Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$x-3\cdot \left(-7\right)$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-3\cdot \left(-7\right)$	=	$15$
$x+21$	=	$15$	| $-21$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|6)
denn 1⋅( - 2 ) -4⋅6 = -2 -24 = $-26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|5)
denn 1⋅( - 6 ) -4⋅5 = -6 -20 = $-26$

Oder : (2|7)
denn 1⋅2 -4⋅7 = 2 -28 = $-26$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-4\right)+3y$	=	0
$-12+3y$	=	0
$3y-12$	=	0	| $+12$
$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-12+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-12+3y\right)+2y$	=	$30$
$-36+9y+2y$	=	$30$
$11y-36$	=	$30$	| $+36$
$11y$	=	$66$	|:$11$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-12+3\cdot 6$

= $-12+18$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(-x\right)$	=	$6$
$4x-3x$	=	$6$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-14+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(-14+4x\right)$	=	$43$
$5x-42+12x$	=	$43$
$17x-42$	=	$43$	| $+42$
$17x$	=	$85$	|:$17$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-14+4\cdot 5$

= $-14+20$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

-2x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = -4 -12 = -16

-2x -6y = 8 +18 = 26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = -16

-2x -6y = 26

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-12+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+2·\left(-12+2x\right)$	=	$-9$
$x-24+4x$	=	$-9$
$5x-24$	=	$-9$	| $+24$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-12+2\cdot 3$

= $-12+6$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $25-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(25-5y\right)-6y$	=	$1$
$125-25y-6y$	=	$1$
$-31y+125$	=	$1$	| $-125$
$-31y$	=	$-124$	|:($-31$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $25-5\cdot 4$

= $25-20$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

---

10 = 1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(16-2b\right)$	=	$10$
$b+16-2b$	=	$10$
$-b+16$	=	$10$	| $-16$
$-b$	=	$-6$	|:($-1$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16-2\cdot 6$

= $16-12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|16): 16 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
16 = 4 +2b +c |-4

---

-12 = -1b +c
12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(12-2b\right)$	=	$-12$
$-b+12-2b$	=	$-12$
$-3b+12$	=	$-12$	| $-12$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12-2\cdot 8$

= $12-16$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-4$ = $16-32-4$ = -20

also: S(-4|-20).