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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 4 x + 5 y$ = $16$ .

Bestimme x so, dass (x|0) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$- 4 x + 5 \cdot 0$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$- 4 x + 5 \cdot 0$	=	$16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x + y$ = $8$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|0)
denn 2⋅4 +1⋅0 = 8 +0 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-2)
denn 2⋅5 +1⋅( - 2 ) = 10 -2 = $8$

Oder : (3|2)
denn 2⋅3 +1⋅2 = 6 +2 = $8$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (I) \\ 4 x & = & 12 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

$4 x$	=	$12$	\|: $4$
$x$	=	$3$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 4 x & + 2 y & = & - 24 & (I) \\ x & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 4 \cdot 3 + 2 y$	=	$- 24$
$- 12 + 2 y$	=	$- 24$
$2 y - 12$	=	$- 24$	\| $+ 12$
$2 y$	=	$- 12$	\|: $2$
$y$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ - 2 x & - y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$- 2 x - y$	=	$3$
$- y - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$- y$	=	$3 + 2 x$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$- 3 - 2 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 11 & (I) \\ + y & = & (- 3 - 2 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $- 3 - 2 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x + 3 \cdot (- 3 - 2 x)$	=	$11$
$x - 9 - 6 x$	=	$11$
$- 5 x - 9$	=	$11$	\| $+ 9$
$- 5 x$	=	$20$	\|:( $- 5$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $- 3 - 2 \cdot (- 4)$

= $- 3 + 8$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 3 x & - 4 y & = & 12 & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$3 x - 4 y$	=	$12$
$- 4 y + 3 x$	=	$12$	\| $- 3 x$
$- 4 y$	=	$12 - 3 x$	\|:( $- 4$ )
$y$	=	$- 3 + \frac{3}{4} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- 3 + \frac{3}{4} x) & (I) \\ - 3 x & - 2 y & = & - 12 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- 3 + \frac{3}{4} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 3 x - 2 \cdot (- 3 + \frac{3}{4} x)$	=	$- 12$
$- 3 x + 6 - \frac{3}{2} x$	=	$- 12$
$- \frac{9}{2} x + 6$	=	$- 12$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{9}{2} x + 6)$	=	$- 24$
$- 9 x + 12$	=	$- 24$	\| $- 12$
$- 9 x$	=	$- 36$	\|:( $- 9$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $- 3 + \frac{3}{4} \cdot 4$

= $- 3 + 3$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

$- 2 (x + 7)$	=	$- 3 y$			(I)
$- x + 2 y$	=	$10$			(II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

$- 2 (x + 7)$	=	$- 3 y$			(I)
$- x + 2 y$	=	$10$			(II)

$- 2 x - 14$	=	$- 3 y$	\| + $14 + 3 y$		(I)
$- x + 2 y$	=	$10$			(II)

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 14 & (I) \\ - x & + 2 y & = & 10 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$- x + 2 y$	=	$10$	\| $- 2 y$
$- x$	=	$10 - 2 y$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 10 + 2 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - 2 x & + 3 y & = & 14 & (I) \\ x & = & (- 10 + 2 y) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $- 10 + 2 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$- 2 \cdot (- 10 + 2 y) + 3 y$	=	$14$
$20 - 4 y + 3 y$	=	$14$
$- y + 20$	=	$14$	\| $- 20$
$- y$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $- 10 + 2 \cdot 6$

= $- 10 + 12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -4 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -4y = ?

-6x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -4y = 8 +12 = 20

-6x -13y = 24 +39 = 63

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -4y = 20

-6x -13y = 63

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} - 16 x & - 16 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - 16 x & - 16 y & = & 5 & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$- 16 x - 16 y$	=	$5$
$- 16 y - 16 x$	=	$5$	\| $+ 16 x$
$- 16 y$	=	$5 + 16 x$	\|:( $- 16$ )
$y$	=	$- \frac{5}{16} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (- \frac{5}{16} - x) & (I) \\ 4 x & + 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $- \frac{5}{16} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4 x + 4 \cdot (- \frac{5}{16} - x)$	=	$- 2$
$4 x - \frac{5}{4} - 4 x$	=	$- 2$
$- \frac{5}{4}$	=	$- 2$	\| $+ \frac{5}{4}$
0	=	$- \frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Herr Maier zahlt für 2kg Äpfel und 2kg Birnen zusammen 9 Euro.Frau Müller zahlt für 3kg Äpfel und 4kg Birnen zusammen 15,3 Euro.Wie viel kostet ein Kilo Äpfel, wie viel ein Kilo Birnen ?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kg-Preis der Äpfel und y als kg-Preis der Birnen und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & + 2 y & = & 9 & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 15,3 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x + 2 y$	=	$9$
$2 y + 2 x$	=	$9$	\| $- 2 x$
$2 y$	=	$9 - 2 x$	\|: $2$
$y$	=	$\frac{9}{2} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{9}{2} - x) & (I) \\ 3 x & + 4 y & = & 15,3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{9}{2} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3 x + 4 \cdot (\frac{9}{2} - x)$	=	$15,3$
$3 x + 18 - 4 x$	=	$15,3$
$- x + 18$	=	$15,3$	\| $- 18$
$- x$	=	$- 2,7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2,7$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{9}{2} - 2,7$

= $\frac{9}{2} - \frac{5,4}{2}$

also

y = 1.8

Die Lösung des LGS ist damit: (2.7|1.8)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kg-Preis der Äpfel (x-Wert): 2.7

kg-Preis der Birnen (y-Wert): 1.8

Aufgabenbeispiele von LGS

Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen