Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+2\cdot 5$ = $28$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+2\cdot 5$	=	$28$
$-3x+10$	=	$28$	| $-10$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) +4⋅( - 1 ) = -16 -4 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-5)
denn 4⋅0 +4⋅( - 5 ) = 0 -20 = $-20$

Oder : (-8|3)
denn 4⋅( - 8 ) +4⋅3 = -32 +12 = $-20$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-5\right)-y$	=	$25$
$20-y$	=	$25$
$-y+20$	=	$25$	| $-20$
$-y$	=	$5$	|:($-1$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(5+4y\right)-3y$	=	0
$-15-12y-3y$	=	0
$-15y-15$	=	0	| $+15$
$-15y$	=	$15$	|:($-15$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+4\cdot \left(-1\right)$

= $5-4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+1·\left(-4+x\right)$	=	$-10$
$5x-4+x$	=	$-10$
$6x-4$	=	$-10$	| $+4$
$6x$	=	$-6$	|:$6$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-1$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{23}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(\frac{23}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$6$
$4x-\frac{46}{3}+\frac{4}{3}x$	=	$6$
$\frac{16}{3}x-\frac{46}{3}$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(\frac{16}{3}x-\frac{46}{3}\right)$	=	$18$
$16x-46$	=	$18$	| $+46$
$16x$	=	$64$	|:$16$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{23}{3}-\frac{2}{3}\cdot 4$

= $\frac{23}{3}-\frac{8}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -4y = ?

-5x -17y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-1x -4y = -5 +16 = 11

-5x -17y = -25 +68 = 43

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -4y = 11

-5x -17y = 43

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(1+4y\right)+12y$	=	$-3$
$-3-12y+12y$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{97}{2}-\frac{9}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+5·\left(\frac{97}{2}-\frac{9}{4}x\right)$	=	$187$
$2x+\frac{485}{2}-\frac{45}{4}x$	=	$187$
$-\frac{37}{4}x+\frac{485}{2}$	=	$187$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{37}{4}x+\frac{485}{2}\right)$	=	$748$
$-37x+970$	=	$748$	| $-970$
$-37x$	=	$-222$	|:($-37$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{97}{2}-\frac{9}{4}\cdot 6$

= $\frac{97}{2}-\frac{27}{2}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (6|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(2|11): 11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4

---

5 = 1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(7-2b\right)$	=	$5$
$b+7-2b$	=	$5$
$-b+7$	=	$5$	| $-7$
$-b$	=	$-2$	|:($-1$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7-2\cdot 2$

= $7-4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4

---

-4 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-6+2b\right)$	=	$-4$
$-b-6+2b$	=	$-4$
$b-6$	=	$-4$	| $+6$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6+2\cdot 2$

= $-6+4$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-2$ = $1-2-2$ = -3

also: S(-1|-3).