Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$5x+2\cdot \left(-5\right)$ = 0

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x+2\cdot \left(-5\right)$	=	0
$5x-10$	=	0	| $+10$
$5x$	=	$10$	|:$5$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|1)
denn -3⋅4 +5⋅1 = -12 +5 = $-7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|4)
denn -3⋅9 +5⋅4 = -27 +20 = $-7$

Oder : (-1|-2)
denn -3⋅( - 1 ) +5⋅( - 2 ) = 3 -10 = $-7$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·3$	=	$3$
$-2x-9$	=	$3$	| $+9$
$-2x$	=	$12$	|:($-2$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-23-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-23-4y\right)+3y$	=	$-9$
$46+8y+3y$	=	$-9$
$11y+46$	=	$-9$	| $-46$
$11y$	=	$-55$	|:$11$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-23-4\cdot \left(-5\right)$

= $-23+20$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $26-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(26-4x\right)$	=	$28$
$2x+78-12x$	=	$28$
$-10x+78$	=	$28$	| $-78$
$-10x$	=	$-50$	|:($-10$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $26-4\cdot 5$

= $26-20$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(-3-2x\right)$	=	0
$-5x-15-10x$	=	0
$-15x-15$	=	0	| $+15$
$-15x$	=	$15$	|:($-15$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-2\cdot \left(-1\right)$

= $-3+2$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-8x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 12 -3 = 9

-8x -1y = 24 -3 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 9

-8x -1y = 21

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$3$
$-3x+2+3x$	=	$3$
$2$	=	$3$	| $-2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $38-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+7·\left(38-\frac{1}{2}x\right)$	=	$281$
$6x+266-\frac{7}{2}x$	=	$281$
$\frac{5}{2}x+266$	=	$281$	|⋅ 2
$2\left(\frac{5}{2}x+266\right)$	=	$562$
$5x+532$	=	$562$	| $-532$
$5x$	=	$30$	|:$5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $38-\frac{1}{2}\cdot 6$

= $38-3$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|26): 26 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
26 = 9 -3b +c |-9

---

9 = -1b +c
17 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(17+3b\right)$	=	$9$
$-b+17+3b$	=	$9$
$2b+17$	=	$9$	| $-17$
$2b$	=	$-8$	|:$2$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17+3\cdot \left(-4\right)$

= $17-12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|11): 11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 -2b +c |-4

---

-5 = 1b +c
7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(7+2b\right)$	=	$-5$
$b+7+2b$	=	$-5$
$3b+7$	=	$-5$	| $-7$
$3b$	=	$-12$	|:$3$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7+2\cdot \left(-4\right)$

= $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-1$ = $4-8-1$ = -5

also: S(2|-5).