Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x-5\cdot \left(-3\right)$ = $50$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x-5\cdot \left(-3\right)$	=	$50$
$-5x+15$	=	$50$	| $-15$
$-5x$	=	$35$	|:($-5$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-7)
denn -1⋅7 +2⋅( - 7 ) = -7 -14 = $-21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|-6)
denn -1⋅9 +2⋅( - 6 ) = -9 -12 = $-21$

Oder : (5|-8)
denn -1⋅5 +2⋅( - 8 ) = -5 -16 = $-21$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·5-4y$	=	$21$
$5-4y$	=	$21$
$-4y+5$	=	$21$	| $-5$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4-2y\right)+4y$	=	$-6$
$-4-2y+4y$	=	$-6$
$2y-4$	=	$-6$	| $+4$
$2y$	=	$-2$	|:$2$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4-2\cdot \left(-1\right)$

= $-4+2$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(4-3x\right)$	=	$18$
$5x-16+12x$	=	$18$
$17x-16$	=	$18$	| $+16$
$17x$	=	$34$	|:$17$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4-3\cdot 2$

= $4-6$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $15-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{3}{5}·\left(15-2y\right)-\frac{3}{5}y$	=	$-6$
$-9+\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}y$	=	$-6$
$\frac{3}{5}y-9$	=	$-6$	|⋅ 5
$5\left(\frac{3}{5}y-9\right)$	=	$-30$
$3y-45$	=	$-30$	| $+45$
$3y$	=	$15$	|:$3$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $15-2\cdot 5$

= $15-10$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +1y = ?

6x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +1y = 6 -4 = 2

6x +2y = 18 -8 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +1y = 2

6x +2y = 10

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(2+2y\right)+8y$	=	$-10$
$-8-8y+8y$	=	$-10$
$-8$	=	$-10$	| $+8$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(6-5y\right)-4y$	=	$1$
$30-25y-4y$	=	$1$
$-29y+30$	=	$1$	| $-30$
$-29y$	=	$-29$	|:($-29$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6-5\cdot 1$

= $6-5$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-6 = 1 -1b +c |-1

---

1 = 1b +c
-7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7+b\right)$	=	$1$
$b-7+b$	=	$1$
$2b-7$	=	$1$	| $+7$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+4$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-3): -3 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-3 = 16 +4b +c |-16

---

-1 = 1b +c
-19 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-19-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-19-4b\right)$	=	$-1$
$b-19-4b$	=	$-1$
$-3b-19$	=	$-1$	| $+19$
$-3b$	=	$18$	|:($-3$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-19-4\cdot \left(-6\right)$

= $-19+24$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+5$

= ${\left(x-3\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+5$ = $9-18+5$ = -4

also: S(3|-4).