Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-3\right)-4y$ = $-30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-3\right)-4y$	=	$-30$
$-6-4y$	=	$-30$
$-4y-6$	=	$-30$	| $+6$
$-4y$	=	$-24$	|:($-4$)
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (-3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|2)
denn 2⋅0 -1⋅2 = 0 -2 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|0)
denn 2⋅( - 1 ) -1⋅0 = -2 +0 = $-2$

Oder : (1|4)
denn 2⋅1 -1⋅4 = 2 -4 = $-2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-2\right)-4y$	=	$-16$
$-8-4y$	=	$-16$
$-4y-8$	=	$-16$	| $+8$
$-4y$	=	$-8$	|:($-4$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $3-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(3-3y\right)+2y$	=	$-2$
$6-6y+2y$	=	$-2$
$-4y+6$	=	$-2$	| $-6$
$-4y$	=	$-8$	|:($-4$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $3-3\cdot 2$

= $3-6$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(\frac{5}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-15$
$2x-\frac{25}{4}-\frac{15}{4}x$	=	$-15$
$-\frac{7}{4}x-\frac{25}{4}$	=	$-15$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{7}{4}x-\frac{25}{4}\right)$	=	$-60$
$-7x-25$	=	$-60$	| $+25$
$-7x$	=	$-35$	|:($-7$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{4}+\frac{3}{4}\cdot 5$

= $\frac{5}{4}+\frac{15}{4}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-12+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(-12+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-14$
$4x-60+\frac{15}{2}x$	=	$-14$
$\frac{23}{2}x-60$	=	$-14$	|⋅ 2
$2\left(\frac{23}{2}x-60\right)$	=	$-28$
$23x-120$	=	$-28$	| $+120$
$23x$	=	$92$	|:$23$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-12+\frac{3}{2}\cdot 4$

= $-12+6$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +3y = ?

1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +3y = 2 -3 = -1

1x +3y = 1 -3 = -2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +3y = -1

1x +3y = -2

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$2$
$4x+2-4x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{195}{7}-\frac{4}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+6·\left(\frac{195}{7}-\frac{4}{7}x\right)$	=	$165$
$3x+\frac{1170}{7}-\frac{24}{7}x$	=	$165$
$-\frac{3}{7}x+\frac{1170}{7}$	=	$165$	|⋅ 7
$7\left(-\frac{3}{7}x+\frac{1170}{7}\right)$	=	$1155$
$-3x+1170$	=	$1155$	| $-1170$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{195}{7}-\frac{4}{7}\cdot 5$

= $\frac{195}{7}-\frac{20}{7}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|20): 20 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
20 = 4 -2b +c |-4

---

6 = -1b +c
16 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(16+2b\right)$	=	$6$
$-b+16+2b$	=	$6$
$b+16$	=	$6$	| $-16$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16+2\cdot \left(-10\right)$

= $16-20$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-4)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-21): -21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
-21 = 4 +2b +c |-4

---

-15 = 1b +c
-25 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-25-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-25-2b\right)$	=	$-15$
$b-25-2b$	=	$-15$
$-b-25$	=	$-15$	| $+25$
$-b$	=	$10$	|:($-1$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-25-2\cdot \left(-10\right)$

= $-25+20$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-5$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-5$

= ${\left(x-5\right)}^2-30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-5$ = $25-50-5$ = -30

also: S(5|-30).