Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3+y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3+y$	=	$3$
$-3+y$	=	$3$
$y-3$	=	$3$	| $+3$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|0)
denn 4⋅( - 7 ) -2⋅0 = -28 +0 = $-28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-4)
denn 4⋅( - 9 ) -2⋅( - 4 ) = -36 +8 = $-28$

Oder : (-5|4)
denn 4⋅( - 5 ) -2⋅4 = -20 -8 = $-28$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-4\right)-2y$	=	$-16$
$-12-2y$	=	$-16$
$-2y-12$	=	$-16$	| $+12$
$-2y$	=	$-4$	|:($-2$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(-4-x\right)$	=	$16$
$x+12+3x$	=	$16$
$4x+12$	=	$16$	| $-12$
$4x$	=	$4$	|:$4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-1$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(-x\right)$	=	$30$
$2x+3x$	=	$30$
$5x$	=	$30$	|:$5$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-7+x\right)$	=	$-16$
$-3x+14-2x$	=	$-16$
$-5x+14$	=	$-16$	| $-14$
$-5x$	=	$-30$	|:($-5$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7+6$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +2y = ?

-1x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-3x +2y = -15 +10 = -5

-1x +3y = -5 +15 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +2y = -5

-1x +3y = 10

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(3-2y\right)-6y$	=	$-9$
$-9+6y-6y$	=	$-9$
$-9$	=	$-9$	| $+9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22-\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+9·\left(22-\frac{2}{5}x\right)$	=	$195$
$3x+198-\frac{18}{5}x$	=	$195$
$-\frac{3}{5}x+198$	=	$195$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{3}{5}x+198\right)$	=	$975$
$-3x+990$	=	$975$	| $-990$
$-3x$	=	$-15$	|:($-3$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22-\frac{2}{5}\cdot 5$

= $22-2$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (5|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|7): 7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
7 = 4 +2b +c |-4

---

-3 = -1b +c
3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(3-2b\right)$	=	$-3$
$-b+3-2b$	=	$-3$
$-3b+3$	=	$-3$	| $-3$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3-2\cdot 2$

= $3-4$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|7): 7 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
7 = 4 +2b +c |-4

---

1 = 1b +c
3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(3-2b\right)$	=	$1$
$b+3-2b$	=	$1$
$-b+3$	=	$1$	| $-3$
$-b$	=	$-2$	|:($-1$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3-2\cdot 2$

= $3-4$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-1$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-1$

= ${\left(x+1\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-1$ = $1-2-1$ = -2

also: S(-1|-2).