Man setzt einfach y = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$-x+4\cdot 0$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x+4\cdot 0$	=	$3$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|7)
denn 3⋅6 +3⋅7 = 18 +21 = $39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|4)
denn 3⋅9 +3⋅4 = 27 +12 = $39$

Oder : (3|10)
denn 3⋅3 +3⋅10 = 9 +30 = $39$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·4-3y$	=	$6$
$12-3y$	=	$6$
$-3y+12$	=	$6$	| $-12$
$-3y$	=	$-6$	|:($-3$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $25-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(25-4x\right)$	=	$27$
$4x+75-12x$	=	$27$
$-8x+75$	=	$27$	| $-75$
$-8x$	=	$-48$	|:($-8$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $25-4\cdot 6$

= $25-24$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-16-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(-16-3x\right)$	=	$17$
$-4x-48-9x$	=	$17$
$-13x-48$	=	$17$	| $+48$
$-13x$	=	$65$	|:($-13$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-16-3\cdot \left(-5\right)$

= $-16+15$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}·\left(4+\frac{3}{2}x\right)$	=	$\frac{4}{5}$
$-\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}+\frac{3}{5}x$	=	$\frac{4}{5}$
$\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$	=	$\frac{4}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}\right)$	=	$4$
$x+8$	=	$4$	| $-8$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4+\frac{3}{2}\cdot \left(-4\right)$

= $4-6$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +2y = ?

-4x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x +2y = 4 -4 = 0

-4x +6y = 16 -12 = 4

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +2y = 0

-4x +6y = 4

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+2·\left(3-4x\right)$	=	$5$
$8x+6-8x$	=	$5$
$6$	=	$5$	| $-6$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{161}{5}-\frac{6}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(\frac{161}{5}-\frac{6}{5}x\right)$	=	$130$
$5x+\frac{644}{5}-\frac{24}{5}x$	=	$130$
$\frac{1}{5}x+\frac{644}{5}$	=	$130$	|⋅ 5
$5\left(\frac{1}{5}x+\frac{644}{5}\right)$	=	$650$
$x+644$	=	$650$	| $-644$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{161}{5}-\frac{6}{5}\cdot 6$

= $\frac{161}{5}-\frac{36}{5}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (6|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-17): -17 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-17 = 9 +3b +c |-9

---

-6 = 1b +c
-26 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-26-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-26-3b\right)$	=	$-6$
$b-26-3b$	=	$-6$
$-2b-26$	=	$-6$	| $+26$
$-2b$	=	$20$	|:($-2$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-26-3\cdot \left(-10\right)$

= $-26+30$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|4)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|11): 11 = 1² + b⋅1 +c

B(2|20): 20 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 +1b +c |-1
20 = 4 +2b +c |-4

---

10 = 1b +c
16 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $16-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(16-2b\right)$	=	$10$
$b+16-2b$	=	$10$
$-b+16$	=	$10$	| $-16$
$-b$	=	$-6$	|:($-1$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $16-2\cdot 6$

= $16-12$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+4$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+4$

= ${\left(x+3\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+4$ = $9-18+4$ = -5

also: S(-3|-5).