Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -x -4y = 4 .

Bestimme y so, dass (-4|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

-( -4 ) -4y = 4

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-( -4 ) -4y = 4
4 -4y = 4
-4y +4 = 4 | -4
-4y = 0 |:(-4 )
y = 0

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x +4y = 24 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|3)
denn 2⋅6 +43 = 12 +12 = 24

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|1)
denn 2⋅10 +41 = 20 +4 = 24

Oder : (2|5)
denn 2⋅2 +45 = 4 +20 = 24

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x -4y = -4 (I) -3x = -18 (II)

Lösung einblenden
-2x -4y = -4 (I) -3x = -18 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

-3x = -18 |:(-3 )
x = 6

Als neues LGS erhält man so:

-2x -4y = -4 (I) x = 6 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch 6 ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · 6 -4y = -4
-12 -4y = -4
-4y -12 = -4 | +12
-4y = 8 |:(-4 )
y = -2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +2y = 2 (I) 3x -y = -15 (II)

Lösung einblenden
x +2y = 2 (I) 3x -y = -15 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x - y = -15
-y +3x = -15 | -3x
-y = -15 -3x |:(-1 )
y = 15 +3x

Als neues LGS erhält man so:

x +2y = 2 (I) +y = ( 15 +3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 15 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

x + 2 · ( 15 +3x ) = 2
x +30 +6x = 2
7x +30 = 2 | -30
7x = -28 |:7
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 15 +3( -4 )

= 15 -12

= 3

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x +3y = 25 (I) -2x -y = -11 (II)

Lösung einblenden
4x +3y = 25 (I) -2x -y = -11 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-2x - y = -11
-y -2x = -11 | +2x
-y = -11 +2x |:(-1 )
y = 11 -2x

Als neues LGS erhält man so:

4x +3y = 25 (I) +y = ( 11 -2x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 11 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

4x + 3 · ( 11 -2x ) = 25
4x +33 -6x = 25
-2x +33 = 25 | -33
-2x = -8 |:(-2 )
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 11 -24

= 11 -8

= 3

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2x = 2( -3 + y) (I)
-2( x +1 ) = -2( 2x + y) (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

2x = 2( -3 + y) (I)
-2( x +1 ) = -2( 2x + y) (II)
2x = -6 +2y | -2y (I)
-2x -2 = -4x -2y | + 2 +4x +2y (II)
2x -2y = -6 (I) 2x +2y = 2 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

2x -2y = -6
-2y +2x = -6 | -2x
-2y = -6 -2x |:(-2 )
y = 3 + x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 3 + x ) (I) 2x +2y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 3 + x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 2 · ( 3 + x ) = 2
2x +6 +2x = 2
4x +6 = 2 | -6
4x = -4 |:4
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 3 -1

= 2

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = 2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = -3 -2 = -5

2x +5y = 6 +10 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = -5

2x +5y = 16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

8x +16y = -5 (I) -2x -4y = 2 (II)

Lösung einblenden
8x +16y = -5 (I) -2x -4y = 2 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

8x +16y = -5
16y +8x = -5 | -8x
16y = -5 -8x |:16
y = - 5 16 - 1 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 5 16 - 1 2 x ) (I) -2x -4y = 2 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 5 16 - 1 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -4 · ( - 5 16 - 1 2 x ) = 2
-2x + 5 4 +2x = 2
5 4 = 2 | - 5 4
0 = 3 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 19. Wenn man aber vom 5-fachen von x 4 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -7. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 19 (I) 5x -4y = -7 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 19 | -6y
x = 19 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 19 -6y ) (I) 5x -4y = -7 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 19 -6y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 19 -6y ) -4y = -7
95 -30y -4y = -7
-34y +95 = -7 | -95
-34y = -102 |:(-34 )
y = 3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 19 -63

= 19 -18

= 1

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|7) und B(2|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(2|4): 4 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4


6 = -1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 6 (I) 2b +c = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = 0
c +2b = 0 | -2b
c = -2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 6 (I) +c = -2 b (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch -2b ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -2b ) = 6
-b -2b = 6
-3b = 6 |:(-3 )
b = -2

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -2( -2 )

= 4

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b=-2 und c=4 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -2x +4

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|8) und B(-2|5) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 12 + b⋅1 +c

B(-2|5): 5 = ( - 2 )2 + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 -2b +c |-4


7 = 1b +c
1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = 7 (I) -2b +c = 1 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-2b + c = 1
c -2b = 1 | +2b
c = 1 +2b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = 7 (I) +c = ( 1 +2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 1 +2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( 1 +2b ) = 7
b +1 +2b = 7
3b +1 = 7 | -1
3b = 6 |:3
b = 2

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 1 +22

= 1 +4

= 5

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b=2 und c=5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +2x +5

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 +2x +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 +5

= ( x +1 ) 2 -1 +5

= ( x +1 ) 2 +4

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|4).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ( -1 ) 2 +2( -1 ) +5 = 1 -2 +5 = 4

also: S(-1|4).