Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-x-3\cdot \left(-6\right)$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x-3\cdot \left(-6\right)$	=	$22$
$-x+18$	=	$22$	| $-18$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|5)
denn -2⋅( - 4 ) +2⋅5 = 8 +10 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|7)
denn -2⋅( - 2 ) +2⋅7 = 4 +14 = $18$

Oder : (-6|3)
denn -2⋅( - 6 ) +2⋅3 = 12 +6 = $18$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-4$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-4\right)$	=	$-10$
$x-12$	=	$-10$	| $+12$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-6+3y\right)-4y$	=	$5$
$18-9y-4y$	=	$5$
$-13y+18$	=	$5$	| $-18$
$-13y$	=	$-13$	|:($-13$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6+3\cdot 1$

= $-6+3$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-16-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-16-4y\right)+2y$	=	$-8$
$64+16y+2y$	=	$-8$
$18y+64$	=	$-8$	| $-64$
$18y$	=	$-72$	|:$18$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-16-4\cdot \left(-4\right)$

= $-16+16$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-10$
$2x-25+3x$	=	$-10$
$5x-25$	=	$-10$	| $+25$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{25}{4}+\frac{3}{4}\cdot 3$

= $-\frac{25}{4}+\frac{9}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = 15 -2 = 13

-1x -3y = 3 -3 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = 13

-1x -3y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+8·\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$15$
$-12x+12+12x$	=	$15$
$12$	=	$15$	| $-12$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $39-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(39-\frac{2}{3}x\right)$	=	$152$
$2x+156-\frac{8}{3}x$	=	$152$
$-\frac{2}{3}x+156$	=	$152$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}x+156\right)$	=	$456$
$-2x+468$	=	$456$	| $-468$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $39-\frac{2}{3}\cdot 6$

= $39-4$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|17): 17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 -2b +c |-4

---

9 = -1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(13+2b\right)$	=	$9$
$-b+13+2b$	=	$9$
$b+13$	=	$9$	| $-13$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13+2\cdot \left(-4\right)$

= $13-8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(17+2b\right)$	=	$-1$
$b+17+2b$	=	$-1$
$3b+17$	=	$-1$	| $-17$
$3b$	=	$-18$	|:$3$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17+2\cdot \left(-6\right)$

= $17-12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+5$ = $9-18+5$ = -4

also: S(3|-4).