Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -2x +5y = -35 .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

-20 +5y = -35

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-20 +5y = -35
5y = -35 |:5
y = -7

Die Lösung ist somit: (0|-7)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 3x -5y = -37 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|5)
denn 3⋅( - 4 ) -55 = -12 -25 = -37

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|2)
denn 3⋅( - 9 ) -52 = -27 -10 = -37

Oder : (1|8)
denn 3⋅1 -58 = 3 -40 = -37

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x = -20 (I) x -2y = -3 (II)

Lösung einblenden
-4x = -20 (I) x -2y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-4x = -20 |:(-4 )
x = 5

Als neues LGS erhält man so:

x = 5 (I) x -2y = -3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch 5 ersetzen und dann nach y auflösen:

1 · 5 -2y = -3
5 -2y = -3
-2y +5 = -3 | -5
-2y = -8 |:(-2 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x +y = 21 (I) 2x +3y = -21 (II)

Lösung einblenden
-4x +y = 21 (I) 2x +3y = -21 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-4x + y = 21
y -4x = 21 | +4x
y = 21 +4x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 21 +4x ) (I) 2x +3y = -21 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 21 +4x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 3 · ( 21 +4x ) = -21
2x +63 +12x = -21
14x +63 = -21 | -63
14x = -84 |:14
x = -6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 21 +4( -6 )

= 21 -24

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +3y = -11 (I) 3x -4y = 18 (II)

Lösung einblenden
-x +3y = -11 (I) 3x -4y = 18 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +3y = -11 | -3y
-x = -11 -3y |:(-1 )
x = 11 +3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 11 +3y ) (I) 3x -4y = 18 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 11 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 11 +3y ) -4y = 18
33 +9y -4y = 18
5y +33 = 18 | -33
5y = -15 |:5
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 11 +3( -3 )

= 11 -9

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

- 2 5 x - 2 3 y = 2 15 (I) -x -y = 1 (II)

Lösung einblenden
- 2 5 x - 2 3 y = 2 15 (I) -x -y = 1 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-x - y = 1
-y - x = 1 | + x
-y = 1 + x |:(-1 )
y = -1 - x

Als neues LGS erhält man so:

- 2 5 x - 2 3 y = 2 15 (I) +y = ( -1 - x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -1 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

- 2 5 x - 2 3 · ( -1 - x ) = 2 15
- 2 5 x + 2 3 + 2 3 x = 2 15
4 15 x + 2 3 = 2 15 |⋅ 15
15( 4 15 x + 2 3 ) = 2
4x +10 = 2 | -10
4x = -8 |:4
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -1 - ( -2 )

= -1 +2

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 5 und y = 4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-8x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -25 -4 = -29

-8x -5y = -40 -20 = -60

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -29

-8x -5y = -60

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

4x -5y = 30 (I) 2x +2y = -12 (II)

Lösung einblenden
4x -5y = 30 (I) 2x +2y = -12 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

4x -5y = 30
-5y +4x = 30 | -4x
-5y = 30 -4x |:(-5 )
y = -6 + 4 5 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -6 + 4 5 x ) (I) 2x +2y = -12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -6 + 4 5 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 2 · ( -6 + 4 5 x ) = -12
2x -12 + 8 5 x = -12
18 5 x -12 = -12 |⋅ 5
5( 18 5 x -12 ) = -60
18x -60 = -60 | +60
18x = 0 |:18
x = 0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -6 + 4 5 0

= -6 +0

= -6

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 17. Wenn man aber vom 5-fachen von x 6 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -19. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +4y = 17 (I) 5x -6y = -19 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 17 | -4y
x = 17 -4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 17 -4y ) (I) 5x -6y = -19 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 17 -4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 17 -4y ) -6y = -19
85 -20y -6y = -19
-26y +85 = -19 | -85
-26y = -104 |:(-26 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 17 -44

= 17 -16

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-6) und B(-3|-14) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-14): -14 = ( - 3 )2 + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-14 = 9 -3b +c |-9


-7 = -1b +c
-23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = -7 (I) -3b +c = -23 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-3b + c = -23
c -3b = -23 | +3b
c = -23 +3b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = -7 (I) +c = ( -23 +3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -23 +3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -23 +3b ) = -7
-b -23 +3b = -7
2b -23 = -7 | +23
2b = 16 |:2
b = 8

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -23 +38

= -23 +24

= 1

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b=8 und c=1 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +8x +1

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|3) und B(2|-12) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-12): -12 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
-12 = 4 +2b +c |-4


2 = -1b +c
-16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 2 (I) 2b +c = -16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = -16
c +2b = -16 | -2b
c = -16 -2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 2 (I) +c = ( -16 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -16 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -16 -2b ) = 2
-b -16 -2b = 2
-3b -16 = 2 | +16
-3b = 18 |:(-3 )
b = -6

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -16 -2( -6 )

= -16 +12

= -4

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b=-6 und c=-4 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -6x -4

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 -6x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 -4

= ( x -3 ) 2 -9 -4

= ( x -3 ) 2 -13

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = 3 2 -63 -4 = 9 -18 -4 = -13

also: S(3|-13).