Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+5\cdot \left(-2\right)$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+5\cdot \left(-2\right)$	=	$14$
$-4x-10$	=	$14$	| $+10$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|4)
denn 2⋅( - 7 ) +4⋅4 = -14 +16 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|2)
denn 2⋅( - 3 ) +4⋅2 = -6 +8 = $2$

Oder : (-11|6)
denn 2⋅( - 11 ) +4⋅6 = -22 +24 = $2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-3·3$	=	$-7$
$-x-9$	=	$-7$	| $+9$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-1·\left(8-3x\right)$	=	$-4$
$x-8+3x$	=	$-4$
$4x-8$	=	$-4$	| $+8$
$4x$	=	$4$	|:$4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8-3\cdot 1$

= $8-3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-22-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-22-4y\right)+3y$	=	$-42$
$-110-20y+3y$	=	$-42$
$-17y-110$	=	$-42$	| $+110$
$-17y$	=	$68$	|:($-17$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-22-4\cdot \left(-4\right)$

= $-22+16$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{3}x-2·\left(-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}x\right)$	=	$-6$
$-\frac{2}{3}x+7+5x$	=	$-6$
$\frac{13}{3}x+7$	=	$-6$	|⋅ 3
$3\left(\frac{13}{3}x+7\right)$	=	$-18$
$13x+21$	=	$-18$	| $-21$
$13x$	=	$-39$	|:$13$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{7}{2}+\frac{15}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-4x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -10 -2 = -12

-4x -2y = -8 -4 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -12

-4x -2y = -12

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(1-\frac{3}{4}x\right)$	=	0
$-2x-4+3x$	=	0
$x-4$	=	0	| $+4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $1-3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-270+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-270+x\right)$	=	$1710$
$6x+810-3x$	=	$1710$
$3x+810$	=	$1710$	| $-810$
$3x$	=	$900$	|:$3$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-270+300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
2 = 1 +1b +c |-1

---

5 = -1b +c
1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(1-b\right)$	=	$5$
$-b+1-b$	=	$5$
$-2b+1$	=	$5$	| $-1$
$-2b$	=	$4$	|:($-2$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1-\left(-2\right)$

= $1+2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

---

-6 = 1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(6+2b\right)$	=	$-6$
$b+6+2b$	=	$-6$
$3b+6$	=	$-6$	| $-6$
$3b$	=	$-12$	|:$3$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6+2\cdot \left(-4\right)$

= $6-8$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-2$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-2$

= ${\left(x-2\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-2$ = $4-8-2$ = -6

also: S(2|-6).