Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+4\cdot 0$ = $-30$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+4\cdot 0$	=	$-30$
$-5x$	=	$-30$	|:($-5$)
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|3)
denn -5⋅( - 7 ) +4⋅3 = 35 +12 = $47$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|8)
denn -5⋅( - 3 ) +4⋅8 = 15 +32 = $47$

Oder : (-11|-2)
denn -5⋅( - 11 ) +4⋅( - 2 ) = 55 -8 = $47$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·4$	=	$9$
$-3x+12$	=	$9$	| $-12$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-11+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-11+4x\right)$	=	$15$
$3x+33-12x$	=	$15$
$-9x+33$	=	$15$	| $-33$
$-9x$	=	$-18$	|:($-9$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-11+4\cdot 2$

= $-11+8$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-5-5y\right)-5y$	=	$15$
$15+15y-5y$	=	$15$
$10y+15$	=	$15$	| $-15$
$10y$	=	0	|:$10$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5-5\cdot 0$

= $-5+0$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{11}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-2·\left(-\frac{11}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$17$
$-5x+\frac{22}{5}+\frac{4}{5}x$	=	$17$
$-\frac{21}{5}x+\frac{22}{5}$	=	$17$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{21}{5}x+\frac{22}{5}\right)$	=	$85$
$-21x+22$	=	$85$	| $-22$
$-21x$	=	$63$	|:($-21$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{11}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{11}{5}+\frac{6}{5}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -2y = ?

4x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x -2y = -10 +10 = 0

4x +1y = -8 -5 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -2y = 0

4x +1y = -13

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(3+x\right)$	=	0
$2x+3+x$	=	0
$3x+3$	=	0	| $-3$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3-1$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(11-3y\right)-5y$	=	$-11$
$22-6y-5y$	=	$-11$
$-11y+22$	=	$-11$	| $-22$
$-11y$	=	$-33$	|:($-11$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-3\cdot 3$

= $11-9$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
6 = 1 +1b +c |-1

---

-7 = -1b +c
5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(5-b\right)$	=	$-7$
$-b+5-b$	=	$-7$
$-2b+5$	=	$-7$	| $-5$
$-2b$	=	$-12$	|:($-2$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5-6$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|18): 18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
18 = 9 +3b +c |-9

---

5 = 1b +c
9 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(9-3b\right)$	=	$5$
$b+9-3b$	=	$5$
$-2b+9$	=	$5$	| $-9$
$-2b$	=	$-4$	|:($-2$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9-3\cdot 2$

= $9-6$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+3$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+3$

= ${\left(x+1\right)}^2+2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+3$ = $1-2+3$ = 2

also: S(-1|2).