Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+4\cdot 4$ = $31$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+4\cdot 4$	=	$31$
$3x+16$	=	$31$	| $-16$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|1)
denn 5⋅5 -5⋅1 = 25 -5 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-4)
denn 5⋅0 -5⋅( - 4 ) = 0 +20 = $20$

Oder : (10|6)
denn 5⋅10 -5⋅6 = 50 -30 = $20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-4·\left(-5\right)$	=	$23$
$-x+20$	=	$23$	| $-20$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(9-2x\right)$	=	$9$
$4x-9+2x$	=	$9$
$6x-9$	=	$9$	| $+9$
$6x$	=	$18$	|:$6$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9-2\cdot 3$

= $9-6$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(5-x\right)$	=	$15$
$2x+15-3x$	=	$15$
$-x+15$	=	$15$	| $-15$
$-x$	=	0	|:($-1$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5-\left(0\right)$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-28+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-28+5y\right)+4y$	=	$11$
$-84+15y+4y$	=	$11$
$19y-84$	=	$11$	| $+84$
$19y$	=	$95$	|:$19$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-28+5\cdot 5$

= $-28+25$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-6x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = 4 +5 = 9

-6x +6y = 6 +6 = 12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = 9

-6x +6y = 12

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-2x\right)$	=	$-6$
$2x+4x$	=	$-6$
$6x$	=	$-6$	|:$6$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Wir bezeichnen x als kg-Preis der Äpfel und y als kg-Preis der Birnen und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\mathrm{5,4}-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+2·\left(\mathrm{5,4}-2x\right)$	=	$9$
$3x+\mathrm{10,8}-4x$	=	$9$
$-x+\mathrm{10,8}$	=	$9$	| $-\mathrm{10,8}$
$-x$	=	$-\mathrm{1,8}$	|:($-1$)
$x$	=	$\mathrm{1,8}$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\mathrm{5,4}-2\cdot \mathrm{1,8}$

= $\mathrm{5,4}-\mathrm{3,6}$

= $\mathrm{1,8}$

also

y = 1.8

Die Lösung des LGS ist damit: (1.8|1.8)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kg-Preis der Äpfel (x-Wert): 1.8

kg-Preis der Birnen (y-Wert): 1.8

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|16): 16 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
16 = 9 -3b +c |-9

---

3 = -1b +c
7 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(7+3b\right)$	=	$3$
$-b+7+3b$	=	$3$
$2b+7$	=	$3$	| $-7$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7+3\cdot \left(-2\right)$

= $7-6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-12): -12 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-12 = 16 +4b +c |-16

---

-4 = 1b +c
-28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-28-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-28-4b\right)$	=	$-4$
$b-28-4b$	=	$-4$
$-3b-28$	=	$-4$	| $+28$
$-3b$	=	$24$	|:($-3$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-28-4\cdot \left(-8\right)$

= $-28+32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+4$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+4$

= ${\left(x-4\right)}^2-12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4+4$ = $16-32+4$ = -12

also: S(4|-12).