Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+0$ = $16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+0$	=	$16$
$-4x$	=	$16$	|:($-4$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|2)
denn -1⋅0 +5⋅2 = 0 +10 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|3)
denn -1⋅5 +5⋅3 = -5 +15 = $10$

Oder : (-5|1)
denn -1⋅( - 5 ) +5⋅1 = 5 +5 = $10$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-2\right)-y$	=	0
$-6-y$	=	0
$-y-6$	=	0	| $+6$
$-y$	=	$6$	|:($-1$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(9+2y\right)+3y$	=	$-13$
$-9-2y+3y$	=	$-13$
$y-9$	=	$-13$	| $+9$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9+2\cdot \left(-4\right)$

= $9-8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(7-2y\right)-2y$	=	$-22$
$28-8y-2y$	=	$-22$
$-10y+28$	=	$-22$	| $-28$
$-10y$	=	$-50$	|:($-10$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7-2\cdot 5$

= $7-10$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-25+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-25+4x\right)$	=	$5$
$-2x+75-12x$	=	$5$
$-14x+75$	=	$5$	| $-75$
$-14x$	=	$-70$	|:($-14$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-25+4\cdot 5$

= $-25+20$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = -25 +10 = -15

7x -8y = -35 +16 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = -15

7x -8y = -19

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{8}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(\frac{5}{8}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-1$
$3x-\frac{5}{4}-3x$	=	$-1$
$-\frac{5}{4}$	=	$-1$	| $+\frac{5}{4}$
0	=	$\frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{146}{7}-\frac{3}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+8·\left(\frac{146}{7}-\frac{3}{7}x\right)$	=	$166$
$3x+\frac{1168}{7}-\frac{24}{7}x$	=	$166$
$-\frac{3}{7}x+\frac{1168}{7}$	=	$166$	|⋅ 7
$7\left(-\frac{3}{7}x+\frac{1168}{7}\right)$	=	$1162$
$-3x+1168$	=	$1162$	| $-1168$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{146}{7}-\frac{3}{7}\cdot 2$

= $\frac{146}{7}-\frac{6}{7}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-18): -18 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-18 = 9 +3b +c |-9

---

-7 = 1b +c
-27 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-27-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-27-3b\right)$	=	$-7$
$b-27-3b$	=	$-7$
$-2b-27$	=	$-7$	| $+27$
$-2b$	=	$20$	|:($-2$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-27-3\cdot \left(-10\right)$

= $-27+30$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|3): 3 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
3 = 16 +4b +c |-16

---

-7 = 1b +c
-13 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13-4b\right)$	=	$-7$
$b-13-4b$	=	$-7$
$-3b-13$	=	$-7$	| $+13$
$-3b$	=	$6$	|:($-3$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-4\cdot \left(-2\right)$

= $-13+8$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(1|-6).