Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 7+5y$ = $-60$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 7+5y$	=	$-60$
$-35+5y$	=	$-60$
$5y-35$	=	$-60$	| $+35$
$5y$	=	$-25$	|:$5$
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-3)
denn 2⋅( - 2 ) +1⋅( - 3 ) = -4 -3 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-5)
denn 2⋅( - 1 ) +1⋅( - 5 ) = -2 -5 = $-7$

Oder : (-3|-1)
denn 2⋅( - 3 ) +1⋅( - 1 ) = -6 -1 = $-7$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $-6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-6\right)-y$	=	$-23$
$-18-y$	=	$-23$
$-y-18$	=	$-23$	| $+18$
$-y$	=	$-5$	|:($-1$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(3-2y\right)-4y$	=	$-15$
$3-2y-4y$	=	$-15$
$-6y+3$	=	$-15$	| $-3$
$-6y$	=	$-18$	|:($-6$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3-2\cdot 3$

= $3-6$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-23-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-3·\left(-23-4x\right)$	=	$34$
$-5x+69+12x$	=	$34$
$7x+69$	=	$34$	| $-69$
$7x$	=	$-35$	|:$7$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-23-4\cdot \left(-5\right)$

= $-23+20$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{38}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x+\frac{2}{5}·\left(-\frac{38}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{1}{2}x-\frac{76}{25}+\frac{6}{25}x$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{37}{50}x-\frac{76}{25}$	=	$\frac{7}{5}$	|⋅ 50
$50\left(\frac{37}{50}x-\frac{76}{25}\right)$	=	$70$
$37x-152$	=	$70$	| $+152$
$37x$	=	$222$	|:$37$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{38}{5}+\frac{3}{5}\cdot 6$

= $-\frac{38}{5}+\frac{18}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

-3x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = 5 -4 = 1

-3x -7y = -15 +14 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 1

-3x -7y = -1

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(-\frac{3}{4}+x\right)$	=	$-2$
$-3x-\frac{9}{4}+3x$	=	$-2$
$-\frac{9}{4}$	=	$-2$	| $+\frac{9}{4}$
0	=	$\frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-40+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-40+\frac{1}{2}x\right)$	=	$680$
$5x+80-x$	=	$680$
$4x+80$	=	$680$	| $-80$
$4x$	=	$600$	|:$4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-40+\frac{1}{2}\cdot 150$

= $-40+75$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|31): 31 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
31 = 16 +4b +c |-16

---

3 = 1b +c
15 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(15-4b\right)$	=	$3$
$b+15-4b$	=	$3$
$-3b+15$	=	$3$	| $-15$
$-3b$	=	$-12$	|:($-3$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15-4\cdot 4$

= $15-16$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(3|19): 19 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
19 = 9 +3b +c |-9

---

6 = 1b +c
10 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(10-3b\right)$	=	$6$
$b+10-3b$	=	$6$
$-2b+10$	=	$6$	| $-10$
$-2b$	=	$-4$	|:($-2$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10-3\cdot 2$

= $10-6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+4$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x+1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(-1|3).