Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+\left(-4\right)$ = $31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+\left(-4\right)$	=	$31$
$-5x-4$	=	$31$	| $+4$
$-5x$	=	$35$	|:($-5$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|7)
denn 1⋅0 -1⋅7 = 0 -7 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|6)
denn 1⋅( - 1 ) -1⋅6 = -1 -6 = $-7$

Oder : (1|8)
denn 1⋅1 -1⋅8 = 1 -8 = $-7$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(-4\right)$	=	$16$
$-4x-8$	=	$16$	| $+8$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-9+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-9+4y\right)-3y$	=	$-3$
$27-12y-3y$	=	$-3$
$-15y+27$	=	$-3$	| $-27$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-9+4\cdot 2$

= $-9+8$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(15-4y\right)-2y$	=	$-20$
$30-8y-2y$	=	$-20$
$-10y+30$	=	$-20$	| $-30$
$-10y$	=	$-50$	|:($-10$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-4\cdot 5$

= $15-20$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-17-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-17-3y\right)-4y$	=	$26$
$34+6y-4y$	=	$26$
$2y+34$	=	$26$	| $-34$
$2y$	=	$-8$	|:$2$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-17-3\cdot \left(-4\right)$

= $-17+12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 20 -12 = 8

-7x -8y = 28 -24 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 8

-7x -8y = 4

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-8+2x\right)$	=	$9$
$3x+24-6x$	=	$9$
$-3x+24$	=	$9$	| $-24$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8+2\cdot 5$

= $-8+10$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{115}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+9·\left(\frac{115}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$331$
$8x+345-15x$	=	$331$
$-7x+345$	=	$331$	| $-345$
$-7x$	=	$-14$	|:($-7$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{115}{3}-\frac{5}{3}\cdot 2$

= $\frac{115}{3}-\frac{10}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (2|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|47): 47 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
47 = 16 +4b +c |-16

---

7 = 1b +c
31 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $31-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(31-4b\right)$	=	$7$
$b+31-4b$	=	$7$
$-3b+31$	=	$7$	| $-31$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $31-4\cdot 8$

= $31-32$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-17): -17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-17 = 4 +2b +c |-4

---

3 = -1b +c
-21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-21-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-21-2b\right)$	=	$3$
$-b-21-2b$	=	$3$
$-3b-21$	=	$3$	| $+21$
$-3b$	=	$24$	|:($-3$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-21-2\cdot \left(-8\right)$

= $-21+16$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-16-5$

= ${\left(x-4\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x·\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4-5$ = $16-32-5$ = -21

also: S(4|-21).