Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3-y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3-y$	=	$3$
$3-y$	=	$3$
$-y+3$	=	$3$	| $-3$
$-y$	=	0	|:($-1$)
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (3|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-5)
denn -1⋅( - 7 ) +3⋅( - 5 ) = 7 -15 = $-8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-4)
denn -1⋅( - 4 ) +3⋅( - 4 ) = 4 -12 = $-8$

Oder : (-10|-6)
denn -1⋅( - 10 ) +3⋅( - 6 ) = 10 -18 = $-8$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·3-3y$	=	$24$
$6-3y$	=	$24$
$-3y+6$	=	$24$	| $-6$
$-3y$	=	$18$	|:($-3$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-17-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-17-2y\right)+2y$	=	$-27$
$-51-6y+2y$	=	$-27$
$-4y-51$	=	$-27$	| $+51$
$-4y$	=	$24$	|:($-4$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-17-2\cdot \left(-6\right)$

= $-17+12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(-2+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-15$
$-5x-10+\frac{10}{3}x$	=	$-15$
$-\frac{5}{3}x-10$	=	$-15$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{5}{3}x-10\right)$	=	$-45$
$-5x-30$	=	$-45$	| $+30$
$-5x$	=	$-15$	|:($-5$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+\frac{2}{3}\cdot 3$

= $-2+2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (3|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{11}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+3·\left(-\frac{11}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-7$
$-5x-\frac{33}{4}+\frac{15}{4}x$	=	$-7$
$-\frac{5}{4}x-\frac{33}{4}$	=	$-7$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{5}{4}x-\frac{33}{4}\right)$	=	$-28$
$-5x-33$	=	$-28$	| $+33$
$-5x$	=	$5$	|:($-5$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{11}{4}+\frac{5}{4}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{11}{4}-\frac{5}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +5y = ?

-4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-3x +5y = 6 +10 = 16

-4x +4y = 8 +8 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +5y = 16

-4x +4y = 16

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x-3·\left(1+3x\right)$	=	$-3$
$9x-3-9x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(11-5y\right)-4y$	=	$-3$
$55-25y-4y$	=	$-3$
$-29y+55$	=	$-3$	| $-55$
$-29y$	=	$-58$	|:($-29$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-5\cdot 2$

= $11-10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-13): -13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 -2b +c |-4

---

13 = 1b +c
-17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-17+2b\right)$	=	$13$
$b-17+2b$	=	$13$
$3b-17$	=	$13$	| $+17$
$3b$	=	$30$	|:$3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17+2\cdot 10$

= $-17+20$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|3)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|15): 15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
15 = 4 -2b +c |-4

---

-7 = 1b +c
11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(11+2b\right)$	=	$-7$
$b+11+2b$	=	$-7$
$3b+11$	=	$-7$	| $-11$
$3b$	=	$-18$	|:$3$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11+2\cdot \left(-6\right)$

= $11-12$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-1$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-1$

= ${\left(x-3\right)}^2-10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-1$ = $9-18-1$ = -10

also: S(3|-10).