Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-7\right)-y$ = $28$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-7\right)-y$	=	$28$
$21-y$	=	$28$
$-y+21$	=	$28$	| $-21$
$-y$	=	$7$	|:($-1$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-5)
denn 4⋅0 -4⋅( - 5 ) = 0 +20 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-9)
denn 4⋅( - 4 ) -4⋅( - 9 ) = -16 +36 = $20$

Oder : (4|-1)
denn 4⋅4 -4⋅( - 1 ) = 16 +4 = $20$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-6\right)$	=	$18$
$3x+24$	=	$18$	| $-24$
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-24+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-24+3x\right)$	=	$36$
$4x+48-6x$	=	$36$
$-2x+48$	=	$36$	| $-48$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-24+3\cdot 6$

= $-24+18$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{3}+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(\frac{5}{3}+\frac{5}{3}x\right)$	=	$-14$
$-2x-\frac{10}{3}-\frac{10}{3}x$	=	$-14$
$-\frac{16}{3}x-\frac{10}{3}$	=	$-14$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{16}{3}x-\frac{10}{3}\right)$	=	$-42$
$-16x-10$	=	$-42$	| $+10$
$-16x$	=	$-32$	|:($-16$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{3}+\frac{5}{3}\cdot 2$

= $\frac{5}{3}+\frac{10}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7+\frac{1}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{5}·\left(-7+\frac{1}{3}y\right)+\frac{3}{2}y$	=	$6$
$-\frac{21}{5}+\frac{1}{5}y+\frac{3}{2}y$	=	$6$
$\frac{17}{10}y-\frac{21}{5}$	=	$6$	|⋅ 10
$10\left(\frac{17}{10}y-\frac{21}{5}\right)$	=	$60$
$17y-42$	=	$60$	| $+42$
$17y$	=	$102$	|:$17$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7+\frac{1}{3}\cdot 6$

= $-7+2$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +2y = ?

3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

4x +2y = 12 -6 = 6

3x -1y = 9 +3 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +2y = 6

3x -1y = 12

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{8}+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-\frac{7}{8}+2x\right)$	=	$2$
$4x+\frac{7}{4}-4x$	=	$2$
$\frac{7}{4}$	=	$2$	| $-\frac{7}{4}$
0	=	$\frac{1}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(7-3y\right)-3y$	=	$-4$
$14-6y-3y$	=	$-4$
$-9y+14$	=	$-4$	| $-14$
$-9y$	=	$-18$	|:($-9$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-3\cdot 2$

= $7-6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|26): 26 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
26 = 9 +3b +c |-9

---

9 = 1b +c
17 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(17-3b\right)$	=	$9$
$b+17-3b$	=	$9$
$-2b+17$	=	$9$	| $-17$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17-3\cdot 4$

= $17-12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|16): 16 = 1² + b⋅1 +c

B(4|61): 61 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 +1b +c |-1
61 = 16 +4b +c |-16

---

15 = 1b +c
45 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $45-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(45-4b\right)$	=	$15$
$b+45-4b$	=	$15$
$-3b+45$	=	$15$	| $-45$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $45-4\cdot 10$

= $45-40$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25+5$

= ${\left(x+5\right)}^2-25+5$

= ${\left(x+5\right)}^2-20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+5$ = $25-50+5$ = -20

also: S(-5|-20).