Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$0-2y$ = $-6$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$0-2y$	=	$-6$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (0|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|0)
denn -4⋅5 +3⋅0 = -20 +0 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|4)
denn -4⋅8 +3⋅4 = -32 +12 = $-20$

Oder : (2|-4)
denn -4⋅2 +3⋅( - 4 ) = -8 -12 = $-20$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-6\right)$	=	$14$
$4x+18$	=	$14$	| $-18$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-1+3y\right)+2y$	=	$19$
$-3+9y+2y$	=	$19$
$11y-3$	=	$19$	| $+3$
$11y$	=	$22$	|:$11$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-1+3\cdot 2$

= $-1+6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $9-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(9-4x\right)$	=	$12$
$2x-18+8x$	=	$12$
$10x-18$	=	$12$	| $+18$
$10x$	=	$30$	|:$10$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $9-4\cdot 3$

= $9-12$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{25}{4}-\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-\frac{3}{2}·\left(\frac{25}{4}-\frac{1}{4}x\right)$	=	$-6$
$3x-\frac{75}{8}+\frac{3}{8}x$	=	$-6$
$\frac{27}{8}x-\frac{75}{8}$	=	$-6$	|⋅ 8
$8\left(\frac{27}{8}x-\frac{75}{8}\right)$	=	$-48$
$27x-75$	=	$-48$	| $+75$
$27x$	=	$27$	|:$27$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{25}{4}-\frac{1}{4}\cdot 1$

= $\frac{25}{4}-\frac{1}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-6x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -5 -8 = -13

-6x -7y = -6 -14 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = -13

-6x -7y = -20

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+12·\left(1+x\right)$	=	$13$
$-12x+12+12x$	=	$13$
$12$	=	$13$	| $-12$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(13-4y\right)-5y$	=	$20$
$78-24y-5y$	=	$20$
$-29y+78$	=	$20$	| $-78$
$-29y$	=	$-58$	|:($-29$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-4\cdot 2$

= $13-8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|52): 52 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
52 = 16 +4b +c |-16

---

6 = 1b +c
36 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $36-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(36-4b\right)$	=	$6$
$b+36-4b$	=	$6$
$-3b+36$	=	$6$	| $-36$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $36-4\cdot 10$

= $36-40$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|28): 28 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
28 = 9 -3b +c |-9

---

7 = -1b +c
19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(19+3b\right)$	=	$7$
$-b+19+3b$	=	$7$
$2b+19$	=	$7$	| $-19$
$2b$	=	$-12$	|:$2$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19+3\cdot \left(-6\right)$

= $19-18$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+1$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+1$

= ${\left(x-3\right)}^2-8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+1$ = $9-18+1$ = -8

also: S(3|-8).