Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 0-2y$ = $-8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 0-2y$	=	$-8$
$-2y$	=	$-8$	|:($-2$)
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (0|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-2)
denn -3⋅( - 3 ) -4⋅( - 2 ) = 9 +8 = $17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|1)
denn -3⋅( - 7 ) -4⋅1 = 21 -4 = $17$

Oder : (1|-5)
denn -3⋅1 -4⋅( - 5 ) = -3 +20 = $17$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-4\right)$	=	$28$
$-4x+16$	=	$28$	| $-16$
$-4x$	=	$12$	|:($-4$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-12+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(-12+2x\right)$	=	$-20$
$-3x-24+4x$	=	$-20$
$x-24$	=	$-20$	| $+24$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-12+2\cdot 4$

= $-12+8$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-7+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-7+5y\right)-2y$	=	$4$
$21-15y-2y$	=	$4$
$-17y+21$	=	$4$	| $-21$
$-17y$	=	$-17$	|:($-17$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-7+5\cdot 1$

= $-7+5$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{4}·\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}y\right)-\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{13}{4}$
$\frac{1}{12}-\frac{1}{6}y-\frac{1}{2}y$	=	$-\frac{13}{4}$
$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{12}$	=	$-\frac{13}{4}$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{12}\right)$	=	$-39$
$-8y+1$	=	$-39$	| $-1$
$-8y$	=	$-40$	|:($-8$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot 5$

= $-\frac{1}{3}+\frac{10}{3}$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -2y = ?

3x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -2y = -2 +8 = 6

3x +4y = 6 -16 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -2y = 6

3x +4y = -10

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $6-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(6-5y\right)+4y$	=	$-24$
$-24+20y+4y$	=	$-24$
$24y-24$	=	$-24$	| $+24$
$24y$	=	0	|:$24$
$y$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $6-5\cdot 0$

= $6+0$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|0)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $50-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+6·\left(50-\frac{5}{3}x\right)$	=	$288$
$8x+300-10x$	=	$288$
$-2x+300$	=	$288$	| $-300$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $50-\frac{5}{3}\cdot 6$

= $50-10$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|28): 28 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
28 = 9 -3b +c |-9

---

3 = -1b +c
19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(19+3b\right)$	=	$3$
$-b+19+3b$	=	$3$
$2b+19$	=	$3$	| $-19$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19+3\cdot \left(-8\right)$

= $19-24$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-5)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-5): -5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-5 = 16 +4b +c |-16

---

-9 = 1b +c
-21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-21-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-21-4b\right)$	=	$-9$
$b-21-4b$	=	$-9$
$-3b-21$	=	$-9$	| $+21$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-21-4\cdot \left(-4\right)$

= $-21+16$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-5$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-5$

= ${\left(x-2\right)}^2-9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-5$ = $4-8-5$ = -9

also: S(2|-9).