Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 4+3y$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 4+3y$	=	$-5$
$16+3y$	=	$-5$
$3y+16$	=	$-5$	| $-16$
$3y$	=	$-21$	|:$3$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-6)
denn -4⋅( - 1 ) +1⋅( - 6 ) = 4 -6 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-2)
denn -4⋅0 +1⋅( - 2 ) = 0 -2 = $-2$

Oder : (-2|-10)
denn -4⋅( - 2 ) +1⋅( - 10 ) = 8 -10 = $-2$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-6\right)+4y$	=	$44$
$24+4y$	=	$44$
$4y+24$	=	$44$	| $-24$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-11+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-11+2y\right)+4y$	=	$26$
$-22+4y+4y$	=	$26$
$8y-22$	=	$26$	| $+22$
$8y$	=	$48$	|:$8$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-11+2\cdot 6$

= $-11+12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-15+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·\left(-15+5x\right)$	=	$-6$
$x+30-10x$	=	$-6$
$-9x+30$	=	$-6$	| $-30$
$-9x$	=	$-36$	|:($-9$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-15+5\cdot 4$

= $-15+20$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(7-x\right)$	=	$27$
$3x+28-4x$	=	$27$
$-x+28$	=	$27$	| $-28$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-7x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = 4 +25 = 29

-7x +10y = 7 +50 = 57

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = 29

-7x +10y = 57

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-26+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-1·\left(-26+4x\right)$	=	$-16$
$-3x+26-4x$	=	$-16$
$-7x+26$	=	$-16$	| $-26$
$-7x$	=	$-42$	|:($-7$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-26+4\cdot 6$

= $-26+24$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(8-3y\right)-4y$	=	$16$
$32-12y-4y$	=	$16$
$-16y+32$	=	$16$	| $-32$
$-16y$	=	$-16$	|:($-16$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8-3\cdot 1$

= $8-3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|4): 4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 -2b +c |-4

---

6 = 1b +c
0 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $2b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·2b$	=	$6$
$b+2b$	=	$6$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2\cdot 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

---

2 = 1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $-2b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-2b\right)$	=	$2$
$b-2b$	=	$2$
$-b$	=	$2$	|:($-1$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-2\cdot \left(-2\right)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(1|3).