Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$x+3\cdot \left(-5\right)$ = $-19$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+3\cdot \left(-5\right)$	=	$-19$
$x-15$	=	$-19$	| $+15$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn 4⋅5 +1⋅( - 6 ) = 20 -6 = $14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|-10)
denn 4⋅6 +1⋅( - 10 ) = 24 -10 = $14$

Oder : (4|-2)
denn 4⋅4 +1⋅( - 2 ) = 16 -2 = $14$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-4\right)-4y$	=	$28$
$12-4y$	=	$28$
$-4y+12$	=	$28$	| $-12$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+1·\left(-3-2x\right)$	=	$9$
$-4x-3-2x$	=	$9$
$-6x-3$	=	$9$	| $+3$
$-6x$	=	$12$	|:($-6$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-2\cdot \left(-2\right)$

= $-3+4$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+1·\left(12-3x\right)$	=	$16$
$4x+12-3x$	=	$16$
$x+12$	=	$16$	| $-12$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12-3\cdot 4$

= $12-12$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(1+3x\right)$	=	$14$
$2x+3+9x$	=	$14$
$11x+3$	=	$14$	| $-3$
$11x$	=	$11$	|:$11$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1+3\cdot 1$

= $1+3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +2y = ?

7x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x +2y = 4 -2 = 2

7x +3y = 7 -3 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +2y = 2

7x +3y = 4

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{2}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-\frac{17}{2}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$16$
$2x+17-\frac{5}{2}x$	=	$16$
$-\frac{1}{2}x+17$	=	$16$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}x+17\right)$	=	$32$
$-x+34$	=	$32$	| $-34$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{2}+\frac{5}{4}\cdot 2$

= $-\frac{17}{2}+\frac{5}{2}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(13-3y\right)-6y$	=	$2$
$65-15y-6y$	=	$2$
$-21y+65$	=	$2$	| $-65$
$-21y$	=	$-63$	|:($-21$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-3\cdot 3$

= $13-9$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-1): -1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-1 = 4 +2b +c |-4

---

-3 = 1b +c
-5 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-5-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-5-2b\right)$	=	$-3$
$b-5-2b$	=	$-3$
$-b-5$	=	$-3$	| $+5$
$-b$	=	$2$	|:($-1$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-5-2\cdot \left(-2\right)$

= $-5+4$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|17): 17 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 -1b +c |-1
17 = 4 -2b +c |-4

---

5 = -1b +c
13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(13+2b\right)$	=	$5$
$-b+13+2b$	=	$5$
$b+13$	=	$5$	| $-13$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13+2\cdot \left(-8\right)$

= $13-16$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-3)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16-3$

= ${\left(x-4\right)}^2-16-3$

= ${\left(x-4\right)}^2-19$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4-3$ = $16-32-3$ = -19

also: S(4|-19).