15}{4}x$	=	$-3$
$-\frac{27}{4}x-\frac{39}{4}$	=	$-3$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{27}{4}x-\frac{39}{4}\right)$	=	$-12$
$-27x-39$	=	$-12$	| $+39$
$-27x$	=	$27$	|:($-27$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{4}+\frac{5}{4}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{13}{4}-\frac{5}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-9+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(-9+x\right)$	=	$3$
$5x-18+2x$	=	$3$
$7x-18$	=	$3$	| $+18$
$7x$	=	$21$	|:$7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-9+3$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +1y = ?

8x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +1y = -25 +4 = -21

8x +3y = -40 +12 = -28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +1y = -21

8x +3y = -28

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-8+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(-8+x\right)$	=	$14$
$x+24-3x$	=	$14$
$-2x+24$	=	$14$	| $-24$
$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-8+5$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-150+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-150+\frac{4}{3}x\right)$	=	$650$
$5x+300-\frac{8}{3}x$	=	$650$
$\frac{7}{3}x+300$	=	$650$	|⋅ 3
$3\left(\frac{7}{3}x+300\right)$	=	$1950$
$7x+900$	=	$1950$	| $-900$
$7x$	=	$1050$	|:$7$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-150+\frac{4}{3}\cdot 150$

= $-150+200$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-6): -6 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-6 = 9 +3b +c |-9

---

-7 = 1b +c
-15 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-15-3b\right)$	=	$-7$
$b-15-3b$	=	$-7$
$-2b-15$	=	$-7$	| $+15$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15-3\cdot \left(-4\right)$

= $-15+12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(3|7): 7 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
7 = 9 +3b +c |-9

---

2 = 1b +c
-2 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-2-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-2-3b\right)$	=	$2$
$b-2-3b$	=	$2$
$-2b-2$	=	$2$	| $+2$
$-2b$	=	$4$	|:($-2$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-2-3\cdot \left(-2\right)$

= $-2+6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(1|3).