Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x-3$ = $9$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x-3$	=	$9$
$-3x-3$	=	$9$	| $+3$
$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|3)
denn 2⋅( - 5 ) +3⋅3 = -10 +9 = $-1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|1)
denn 2⋅( - 2 ) +3⋅1 = -4 +3 = $-1$

Oder : (-8|5)
denn 2⋅( - 8 ) +3⋅5 = -16 +15 = $-1$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $5$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·5-3y$	=	$8$
$20-3y$	=	$8$
$-3y+20$	=	$8$	| $-20$
$-3y$	=	$-12$	|:($-3$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-1+4y\right)+4y$	=	$16$
$-4+16y+4y$	=	$16$
$20y-4$	=	$16$	| $+4$
$20y$	=	$20$	|:$20$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1+4\cdot 1$

= $-1+4$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $20-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(20-5y\right)+y$	=	$25$
$-80+20y+y$	=	$25$
$21y-80$	=	$25$	| $+80$
$21y$	=	$105$	|:$21$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $20-5\cdot 5$

= $20-25$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-14-3y\right)-5y$	=	$22$
$28+6y-5y$	=	$22$
$y+28$	=	$22$	| $-28$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14-3\cdot \left(-6\right)$

= $-14+18$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

5x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = -8 -12 = -20

5x -7y = -20 -28 = -48

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -20

5x -7y = -48

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(1-2x\right)$	=	$2$
$4x+2-4x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-135+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-135+\frac{3}{5}x\right)$	=	$975$
$4x+675-3x$	=	$975$
$x+675$	=	$975$	| $-675$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-135+\frac{3}{5}\cdot 300$

= $-135+180$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-8): -8 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-8 = 4 -2b +c |-4

---

-4 = -1b +c
-12 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-12+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-12+2b\right)$	=	$-4$
$-b-12+2b$	=	$-4$
$b-12$	=	$-4$	| $+12$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-12+2\cdot 8$

= $-12+16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|4)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|15): 15 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 -1b +c |-1
-5 = 1 +1b +c |-1

---

14 = -1b +c
-6 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-6-b\right)$	=	$14$
$-b-6-b$	=	$14$
$-2b-6$	=	$14$	| $+6$
$-2b$	=	$20$	|:($-2$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6-\left(-10\right)$

= $-6+10$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25+4$

= ${\left(x-5\right)}^2-25+4$

= ${\left(x-5\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5+4$ = $25-50+4$ = -21

also: S(5|-21).