Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-4\cdot 1$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-4\cdot 1$	=	$16$
$4x-4$	=	$16$	| $+4$
$4x$	=	$20$	|:$4$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-6)
denn -4⋅2 -4⋅( - 6 ) = -8 +24 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-2)
denn -4⋅( - 2 ) -4⋅( - 2 ) = 8 +8 = $16$

Oder : (6|-10)
denn -4⋅6 -4⋅( - 10 ) = -24 +40 = $16$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-4\right)-3y$	=	$-13$
$-16-3y$	=	$-13$
$-3y-16$	=	$-13$	| $+16$
$-3y$	=	$3$	|:($-3$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $15-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(15-4x\right)$	=	0
$3x-45+12x$	=	0
$15x-45$	=	0	| $+45$
$15x$	=	$45$	|:$15$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $15-4\cdot 3$

= $15-12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{31}{3}+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(-\frac{31}{3}+\frac{5}{3}x\right)$	=	$-35$
$-5x-\frac{155}{3}+\frac{25}{3}x$	=	$-35$
$\frac{10}{3}x-\frac{155}{3}$	=	$-35$	|⋅ 3
$3\left(\frac{10}{3}x-\frac{155}{3}\right)$	=	$-105$
$10x-155$	=	$-105$	| $+155$
$10x$	=	$50$	|:$10$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{31}{3}+\frac{5}{3}\cdot 5$

= $-\frac{31}{3}+\frac{25}{3}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+3·\left(9+4x\right)$	=	$20$
$-5x+27+12x$	=	$20$
$7x+27$	=	$20$	| $-27$
$7x$	=	$-7$	|:$7$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9+4\cdot \left(-1\right)$

= $9-4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = -10 +6 = -4

6x +6y = -12 +12 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = -4

6x +6y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-22$
$4x+3+x$	=	$-22$
$5x+3$	=	$-22$	| $-3$
$5x$	=	$-25$	|:$5$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(-5\right)$

= $-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|1)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{215}{7}-\frac{8}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+8·\left(\frac{215}{7}-\frac{8}{7}x\right)$	=	$230$
$6x+\frac{1720}{7}-\frac{64}{7}x$	=	$230$
$-\frac{22}{7}x+\frac{1720}{7}$	=	$230$	|⋅ 7
$7\left(-\frac{22}{7}x+\frac{1720}{7}\right)$	=	$1610$
$-22x+1720$	=	$1610$	| $-1720$
$-22x$	=	$-110$	|:($-22$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{215}{7}-\frac{8}{7}\cdot 5$

= $\frac{215}{7}-\frac{40}{7}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|36): 36 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
36 = 9 -3b +c |-9

---

11 = -1b +c
27 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $27+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(27+3b\right)$	=	$11$
$-b+27+3b$	=	$11$
$2b+27$	=	$11$	| $-27$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $27+3\cdot \left(-8\right)$

= $27-24$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|3): 3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 +1b +c |-1
-5 = 1 -1b +c |-1

---

2 = 1b +c
-6 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-6+b\right)$	=	$2$
$b-6+b$	=	$2$
$2b-6$	=	$2$	| $+6$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6+4$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4-2$

= ${\left(x+2\right)}^2-4-2$

= ${\left(x+2\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-2$ = $4-8-2$ = -6

also: S(-2|-6).