Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-4|-5)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn
4⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-10)
denn 4⋅
Oder : (4|-2)
denn 4⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
|
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch
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= |
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= |
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= |
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|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 1
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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|
= |
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|
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|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 0
Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| | = | | (I) | ||
| | = | | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
|
| = |
|
| +
| (I) | |
|
| = |
|
|
| (II) |
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
|
|: |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 1 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
4x
7x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:
4x
7x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
4x
7x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 2 |
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -6
Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)
LGS Anwendungen
Beispiel:
Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 13. Wenn man aber vom 5-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 2. Bestimme x und y.
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
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= |
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|
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|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
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= |
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= |
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= |
|
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|
|
= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
x (x-Wert): 4
y (y-Wert): 3
quadr. Funktionterm bestimmen
Beispiel:
Die Punkte A(1|-2) und B(2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.
Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.
Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:
A(1|-2): -2 =
B(2|-1): -1 =
Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1
-1 = 4
-3 = 1b +c
-5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:
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= |
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|
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= |
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|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c
durch (
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= |
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= |
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|
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= |
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|
|
|
= |
|
|:( |
|
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für b.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
c =
=
=
also
c = -1
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)
Jetzt können wir b=
Scheitel aus 2 Punkten bestimmen
Beispiel:
Die Punkte A(-1|6) und B(-2|17) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.
Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.
Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:
Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:
A(-1|6): 6 =
B(-2|17): 17 =
Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1
17 = 4
5 = -1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:
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= |
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= |
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|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c
durch (
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= |
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|
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= |
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= |
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|
|
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für b.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
c =
=
=
also
c = -3
Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)
Jetzt können wir b=
Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:
1. Weg
Man erweitert die ersten beiden Summanden (
=
=
=
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).
2. Weg
Wir betrachten nun nur
Von
|
|
= | ||
|
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
| x2 | = |
|
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).
y =
also: S(4|-19).
