Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 2+3y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 2+3y$	=	$3$
$6+3y$	=	$3$
$3y+6$	=	$3$	| $-6$
$3y$	=	$-3$	|:$3$
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (2|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|1)
denn -5⋅( - 5 ) -4⋅1 = 25 -4 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|6)
denn -5⋅( - 9 ) -4⋅6 = 45 -24 = $21$

Oder : (-1|-4)
denn -5⋅( - 1 ) -4⋅( - 4 ) = 5 +16 = $21$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-5\right)+y$	=	$-21$
$-20+y$	=	$-21$
$y-20$	=	$-21$	| $+20$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(5-3y\right)-y$	=	$-19$
$20-12y-y$	=	$-19$
$-13y+20$	=	$-19$	| $-20$
$-13y$	=	$-39$	|:($-13$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5-3\cdot 3$

= $5-9$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-26+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-26+5y\right)+4y$	=	$24$
$104-20y+4y$	=	$24$
$-16y+104$	=	$24$	| $-104$
$-16y$	=	$-80$	|:($-16$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-26+5\cdot 5$

= $-26+25$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $\frac{4}{3}x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\frac{4}{3}x$	=	$25$
$-3x-\frac{16}{3}x$	=	$25$
$-\frac{25}{3}x$	=	$25$	|⋅ 3
$-25x$	=	$75$	|:($-25$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{4}{3}\cdot \left(-3\right)$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-3x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = -8 +5 = -3

-3x +10y = -12 +10 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = -3

-3x +10y = -2

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-4·\left(-2+2x\right)$	=	$11$
$8x+8-8x$	=	$11$
$8$	=	$11$	| $-8$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $23-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x+8·\left(23-\frac{3}{2}x\right)$	=	$172$
$6x+184-12x$	=	$172$
$-6x+184$	=	$172$	| $-184$
$-6x$	=	$-12$	|:($-6$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $23-\frac{3}{2}\cdot 2$

= $23-3$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|25): 25 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
25 = 16 -4b +c |-16

---

3 = -1b +c
9 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(9+4b\right)$	=	$3$
$-b+9+4b$	=	$3$
$3b+9$	=	$3$	| $-9$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9+4\cdot \left(-2\right)$

= $9-8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(3|38): 38 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
38 = 9 +3b +c |-9

---

9 = 1b +c
29 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(29-3b\right)$	=	$9$
$b+29-3b$	=	$9$
$-2b+29$	=	$9$	| $-29$
$-2b$	=	$-20$	|:($-2$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29-3\cdot 10$

= $29-30$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-1$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-1$

= ${\left(x+5\right)}^2-26$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-26).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x·\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-1$ = $25-50-1$ = -26

also: S(-5|-26).