Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-x+5\cdot \left(-5\right)$ = $-21$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x+5\cdot \left(-5\right)$	=	$-21$
$-x-25$	=	$-21$	| $+25$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn 5⋅5 +5⋅5 = 25 +25 = $50$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|0)
denn 5⋅10 +5⋅0 = 50 +0 = $50$

Oder : (0|10)
denn 5⋅0 +5⋅10 = 0 +50 = $50$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(-2\right)$	=	$8$
$-3x-4$	=	$8$	| $+4$
$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-9-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-9-2x\right)$	=	$6$
$2x+18+4x$	=	$6$
$6x+18$	=	$6$	| $-18$
$6x$	=	$-12$	|:$6$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-9-2\cdot \left(-2\right)$

= $-9+4$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-18+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-4·\left(-18+3x\right)$	=	$-30$
$-5x+72-12x$	=	$-30$
$-17x+72$	=	$-30$	| $-72$
$-17x$	=	$-102$	|:($-17$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-18+3\cdot 6$

= $-18+18$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-6-2y\right)-4y$	=	$12$
$-6-2y-4y$	=	$12$
$-6y-6$	=	$12$	| $+6$
$-6y$	=	$18$	|:($-6$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-2\cdot \left(-3\right)$

= $-6+6$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -3y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -3y = 3 +6 = 9

2x +3y = -6 -6 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -3y = 9

2x +3y = -12

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-8·\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$1$
$-4x-2+4x$	=	$1$
$-2$	=	$1$	| $+2$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $43-\frac{9}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+6·\left(43-\frac{9}{2}x\right)$	=	$186$
$9x+258-27x$	=	$186$
$-18x+258$	=	$186$	| $-258$
$-18x$	=	$-72$	|:($-18$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $43-\frac{9}{2}\cdot 4$

= $43-18$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-14): -14 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-14 = 9 -3b +c |-9

---

-11 = -1b +c
-23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-23+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-23+3b\right)$	=	$-11$
$-b-23+3b$	=	$-11$
$2b-23$	=	$-11$	| $+23$
$2b$	=	$12$	|:$2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-23+3\cdot 6$

= $-23+18$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|29): 29 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
29 = 16 -4b +c |-16

---

7 = -1b +c
13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(13+4b\right)$	=	$7$
$-b+13+4b$	=	$7$
$3b+13$	=	$7$	| $-13$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13+4\cdot \left(-2\right)$

= $13-8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+5$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+5$

= ${\left(x-1\right)}^2+4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+5$ = $1-2+5$ = 4

also: S(1|4).