Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-2\cdot 3$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-2\cdot 3$	=	$6$
$2x-6$	=	$6$	| $+6$
$2x$	=	$12$	|:$2$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-2)
denn 3⋅( - 1 ) -4⋅( - 2 ) = -3 +8 = $5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|-5)
denn 3⋅( - 5 ) -4⋅( - 5 ) = -15 +20 = $5$

Oder : (3|1)
denn 3⋅3 -4⋅1 = 9 -4 = $5$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(-2\right)$	=	$14$
$4x+2$	=	$14$	| $-2$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-17+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-17+3y\right)-2y$	=	$-18$
$-34+6y-2y$	=	$-18$
$4y-34$	=	$-18$	| $+34$
$4y$	=	$16$	|:$4$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-17+3\cdot 4$

= $-17+12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(7+3x\right)$	=	$5$
$x-28-12x$	=	$5$
$-11x-28$	=	$5$	| $+28$
$-11x$	=	$33$	|:($-11$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7+3\cdot \left(-3\right)$

= $7-9$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{5}·\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x\right)$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{4}x+\frac{2}{15}-\frac{1}{15}x$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{19}{60}x+\frac{2}{15}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 60
$60\left(-\frac{19}{60}x+\frac{2}{15}\right)$	=	$-30$
$-19x+8$	=	$-30$	| $-8$
$-19x$	=	$-38$	|:($-19$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2$

= $-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +3y = ?

-7x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +3y = -15 +9 = -6

-7x +9y = -35 +27 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +3y = -6

-7x +9y = -8

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+6·\left(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$-1$
$8x-4-8x$	=	$-1$
$-4$	=	$-1$	| $+4$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-570+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-570+2x\right)$	=	$1080$
$4x+2280-8x$	=	$1080$
$-4x+2280$	=	$1080$	| $-2280$
$-4x$	=	$-1200$	|:($-4$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-570+2\cdot 300$

= $-570+600$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|23): 23 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4

---

9 = 1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(19-2b\right)$	=	$9$
$b+19-2b$	=	$9$
$-b+19$	=	$9$	| $-19$
$-b$	=	$-10$	|:($-1$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19-2\cdot 10$

= $19-20$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

---

-5 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-1+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-1+b\right)$	=	$-5$
$b-1+b$	=	$-5$
$2b-1$	=	$-5$	| $+1$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-1-2$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-3$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-3$

= ${\left(x-1\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-3$ = $1-2-3$ = -4

also: S(1|-4).