Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 3-4y$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 3-4y$	=	$2$
$6-4y$	=	$2$
$-4y+6$	=	$2$	| $-6$
$-4y$	=	$-4$	|:($-4$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (3|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-4)
denn -5⋅0 -5⋅( - 4 ) = 0 +20 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn -5⋅( - 5 ) -5⋅1 = 25 -5 = $20$

Oder : (5|-9)
denn -5⋅5 -5⋅( - 9 ) = -25 +45 = $20$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·2$	=	$-4$
$x-6$	=	$-4$	| $+6$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-3-3y\right)+3y$	=	$-9$
$-6-6y+3y$	=	$-9$
$-3y-6$	=	$-9$	| $+6$
$-3y$	=	$-3$	|:($-3$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3-3\cdot 1$

= $-3-3$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(15-4y\right)-3y$	=	$-40$
$75-20y-3y$	=	$-40$
$-23y+75$	=	$-40$	| $-75$
$-23y$	=	$-115$	|:($-23$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-4\cdot 5$

= $15-20$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+\frac{1}{2}·\left(-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	0
$-x-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}x$	=	0
$-\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}\right)$	=	0
$-5x-5$	=	0	| $+5$
$-5x$	=	$5$	|:($-5$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

1x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -10 +16 = 6

1x -1y = -5 +4 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = 6

1x -1y = -1

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(3+4y\right)-12y$	=	$9$
$9+12y-12y$	=	$9$
$9$	=	$9$	| $-9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(8-6y\right)-4y$	=	0
$16-12y-4y$	=	0
$-16y+16$	=	0	| $-16$
$-16y$	=	$-16$	|:($-16$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8-6\cdot 1$

= $8-6$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-13): -13 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4

---

-9 = 1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-17-2b\right)$	=	$-9$
$b-17-2b$	=	$-9$
$-b-17$	=	$-9$	| $+17$
$-b$	=	$8$	|:($-1$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17-2\cdot \left(-8\right)$

= $-17+16$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|1): 1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = -1b +c
-3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3+2b\right)$	=	$-1$
$-b-3+2b$	=	$-1$
$b-3$	=	$-1$	| $+3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3+2\cdot 2$

= $-3+4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+1$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+1$

= ${\left(x+1\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+1$ = $1-2+1$ = 0

also: S(-1|0).