Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-1\right)+5y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-1\right)+5y$	=	$2$
$2+5y$	=	$2$
$5y+2$	=	$2$	| $-2$
$5y$	=	0	|:$5$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-1|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|0)
denn -5⋅2 +4⋅0 = -10 +0 = $-10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|5)
denn -5⋅6 +4⋅5 = -30 +20 = $-10$

Oder : (-2|-5)
denn -5⋅( - 2 ) +4⋅( - 5 ) = 10 -20 = $-10$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-4\right)-y$	=	$11$
$12-y$	=	$11$
$-y+12$	=	$11$	| $-12$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-15-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-15-2y\right)-3y$	=	$25$
$30+4y-3y$	=	$25$
$y+30$	=	$25$	| $-30$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-15-2\cdot \left(-5\right)$

= $-15+10$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{19}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+2·\left(-\frac{19}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-25$
$-5x-19+3x$	=	$-25$
$-2x-19$	=	$-25$	| $+19$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{19}{2}+\frac{3}{2}\cdot 3$

= $-\frac{19}{2}+\frac{9}{2}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-22-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}·\left(-22-3x\right)$	=	$\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{4}x-\frac{11}{2}-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{1}{2}$
$-x-\frac{11}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	|⋅ 2
$2\left(-x-\frac{11}{2}\right)$	=	$1$
$-2x-11$	=	$1$	| $+11$
$-2x$	=	$12$	|:($-2$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-22-3\cdot \left(-6\right)$

= $-22+18$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -2y = ?

-2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x -2y = -1 +6 = 5

-2x -5y = -2 +15 = 13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -2y = 5

-2x -5y = 13

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-5·\left(7+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-12$
$-4x-35-\frac{15}{2}x$	=	$-12$
$-\frac{23}{2}x-35$	=	$-12$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{23}{2}x-35\right)$	=	$-24$
$-23x-70$	=	$-24$	| $+70$
$-23x$	=	$46$	|:($-23$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7+\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $7-3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-145+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-145+\frac{2}{3}x\right)$	=	$1035$
$4x+435-2x$	=	$1035$
$2x+435$	=	$1035$	| $-435$
$2x$	=	$600$	|:$2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-145+\frac{2}{3}\cdot 300$

= $-145+200$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

---

9 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(1+b\right)$	=	$9$
$b+1+b$	=	$9$
$2b+1$	=	$9$	| $-1$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1+4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
1 = 1 +1b +c |-1

---

8 = -1b +c
0 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $-b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-b\right)$	=	$8$
$-b-b$	=	$8$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-\left(-4\right)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+4$ = $4-8+4$ = 0

also: S(2|0).