Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-5\right)-y$ = $13$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-5\right)-y$	=	$13$
$20-y$	=	$13$
$-y+20$	=	$13$	| $-20$
$-y$	=	$-7$	|:($-1$)
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-5|7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-6)
denn 1⋅0 +4⋅( - 6 ) = 0 -24 = $-24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-7)
denn 1⋅4 +4⋅( - 7 ) = 4 -28 = $-24$

Oder : (-4|-5)
denn 1⋅( - 4 ) +4⋅( - 5 ) = -4 -20 = $-24$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·4+4y$	=	$-20$
$-8+4y$	=	$-20$
$4y-8$	=	$-20$	| $+8$
$4y$	=	$-12$	|:$4$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(12+3x\right)$	=	$-32$
$4x-48-12x$	=	$-32$
$-8x-48$	=	$-32$	| $+48$
$-8x$	=	$16$	|:($-8$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12+3\cdot \left(-2\right)$

= $12-6$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(8+2x\right)$	=	$8$
$-2x-16-4x$	=	$8$
$-6x-16$	=	$8$	| $+16$
$-6x$	=	$24$	|:($-6$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8+2\cdot \left(-4\right)$

= $8-8$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-1·\left(-3-2x\right)$	=	$-6$
$x+3+2x$	=	$-6$
$3x+3$	=	$-6$	| $-3$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-2\cdot \left(-3\right)$

= $-3+6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = -15 -4 = -19

2x -2y = -10 +8 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = -19

2x -2y = -2

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(8-\frac{3}{2}x\right)$	=	$10$
$2x+16-3x$	=	$10$
$-x+16$	=	$10$	| $-16$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8-\frac{3}{2}\cdot 6$

= $8-9$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-650+\frac{7}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(-650+\frac{7}{3}x\right)$	=	$400$
$2x+2600-\frac{28}{3}x$	=	$400$
$-\frac{22}{3}x+2600$	=	$400$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{22}{3}x+2600\right)$	=	$1200$
$-22x+7800$	=	$1200$	| $-7800$
$-22x$	=	$-6600$	|:($-22$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-650+\frac{7}{3}\cdot 300$

= $-650+700$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|14): 14 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
14 = 1 -1b +c |-1

---

-7 = 1b +c
13 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13+b\right)$	=	$-7$
$b+13+b$	=	$-7$
$2b+13$	=	$-7$	| $-13$
$2b$	=	$-20$	|:$2$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-10$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
1 = 1 -1b +c |-1

---

4 = 1b +c
0 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·b$	=	$4$
$b+b$	=	$4$
$2b$	=	$4$	|:$2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+2$ = $1-2+2$ = 1

also: S(-1|1).