Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+0$ = $-16$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+0$	=	$-16$
$-4x$	=	$-16$	|:($-4$)
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-3)
denn -5⋅( - 6 ) -2⋅( - 3 ) = 30 +6 = $36$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|2)
denn -5⋅( - 8 ) -2⋅2 = 40 -4 = $36$

Oder : (-4|-8)
denn -5⋅( - 4 ) -2⋅( - 8 ) = 20 +16 = $36$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·6+2y$	=	$-16$
$-18+2y$	=	$-16$
$2y-18$	=	$-16$	| $+18$
$2y$	=	$2$	|:$2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-3+2y\right)-2y$	=	$-12$
$6-4y-2y$	=	$-12$
$-6y+6$	=	$-12$	| $-6$
$-6y$	=	$-18$	|:($-6$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-3+2\cdot 3$

= $-3+6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-6+\frac{4}{3}x\right)$	=	$24$
$-4x+24-\frac{16}{3}x$	=	$24$
$-\frac{28}{3}x+24$	=	$24$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{28}{3}x+24\right)$	=	$72$
$-28x+72$	=	$72$	| $-72$
$-28x$	=	0	|:($-28$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+\frac{4}{3}\cdot \left(0\right)$

= $-6+0$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(4+x\right)$	=	$24$
$3x+12+3x$	=	$24$
$6x+12$	=	$24$	| $-12$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4+2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -5y = ?

-5x -11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x -5y = -10 -10 = -20

-5x -11y = -25 -22 = -47

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -5y = -20

-5x -11y = -47

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(\frac{3}{2}+x\right)$	=	$-3$
$2x-3-2x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-10+\frac{2}{5}x\right)$	=	$650$
$6x+50-2x$	=	$650$
$4x+50$	=	$650$	| $-50$
$4x$	=	$600$	|:$4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10+\frac{2}{5}\cdot 150$

= $-10+60$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4

---

-4 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-6+2b\right)$	=	$-4$
$-b-6+2b$	=	$-4$
$b-6$	=	$-4$	| $+6$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6+2\cdot 2$

= $-6+4$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-3): -3 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-3 = 4 -2b +c |-4

---

-3 = -1b +c
-7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-7+2b\right)$	=	$-3$
$-b-7+2b$	=	$-3$
$b-7$	=	$-3$	| $+7$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+2\cdot 4$

= $-7+8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4+1$

= ${\left(x+2\right)}^2-4+1$

= ${\left(x+2\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+1$ = $4-8+1$ = -3

also: S(-2|-3).