Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-5\right)+4y$ = $-26$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-5\right)+4y$	=	$-26$
$-10+4y$	=	$-26$
$4y-10$	=	$-26$	| $+10$
$4y$	=	$-16$	|:$4$
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-5|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-7)
denn 1⋅6 +4⋅( - 7 ) = 6 -28 = $-22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-8)
denn 1⋅10 +4⋅( - 8 ) = 10 -32 = $-22$

Oder : (2|-6)
denn 1⋅2 +4⋅( - 6 ) = 2 -24 = $-22$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $1$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·1+3y$	=	$2$
$-4+3y$	=	$2$
$3y-4$	=	$2$	| $+4$
$3y$	=	$6$	|:$3$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $19-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(19-4x\right)$	=	$27$
$2x-57+12x$	=	$27$
$14x-57$	=	$27$	| $+57$
$14x$	=	$84$	|:$14$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $19-4\cdot 6$

= $19-24$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(3-x\right)$	=	$35$
$5x-15+5x$	=	$35$
$10x-15$	=	$35$	| $+15$
$10x$	=	$50$	|:$10$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-5$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-18+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-18+4x\right)$	=	$3$
$-3x+36-8x$	=	$3$
$-11x+36$	=	$3$	| $-36$
$-11x$	=	$-33$	|:($-11$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-18+4\cdot 3$

= $-18+12$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +5y = ?

3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

5x +5y = 20 -25 = -5

3x +6y = 12 -30 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +5y = -5

3x +6y = -18

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-1·\left(-5+x\right)$	=	$-7$
$-5x+5-x$	=	$-7$
$-6x+5$	=	$-7$	| $-5$
$-6x$	=	$-12$	|:($-6$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5+2$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $24-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+4·\left(24-2x\right)$	=	$98$
$9x+96-8x$	=	$98$
$x+96$	=	$98$	| $-96$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $24-2\cdot 2$

= $24-4$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-15): -15 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-15 = 4 -2b +c |-4

---

11 = 1b +c
-19 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-19+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-19+2b\right)$	=	$11$
$b-19+2b$	=	$11$
$3b-19$	=	$11$	| $+19$
$3b$	=	$30$	|:$3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-19+2\cdot 10$

= $-19+20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|2): 2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
2 = 4 -2b +c |-4

---

4 = 1b +c
-2 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-2+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-2+2b\right)$	=	$4$
$b-2+2b$	=	$4$
$3b-2$	=	$4$	| $+2$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-2+2\cdot 2$

= $-2+4$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+2$ = $1-2+2$ = 1

also: S(-1|1).