Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+2\cdot 4$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+2\cdot 4$	=	$18$
$-2x+8$	=	$18$	| $-8$
$-2x$	=	$10$	|:($-2$)
$x$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (-5|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 2⋅( - 4 ) +5⋅( - 1 ) = -8 -5 = $-13$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-3)
denn 2⋅1 +5⋅( - 3 ) = 2 -15 = $-13$

Oder : (-9|1)
denn 2⋅( - 9 ) +5⋅1 = -18 +5 = $-13$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·3-2y$	=	$10$
$6-2y$	=	$10$
$-2y+6$	=	$10$	| $-6$
$-2y$	=	$4$	|:($-2$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(1+4y\right)+2y$	=	$-3$
$-1-4y+2y$	=	$-3$
$-2y-1$	=	$-3$	| $+1$
$-2y$	=	$-2$	|:($-2$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $1+4\cdot 1$

= $1+4$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $14-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+2·\left(14-2x\right)$	=	$-17$
$-5x+28-4x$	=	$-17$
$-9x+28$	=	$-17$	| $-28$
$-9x$	=	$-45$	|:($-9$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $14-2\cdot 5$

= $14-10$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}·\left(8-2x\right)$	=	$-3$
$-\frac{3}{2}x-12+3x$	=	$-3$
$\frac{3}{2}x-12$	=	$-3$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x-12\right)$	=	$-6$
$3x-24$	=	$-6$	| $+24$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8-2\cdot 6$

= $8-12$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +3y = ?

8x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

4x +3y = -4 +15 = 11

8x +5y = -8 +25 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +3y = 11

8x +5y = 17

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+5·\left(-2+4x\right)$	=	$-35$
$5x-10+20x$	=	$-35$
$25x-10$	=	$-35$	| $+10$
$25x$	=	$-25$	|:$25$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+4\cdot \left(-1\right)$

= $-2-4$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-460+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-460+\frac{5}{3}x\right)$	=	$1980$
$7x+1380-5x$	=	$1980$
$2x+1380$	=	$1980$	| $-1380$
$2x$	=	$600$	|:$2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-460+\frac{5}{3}\cdot 300$

= $-460+500$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = 1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13+2b\right)$	=	$-1$
$b-13+2b$	=	$-1$
$3b-13$	=	$-1$	| $+13$
$3b$	=	$12$	|:$3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13+2\cdot 4$

= $-13+8$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-2): -2 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-2 = 16 +4b +c |-16

---

-6 = 1b +c
-18 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-18-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-18-4b\right)$	=	$-6$
$b-18-4b$	=	$-6$
$-3b-18$	=	$-6$	| $+18$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-18-4\cdot \left(-4\right)$

= $-18+16$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-2$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-2$

= ${\left(x-2\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-2$ = $4-8-2$ = -6

also: S(2|-6).