Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot 2-y$ = $-1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot 2-y$	=	$-1$
$-8-y$	=	$-1$
$-y-8$	=	$-1$	| $+8$
$-y$	=	$7$	|:($-1$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|5)
denn -1⋅1 +2⋅5 = -1 +10 = $9$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|6)
denn -1⋅3 +2⋅6 = -3 +12 = $9$

Oder : (-1|4)
denn -1⋅( - 1 ) +2⋅4 = 1 +8 = $9$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·6$	=	0
$-3x+6$	=	0	| $-6$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(-5+2x\right)$	=	$7$
$2x-5+2x$	=	$7$
$4x-5$	=	$7$	| $+5$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5+2\cdot 3$

= $-5+6$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-12$
$3x-\frac{15}{2}-\frac{15}{2}x$	=	$-12$
$-\frac{9}{2}x-\frac{15}{2}$	=	$-12$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{9}{2}x-\frac{15}{2}\right)$	=	$-24$
$-9x-15$	=	$-24$	| $+15$
$-9x$	=	$-9$	|:($-9$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot 1$

= $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2-\frac{1}{4}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{4}·\left(2-\frac{1}{4}y\right)+\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}y+\frac{1}{3}y$	=	$-\frac{1}{2}$
$\frac{19}{48}y-\frac{1}{2}$	=	$-\frac{1}{2}$	|⋅ 48
$48\left(\frac{19}{48}y-\frac{1}{2}\right)$	=	$-24$
$19y-24$	=	$-24$	| $+24$
$19y$	=	0	|:$19$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2-\frac{1}{4}\cdot 0$

= $2+0$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

8x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 5 -8 = -3

8x +2y = 8 -8 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = -3

8x +2y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{2}{3}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-2$
$3x-\frac{8}{3}-3x$	=	$-2$
$-\frac{8}{3}$	=	$-2$	| $+\frac{8}{3}$
0	=	$\frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(13-4y\right)-7y$	=	$-16$
$65-20y-7y$	=	$-16$
$-27y+65$	=	$-16$	| $-65$
$-27y$	=	$-81$	|:($-27$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-4\cdot 3$

= $13-12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-1): -1 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-4): -4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-1 = 1 +1b +c |-1
-4 = 4 -2b +c |-4

---

-2 = 1b +c
-8 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-8+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-8+2b\right)$	=	$-2$
$b-8+2b$	=	$-2$
$3b-8$	=	$-2$	| $+8$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-8+2\cdot 2$

= $-8+4$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
9 = 1 +1b +c |-1

---

-4 = -1b +c
8 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(8-b\right)$	=	$-4$
$-b+8-b$	=	$-4$
$-2b+8$	=	$-4$	| $-8$
$-2b$	=	$-12$	|:($-2$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8-6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+2$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+2$

= ${\left(x+3\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x·\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+2$ = $9-18+2$ = -7

also: S(-3|-7).