Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot \left(-6\right)-5y$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot \left(-6\right)-5y$	=	$-9$
$-24-5y$	=	$-9$
$-5y-24$	=	$-9$	| $+24$
$-5y$	=	$15$	|:($-5$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-6|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-4)
denn -5⋅( - 5 ) +3⋅( - 4 ) = 25 -12 = $13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|1)
denn -5⋅( - 2 ) +3⋅1 = 10 +3 = $13$

Oder : (-8|-9)
denn -5⋅( - 8 ) +3⋅( - 9 ) = 40 -27 = $13$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3\right)-2y$	=	0
$12-2y$	=	0
$-2y+12$	=	0	| $-12$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(7+4x\right)$	=	$-13$
$x-28-16x$	=	$-13$
$-15x-28$	=	$-13$	| $+28$
$-15x$	=	$15$	|:($-15$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7+4\cdot \left(-1\right)$

= $7-4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(-3-2x\right)$	=	$-8$
$5x-6-4x$	=	$-8$
$x-6$	=	$-8$	| $+6$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3-2\cdot \left(-2\right)$

= $-3+4$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}·\left(-x\right)$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{3}{4}x$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 4
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\left(-2\right)$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 12 -10 = 2

2x +3y = 8 -15 = -7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 2

2x +3y = -7

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(3+3y\right)-12y$	=	$12$
$12+12y-12y$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $33-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+8·\left(33-x\right)$	=	$261$
$7x+264-8x$	=	$261$
$-x+264$	=	$261$	| $-264$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $33-3$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (3|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|17): 17 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
17 = 4 +2b +c |-4

---

7 = 1b +c
13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13-2b\right)$	=	$7$
$b+13-2b$	=	$7$
$-b+13$	=	$7$	| $-13$
$-b$	=	$-6$	|:($-1$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-2\cdot 6$

= $13-12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-18): -18 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
-18 = 4 +2b +c |-4

---

8 = -1b +c
-22 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-22-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-22-2b\right)$	=	$8$
$-b-22-2b$	=	$8$
$-3b-22$	=	$8$	| $+22$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-22-2\cdot \left(-10\right)$

= $-22+20$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-2$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-2$

= ${\left(x-5\right)}^2-27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-2$ = $25-50-2$ = -27

also: S(5|-27).