Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-3\cdot 6$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-3\cdot 6$	=	$3$
$-3x-18$	=	$3$	| $+18$
$-3x$	=	$21$	|:($-3$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|3)
denn -2⋅( - 6 ) -4⋅3 = 12 -12 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|5)
denn -2⋅( - 10 ) -4⋅5 = 20 -20 = 0

Oder : (-2|1)
denn -2⋅( - 2 ) -4⋅1 = 4 -4 = 0

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·4-3y$	=	$18$
$12-3y$	=	$18$
$-3y+12$	=	$18$	| $-12$
$-3y$	=	$6$	|:($-3$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-15-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-1·\left(-15-2x\right)$	=	$20$
$-3x+15+2x$	=	$20$
$-x+15$	=	$20$	| $-15$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-15-2\cdot \left(-5\right)$

= $-15+10$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{13}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(-\frac{13}{2}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-28$
$3x-\frac{65}{2}-\frac{15}{4}x$	=	$-28$
$-\frac{3}{4}x-\frac{65}{2}$	=	$-28$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x-\frac{65}{2}\right)$	=	$-112$
$-3x-130$	=	$-112$	| $+130$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{13}{2}-\frac{3}{4}\cdot \left(-6\right)$

= $-\frac{13}{2}+\frac{9}{2}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x+1·\left(-\frac{17}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-\frac{9}{2}$
$-\frac{1}{2}x-\frac{17}{5}-\frac{3}{5}x$	=	$-\frac{9}{2}$
$-\frac{11}{10}x-\frac{17}{5}$	=	$-\frac{9}{2}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{11}{10}x-\frac{17}{5}\right)$	=	$-45$
$-11x-34$	=	$-45$	| $+34$
$-11x$	=	$-11$	|:($-11$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{5}-\frac{3}{5}\cdot 1$

= $-\frac{17}{5}-\frac{3}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-9x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 20 -4 = 16

-9x +9y = 36 -9 = 27

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 16

-9x +9y = 27

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{14}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-3·\left(\frac{14}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-14$
$-4x-\frac{42}{5}+\frac{6}{5}x$	=	$-14$
$-\frac{14}{5}x-\frac{42}{5}$	=	$-14$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{14}{5}x-\frac{42}{5}\right)$	=	$-70$
$-14x-42$	=	$-70$	| $+42$
$-14x$	=	$-28$	|:($-14$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{14}{5}-\frac{2}{5}\cdot 2$

= $\frac{14}{5}-\frac{4}{5}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+3·\left(18-\frac{1}{2}x\right)$	=	$81$
$6x+54-\frac{3}{2}x$	=	$81$
$\frac{9}{2}x+54$	=	$81$	|⋅ 2
$2\left(\frac{9}{2}x+54\right)$	=	$162$
$9x+108$	=	$162$	| $-108$
$9x$	=	$54$	|:$9$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18-\frac{1}{2}\cdot 6$

= $18-3$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (6|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|25): 25 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
25 = 4 +2b +c |-4

---

-9 = -1b +c
21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(21-2b\right)$	=	$-9$
$-b+21-2b$	=	$-9$
$-3b+21$	=	$-9$	| $-21$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21-2\cdot 10$

= $21-20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
1 = 1 +1b +c |-1

---

8 = -1b +c
0 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $-b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-b\right)$	=	$8$
$-b-b$	=	$8$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-\left(-4\right)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+4$

= ${\left(x-2\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+4$ = $4-8+4$ = 0

also: S(2|0).