Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-4\right)+y$ = $-20$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-4\right)+y$	=	$-20$
$-20+y$	=	$-20$
$y-20$	=	$-20$	| $+20$
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-5)
denn -1⋅( - 2 ) -1⋅( - 5 ) = 2 +5 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|-4)
denn -1⋅( - 3 ) -1⋅( - 4 ) = 3 +4 = $7$

Oder : (-1|-6)
denn -1⋅( - 1 ) -1⋅( - 6 ) = 1 +6 = $7$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·4+y$	=	$10$
$12+y$	=	$10$
$y+12$	=	$10$	| $-12$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(11-2y\right)+2y$	=	$5$
$-11+2y+2y$	=	$5$
$4y-11$	=	$5$	| $+11$
$4y$	=	$16$	|:$4$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11-2\cdot 4$

= $11-8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(14+3x\right)$	=	$12$
$-2x-28-6x$	=	$12$
$-8x-28$	=	$12$	| $+28$
$-8x$	=	$40$	|:($-8$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14+3\cdot \left(-5\right)$

= $14-15$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-6-5y\right)-y$	=	$-18$
$-18-15y-y$	=	$-18$
$-16y-18$	=	$-18$	| $+18$
$-16y$	=	0	|:($-16$)
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-5\cdot \left(0\right)$

= $-6+0$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +1y = ?

5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

1x +1y = -1 +5 = 4

5x +2y = -5 +10 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +1y = 4

5x +2y = 5

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-8x-12·\left(-1-\frac{2}{3}x\right)$	=	$12$
$-8x+12+8x$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{106}{5}-\frac{6}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(\frac{106}{5}-\frac{6}{5}x\right)$	=	$45$
$5x+\frac{212}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$45$
$\frac{13}{5}x+\frac{212}{5}$	=	$45$	|⋅ 5
$5\left(\frac{13}{5}x+\frac{212}{5}\right)$	=	$225$
$13x+212$	=	$225$	| $-212$
$13x$	=	$13$	|:$13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{106}{5}-\frac{6}{5}\cdot 1$

= $\frac{106}{5}-\frac{6}{5}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (1|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-29): -29 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
-29 = 16 +4b +c |-16

---

-15 = 1b +c
-45 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-45-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-45-4b\right)$	=	$-15$
$b-45-4b$	=	$-15$
$-3b-45$	=	$-15$	| $+45$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-45-4\cdot \left(-10\right)$

= $-45+40$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|23): 23 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
23 = 9 -3b +c |-9

---

2 = -1b +c
14 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(14+3b\right)$	=	$2$
$-b+14+3b$	=	$2$
$2b+14$	=	$2$	| $-14$
$2b$	=	$-12$	|:$2$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14+3\cdot \left(-6\right)$

= $14-18$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-4$ = $9-18-4$ = -13

also: S(3|-13).