Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x-\left(-2\right)$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x-\left(-2\right)$	=	$18$
$-4x+2$	=	$18$	| $-2$
$-4x$	=	$16$	|:($-4$)
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-2)
denn 5⋅( - 3 ) +1⋅( - 2 ) = -15 -2 = $-17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-7)
denn 5⋅( - 2 ) +1⋅( - 7 ) = -10 -7 = $-17$

Oder : (-4|3)
denn 5⋅( - 4 ) +1⋅3 = -20 +3 = $-17$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·3$	=	$-16$
$2x-12$	=	$-16$	| $+12$
$2x$	=	$-4$	|:$2$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+1·\left(11-2x\right)$	=	$17$
$4x+11-2x$	=	$17$
$2x+11$	=	$17$	| $-11$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11-2\cdot 3$

= $11-6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(8-x\right)$	=	$6$
$3x-24+3x$	=	$6$
$6x-24$	=	$6$	| $+24$
$6x$	=	$30$	|:$6$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8-5$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-14+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}·\left(-14+\frac{4}{3}x\right)$	=	$\frac{3}{2}$
$-\frac{1}{4}x+7-\frac{2}{3}x$	=	$\frac{3}{2}$
$-\frac{11}{12}x+7$	=	$\frac{3}{2}$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{11}{12}x+7\right)$	=	$18$
$-11x+84$	=	$18$	| $-84$
$-11x$	=	$-66$	|:($-11$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-14+\frac{4}{3}\cdot 6$

= $-14+8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -4y = ?

1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

4x -4y = -8 +4 = -4

1x -2y = -2 +2 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -4y = -4

1x -2y = 0

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+16·\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$-9$
$-12x-8+12x$	=	$-9$
$-8$	=	$-9$	| $+8$
0	=	$-1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $18-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(18-4y\right)-4y$	=	$-10$
$54-12y-4y$	=	$-10$
$-16y+54$	=	$-10$	| $-54$
$-16y$	=	$-64$	|:($-16$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $18-4\cdot 4$

= $18-16$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-14): -14 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
-14 = 4 +2b +c |-4

---

12 = -1b +c
-18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-18-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-18-2b\right)$	=	$12$
$-b-18-2b$	=	$12$
$-3b-18$	=	$12$	| $+18$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-18-2\cdot \left(-10\right)$

= $-18+20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|2)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-5): -5 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 +1b +c |-1
-5 = 16 +4b +c |-16

---

-3 = 1b +c
-21 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-21-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-21-4b\right)$	=	$-3$
$b-21-4b$	=	$-3$
$-3b-21$	=	$-3$	| $+21$
$-3b$	=	$18$	|:($-3$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-21-4\cdot \left(-6\right)$

= $-21+24$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+3$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+3$

= ${\left(x-3\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+3$ = $9-18+3$ = -6

also: S(3|-6).