Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$x+4\cdot 1$ = $1$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+4\cdot 1$	=	$1$
$x+4$	=	$1$	| $-4$
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|5)
denn -1⋅( - 4 ) +1⋅5 = 4 +5 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|6)
denn -1⋅( - 3 ) +1⋅6 = 3 +6 = $9$

Oder : (-5|4)
denn -1⋅( - 5 ) +1⋅4 = 5 +4 = $9$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-4\right)-y$	=	$-9$
$-8-y$	=	$-9$
$-y-8$	=	$-9$	| $+8$
$-y$	=	$-1$	|:($-1$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-14-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+1·\left(-14-2x\right)$	=	$10$
$-4x-14-2x$	=	$10$
$-6x-14$	=	$10$	| $+14$
$-6x$	=	$24$	|:($-6$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-14-2\cdot \left(-4\right)$

= $-14+8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-5·\left(-6+3x\right)$	=	$30$
$-3x+30-15x$	=	$30$
$-18x+30$	=	$30$	| $-30$
$-18x$	=	0	|:($-18$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+3\cdot \left(0\right)$

= $-6+0$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $6-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-2·\left(6-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-36$
$-5x-12+x$	=	$-36$
$-4x-12$	=	$-36$	| $+12$
$-4x$	=	$-24$	|:($-4$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $6-\frac{1}{2}\cdot 6$

= $6-3$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

2x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = -3 +8 = 5

2x -1y = 6 -4 = 2

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 5

2x -1y = 2

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-12+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-12+4y\right)-4y$	=	$-32$
$48-16y-4y$	=	$-32$
$-20y+48$	=	$-32$	| $-48$
$-20y$	=	$-80$	|:($-20$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-12+4\cdot 4$

= $-12+16$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $40-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+2·\left(40-2x\right)$	=	$95$
$7x+80-4x$	=	$95$
$3x+80$	=	$95$	| $-80$
$3x$	=	$15$	|:$3$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $40-2\cdot 5$

= $40-10$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (5|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|46): 46 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
46 = 16 +4b +c |-16

---

6 = 1b +c
30 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $30-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(30-4b\right)$	=	$6$
$b+30-4b$	=	$6$
$-3b+30$	=	$6$	| $-30$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $30-4\cdot 8$

= $30-32$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-2)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-3): -3 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-3 = 4 -2b +c |-4

---

11 = 1b +c
-7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7+2b\right)$	=	$11$
$b-7+2b$	=	$11$
$3b-7$	=	$11$	| $+7$
$3b$	=	$18$	|:$3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+2\cdot 6$

= $-7+12$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+5$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+5$

= ${\left(x+3\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x·\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+5$ = $9-18+5$ = -4

also: S(-3|-4).