Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 0-y$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 0-y$	=	$4$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (0|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) -3⋅( - 1 ) = -16 +3 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-5)
denn 4⋅( - 7 ) -3⋅( - 5 ) = -28 +15 = $-13$

Oder : (-1|3)
denn 4⋅( - 1 ) -3⋅3 = -4 -9 = $-13$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $-2$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-2\right)+4y$	=	$-16$
$4+4y$	=	$-16$
$4y+4$	=	$-16$	| $-4$
$4y$	=	$-20$	|:$4$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(7+2y\right)-2y$	=	$-3$
$21+6y-2y$	=	$-3$
$4y+21$	=	$-3$	| $-21$
$4y$	=	$-24$	|:$4$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7+2\cdot \left(-6\right)$

= $7-12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(9-2x\right)$	=	$-16$
$-3x-18+4x$	=	$-16$
$x-18$	=	$-16$	| $+18$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-2\cdot 2$

= $9-4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-16+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-16+3y\right)-y$	=	$-7$
$-32+6y-y$	=	$-7$
$5y-32$	=	$-7$	| $+32$
$5y$	=	$25$	|:$5$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-16+3\cdot 5$

= $-16+15$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -16 -1 = -17

-5x +2y = -20 +2 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -17

-5x +2y = -18

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(13+3y\right)+4y$	=	$-32$
$-65-15y+4y$	=	$-32$
$-11y-65$	=	$-32$	| $+65$
$-11y$	=	$33$	|:($-11$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13+3\cdot \left(-3\right)$

= $13-9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{130}{3}-\frac{5}{9}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(\frac{130}{3}-\frac{5}{9}x\right)$	=	$132$
$2x+130-\frac{5}{3}x$	=	$132$
$\frac{1}{3}x+130$	=	$132$	|⋅ 3
$3\left(\frac{1}{3}x+130\right)$	=	$396$
$x+390$	=	$396$	| $-390$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{130}{3}-\frac{5}{9}\cdot 6$

= $\frac{130}{3}-\frac{10}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

---

13 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-17-2b\right)$	=	$13$
$-b-17-2b$	=	$13$
$-3b-17$	=	$13$	| $+17$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17-2\cdot \left(-10\right)$

= $-17+20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

---

1 = -1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(7-2b\right)$	=	$1$
$-b+7-2b$	=	$1$
$-3b+7$	=	$1$	| $-7$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7-2\cdot 2$

= $7-4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+3$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+3$

= ${\left(x+1\right)}^2+2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+3$ = $1-2+3$ = 2

also: S(-1|2).