Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -3x +4y = -40 .

Bestimme y so, dass (4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

-34 +4y = -40

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-34 +4y = -40
-12 +4y = -40
4y -12 = -40 | +12
4y = -28 |:4
y = -7

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 3x +5y = 48 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|6)
denn 3⋅6 +56 = 18 +30 = 48

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|3)
denn 3⋅11 +53 = 33 +15 = 48

Oder : (1|9)
denn 3⋅1 +59 = 3 +45 = 48

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

+4y = -4 (I) -3x -2y = -16 (II)

Lösung einblenden
+4y = -4 (I) -3x -2y = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

4y = -4 |:4
y = -1

Als neues LGS erhält man so:

+y = -1 (I) -3x -2y = -16 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch -1 ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x -2 · ( -1 ) = -16
-3x +2 = -16 | -2
-3x = -18 |:(-3 )
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +2y = 18 (I) -4x -4y = -48 (II)

Lösung einblenden
x +2y = 18 (I) -4x -4y = -48 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +2y = 18 | -2y
x = 18 -2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 18 -2y ) (I) -4x -4y = -48 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 18 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-4 · ( 18 -2y ) -4y = -48
-72 +8y -4y = -48
4y -72 = -48 | +72
4y = 24 |:4
y = 6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 18 -26

= 18 -12

= 6

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -4y = 10 (I) 3x +y = -9 (II)

Lösung einblenden
x -4y = 10 (I) 3x +y = -9 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x + y = -9
y +3x = -9 | -3x
y = -9 -3x

Als neues LGS erhält man so:

x -4y = 10 (I) +y = ( -9 -3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -9 -3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

x -4 · ( -9 -3x ) = 10
x +36 +12x = 10
13x +36 = 10 | -36
13x = -26 |:13
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -9 -3( -2 )

= -9 +6

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +1 -2y = 3 (I)
3 = 3( x + y) (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

-x +1 -2y = 3 (I)
3 = 3( x + y) (II)
-x +1 -2y = 3 | -1 (I)
3 = 3x +3y | -3 -3x -3y (II)
-x -2y = 2 (I) -3x -3y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x -2y = 2 | +2y
-x = 2 +2y |:(-1 )
x = -2 -2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( -2 -2y ) (I) -3x -3y = -3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( -2 -2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-3 · ( -2 -2y ) -3y = -3
6 +6y -3y = -3
3y +6 = -3 | -6
3y = -9 |:3
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = -2 -2( -3 )

= -2 +6

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -2 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = 8 +6 = 14

-6x -4y = 12 +8 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = 14

-6x -4y = 20

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

x -3y = 1 (I) -2x +6y = -3 (II)

Lösung einblenden
x -3y = 1 (I) -2x +6y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -3y = 1 | +3y
x = 1 +3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 1 +3y ) (I) -2x +6y = -3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 1 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( 1 +3y ) +6y = -3
-2 -6y +6y = -3
-2 = -3 | +2
0 = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 14. Wenn man aber vom 6-fachen von x 3 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 0. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +3y = 14 (I) 6x -3y = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +3y = 14 | -3y
x = 14 -3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 14 -3y ) (I) 6x -3y = 0 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 14 -3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

6 · ( 14 -3y ) -3y = 0
84 -18y -3y = 0
-21y +84 = 0 | -84
-21y = -84 |:(-21 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 14 -34

= 14 -12

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(3|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 12 + b⋅1 +c

B(3|-7): -7 = 32 + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-7 = 9 +3b +c |-9


-8 = 1b +c
-16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -8 (I) 3b +c = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

3b + c = -16
c +3b = -16 | -3b
c = -16 -3b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -8 (I) +c = ( -16 -3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -16 -3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -16 -3b ) = -8
b -16 -3b = -8
-2b -16 = -8 | +16
-2b = 8 |:(-2 )
b = -4

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -16 -3( -4 )

= -16 +12

= -4

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b=-4 und c=-4 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -4x -4

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|10) und B(2|21) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 12 + b⋅1 +c

B(2|21): 21 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 +2b +c |-4


9 = 1b +c
17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = 9 (I) 2b +c = 17 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = 17
c +2b = 17 | -2b
c = 17 -2b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = 9 (I) +c = ( 17 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 17 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( 17 -2b ) = 9
b +17 -2b = 9
-b +17 = 9 | -17
-b = -8 |:(-1 )
b = 8

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 17 -28

= 17 -16

= 1

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b=8 und c=1 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +8x +1

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 +8x +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 +1

= ( x +4 ) 2 -16 +1

= ( x +4 ) 2 -15

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ( -4 ) 2 +8( -4 ) +1 = 16 -32 +1 = -15

also: S(-4|-15).