Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+4\cdot 3$ = $-6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+4\cdot 3$	=	$-6$
$-3x+12$	=	$-6$	| $-12$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|1)
denn -4⋅3 -1⋅1 = -12 -1 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|5)
denn -4⋅2 -1⋅5 = -8 -5 = $-13$

Oder : (4|-3)
denn -4⋅4 -1⋅( - 3 ) = -16 +3 = $-13$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·4$	=	$6$
$-3x+12$	=	$6$	| $-12$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $20-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(20-3x\right)$	=	$14$
$3x-40+6x$	=	$14$
$9x-40$	=	$14$	| $+40$
$9x$	=	$54$	|:$9$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $20-3\cdot 6$

= $20-18$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{27}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(\frac{27}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$25$
$-5x+\frac{135}{4}-\frac{15}{4}x$	=	$25$
$-\frac{35}{4}x+\frac{135}{4}$	=	$25$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{35}{4}x+\frac{135}{4}\right)$	=	$100$
$-35x+135$	=	$100$	| $-135$
$-35x$	=	$-35$	|:($-35$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{27}{4}-\frac{3}{4}\cdot 1$

= $\frac{27}{4}-\frac{3}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $26+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(26+5y\right)-5y$	=	$14$
$104+20y-5y$	=	$14$
$15y+104$	=	$14$	| $-104$
$15y$	=	$-90$	|:$15$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $26+5\cdot \left(-6\right)$

= $26-30$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-7x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = -12 -4 = -16

-7x +10y = -21 -10 = -31

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = -16

-7x +10y = -31

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-8-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-8-2y\right)+2y$	=	$-8$
$32+8y+2y$	=	$-8$
$10y+32$	=	$-8$	| $-32$
$10y$	=	$-40$	|:$10$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-8-2\cdot \left(-4\right)$

= $-8+8$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{125}{3}-\frac{5}{6}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+2·\left(\frac{125}{3}-\frac{5}{6}x\right)$	=	$96$
$8x+\frac{250}{3}-\frac{5}{3}x$	=	$96$
$\frac{19}{3}x+\frac{250}{3}$	=	$96$	|⋅ 3
$3\left(\frac{19}{3}x+\frac{250}{3}\right)$	=	$288$
$19x+250$	=	$288$	| $-250$
$19x$	=	$38$	|:$19$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{125}{3}-\frac{5}{6}\cdot 2$

= $\frac{125}{3}-\frac{5}{3}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (2|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

---

5 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7+b\right)$	=	$5$
$b-7+b$	=	$5$
$2b-7$	=	$5$	| $+7$
$2b$	=	$12$	|:$2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+6$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|23): 23 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
23 = 16 -4b +c |-16

---

1 = -1b +c
7 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(7+4b\right)$	=	$1$
$-b+7+4b$	=	$1$
$3b+7$	=	$1$	| $-7$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7+4\cdot \left(-2\right)$

= $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-1$ = $1-2-1$ = -2

also: S(1|-2).