Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-4\right)-y$ = $19$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-4\right)-y$	=	$19$
$12-y$	=	$19$
$-y+12$	=	$19$	| $-12$
$-y$	=	$7$	|:($-1$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-4|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-5)
denn 2⋅( - 5 ) -2⋅( - 5 ) = -10 +10 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-7)
denn 2⋅( - 7 ) -2⋅( - 7 ) = -14 +14 = 0

Oder : (-3|-3)
denn 2⋅( - 3 ) -2⋅( - 3 ) = -6 +6 = 0

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(-6\right)$	=	$-15$
$3x-18$	=	$-15$	| $+18$
$3x$	=	$3$	|:$3$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-16-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-16-2y\right)+y$	=	$13$
$48+6y+y$	=	$13$
$7y+48$	=	$13$	| $-48$
$7y$	=	$-35$	|:$7$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-16-2\cdot \left(-5\right)$

= $-16+10$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-2·\left(-\frac{7}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-13$
$-5x+7+x$	=	$-13$
$-4x+7$	=	$-13$	| $-7$
$-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\cdot 5$

= $-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+4·\left(-1-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-3$
$3x-4-\frac{16}{5}x$	=	$-3$
$-\frac{1}{5}x-4$	=	$-3$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{1}{5}x-4\right)$	=	$-15$
$-x-20$	=	$-15$	| $+20$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1-\frac{4}{5}\cdot \left(-5\right)$

= $-1+4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +1y = ?

5x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

3x +1y = 6 -5 = 1

5x +1y = 10 -5 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +1y = 1

5x +1y = 5

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-14+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-14+2y\right)+5y$	=	$38$
$42-6y+5y$	=	$38$
$-y+42$	=	$38$	| $-42$
$-y$	=	$-4$	|:($-1$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-14+2\cdot 4$

= $-14+8$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(17-4y\right)-5y$	=	$-15$
$85-20y-5y$	=	$-15$
$-25y+85$	=	$-15$	| $-85$
$-25y$	=	$-100$	|:($-25$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17-4\cdot 4$

= $17-16$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|13): 13 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|24): 24 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 -1b +c |-1
24 = 4 -2b +c |-4

---

12 = -1b +c
20 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $20+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(20+2b\right)$	=	$12$
$-b+20+2b$	=	$12$
$b+20$	=	$12$	| $-20$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $20+2\cdot \left(-8\right)$

= $20-16$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|4)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|9): 9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = 1b +c
5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(5+2b\right)$	=	$-1$
$b+5+2b$	=	$-1$
$3b+5$	=	$-1$	| $-5$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5+2\cdot \left(-2\right)$

= $5-4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+1$ = $1-2+1$ = 0

also: S(1|0).