Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-2\right)+5y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-2\right)+5y$	=	$21$
$6+5y$	=	$21$
$5y+6$	=	$21$	| $-6$
$5y$	=	$15$	|:$5$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-2|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-1)
denn 4⋅7 -3⋅( - 1 ) = 28 +3 = $31$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-5)
denn 4⋅4 -3⋅( - 5 ) = 16 +15 = $31$

Oder : (10|3)
denn 4⋅10 -3⋅3 = 40 -9 = $31$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·2$	=	$28$
$-4x+4$	=	$28$	| $-4$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-9+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-9+3y\right)+2y$	=	$26$
$36-12y+2y$	=	$26$
$-10y+36$	=	$26$	| $-36$
$-10y$	=	$-10$	|:($-10$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-9+3\cdot 1$

= $-9+3$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-10+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-10+2y\right)-3y$	=	$-12$
$-30+6y-3y$	=	$-12$
$3y-30$	=	$-12$	| $+30$
$3y$	=	$18$	|:$3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-10+2\cdot 6$

= $-10+12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(-5+\frac{5}{4}x\right)$	=	$20$
$5x-20+5x$	=	$20$
$10x-20$	=	$20$	| $+20$
$10x$	=	$40$	|:$10$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+\frac{5}{4}\cdot 4$

= $-5+5$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +4y = ?

-8x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x +4y = 16 +4 = 20

-8x +6y = 32 +6 = 38

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +4y = 20

-8x +6y = 38

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(1+x\right)$	=	$-5$
$2x-2-2x$	=	$-5$
$-2$	=	$-5$	| $+2$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $28-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(28-5y\right)-4y$	=	$-14$
$56-10y-4y$	=	$-14$
$-14y+56$	=	$-14$	| $-56$
$-14y$	=	$-70$	|:($-14$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $28-5\cdot 5$

= $28-25$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|38): 38 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
38 = 9 -3b +c |-9

---

9 = -1b +c
29 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(29+3b\right)$	=	$9$
$-b+29+3b$	=	$9$
$2b+29$	=	$9$	| $-29$
$2b$	=	$-20$	|:$2$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29+3\cdot \left(-10\right)$

= $29-30$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|19): 19 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
19 = 9 -3b +c |-9

---

6 = -1b +c
10 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(10+3b\right)$	=	$6$
$-b+10+3b$	=	$6$
$2b+10$	=	$6$	| $-10$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10+3\cdot \left(-2\right)$

= $10-6$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x-1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(1|3).