Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 5-4y$ = $36$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 5-4y$	=	$36$
$20-4y$	=	$36$
$-4y+20$	=	$36$	| $-20$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (5|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|5)
denn 3⋅6 +4⋅5 = 18 +20 = $38$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|2)
denn 3⋅10 +4⋅2 = 30 +8 = $38$

Oder : (2|8)
denn 3⋅2 +4⋅8 = 6 +32 = $38$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·6$	=	$-16$
$-x-12$	=	$-16$	| $+12$
$-x$	=	$-4$	|:($-1$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+1·\left(-3+x\right)$	=	$-8$
$-2x-3+x$	=	$-8$
$-x-3$	=	$-8$	| $+3$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3+5$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-1+\frac{2}{5}x\right)$	=	$5$
$3x+5-2x$	=	$5$
$x+5$	=	$5$	| $-5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1+\frac{2}{5}\cdot 0$

= $-1+0$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1+3y\right)-4y$	=	$-23$
$3-9y-4y$	=	$-23$
$-13y+3$	=	$-23$	| $-3$
$-13y$	=	$-26$	|:($-13$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-1+3\cdot 2$

= $-1+6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

-2x -6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -2 +10 = 8

-2x -6y = 4 -30 = -26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 8

-2x -6y = -26

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-6x+9·\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-2$
$-6x-3+6x$	=	$-2$
$-3$	=	$-2$	| $+3$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-115+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-115+\frac{1}{2}x\right)$	=	$1625$
$6x+575-\frac{5}{2}x$	=	$1625$
$\frac{7}{2}x+575$	=	$1625$	|⋅ 2
$2\left(\frac{7}{2}x+575\right)$	=	$3250$
$7x+1150$	=	$3250$	| $-1150$
$7x$	=	$2100$	|:$7$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-115+\frac{1}{2}\cdot 300$

= $-115+150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
-8 = 1 -1b +c |-1

---

7 = 1b +c
-9 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-9+b\right)$	=	$7$
$b-9+b$	=	$7$
$2b-9$	=	$7$	| $+9$
$2b$	=	$16$	|:$2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9+8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|34): 34 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
34 = 16 +4b +c |-16

---

6 = 1b +c
18 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(18-4b\right)$	=	$6$
$b+18-4b$	=	$6$
$-3b+18$	=	$6$	| $-18$
$-3b$	=	$-12$	|:($-3$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18-4\cdot 4$

= $18-16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4+2$

= ${\left(x+2\right)}^2-4+2$

= ${\left(x+2\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+2$ = $4-8+2$ = -2

also: S(-2|-2).