Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-5\cdot \left(-5\right)$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-5\cdot \left(-5\right)$	=	$21$
$4x+25$	=	$21$	| $-25$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|0)
denn -1⋅( - 7 ) -2⋅0 = 7 +0 = $7$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|1)
denn -1⋅( - 9 ) -2⋅1 = 9 -2 = $7$

Oder : (-5|-1)
denn -1⋅( - 5 ) -2⋅( - 1 ) = 5 +2 = $7$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2\right)-y$	=	$9$
$6-y$	=	$9$
$-y+6$	=	$9$	| $-6$
$-y$	=	$3$	|:($-1$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $22+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(22+4y\right)-y$	=	0
$66+12y-y$	=	0
$11y+66$	=	0	| $-66$
$11y$	=	$-66$	|:$11$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $22+4\cdot \left(-6\right)$

= $22-24$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(3+2y\right)+y$	=	$-4$
$-9-6y+y$	=	$-4$
$-5y-9$	=	$-4$	| $+9$
$-5y$	=	$5$	|:($-5$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3+2\cdot \left(-1\right)$

= $3-2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+5·\left(6-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-1$
$-4x+30-\frac{15}{4}x$	=	$-1$
$-\frac{31}{4}x+30$	=	$-1$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{31}{4}x+30\right)$	=	$-4$
$-31x+120$	=	$-4$	| $-120$
$-31x$	=	$-124$	|:($-31$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $6-3$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -5y = ?

7x -10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -5y = -4 +5 = 1

7x -10y = -7 +10 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -5y = 1

7x -10y = 3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{12}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(\frac{11}{12}-x\right)$	=	$-2$
$-3x-\frac{11}{4}+3x$	=	$-2$
$-\frac{11}{4}$	=	$-2$	| $+\frac{11}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{190}{7}-\frac{5}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(\frac{190}{7}-\frac{5}{7}x\right)$	=	$115$
$5x+\frac{760}{7}-\frac{20}{7}x$	=	$115$
$\frac{15}{7}x+\frac{760}{7}$	=	$115$	|⋅ 7
$7\left(\frac{15}{7}x+\frac{760}{7}\right)$	=	$805$
$15x+760$	=	$805$	| $-760$
$15x$	=	$45$	|:$15$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{190}{7}-\frac{5}{7}\cdot 3$

= $\frac{190}{7}-\frac{15}{7}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (3|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|5): 5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 -2b +c |-4

---

7 = 1b +c
1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(1+2b\right)$	=	$7$
$b+1+2b$	=	$7$
$3b+1$	=	$7$	| $-1$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1+2\cdot 2$

= $1+4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-10 = 1 +1b +c |-1

---

1 = -1b +c
-11 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-11-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-11-b\right)$	=	$1$
$-b-11-b$	=	$1$
$-2b-11$	=	$1$	| $+11$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-11-\left(-6\right)$

= $-11+6$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-5$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-5$

= ${\left(x-3\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-5$ = $9-18-5$ = -14

also: S(3|-14).