Man setzt einfach x = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 1-3y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 1-3y$	=	$24$
$3-3y$	=	$24$
$-3y+3$	=	$24$	| $-3$
$-3y$	=	$21$	|:($-3$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (1|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-6)
denn 3⋅6 +2⋅( - 6 ) = 18 -12 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-9)
denn 3⋅8 +2⋅( - 9 ) = 24 -18 = $6$

Oder : (4|-3)
denn 3⋅4 +2⋅( - 3 ) = 12 -6 = $6$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $6$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·6+y$	=	$-20$
$-18+y$	=	$-20$
$y-18$	=	$-20$	| $+18$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-2+4x\right)$	=	$-12$
$3x+6-12x$	=	$-12$
$-9x+6$	=	$-12$	| $-6$
$-9x$	=	$-18$	|:($-9$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2+4\cdot 2$

= $-2+8$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-2+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-2+3y\right)-4y$	=	$-2$
$-4+6y-4y$	=	$-2$
$2y-4$	=	$-2$	| $+4$
$2y$	=	$2$	|:$2$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-2+3\cdot 1$

= $-2+3$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(2-2y\right)+5y$	=	$5$
$10-10y+5y$	=	$5$
$-5y+10$	=	$5$	| $-10$
$-5y$	=	$-5$	|:($-5$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2-2\cdot 1$

= $2-2$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-8x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -25 -16 = -41

-8x -7y = -40 -28 = -68

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = -41

-8x -7y = -68

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{19}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(-\frac{19}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-9$
$2x-\frac{57}{5}-\frac{6}{5}x$	=	$-9$
$\frac{4}{5}x-\frac{57}{5}$	=	$-9$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{57}{5}\right)$	=	$-45$
$4x-57$	=	$-45$	| $+57$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{19}{5}-\frac{2}{5}\cdot 3$

= $-\frac{19}{5}-\frac{6}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{183}{7}-\frac{8}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+5·\left(\frac{183}{7}-\frac{8}{7}x\right)$	=	$130$
$5x+\frac{915}{7}-\frac{40}{7}x$	=	$130$
$-\frac{5}{7}x+\frac{915}{7}$	=	$130$	|⋅ 7
$7\left(-\frac{5}{7}x+\frac{915}{7}\right)$	=	$910$
$-5x+915$	=	$910$	| $-915$
$-5x$	=	$-5$	|:($-5$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{183}{7}-\frac{8}{7}\cdot 1$

= $\frac{183}{7}-\frac{8}{7}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
10 = 1 +1b +c |-1

---

1 = -1b +c
9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $9-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(9-b\right)$	=	$1$
$-b+9-b$	=	$1$
$-2b+9$	=	$1$	| $-9$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $9-4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-1): -1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 -1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

---

-2 = -1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-8+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-8+2b\right)$	=	$-2$
$-b-8+2b$	=	$-2$
$b-8$	=	$-2$	| $+8$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-8+2\cdot 6$

= $-8+12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+4$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+4$

= ${\left(x+3\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+4$ = $9-18+4$ = -5

also: S(-3|-5).