Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-2\cdot 0$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-2\cdot 0$	=	$4$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|4)
denn -2⋅( - 7 ) -4⋅4 = 14 -16 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|6)
denn -2⋅( - 11 ) -4⋅6 = 22 -24 = $-2$

Oder : (-3|2)
denn -2⋅( - 3 ) -4⋅2 = 6 -8 = $-2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-1\right)+4y$	=	$22$
$2+4y$	=	$22$
$4y+2$	=	$22$	| $-2$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-16+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-16+4y\right)-2y$	=	$-10$
$-16+4y-2y$	=	$-10$
$2y-16$	=	$-10$	| $+16$
$2y$	=	$6$	|:$2$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-16+4\cdot 3$

= $-16+12$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $29-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(29-4x\right)$	=	$33$
$3x+87-12x$	=	$33$
$-9x+87$	=	$33$	| $-87$
$-9x$	=	$-54$	|:($-9$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $29-4\cdot 6$

= $29-24$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(-7+4x\right)$	=	$-1$
$-3x-35+20x$	=	$-1$
$17x-35$	=	$-1$	| $+35$
$17x$	=	$34$	|:$17$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7+4\cdot 2$

= $-7+8$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

8x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 20 +4 = 24

8x -9y = 32 +9 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = 24

8x -9y = 41

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+9·\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$4$
$6x+6-6x$	=	$4$
$6$	=	$4$	| $-6$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{77}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(\frac{77}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$110$
$5x+\frac{308}{3}-\frac{4}{3}x$	=	$110$
$\frac{11}{3}x+\frac{308}{3}$	=	$110$	|⋅ 3
$3\left(\frac{11}{3}x+\frac{308}{3}\right)$	=	$330$
$11x+308$	=	$330$	| $-308$
$11x$	=	$22$	|:$11$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{77}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{77}{3}-\frac{2}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (2|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|51): 51 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
51 = 16 -4b +c |-16

---

5 = -1b +c
35 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $35+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(35+4b\right)$	=	$5$
$-b+35+4b$	=	$5$
$3b+35$	=	$5$	| $-35$
$3b$	=	$-30$	|:$3$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $35+4\cdot \left(-10\right)$

= $35-40$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-12): -12 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-12 = 16 -4b +c |-16

---

-4 = -1b +c
-28 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-28+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-28+4b\right)$	=	$-4$
$-b-28+4b$	=	$-4$
$3b-28$	=	$-4$	| $+28$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-28+4\cdot 8$

= $-28+32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+4$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+4$

= ${\left(x+4\right)}^2-12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x·\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+4$ = $16-32+4$ = -12

also: S(-4|-12).