Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-3\right)-2y$ = $-23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-3\right)-2y$	=	$-23$
$-9-2y$	=	$-23$
$-2y-9$	=	$-23$	| $+9$
$-2y$	=	$-14$	|:($-2$)
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (-3|7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-7)
denn -1⋅( - 6 ) -4⋅( - 7 ) = 6 +28 = $34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|-6)
denn -1⋅( - 10 ) -4⋅( - 6 ) = 10 +24 = $34$

Oder : (-2|-8)
denn -1⋅( - 2 ) -4⋅( - 8 ) = 2 +32 = $34$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-6\right)+3y$	=	$-3$
$-12+3y$	=	$-3$
$3y-12$	=	$-3$	| $+12$
$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(11+3y\right)-2y$	=	$8$
$11+3y-2y$	=	$8$
$y+11$	=	$8$	| $-11$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11+3\cdot \left(-3\right)$

= $11-9$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(4-4x\right)$	=	$12$
$-2x+12-12x$	=	$12$
$-14x+12$	=	$12$	| $-12$
$-14x$	=	0	|:($-14$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-4\cdot \left(0\right)$

= $4+0$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+4·\left(-3+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-12$
$-5x-12+3x$	=	$-12$
$-2x-12$	=	$-12$	| $+12$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3+\frac{3}{4}\cdot \left(0\right)$

= $-3+0$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-6x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = 15 -5 = 10

-6x +3y = 30 -15 = 15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = 10

-6x +3y = 15

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $12-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(12-3y\right)-2y$	=	$-8$
$-36+9y-2y$	=	$-8$
$7y-36$	=	$-8$	| $+36$
$7y$	=	$28$	|:$7$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $12-3\cdot 4$

= $12-12$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|4)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(12-2y\right)-2y$	=	0
$24-4y-2y$	=	0
$-6y+24$	=	0	| $-24$
$-6y$	=	$-24$	|:($-6$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-2\cdot 4$

= $12-8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-4): -4 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-4 = 9 +3b +c |-9

---

-1 = 1b +c
-13 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13-3b\right)$	=	$-1$
$b-13-3b$	=	$-1$
$-2b-13$	=	$-1$	| $+13$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-3\cdot \left(-6\right)$

= $-13+18$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|2): 2 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
2 = 9 +3b +c |-9

---

1 = 1b +c
-7 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7-3b\right)$	=	$1$
$b-7-3b$	=	$1$
$-2b-7$	=	$1$	| $+7$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7-3\cdot \left(-4\right)$

= $-7+12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+5$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+5$

= ${\left(x-2\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+5$ = $4-8+5$ = 1

also: S(2|1).