Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-6\right)+y$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-6\right)+y$	=	$-15$
$-12+y$	=	$-15$
$y-12$	=	$-15$	| $+12$
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-6|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|5)
denn 5⋅7 -3⋅5 = 35 -15 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|0)
denn 5⋅4 -3⋅0 = 20 +0 = $20$

Oder : (10|10)
denn 5⋅10 -3⋅10 = 50 -30 = $20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(-6\right)$	=	$6$
$3x-12$	=	$6$	| $+12$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-17-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-17-4x\right)$	=	$14$
$-4x+34+8x$	=	$14$
$4x+34$	=	$14$	| $-34$
$4x$	=	$-20$	|:$4$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-17-4\cdot \left(-5\right)$

= $-17+20$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{10}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(\frac{10}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$50$
$-5x+\frac{50}{3}-\frac{10}{3}x$	=	$50$
$-\frac{25}{3}x+\frac{50}{3}$	=	$50$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{25}{3}x+\frac{50}{3}\right)$	=	$150$
$-25x+50$	=	$150$	| $-50$
$-25x$	=	$100$	|:($-25$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{10}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-4\right)$

= $\frac{10}{3}+\frac{8}{3}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-11+2y\right)+3y$	=	$17$
$22-4y+3y$	=	$17$
$-y+22$	=	$17$	| $-22$
$-y$	=	$-5$	|:($-1$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11+2\cdot 5$

= $-11+10$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-3x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = 16 -9 = 7

-3x +1y = 12 +3 = 15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = 7

-3x +1y = 15

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(1+3y\right)+6y$	=	$-2$
$-2-6y+6y$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-70+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-70+\frac{2}{3}x\right)$	=	$240$
$2x+140-\frac{4}{3}x$	=	$240$
$\frac{2}{3}x+140$	=	$240$	|⋅ 3
$3\left(\frac{2}{3}x+140\right)$	=	$720$
$2x+420$	=	$720$	| $-420$
$2x$	=	$300$	|:$2$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-70+\frac{2}{3}\cdot 150$

= $-70+100$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
15 = 1 +1b +c |-1

---

-6 = -1b +c
14 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(14-b\right)$	=	$-6$
$-b+14-b$	=	$-6$
$-2b+14$	=	$-6$	| $-14$
$-2b$	=	$-20$	|:($-2$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14-10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|5): 5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|25): 25 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 -1b +c |-1
25 = 9 -3b +c |-9

---

4 = -1b +c
16 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(16+3b\right)$	=	$4$
$-b+16+3b$	=	$4$
$2b+16$	=	$4$	| $-16$
$2b$	=	$-12$	|:$2$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16+3\cdot \left(-6\right)$

= $16-18$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-2$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-2$

= ${\left(x-3\right)}^2-11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-2$ = $9-18-2$ = -11

also: S(3|-11).