Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-6+4y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-6+4y$	=	$22$
$-6+4y$	=	$22$
$4y-6$	=	$22$	| $+6$
$4y$	=	$28$	|:$4$
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (6|7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-6)
denn -3⋅( - 6 ) +2⋅( - 6 ) = 18 -12 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-3)
denn -3⋅( - 4 ) +2⋅( - 3 ) = 12 -6 = $6$

Oder : (-8|-9)
denn -3⋅( - 8 ) +2⋅( - 9 ) = 24 -18 = $6$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·6-2y$	=	$-32$
$-24-2y$	=	$-32$
$-2y-24$	=	$-32$	| $+24$
$-2y$	=	$-8$	|:($-2$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(14-4y\right)+2y$	=	$-8$
$-28+8y+2y$	=	$-8$
$10y-28$	=	$-8$	| $+28$
$10y$	=	$20$	|:$10$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-4\cdot 2$

= $14-8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(2-\frac{1}{2}x\right)$	=	$34$
$-4x+4-x$	=	$34$
$-5x+4$	=	$34$	| $-4$
$-5x$	=	$30$	|:($-5$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-\frac{1}{2}\cdot \left(-6\right)$

= $2+3$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}·\left(1-\frac{2}{3}x\right)$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}x$	=	$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}$	=	$\frac{3}{2}$	|⋅ 6
$6\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\right)$	=	$9$
$x+3$	=	$9$	| $-3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{2}{3}\cdot 6$

= $1-4$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = 12 +20 = 32

-1x +4y = 3 +20 = 23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = 32

-1x +4y = 23

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-1+2x\right)$	=	$5$
$6x+3-6x$	=	$5$
$3$	=	$5$	| $-3$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-205+\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-205+\frac{5}{3}x\right)$	=	$270$
$3x+820-\frac{20}{3}x$	=	$270$
$-\frac{11}{3}x+820$	=	$270$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{11}{3}x+820\right)$	=	$810$
$-11x+2460$	=	$810$	| $-2460$
$-11x$	=	$-1650$	|:($-11$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-205+\frac{5}{3}\cdot 150$

= $-205+250$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (150|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-8): -8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|25): 25 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 -1b +c |-1
25 = 4 +2b +c |-4

---

-9 = -1b +c
21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(21-2b\right)$	=	$-9$
$-b+21-2b$	=	$-9$
$-3b+21$	=	$-9$	| $-21$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21-2\cdot 10$

= $21-20$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-9): -9 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-12): -12 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 +1b +c |-1
-12 = 4 +2b +c |-4

---

-10 = 1b +c
-16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-16-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-16-2b\right)$	=	$-10$
$b-16-2b$	=	$-10$
$-b-16$	=	$-10$	| $+16$
$-b$	=	$6$	|:($-1$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-16-2\cdot \left(-6\right)$

= $-16+12$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-4)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-4$ = $9-18-4$ = -13

also: S(3|-13).