Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$6-2y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$6-2y$	=	$10$
$6-2y$	=	$10$
$-2y+6$	=	$10$	| $-6$
$-2y$	=	$4$	|:($-2$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-6)
denn 1⋅2 +1⋅( - 6 ) = 2 -6 = $-4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-7)
denn 1⋅3 +1⋅( - 7 ) = 3 -7 = $-4$

Oder : (1|-5)
denn 1⋅1 +1⋅( - 5 ) = 1 -5 = $-4$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·5+2y$	=	$-28$
$-20+2y$	=	$-28$
$2y-20$	=	$-28$	| $+20$
$2y$	=	$-8$	|:$2$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-14-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(-14-4x\right)$	=	$-10$
$x+42+12x$	=	$-10$
$13x+42$	=	$-10$	| $-42$
$13x$	=	$-52$	|:$13$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-14-4\cdot \left(-4\right)$

= $-14+16$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-2·\left(1-x\right)$	=	$7$
$-5x-2+2x$	=	$7$
$-3x-2$	=	$7$	| $+2$
$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\left(-3\right)$

= $1+3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}·\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{4}x-\frac{7}{8}-\frac{1}{8}x$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{3}{8}x-\frac{7}{8}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{8}x-\frac{7}{8}\right)$	=	$-4$
$-3x-7$	=	$-4$	| $+7$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{7}{2}-\frac{1}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

-1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = -4 -2 = -6

-1x +2y = 2 +2 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = -6

-1x +2y = 4

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(2+3y\right)-6y$	=	$4$
$4+6y-6y$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{49}{3}-\frac{4}{9}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(\frac{49}{3}-\frac{4}{9}x\right)$	=	$42$
$4x+\frac{98}{3}-\frac{8}{9}x$	=	$42$
$\frac{28}{9}x+\frac{98}{3}$	=	$42$	|⋅ 9
$9\left(\frac{28}{9}x+\frac{98}{3}\right)$	=	$378$
$28x+294$	=	$378$	| $-294$
$28x$	=	$84$	|:$28$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{49}{3}-\frac{4}{9}\cdot 3$

= $\frac{49}{3}-\frac{4}{3}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

---

7 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-5-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-5-b\right)$	=	$7$
$-b-5-b$	=	$7$
$-2b-5$	=	$7$	| $+5$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-5-\left(-6\right)$

= $-5+6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-27): -27 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-27 = 16 -4b +c |-16

---

-13 = -1b +c
-43 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-43+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-43+4b\right)$	=	$-13$
$-b-43+4b$	=	$-13$
$3b-43$	=	$-13$	| $+43$
$3b$	=	$30$	|:$3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-43+4\cdot 10$

= $-43+40$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-3$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-3$

= ${\left(x+5\right)}^2-28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-3$ = $25-50-3$ = -28

also: S(-5|-28).