Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 0+y$ = $1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 0+y$	=	$1$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (0|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|2)
denn -2⋅( - 5 ) -3⋅2 = 10 -6 = $4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|4)
denn -2⋅( - 8 ) -3⋅4 = 16 -12 = $4$

Oder : (-2|0)
denn -2⋅( - 2 ) -3⋅0 = 4 +0 = $4$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·4$	=	$-24$
$-3x-12$	=	$-24$	| $+12$
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-8-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-8-2x\right)$	=	$-6$
$2x-16-4x$	=	$-6$
$-2x-16$	=	$-6$	| $+16$
$-2x$	=	$10$	|:($-2$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-8-2\cdot \left(-5\right)$

= $-8+10$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-10+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-10+4y\right)+5y$	=	$25$
$-50+20y+5y$	=	$25$
$25y-50$	=	$25$	| $+50$
$25y$	=	$75$	|:$25$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-10+4\cdot 3$

= $-10+12$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}·\left(2-x\right)$	=	$2$
$\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x$	=	$2$
$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$	=	$2$	|⋅ 3
$3\left(\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\right)$	=	$6$
$2x-2$	=	$6$	| $+2$
$2x$	=	$8$	|:$2$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-4$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +4y = ?

4x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x +4y = -9 -8 = -17

4x +4y = -12 -8 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +4y = -17

4x +4y = -20

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-2+2y\right)-6y$	=	$-3$
$-6+6y-6y$	=	$-3$
$-6$	=	$-3$	| $+6$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{455}{2}+\frac{7}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-2·\left(-\frac{455}{2}+\frac{7}{4}x\right)$	=	$830$
$6x+455-\frac{7}{2}x$	=	$830$
$\frac{5}{2}x+455$	=	$830$	|⋅ 2
$2\left(\frac{5}{2}x+455\right)$	=	$1660$
$5x+910$	=	$1660$	| $-910$
$5x$	=	$750$	|:$5$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{455}{2}+\frac{7}{4}\cdot 150$

= $-\frac{455}{2}+\frac{525}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
11 = 1 -1b +c |-1

---

-6 = 1b +c
10 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $10+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(10+b\right)$	=	$-6$
$b+10+b$	=	$-6$
$2b+10$	=	$-6$	| $-10$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $10-8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|10): 10 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
10 = 16 +4b +c |-16

---

0 = 1b +c
-6 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-6-4b\right)$	=	0
$b-6-4b$	=	0
$-3b-6$	=	0	| $+6$
$-3b$	=	$6$	|:($-3$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6-4\cdot \left(-2\right)$

= $-6+8$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+2$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+2$

= ${\left(x-1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+2$ = $1-2+2$ = 1

also: S(1|1).