Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-1\right)+4y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-1\right)+4y$	=	$8$
$4+4y$	=	$8$
$4y+4$	=	$8$	| $-4$
$4y$	=	$4$	|:$4$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (-1|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-2)
denn -5⋅3 -2⋅( - 2 ) = -15 +4 = $-11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|3)
denn -5⋅1 -2⋅3 = -5 -6 = $-11$

Oder : (5|-7)
denn -5⋅5 -2⋅( - 7 ) = -25 +14 = $-11$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-5\right)$	=	$-18$
$-2x-10$	=	$-18$	| $+10$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(3+x\right)$	=	$-13$
$3x+3+x$	=	$-13$
$4x+3$	=	$-13$	| $-3$
$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $3-4$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(4-x\right)$	=	$14$
$5x+12-3x$	=	$14$
$2x+12$	=	$14$	| $-12$
$2x$	=	$2$	|:$2$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-1$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(5-2x\right)$	=	$17$
$2x-15+6x$	=	$17$
$8x-15$	=	$17$	| $+15$
$8x$	=	$32$	|:$8$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5-2\cdot 4$

= $5-8$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = 8 -2 = 6

1x +2y = 2 -4 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = 6

1x +2y = -2

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-27-5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-27-5x\right)$	=	$-33$
$3x+135+25x$	=	$-33$
$28x+135$	=	$-33$	| $-135$
$28x$	=	$-168$	|:$28$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-27-5\cdot \left(-6\right)$

= $-27+30$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(20-4y\right)-7y$	=	$-12$
$80-16y-7y$	=	$-12$
$-23y+80$	=	$-12$	| $-80$
$-23y$	=	$-92$	|:($-23$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20-4\cdot 4$

= $20-16$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
-4 = 1 -1b +c |-1

---

3 = 1b +c
-5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-5+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-5+b\right)$	=	$3$
$b-5+b$	=	$3$
$2b-5$	=	$3$	| $+5$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-5+4$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

---

-7 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3-b\right)$	=	$-7$
$-b-3-b$	=	$-7$
$-2b-3$	=	$-7$	| $+3$
$-2b$	=	$-4$	|:($-2$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3-2$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(-1|-6).