Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 7+y$ = $39$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 7+y$	=	$39$
$35+y$	=	$39$
$y+35$	=	$39$	| $-35$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (7|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-7)
denn -5⋅1 +5⋅( - 7 ) = -5 -35 = $-40$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-2)
denn -5⋅6 +5⋅( - 2 ) = -30 -10 = $-40$

Oder : (-4|-12)
denn -5⋅( - 4 ) +5⋅( - 12 ) = 20 -60 = $-40$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·1-y$	=	$1$
$3-y$	=	$1$
$-y+3$	=	$1$	| $-3$
$-y$	=	$-2$	|:($-1$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-4-3x\right)$	=	0
$2x-8-6x$	=	0
$-4x-8$	=	0	| $+8$
$-4x$	=	$8$	|:($-4$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-3\cdot \left(-2\right)$

= $-4+6$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(\frac{7}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$1$
$-3x-\frac{14}{3}-\frac{8}{3}x$	=	$1$
$-\frac{17}{3}x-\frac{14}{3}$	=	$1$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{17}{3}x-\frac{14}{3}\right)$	=	$3$
$-17x-14$	=	$3$	| $+14$
$-17x$	=	$17$	|:($-17$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{3}+\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{7}{3}-\frac{4}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+3·2x$	=	$-1$
$-5x+6x$	=	$-1$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +4y = ?

2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x +4y = -16 -8 = -24

2x +5y = -8 -10 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +4y = -24

2x +5y = -18

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(1+2x\right)$	=	$-4$
$4x-2-4x$	=	$-4$
$-2$	=	$-4$	| $+2$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-345+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-345+\frac{5}{2}x\right)$	=	$930$
$7x+1380-10x$	=	$930$
$-3x+1380$	=	$930$	| $-1380$
$-3x$	=	$-450$	|:($-3$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-345+\frac{5}{2}\cdot 150$

= $-345+375$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

---

9 = -1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3-2b\right)$	=	$9$
$-b-3-2b$	=	$9$
$-3b-3$	=	$9$	| $+3$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3-2\cdot \left(-4\right)$

= $-3+8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
14 = 1 -1b +c |-1

---

-3 = 1b +c
13 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13+b\right)$	=	$-3$
$b+13+b$	=	$-3$
$2b+13$	=	$-3$	| $-13$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|5)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+5$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+5$

= ${\left(x-4\right)}^2-11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4+5$ = $16-32+5$ = -11

also: S(4|-11).