Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$5x+\left(-3\right)$ = $27$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x+\left(-3\right)$	=	$27$
$5x-3$	=	$27$	| $+3$
$5x$	=	$30$	|:$5$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-7)
denn -4⋅1 +5⋅( - 7 ) = -4 -35 = $-39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-3)
denn -4⋅6 +5⋅( - 3 ) = -24 -15 = $-39$

Oder : (-4|-11)
denn -4⋅( - 4 ) +5⋅( - 11 ) = 16 -55 = $-39$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+1·\left(-1\right)$	=	$-6$
$-x-1$	=	$-6$	| $+1$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(15+2y\right)-4y$	=	$15$
$-15-2y-4y$	=	$15$
$-6y-15$	=	$15$	| $+15$
$-6y$	=	$30$	|:($-6$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15+2\cdot \left(-5\right)$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-\frac{9}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-4$
$4x-\frac{36}{5}-\frac{16}{5}x$	=	$-4$
$\frac{4}{5}x-\frac{36}{5}$	=	$-4$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{36}{5}\right)$	=	$-20$
$4x-36$	=	$-20$	| $+36$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{9}{5}-\frac{4}{5}\cdot 4$

= $-\frac{9}{5}-\frac{16}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $34+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-1·\left(34+5x\right)$	=	$14$
$-3x-34-5x$	=	$14$
$-8x-34$	=	$14$	| $+34$
$-8x$	=	$48$	|:($-8$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $34+5\cdot \left(-6\right)$

= $34-30$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -5y = ?

-2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -5y = -5 +5 = 0

-2x -5y = -2 +5 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -5y = 0

-2x -5y = 3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{3}+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-\frac{17}{3}+\frac{5}{3}x\right)$	=	$20$
$4x-\frac{68}{3}+\frac{20}{3}x$	=	$20$
$\frac{32}{3}x-\frac{68}{3}$	=	$20$	|⋅ 3
$3\left(\frac{32}{3}x-\frac{68}{3}\right)$	=	$60$
$32x-68$	=	$60$	| $+68$
$32x$	=	$128$	|:$32$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{3}+\frac{5}{3}\cdot 4$

= $-\frac{17}{3}+\frac{20}{3}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+9·\left(36-3x\right)$	=	$280$
$5x+324-27x$	=	$280$
$-22x+324$	=	$280$	| $-324$
$-22x$	=	$-44$	|:($-22$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36-3\cdot 2$

= $36-6$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

---

-5 = 1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13-2b\right)$	=	$-5$
$b-13-2b$	=	$-5$
$-b-13$	=	$-5$	| $+13$
$-b$	=	$8$	|:($-1$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-2\cdot \left(-8\right)$

= $-13+16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
0 = 1 +1b +c |-1

---

-9 = -1b +c
-1 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-1-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-1-b\right)$	=	$-9$
$-b-1-b$	=	$-9$
$-2b-1$	=	$-9$	| $+1$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-1-4$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4-5$

= ${\left(x+2\right)}^2-4-5$

= ${\left(x+2\right)}^2-9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x·\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-5$ = $4-8-5$ = -9

also: S(-2|-9).