Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 2-2y$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 2-2y$	=	$8$
$10-2y$	=	$8$
$-2y+10$	=	$8$	| $-10$
$-2y$	=	$-2$	|:($-2$)
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|6)
denn 1⋅6 +2⋅6 = 6 +12 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|5)
denn 1⋅8 +2⋅5 = 8 +10 = $18$

Oder : (4|7)
denn 1⋅4 +2⋅7 = 4 +14 = $18$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·2+y$	=	$-11$
$-6+y$	=	$-11$
$y-6$	=	$-11$	| $+6$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $22-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(22-4y\right)-4y$	=	$-4$
$44-8y-4y$	=	$-4$
$-12y+44$	=	$-4$	| $-44$
$-12y$	=	$-48$	|:($-12$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $22-4\cdot 4$

= $22-16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11-5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+5·\left(11-5x\right)$	=	$32$
$2x+55-25x$	=	$32$
$-23x+55$	=	$32$	| $-55$
$-23x$	=	$-23$	|:($-23$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11-5\cdot 1$

= $11-5$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{31}{5}-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(-\frac{31}{5}-\frac{2}{5}x\right)$	=	$-26$
$2x-\frac{124}{5}-\frac{8}{5}x$	=	$-26$
$\frac{2}{5}x-\frac{124}{5}$	=	$-26$	|⋅ 5
$5\left(\frac{2}{5}x-\frac{124}{5}\right)$	=	$-130$
$2x-124$	=	$-130$	| $+124$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{31}{5}-\frac{2}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{31}{5}+\frac{6}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

4x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 15 +4 = 19

4x +3y = 12 +6 = 18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = 19

4x +3y = 18

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-\frac{1}{2}-x\right)$	=	$-1$
$-4x+2+4x$	=	$-1$
$2$	=	$-1$	| $-2$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-245+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-5·\left(-245+x\right)$	=	$1825$
$7x+1225-5x$	=	$1825$
$2x+1225$	=	$1825$	| $-1225$
$2x$	=	$600$	|:$2$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-245+300$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
9 = 1 -1b +c |-1

---

-4 = 1b +c
8 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(8+b\right)$	=	$-4$
$b+8+b$	=	$-4$
$2b+8$	=	$-4$	| $-8$
$2b$	=	$-12$	|:$2$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8-6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-5): -5 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
-5 = 16 -4b +c |-16

---

-3 = -1b +c
-21 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-21+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-21+4b\right)$	=	$-3$
$-b-21+4b$	=	$-3$
$3b-21$	=	$-3$	| $+21$
$3b$	=	$18$	|:$3$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-21+4\cdot 6$

= $-21+24$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+3$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+3$

= ${\left(x+3\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x·\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+3$ = $9-18+3$ = -6

also: S(-3|-6).