Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot 7-y$ = $-25$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot 7-y$	=	$-25$
$-28-y$	=	$-25$
$-y-28$	=	$-25$	| $+28$
$-y$	=	$3$	|:($-1$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (7|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|3)
denn -3⋅( - 4 ) +3⋅3 = 12 +9 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|6)
denn -3⋅( - 1 ) +3⋅6 = 3 +18 = $21$

Oder : (-7|0)
denn -3⋅( - 7 ) +3⋅0 = 21 +0 = $21$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·2$	=	$-14$
$-2x-6$	=	$-14$	| $+6$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-12+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-12+2y\right)-2y$	=	0
$12-2y-2y$	=	0
$-4y+12$	=	0	| $-12$
$-4y$	=	$-12$	|:($-4$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-12+2\cdot 3$

= $-12+6$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-2y\right)+4y$	=	$-12$
$8y+4y$	=	$-12$
$12y$	=	$-12$	|:$12$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}·\left(-\frac{9}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{9}{10}+\frac{1}{5}x$	=	$\frac{1}{2}$
$\frac{7}{10}x-\frac{9}{10}$	=	$\frac{1}{2}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{7}{10}x-\frac{9}{10}\right)$	=	$5$
$7x-9$	=	$5$	| $+9$
$7x$	=	$14$	|:$7$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{9}{5}+\frac{2}{5}\cdot 2$

= $-\frac{9}{5}+\frac{4}{5}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +4y = ?

-4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +4y = -6 +8 = 2

-4x +6y = -12 +12 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +4y = 2

-4x +6y = 0

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-2·\left(-3+4x\right)$	=	$3$
$8x+6-8x$	=	$3$
$6$	=	$3$	| $-6$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{85}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+9·\left(\frac{85}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$184$
$4x+\frac{765}{4}-\frac{45}{4}x$	=	$184$
$-\frac{29}{4}x+\frac{765}{4}$	=	$184$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{29}{4}x+\frac{765}{4}\right)$	=	$736$
$-29x+765$	=	$736$	| $-765$
$-29x$	=	$-29$	|:($-29$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{85}{4}-\frac{5}{4}\cdot 1$

= $\frac{85}{4}-\frac{5}{4}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (1|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|16): 16 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
16 = 1 -1b +c |-1

---

-5 = 1b +c
15 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(15+b\right)$	=	$-5$
$b+15+b$	=	$-5$
$2b+15$	=	$-5$	| $-15$
$2b$	=	$-20$	|:$2$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15-10$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
4 = 1 +1b +c |-1

---

-5 = -1b +c
3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(3-b\right)$	=	$-5$
$-b+3-b$	=	$-5$
$-2b+3$	=	$-5$	| $-3$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3-4$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4-1$

= ${\left(x+2\right)}^2-4-1$

= ${\left(x+2\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x·\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-1$ = $4-8-1$ = -5

also: S(-2|-5).