Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-2\right)-y$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-2\right)-y$	=	$-9$
$-10-y$	=	$-9$
$-y-10$	=	$-9$	| $+10$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-2|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|4)
denn -4⋅2 +1⋅4 = -8 +4 = $-4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|8)
denn -4⋅3 +1⋅8 = -12 +8 = $-4$

Oder : (1|0)
denn -4⋅1 +1⋅0 = -4 +0 = $-4$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-1\right)$	=	$-7$
$-3x-1$	=	$-7$	| $+1$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(18+4x\right)$	=	$-28$
$4x+72+16x$	=	$-28$
$20x+72$	=	$-28$	| $-72$
$20x$	=	$-100$	|:$20$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18+4\cdot \left(-5\right)$

= $18-20$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(7-\frac{2}{3}x\right)$	=	$32$
$4x+28-\frac{8}{3}x$	=	$32$
$\frac{4}{3}x+28$	=	$32$	|⋅ 3
$3\left(\frac{4}{3}x+28\right)$	=	$96$
$4x+84$	=	$96$	| $-84$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7-\frac{2}{3}\cdot 3$

= $7-2$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}·\left(-10+\frac{5}{3}x\right)$	=	$-\frac{6}{5}$
$\frac{3}{5}x-6+x$	=	$-\frac{6}{5}$
$\frac{8}{5}x-6$	=	$-\frac{6}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{8}{5}x-6\right)$	=	$-6$
$8x-30$	=	$-6$	| $+30$
$8x$	=	$24$	|:$8$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10+\frac{5}{3}\cdot 3$

= $-10+5$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-4x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 5 +20 = 25

-4x +5y = 4 +20 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 25

-4x +5y = 24

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-24+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+1·\left(-24+4x\right)$	=	$21$
$5x-24+4x$	=	$21$
$9x-24$	=	$21$	| $+24$
$9x$	=	$45$	|:$9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-24+4\cdot 5$

= $-24+20$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{265}{2}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-5·\left(-\frac{265}{2}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$775$
$7x+\frac{1325}{2}-\frac{25}{4}x$	=	$775$
$\frac{3}{4}x+\frac{1325}{2}$	=	$775$	|⋅ 4
$4\left(\frac{3}{4}x+\frac{1325}{2}\right)$	=	$3100$
$3x+2650$	=	$3100$	| $-2650$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{265}{2}+\frac{5}{4}\cdot 150$

= $-\frac{265}{2}+\frac{375}{2}$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

---

10 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-6+b\right)$	=	$10$
$b-6+b$	=	$10$
$2b-6$	=	$10$	| $+6$
$2b$	=	$16$	|:$2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6+8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|2)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|23): 23 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
23 = 16 -4b +c |-16

---

1 = -1b +c
7 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(7+4b\right)$	=	$1$
$-b+7+4b$	=	$1$
$3b+7$	=	$1$	| $-7$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7+4\cdot \left(-2\right)$

= $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-1$ = $1-2-1$ = -2

also: S(1|-2).