Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+4\cdot \left(-5\right)$ = $-20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+4\cdot \left(-5\right)$	=	$-20$
$-2x-20$	=	$-20$	| $+20$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn 1⋅5 -1⋅( - 3 ) = 5 +3 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-4)
denn 1⋅4 -1⋅( - 4 ) = 4 +4 = $8$

Oder : (6|-2)
denn 1⋅6 -1⋅( - 2 ) = 6 +2 = $8$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·3$	=	$-9$
$-x-6$	=	$-9$	| $+6$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(2+2x\right)$	=	$14$
$x-6-6x$	=	$14$
$-5x-6$	=	$14$	| $+6$
$-5x$	=	$20$	|:($-5$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2+2\cdot \left(-4\right)$

= $2-8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{20}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-\frac{20}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$20$
$4x+\frac{80}{3}-\frac{16}{3}x$	=	$20$
$-\frac{4}{3}x+\frac{80}{3}$	=	$20$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{4}{3}x+\frac{80}{3}\right)$	=	$60$
$-4x+80$	=	$60$	| $-80$
$-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{20}{3}+\frac{4}{3}\cdot 5$

= $-\frac{20}{3}+\frac{20}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$2$
$2x+5+x$	=	$2$
$3x+5$	=	$2$	| $-5$
$3x$	=	$-3$	|:$3$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = 10 +15 = 25

2x +2y = -10 -10 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = 25

2x +2y = -20

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-8x-16·\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$4$
$-8x+4+8x$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(9-6y\right)-4y$	=	$2$
$18-12y-4y$	=	$2$
$-16y+18$	=	$2$	| $-18$
$-16y$	=	$-16$	|:($-16$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-6\cdot 1$

= $9-6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

B(2|16): 16 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 +1b +c |-1
16 = 4 +2b +c |-4

---

8 = 1b +c
12 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(12-2b\right)$	=	$8$
$b+12-2b$	=	$8$
$-b+12$	=	$8$	| $-12$
$-b$	=	$-4$	|:($-1$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12-2\cdot 4$

= $12-8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|22): 22 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
22 = 9 -3b +c |-9

---

5 = -1b +c
13 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(13+3b\right)$	=	$5$
$-b+13+3b$	=	$5$
$2b+13$	=	$5$	| $-13$
$2b$	=	$-8$	|:$2$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13+3\cdot \left(-4\right)$

= $13-12$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+1$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+1$

= ${\left(x-2\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+1$ = $4-8+1$ = -3

also: S(2|-3).