Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot 4+4y$ = $-40$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot 4+4y$	=	$-40$
$-12+4y$	=	$-40$
$4y-12$	=	$-40$	| $+12$
$4y$	=	$-28$	|:$4$
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (4|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|6)
denn 3⋅6 +5⋅6 = 18 +30 = $48$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (11|3)
denn 3⋅11 +5⋅3 = 33 +15 = $48$

Oder : (1|9)
denn 3⋅1 +5⋅9 = 3 +45 = $48$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-1\right)$	=	$-16$
$-3x+2$	=	$-16$	| $-2$
$-3x$	=	$-18$	|:($-3$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(18-2y\right)-4y$	=	$-48$
$-72+8y-4y$	=	$-48$
$4y-72$	=	$-48$	| $+72$
$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18-2\cdot 6$

= $18-12$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-9-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(-9-3x\right)$	=	$10$
$x+36+12x$	=	$10$
$13x+36$	=	$10$	| $-36$
$13x$	=	$-26$	|:$13$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-9-3\cdot \left(-2\right)$

= $-9+6$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-2-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2-2y\right)-3y$	=	$-3$
$6+6y-3y$	=	$-3$
$3y+6$	=	$-3$	| $-6$
$3y$	=	$-9$	|:$3$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-2-2\cdot \left(-3\right)$

= $-2+6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-6x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = 8 +6 = 14

-6x -4y = 12 +8 = 20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = 14

-6x -4y = 20

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(1+3y\right)+6y$	=	$-3$
$-2-6y+6y$	=	$-3$
$-2$	=	$-3$	| $+2$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(14-3y\right)-3y$	=	0
$84-18y-3y$	=	0
$-21y+84$	=	0	| $-84$
$-21y$	=	$-84$	|:($-21$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-3\cdot 4$

= $14-12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-7): -7 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-7 = 9 +3b +c |-9

---

-8 = 1b +c
-16 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-16-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-16-3b\right)$	=	$-8$
$b-16-3b$	=	$-8$
$-2b-16$	=	$-8$	| $+16$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-16-3\cdot \left(-4\right)$

= $-16+12$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|10): 10 = 1² + b⋅1 +c

B(2|21): 21 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 +2b +c |-4

---

9 = 1b +c
17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(17-2b\right)$	=	$9$
$b+17-2b$	=	$9$
$-b+17$	=	$9$	| $-17$
$-b$	=	$-8$	|:($-1$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17-2\cdot 8$

= $17-16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+1$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+1$

= ${\left(x+4\right)}^2-15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+1$ = $16-32+1$ = -15

also: S(-4|-15).