Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$x+5\cdot \left(-2\right)$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+5\cdot \left(-2\right)$	=	$-5$
$x-10$	=	$-5$	| $+10$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|3)
denn -5⋅6 -1⋅3 = -30 -3 = $-33$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|8)
denn -5⋅5 -1⋅8 = -25 -8 = $-33$

Oder : (7|-2)
denn -5⋅7 -1⋅( - 2 ) = -35 +2 = $-33$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(-3\right)$	=	$13$
$x+9$	=	$13$	| $-9$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(14-2y\right)+3y$	=	$19$
$14-2y+3y$	=	$19$
$y+14$	=	$19$	| $-14$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14-2\cdot 5$

= $14-10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-13+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-13+4y\right)-2y$	=	$-2$
$-26+8y-2y$	=	$-2$
$6y-26$	=	$-2$	| $+26$
$6y$	=	$24$	|:$6$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-13+4\cdot 4$

= $-13+16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x+\frac{3}{5}·\left(9+x\right)$	=	$-\frac{51}{10}$
$\frac{3}{2}x+\frac{27}{5}+\frac{3}{5}x$	=	$-\frac{51}{10}$
$\frac{21}{10}x+\frac{27}{5}$	=	$-\frac{51}{10}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{21}{10}x+\frac{27}{5}\right)$	=	$-51$
$21x+54$	=	$-51$	| $-54$
$21x$	=	$-105$	|:$21$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-5$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

5x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -12 -3 = -15

5x +4y = -15 -12 = -27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -15

5x +4y = -27

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-\frac{1}{4}+x\right)$	=	$1$
$4x+1-4x$	=	$1$
$1$	=	$1$	| $-1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $44-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(44-3x\right)$	=	$79$
$3x+88-6x$	=	$79$
$-3x+88$	=	$79$	| $-88$
$-3x$	=	$-9$	|:($-3$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $44-3\cdot 3$

= $44-9$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (3|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|53): 53 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
53 = 16 +4b +c |-16

---

7 = 1b +c
37 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $37-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(37-4b\right)$	=	$7$
$b+37-4b$	=	$7$
$-3b+37$	=	$7$	| $-37$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $37-4\cdot 10$

= $37-40$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-12): -12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-27): -27 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 +1b +c |-1
-27 = 16 +4b +c |-16

---

-13 = 1b +c
-43 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-43-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-43-4b\right)$	=	$-13$
$b-43-4b$	=	$-13$
$-3b-43$	=	$-13$	| $+43$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-43-4\cdot \left(-10\right)$

= $-43+40$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-3)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-3$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-3$

= ${\left(x-5\right)}^2-28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-3$ = $25-50-3$ = -28

also: S(5|-28).