Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 4+3y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 4+3y$	=	$8$
$8+3y$	=	$8$
$3y+8$	=	$8$	| $-8$
$3y$	=	0	|:$3$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (4|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-3)
denn 5⋅1 +2⋅( - 3 ) = 5 -6 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-8)
denn 5⋅3 +2⋅( - 8 ) = 15 -16 = $-1$

Oder : (-1|2)
denn 5⋅( - 1 ) +2⋅2 = -5 +4 = $-1$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·6-4y$	=	$14$
$-6-4y$	=	$14$
$-4y-6$	=	$14$	| $+6$
$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-26-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-26-5y\right)+4y$	=	$-21$
$-26-5y+4y$	=	$-21$
$-y-26$	=	$-21$	| $+26$
$-y$	=	$5$	|:($-1$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-26-5\cdot \left(-5\right)$

= $-26+25$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-3-x\right)$	=	$14$
$2x+6+2x$	=	$14$
$4x+6$	=	$14$	| $-6$
$4x$	=	$8$	|:$4$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3-2$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-2+2y\right)-2y$	=	$-14$
$10-10y-2y$	=	$-14$
$-12y+10$	=	$-14$	| $-10$
$-12y$	=	$-24$	|:($-12$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2+2\cdot 2$

= $-2+4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = -10 +8 = -2

3x -1y = -6 -4 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -2

3x -1y = -10

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-3y\right)-5y$	=	$-22$
$-6y-5y$	=	$-22$
$-11y$	=	$-22$	|:($-11$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3\cdot 2$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{92}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(\frac{92}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$94$
$2x+92-x$	=	$94$
$x+92$	=	$94$	| $-92$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{92}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{92}{3}-\frac{2}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-20): -20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
-20 = 4 +2b +c |-4

---

6 = -1b +c
-24 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-24-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-24-2b\right)$	=	$6$
$-b-24-2b$	=	$6$
$-3b-24$	=	$6$	| $+24$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-24-2\cdot \left(-10\right)$

= $-24+20$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|13): 13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
13 = 4 +2b +c |-4

---

-9 = -1b +c
9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(9-2b\right)$	=	$-9$
$-b+9-2b$	=	$-9$
$-3b+9$	=	$-9$	| $-9$
$-3b$	=	$-18$	|:($-3$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9-2\cdot 6$

= $9-12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9-3$

= ${\left(x+3\right)}^2-9-3$

= ${\left(x+3\right)}^2-12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)-3$ = $9-18-3$ = -12

also: S(-3|-12).