Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot \left(-5\right)-y$ = $-21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot \left(-5\right)-y$	=	$-21$
$-20-y$	=	$-21$
$-y-20$	=	$-21$	| $+20$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-5|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-5)
denn 4⋅( - 2 ) +2⋅( - 5 ) = -8 -10 = $-18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-9)
denn 4⋅0 +2⋅( - 9 ) = 0 -18 = $-18$

Oder : (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) +2⋅( - 1 ) = -16 -2 = $-18$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-1\right)$	=	$-9$
$-2x+3$	=	$-9$	| $-3$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-12+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-12+2x\right)$	=	$6$
$-2x+24-4x$	=	$6$
$-6x+24$	=	$6$	| $-24$
$-6x$	=	$-18$	|:($-6$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-12+2\cdot 3$

= $-12+6$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-24-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+4·\left(-24-4x\right)$	=	$30$
$-5x-96-16x$	=	$30$
$-21x-96$	=	$30$	| $+96$
$-21x$	=	$126$	|:($-21$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-24-4\cdot \left(-6\right)$

= $-24+24$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|0)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-12+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{2}{3}·\left(-12+2y\right)-2y$	=	$-\frac{34}{3}$
$-8+\frac{4}{3}y-2y$	=	$-\frac{34}{3}$
$-\frac{2}{3}y-8$	=	$-\frac{34}{3}$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}y-8\right)$	=	$-34$
$-2y-24$	=	$-34$	| $+24$
$-2y$	=	$-10$	|:($-2$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-12+2\cdot 5$

= $-12+10$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -1y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

2x -1y = -10 -2 = -12

-1x +3y = 5 +6 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -1y = -12

-1x +3y = 11

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-1$
$2x-1-2x$	=	$-1$
$-1$	=	$-1$	| $+1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-120+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-120+x\right)$	=	$450$
$4x+600-5x$	=	$450$
$-x+600$	=	$450$	| $-600$
$-x$	=	$-150$	|:($-1$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-120+150$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(2|8): 8 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
8 = 4 +2b +c |-4

---

0 = 1b +c
4 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(4-2b\right)$	=	0
$b+4-2b$	=	0
$-b+4$	=	0	| $-4$
$-b$	=	$-4$	|:($-1$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4-2\cdot 4$

= $4-8$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|8): 8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
8 = 4 -2b +c |-4

---

-8 = 1b +c
4 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $4+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(4+2b\right)$	=	$-8$
$b+4+2b$	=	$-8$
$3b+4$	=	$-8$	| $-4$
$3b$	=	$-12$	|:$3$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $4+2\cdot \left(-4\right)$

= $4-8$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-4$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-4$

= ${\left(x-2\right)}^2-8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-4$ = $4-8-4$ = -8

also: S(2|-8).