Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$5x+2\cdot \left(-1\right)$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x+2\cdot \left(-1\right)$	=	$-12$
$5x-2$	=	$-12$	| $+2$
$5x$	=	$-10$	|:$5$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-7)
denn 2⋅( - 7 ) +1⋅( - 7 ) = -14 -7 = $-21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-9)
denn 2⋅( - 6 ) +1⋅( - 9 ) = -12 -9 = $-21$

Oder : (-8|-5)
denn 2⋅( - 8 ) +1⋅( - 5 ) = -16 -5 = $-21$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $5$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·5$	=	$2$
$-3x+5$	=	$2$	| $-5$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-4+3y\right)-4y$	=	0
$-16+12y-4y$	=	0
$8y-16$	=	0	| $+16$
$8y$	=	$16$	|:$8$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4+3\cdot 2$

= $-4+6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(10-3y\right)-3y$	=	$-4$
$-40+12y-3y$	=	$-4$
$9y-40$	=	$-4$	| $+40$
$9y$	=	$36$	|:$9$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10-3\cdot 4$

= $10-12$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1-\frac{1}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{2}·\left(1-\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$\frac{7}{12}y-\frac{1}{2}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 12
$12\left(\frac{7}{12}y-\frac{1}{2}\right)$	=	$-6$
$7y-6$	=	$-6$	| $+6$
$7y$	=	0	|:$7$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $1-\frac{1}{2}\cdot 0$

= $1+0$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -1y = ?

6x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x -1y = -8 +2 = -6

6x -5y = -12 +10 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -1y = -6

6x -5y = -2

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(2+x\right)$	=	$9$
$-2x-6-3x$	=	$9$
$-5x-6$	=	$9$	| $+6$
$-5x$	=	$15$	|:($-5$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2-3$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-270+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(-270+x\right)$	=	$480$
$2x+1080-4x$	=	$480$
$-2x+1080$	=	$480$	| $-1080$
$-2x$	=	$-600$	|:($-2$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-270+300$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
-8 = 1 -1b +c |-1

---

7 = 1b +c
-9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-9+b\right)$	=	$7$
$b-9+b$	=	$7$
$2b-9$	=	$7$	| $+9$
$2b$	=	$16$	|:$2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9+8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|16): 16 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
16 = 4 -2b +c |-4

---

8 = -1b +c
12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(12+2b\right)$	=	$8$
$-b+12+2b$	=	$8$
$b+12$	=	$8$	| $-12$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12+2\cdot \left(-4\right)$

= $12-8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+4$ = $4-8+4$ = 0

also: S(2|0).