Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-6\right)+5y$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-6\right)+5y$	=	$-8$
$12+5y$	=	$-8$
$5y+12$	=	$-8$	| $-12$
$5y$	=	$-20$	|:$5$
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-6|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-2)
denn 2⋅4 -1⋅( - 2 ) = 8 +2 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-4)
denn 2⋅3 -1⋅( - 4 ) = 6 +4 = $10$

Oder : (5|0)
denn 2⋅5 -1⋅0 = 10 +0 = $10$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+1·\left(-5\right)$	=	$-6$
$x-5$	=	$-6$	| $+5$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-11-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-11-4x\right)$	=	$-8$
$4x-44-16x$	=	$-8$
$-12x-44$	=	$-8$	| $+44$
$-12x$	=	$36$	|:($-12$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-11-4\cdot \left(-3\right)$

= $-11+12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(-5+x\right)$	=	$10$
$2x-20+4x$	=	$10$
$6x-20$	=	$10$	| $+20$
$6x$	=	$30$	|:$6$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1-\frac{3}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{3}·\left(-1-\frac{3}{2}y\right)-y$	=	$\frac{8}{3}$
$-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}y-y$	=	$\frac{8}{3}$
$-\frac{3}{2}y-\frac{1}{3}$	=	$\frac{8}{3}$	|⋅ 6
$6\left(-\frac{3}{2}y-\frac{1}{3}\right)$	=	$16$
$-9y-2$	=	$16$	| $+2$
$-9y$	=	$18$	|:($-9$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1-\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$

= $-1+3$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -5y = ?

-4x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-3x -5y = -6 +5 = -1

-4x -9y = -8 +9 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -5y = -1

-4x -9y = 1

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-5-2y\right)-4y$	=	$25$
$-5-2y-4y$	=	$25$
$-6y-5$	=	$25$	| $+5$
$-6y$	=	$30$	|:($-6$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5-2\cdot \left(-5\right)$

= $-5+10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-5)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(14-5y\right)-6y$	=	$12$
$84-30y-6y$	=	$12$
$-36y+84$	=	$12$	| $-84$
$-36y$	=	$-72$	|:($-36$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-5\cdot 2$

= $14-10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-17): -17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-17 = 4 -2b +c |-4

---

-13 = -1b +c
-21 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-21+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-21+2b\right)$	=	$-13$
$-b-21+2b$	=	$-13$
$b-21$	=	$-13$	| $+21$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-21+2\cdot 8$

= $-21+16$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-5)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

---

-3 = 1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-9+2b\right)$	=	$-3$
$b-9+2b$	=	$-3$
$3b-9$	=	$-3$	| $+9$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9+2\cdot 2$

= $-9+4$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(-1|-6).