Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x+\left(-3\right)$ = $17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x+\left(-3\right)$	=	$17$
$-5x-3$	=	$17$	| $+3$
$-5x$	=	$20$	|:($-5$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-2)
denn -1⋅3 -1⋅( - 2 ) = -3 +2 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-1)
denn -1⋅2 -1⋅( - 1 ) = -2 +1 = $-1$

Oder : (4|-3)
denn -1⋅4 -1⋅( - 3 ) = -4 +3 = $-1$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-6\right)$	=	$30$
$3x+12$	=	$30$	| $-12$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $13+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(13+4y\right)+3y$	=	$-1$
$13+4y+3y$	=	$-1$
$7y+13$	=	$-1$	| $-13$
$7y$	=	$-14$	|:$7$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $13+4\cdot \left(-2\right)$

= $13-8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+5·\left(\frac{1}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-1$
$-2x+1+3x$	=	$-1$
$x+1$	=	$-1$	| $-1$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{1}{5}-\frac{6}{5}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(10+5y\right)-5y$	=	$10$
$40+20y-5y$	=	$10$
$15y+40$	=	$10$	| $-40$
$15y$	=	$-30$	|:$15$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10+5\cdot \left(-2\right)$

= $10-10$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = -25 +3 = -22

-2x +2y = -10 +2 = -8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -22

-2x +2y = -8

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(\frac{11}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-8$
$4x-\frac{44}{3}-\frac{16}{3}x$	=	$-8$
$-\frac{4}{3}x-\frac{44}{3}$	=	$-8$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{4}{3}x-\frac{44}{3}\right)$	=	$-24$
$-4x-44$	=	$-24$	| $+44$
$-4x$	=	$20$	|:($-4$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{3}+\frac{4}{3}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{11}{3}-\frac{20}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-175+\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(-175+\frac{7}{5}x\right)$	=	$575$
$5x+875-7x$	=	$575$
$-2x+875$	=	$575$	| $-875$
$-2x$	=	$-300$	|:($-2$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-175+\frac{7}{5}\cdot 150$

= $-175+210$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-10): -10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 -2b +c |-4

---

10 = 1b +c
-14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-14+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-14+2b\right)$	=	$10$
$b-14+2b$	=	$10$
$3b-14$	=	$10$	| $+14$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-14+2\cdot 8$

= $-14+16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|2)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
15 = 1 +1b +c |-1

---

-6 = -1b +c
14 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(14-b\right)$	=	$-6$
$-b+14-b$	=	$-6$
$-2b+14$	=	$-6$	| $-14$
$-2b$	=	$-20$	|:($-2$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14-10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+4$ = $25-50+4$ = -21

also: S(-5|-21).