Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 0-4y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 0-4y$	=	$-12$
$-4y$	=	$-12$	|:($-4$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (0|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-2)
denn -4⋅( - 2 ) -2⋅( - 2 ) = 8 +4 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|2)
denn -4⋅( - 4 ) -2⋅2 = 16 -4 = $12$

Oder : (0|-6)
denn -4⋅0 -2⋅( - 6 ) = 0 +12 = $12$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $3$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·3-3y$	=	$24$
$6-3y$	=	$24$
$-3y+6$	=	$24$	| $-6$
$-3y$	=	$18$	|:($-3$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(20-3y\right)+4y$	=	$18$
$-60+9y+4y$	=	$18$
$13y-60$	=	$18$	| $+60$
$13y$	=	$78$	|:$13$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20-3\cdot 6$

= $20-18$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$30$
$-3x+\frac{15}{4}-\frac{9}{4}x$	=	$30$
$-\frac{21}{4}x+\frac{15}{4}$	=	$30$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{21}{4}x+\frac{15}{4}\right)$	=	$120$
$-21x+15$	=	$120$	| $-15$
$-21x$	=	$105$	|:($-21$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}\cdot \left(-5\right)$

= $-\frac{5}{4}-\frac{15}{4}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}·\left(-4-x\right)$	=	$-\frac{21}{10}$
$\frac{3}{4}x-\frac{12}{5}-\frac{3}{5}x$	=	$-\frac{21}{10}$
$\frac{3}{20}x-\frac{12}{5}$	=	$-\frac{21}{10}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{3}{20}x-\frac{12}{5}\right)$	=	$-42$
$3x-48$	=	$-42$	| $+48$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-4-2$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-6x +16y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 6 +15 = 21

-6x +16y = 18 +48 = 66

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = 21

-6x +16y = 66

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-3+4y\right)+8y$	=	$6$
$6-8y+8y$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $31-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+5·\left(31-\frac{3}{2}x\right)$	=	$145$
$5x+155-\frac{15}{2}x$	=	$145$
$-\frac{5}{2}x+155$	=	$145$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{5}{2}x+155\right)$	=	$290$
$-5x+310$	=	$290$	| $-310$
$-5x$	=	$-20$	|:($-5$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $31-\frac{3}{2}\cdot 4$

= $31-6$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (4|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|45): 45 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
45 = 16 +4b +c |-16

---

5 = 1b +c
29 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $29-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(29-4b\right)$	=	$5$
$b+29-4b$	=	$5$
$-3b+29$	=	$5$	| $-29$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $29-4\cdot 8$

= $29-32$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-3)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-11): -11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 +2b +c |-4

---

3 = -1b +c
-15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-15-2b\right)$	=	$3$
$-b-15-2b$	=	$3$
$-3b-15$	=	$3$	| $+15$
$-3b$	=	$18$	|:($-3$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15-2\cdot \left(-6\right)$

= $-15+12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-3$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-3$

= ${\left(x-3\right)}^2-12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-3$ = $9-18-3$ = -12

also: S(3|-12).