Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 1+y$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 1+y$	=	$-4$
$-5+y$	=	$-4$
$y-5$	=	$-4$	| $+5$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (1|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-4)
denn 5⋅( - 4 ) -2⋅( - 4 ) = -20 +8 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|-9)
denn 5⋅( - 6 ) -2⋅( - 9 ) = -30 +18 = $-12$

Oder : (-2|1)
denn 5⋅( - 2 ) -2⋅1 = -10 -2 = $-12$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-3\right)+4y$	=	$29$
$9+4y$	=	$29$
$4y+9$	=	$29$	| $-9$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(5-4y\right)+4y$	=	$2$
$-10+8y+4y$	=	$2$
$12y-10$	=	$2$	| $+10$
$12y$	=	$12$	|:$12$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5-4\cdot 1$

= $5-4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+5·\left(\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$27$
$-2x+\frac{65}{3}-\frac{10}{3}x$	=	$27$
$-\frac{16}{3}x+\frac{65}{3}$	=	$27$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{16}{3}x+\frac{65}{3}\right)$	=	$81$
$-16x+65$	=	$81$	| $-65$
$-16x$	=	$16$	|:($-16$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{13}{3}+\frac{2}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-\frac{1}{2}·\left(-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	0
$-2x+\frac{23}{10}-\frac{3}{10}x$	=	0
$-\frac{23}{10}x+\frac{23}{10}$	=	0	|⋅ 10
$10\left(-\frac{23}{10}x+\frac{23}{10}\right)$	=	0
$-23x+23$	=	0	| $-23$
$-23x$	=	$-23$	|:($-23$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}\cdot 1$

= $-\frac{23}{5}+\frac{3}{5}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -2y = ?

-2x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-1x -2y = -4 +2 = -2

-2x -7y = -8 +7 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -2y = -2

-2x -7y = -1

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-3+x\right)$	=	$12$
$3x+12-4x$	=	$12$
$-x+12$	=	$12$	| $-12$
$-x$	=	0	|:($-1$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3+0$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-495+\frac{7}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-495+\frac{7}{4}x\right)$	=	$810$
$3x+1485-\frac{21}{4}x$	=	$810$
$-\frac{9}{4}x+1485$	=	$810$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}x+1485\right)$	=	$3240$
$-9x+5940$	=	$3240$	| $-5940$
$-9x$	=	$-2700$	|:($-9$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-495+\frac{7}{4}\cdot 300$

= $-495+525$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-9): -9 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-9 = 16 -4b +c |-16

---

-7 = -1b +c
-25 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-25+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-25+4b\right)$	=	$-7$
$-b-25+4b$	=	$-7$
$3b-25$	=	$-7$	| $+25$
$3b$	=	$18$	|:$3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-25+4\cdot 6$

= $-25+24$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(3|5): 5 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
5 = 9 +3b +c |-9

---

0 = 1b +c
-4 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-4-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-4-3b\right)$	=	0
$b-4-3b$	=	0
$-2b-4$	=	0	| $+4$
$-2b$	=	$4$	|:($-2$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-4-3\cdot \left(-2\right)$

= $-4+6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+2$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+2$

= ${\left(x-1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+2$ = $1-2+2$ = 1

also: S(1|1).