Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2x+3$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x+3$	=	$-5$
$2x+3$	=	$-5$	| $-3$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-3)
denn -4⋅2 +4⋅( - 3 ) = -8 -12 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|1)
denn -4⋅6 +4⋅1 = -24 +4 = $-20$

Oder : (-2|-7)
denn -4⋅( - 2 ) +4⋅( - 7 ) = 8 -28 = $-20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·6$	=	$21$
$3x+24$	=	$21$	| $-24$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-14-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-14-4x\right)$	=	$8$
$-4x+28+8x$	=	$8$
$4x+28$	=	$8$	| $-28$
$4x$	=	$-20$	|:$4$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-14-4\cdot \left(-5\right)$

= $-14+20$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(9-x\right)$	=	$-5$
$3x-45+5x$	=	$-5$
$8x-45$	=	$-5$	| $+45$
$8x$	=	$40$	|:$8$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-5$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-\frac{14}{5}-\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{5}·\left(-\frac{14}{5}-\frac{1}{5}y\right)-y$	=	$\frac{4}{5}$
$\frac{42}{25}+\frac{3}{25}y-y$	=	$\frac{4}{5}$
$-\frac{22}{25}y+\frac{42}{25}$	=	$\frac{4}{5}$	|⋅ 25
$25\left(-\frac{22}{25}y+\frac{42}{25}\right)$	=	$20$
$-22y+42$	=	$20$	| $-42$
$-22y$	=	$-22$	|:($-22$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{14}{5}-\frac{1}{5}\cdot 1$

= $-\frac{14}{5}-\frac{1}{5}$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = 9 +5 = 14

1x +2y = -3 -10 = -13

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = 14

1x +2y = -13

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$-13$
$-2x+1-5x$	=	$-13$
$-7x+1$	=	$-13$	| $-1$
$-7x$	=	$-14$	|:($-7$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{3}-\frac{5}{3}\cdot 2$

= $\frac{1}{3}-\frac{10}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(19-5y\right)-4y$	=	0
$57-15y-4y$	=	0
$-19y+57$	=	0	| $-57$
$-19y$	=	$-57$	|:($-19$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19-5\cdot 3$

= $19-15$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|13): 13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 +2b +c |-4

---

-9 = -1b +c
9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(9-2b\right)$	=	$-9$
$-b+9-2b$	=	$-9$
$-3b+9$	=	$-9$	| $-9$
$-3b$	=	$-18$	|:($-3$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9-2\cdot 6$

= $9-12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|4): 4 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
4 = 9 -3b +c |-9

---

-1 = -1b +c
-5 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-5+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-5+3b\right)$	=	$-1$
$-b-5+3b$	=	$-1$
$2b-5$	=	$-1$	| $+5$
$2b$	=	$4$	|:$2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-5+3\cdot 2$

= $-5+6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+1$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+1$

= ${\left(x+1\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+1$ = $1-2+1$ = 0

also: S(-1|0).