Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$6-4y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$6-4y$	=	$14$
$6-4y$	=	$14$
$-4y+6$	=	$14$	| $-6$
$-4y$	=	$8$	|:($-4$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|-6)
denn -2⋅2 -2⋅( - 6 ) = -4 +12 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-4)
denn -2⋅0 -2⋅( - 4 ) = 0 +8 = $8$

Oder : (4|-8)
denn -2⋅4 -2⋅( - 8 ) = -8 +16 = $8$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·4-4y$	=	$12$
$-4-4y$	=	$12$
$-4y-4$	=	$12$	| $+4$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(6+3x\right)$	=	$-30$
$3x+18+9x$	=	$-30$
$12x+18$	=	$-30$	| $-18$
$12x$	=	$-48$	|:$12$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6+3\cdot \left(-4\right)$

= $6-12$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(-10-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-42$
$5x-20-\frac{4}{3}x$	=	$-42$
$\frac{11}{3}x-20$	=	$-42$	|⋅ 3
$3\left(\frac{11}{3}x-20\right)$	=	$-126$
$11x-60$	=	$-126$	| $+60$
$11x$	=	$-66$	|:$11$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10-\frac{2}{3}\cdot \left(-6\right)$

= $-10+4$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}y\right)+y$	=	$-2$
$-\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y+y$	=	$-2$
$-\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}$	=	$-2$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}\right)$	=	$-6$
$-y-8$	=	$-6$	| $+8$
$-y$	=	$2$	|:($-1$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{4}{3}-\frac{4}{3}$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-4x -14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = -3 +20 = 17

-4x -14y = -12 +70 = 58

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 17

-4x -14y = 58

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·\left(-2-x\right)$	=	$-6$
$4x-8-4x$	=	$-6$
$-8$	=	$-6$	| $+8$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-185+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-185+\frac{3}{2}x\right)$	=	$250$
$3x+925-\frac{15}{2}x$	=	$250$
$-\frac{9}{2}x+925$	=	$250$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{9}{2}x+925\right)$	=	$500$
$-9x+1850$	=	$500$	| $-1850$
$-9x$	=	$-1350$	|:($-9$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-185+\frac{3}{2}\cdot 150$

= $-185+225$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-13): -13 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 -2b +c |-4

---

-11 = -1b +c
-17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-17+2b\right)$	=	$-11$
$-b-17+2b$	=	$-11$
$b-17$	=	$-11$	| $+17$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17+2\cdot 6$

= $-17+12$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-13): -13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
-13 = 1 -1b +c |-1

---

6 = 1b +c
-14 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-14+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-14+b\right)$	=	$6$
$b-14+b$	=	$6$
$2b-14$	=	$6$	| $+14$
$2b$	=	$20$	|:$2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-14+10$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-4$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-4$

= ${\left(x+5\right)}^2-29$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-29).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x·\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-4$ = $25-50-4$ = -29

also: S(-5|-29).