Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x-1$ = $-26$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x-1$	=	$-26$
$-5x-1$	=	$-26$	| $+1$
$-5x$	=	$-25$	|:($-5$)
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|5)
denn 4⋅( - 4 ) -5⋅5 = -16 -25 = $-41$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|1)
denn 4⋅( - 9 ) -5⋅1 = -36 -5 = $-41$

Oder : (1|9)
denn 4⋅1 -5⋅9 = 4 -45 = $-41$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $-1$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-1\right)-3y$	=	$-15$
$-3-3y$	=	$-15$
$-3y-3$	=	$-15$	| $+3$
$-3y$	=	$-12$	|:($-3$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-7-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-7-2y\right)+y$	=	$-8$
$28+8y+y$	=	$-8$
$9y+28$	=	$-8$	| $-28$
$9y$	=	$-36$	|:$9$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-7-2\cdot \left(-4\right)$

= $-7+8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(3+2y\right)-4y$	=	$2$
$-6-4y-4y$	=	$2$
$-8y-6$	=	$2$	| $+6$
$-8y$	=	$8$	|:($-8$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3+2\cdot \left(-1\right)$

= $3-2$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $10+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}·\left(10+x\right)$	=	$\frac{3}{2}$
$-\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}-\frac{3}{4}x$	=	$\frac{3}{2}$
$-\frac{9}{4}x-\frac{15}{2}$	=	$\frac{3}{2}$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}x-\frac{15}{2}\right)$	=	$6$
$-9x-30$	=	$6$	| $+30$
$-9x$	=	$36$	|:($-9$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $10-4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +5y = ?

-8x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x +5y = 4 +15 = 19

-8x +9y = 8 +27 = 35

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +5y = 19

-8x +9y = 35

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{8}{9}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(\frac{8}{9}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-3$
$4x-\frac{8}{3}-4x$	=	$-3$
$-\frac{8}{3}$	=	$-3$	| $+\frac{8}{3}$
0	=	$-\frac{1}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $36-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+9·\left(36-x\right)$	=	$317$
$2x+324-9x$	=	$317$
$-7x+324$	=	$317$	| $-324$
$-7x$	=	$-7$	|:($-7$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $36-1$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (1|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|35): 35 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
35 = 16 +4b +c |-16

---

7 = 1b +c
19 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(19-4b\right)$	=	$7$
$b+19-4b$	=	$7$
$-3b+19$	=	$7$	| $-19$
$-3b$	=	$-12$	|:($-3$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19-4\cdot 4$

= $19-16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|6): 6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
6 = 4 +2b +c |-4

---

-4 = -1b +c
2 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $2-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(2-2b\right)$	=	$-4$
$-b+2-2b$	=	$-4$
$-3b+2$	=	$-4$	| $-2$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2-2\cdot 2$

= $2-4$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-2$ = $1-2-2$ = -3

also: S(-1|-3).