Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-5\right)-2y$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-5\right)-2y$	=	$-15$
$-15-2y$	=	$-15$
$-2y-15$	=	$-15$	| $+15$
$-2y$	=	0	|:($-2$)
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-5|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|3)
denn -4⋅( - 3 ) +3⋅3 = 12 +9 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|7)
denn -4⋅0 +3⋅7 = 0 +21 = $21$

Oder : (-6|-1)
denn -4⋅( - 6 ) +3⋅( - 1 ) = 24 -3 = $21$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·3+3y$	=	$30$
$12+3y$	=	$30$
$3y+12$	=	$30$	| $-12$
$3y$	=	$18$	|:$3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(5+4y\right)-2y$	=	$3$
$5+4y-2y$	=	$3$
$2y+5$	=	$3$	| $-5$
$2y$	=	$-2$	|:$2$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+4\cdot \left(-1\right)$

= $5-4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-2·\left(-5+5x\right)$	=	$10$
$-x+10-10x$	=	$10$
$-11x+10$	=	$10$	| $-10$
$-11x$	=	0	|:($-11$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5+5\cdot \left(0\right)$

= $-5+0$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-5-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-5-3x\right)$	=	$-2$
$-2x-10-6x$	=	$-2$
$-8x-10$	=	$-2$	| $+10$
$-8x$	=	$8$	|:($-8$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-5-3\cdot \left(-1\right)$

= $-5+3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

-1x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -2 +10 = 8

-1x -5y = 2 -25 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 8

-1x -5y = -23

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-19+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-19+3y\right)-5y$	=	$-33$
$-57+9y-5y$	=	$-33$
$4y-57$	=	$-33$	| $+57$
$4y$	=	$24$	|:$4$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-19+3\cdot 6$

= $-19+18$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|6)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-95+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-95+\frac{1}{2}x\right)$	=	$680$
$3x+380-2x$	=	$680$
$x+380$	=	$680$	| $-380$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-95+\frac{1}{2}\cdot 300$

= $-95+150$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (300|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|12): 12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-9): -9 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 -1b +c |-1
-9 = 4 +2b +c |-4

---

11 = -1b +c
-13 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-13-2b\right)$	=	$11$
$-b-13-2b$	=	$11$
$-3b-13$	=	$11$	| $+13$
$-3b$	=	$24$	|:($-3$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-2\cdot \left(-8\right)$

= $-13+16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|3)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(4|51): 51 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
51 = 16 +4b +c |-16

---

11 = 1b +c
35 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $35-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(35-4b\right)$	=	$11$
$b+35-4b$	=	$11$
$-3b+35$	=	$11$	| $-35$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $35-4\cdot 8$

= $35-32$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+3$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+3$

= ${\left(x+4\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+3$ = $16-32+3$ = -13

also: S(-4|-13).