Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 2+3y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 2+3y$	=	$11$
$8+3y$	=	$11$
$3y+8$	=	$11$	| $-8$
$3y$	=	$3$	|:$3$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|6)
denn -2⋅5 -4⋅6 = -10 -24 = $-34$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|8)
denn -2⋅1 -4⋅8 = -2 -32 = $-34$

Oder : (9|4)
denn -2⋅9 -4⋅4 = -18 -16 = $-34$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-4\right)$	=	0
$-4x+16$	=	0	| $-16$
$-4x$	=	$-16$	|:($-4$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-7-2y\right)-y$	=	$11$
$-14-4y-y$	=	$11$
$-5y-14$	=	$11$	| $+14$
$-5y$	=	$25$	|:($-5$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-2\cdot \left(-5\right)$

= $-7+10$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-\frac{3}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-2$
$2x-\frac{6}{5}-\frac{6}{5}x$	=	$-2$
$\frac{4}{5}x-\frac{6}{5}$	=	$-2$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{6}{5}\right)$	=	$-10$
$4x-6$	=	$-10$	| $+6$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{3}{5}+\frac{3}{5}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|0)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $2-\frac{1}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{4}·\left(2-\frac{1}{5}y\right)+\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{3}{2}$
$-\frac{3}{2}+\frac{3}{20}y+\frac{3}{4}y$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{9}{10}y-\frac{3}{2}$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 10
$10\left(\frac{9}{10}y-\frac{3}{2}\right)$	=	$-15$
$9y-15$	=	$-15$	| $+15$
$9y$	=	0	|:$9$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $2-\frac{1}{5}\cdot 0$

= $2+0$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -2y = ?

-5x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-4x -2y = 4 +8 = 12

-5x -6y = 5 +24 = 29

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -2y = 12

-5x -6y = 29

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-11+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-11+3y\right)-3y$	=	$14$
$44-12y-3y$	=	$14$
$-15y+44$	=	$14$	| $-44$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-11+3\cdot 2$

= $-11+6$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $24-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(24-4y\right)-7y$	=	$-11$
$144-24y-7y$	=	$-11$
$-31y+144$	=	$-11$	| $-144$
$-31y$	=	$-155$	|:($-31$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $24-4\cdot 5$

= $24-20$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
6 = 1 -1b +c |-1

---

1 = 1b +c
5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(5+b\right)$	=	$1$
$b+5+b$	=	$1$
$2b+5$	=	$1$	| $-5$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5-2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-9): -9 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
-9 = 16 +4b +c |-16

---

-7 = 1b +c
-25 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-25-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-25-4b\right)$	=	$-7$
$b-25-4b$	=	$-7$
$-3b-25$	=	$-7$	| $+25$
$-3b$	=	$18$	|:($-3$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-25-4\cdot \left(-6\right)$

= $-25+24$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-1$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-1$

= ${\left(x-3\right)}^2-10$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-10).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-1$ = $9-18-1$ = -10

also: S(3|-10).