Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+5\cdot 5$ = $37$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+5\cdot 5$	=	$37$
$4x+25$	=	$37$	| $-25$
$4x$	=	$12$	|:$4$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-1)
denn 5⋅( - 1 ) +1⋅( - 1 ) = -5 -1 = $-6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-6)
denn 5⋅0 +1⋅( - 6 ) = 0 -6 = $-6$

Oder : (-2|4)
denn 5⋅( - 2 ) +1⋅4 = -10 +4 = $-6$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-2\right)$	=	$28$
$4x+8$	=	$28$	| $-8$
$4x$	=	$20$	|:$4$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(2-4x\right)$	=	$22$
$2x-6+12x$	=	$22$
$14x-6$	=	$22$	| $+6$
$14x$	=	$28$	|:$14$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2-4\cdot 2$

= $2-8$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+5·\left(9-x\right)$	=	$5$
$-3x+45-5x$	=	$5$
$-8x+45$	=	$5$	| $-45$
$-8x$	=	$-40$	|:($-8$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-5$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(7-x\right)$	=	$-26$
$-2x-35+5x$	=	$-26$
$3x-35$	=	$-26$	| $+35$
$3x$	=	$9$	|:$3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7-3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -5y = ?

6x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

5x -5y = -10 -5 = -15

6x -3y = -12 -3 = -15

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -5y = -15

6x -3y = -15

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(3+4y\right)-8y$	=	$6$
$6+8y-8y$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $21-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(21-6y\right)-6y$	=	$-9$
$63-18y-6y$	=	$-9$
$-24y+63$	=	$-9$	| $-63$
$-24y$	=	$-72$	|:($-24$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $21-6\cdot 3$

= $21-18$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-12): -12 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-12 = 16 +4b +c |-16

---

-4 = 1b +c
-28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-28-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-28-4b\right)$	=	$-4$
$b-28-4b$	=	$-4$
$-3b-28$	=	$-4$	| $+28$
$-3b$	=	$24$	|:($-3$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-28-4\cdot \left(-8\right)$

= $-28+32$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-14): -14 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-14 = 1 +1b +c |-1
6 = 1 -1b +c |-1

---

-15 = 1b +c
5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(5+b\right)$	=	$-15$
$b+5+b$	=	$-15$
$2b+5$	=	$-15$	| $-5$
$2b$	=	$-20$	|:$2$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5-10$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25-5$

= ${\left(x-5\right)}^2-25-5$

= ${\left(x-5\right)}^2-30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5-5$ = $25-50-5$ = -30

also: S(5|-30).