Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3+y$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3+y$	=	$-1$
$-3+y$	=	$-1$
$y-3$	=	$-1$	| $+3$
$y$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (3|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|3)
denn 3⋅5 -4⋅3 = 15 -12 = $3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|0)
denn 3⋅1 -4⋅0 = 3 +0 = $3$

Oder : (9|6)
denn 3⋅9 -4⋅6 = 27 -24 = $3$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·5-2y$	=	$-7$
$5-2y$	=	$-7$
$-2y+5$	=	$-7$	| $-5$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-1+3x\right)$	=	$-1$
$3x+2-6x$	=	$-1$
$-3x+2$	=	$-1$	| $-2$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1+3\cdot 1$

= $-1+3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-5+2y\right)-5y$	=	$-10$
$-15+6y-5y$	=	$-10$
$y-15$	=	$-10$	| $+15$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5+2\cdot 5$

= $-5+10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(11-4y\right)+5y$	=	$-5$
$-55+20y+5y$	=	$-5$
$25y-55$	=	$-5$	| $+55$
$25y$	=	$50$	|:$25$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-4\cdot 2$

= $11-8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = 16 +5 = 21

-1x +4y = 4 +4 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = 21

-1x +4y = 8

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{3}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-\frac{1}{3}-x\right)$	=	$1$
$-2x+\frac{2}{3}+2x$	=	$1$
$\frac{2}{3}$	=	$1$	| $-\frac{2}{3}$
0	=	$\frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-10+\frac{2}{5}x\right)$	=	$500$
$4x+20-\frac{4}{5}x$	=	$500$
$\frac{16}{5}x+20$	=	$500$	|⋅ 5
$5\left(\frac{16}{5}x+20\right)$	=	$2500$
$16x+100$	=	$2500$	| $-100$
$16x$	=	$2400$	|:$16$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10+\frac{2}{5}\cdot 150$

= $-10+60$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
-13 = 1 -1b +c |-1

---

6 = 1b +c
-14 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-14+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-14+b\right)$	=	$6$
$b-14+b$	=	$6$
$2b-14$	=	$6$	| $+14$
$2b$	=	$20$	|:$2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-14+10$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-4): -4 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-4 = 9 +3b +c |-9

---

-1 = 1b +c
-13 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13-3b\right)$	=	$-1$
$b-13-3b$	=	$-1$
$-2b-13$	=	$-1$	| $+13$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-3\cdot \left(-6\right)$

= $-13+18$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+5$ = $9-18+5$ = -4

also: S(3|-4).