Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-\left(-4\right)-4y$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-\left(-4\right)-4y$	=	$4$
$4-4y$	=	$4$
$-4y+4$	=	$4$	| $-4$
$-4y$	=	0	|:($-4$)
$y$	=	0

Die Lösung ist somit: (-4|0)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|3)
denn 2⋅6 +4⋅3 = 12 +12 = $24$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|1)
denn 2⋅10 +4⋅1 = 20 +4 = $24$

Oder : (2|5)
denn 2⋅2 +4⋅5 = 4 +20 = $24$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·6-4y$	=	$-4$
$-12-4y$	=	$-4$
$-4y-12$	=	$-4$	| $+12$
$-4y$	=	$8$	|:($-4$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+2·\left(15+3x\right)$	=	$2$
$x+30+6x$	=	$2$
$7x+30$	=	$2$	| $-30$
$7x$	=	$-28$	|:$7$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15+3\cdot \left(-4\right)$

= $15-12$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(11-2x\right)$	=	$25$
$4x+33-6x$	=	$25$
$-2x+33$	=	$25$	| $-33$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11-2\cdot 4$

= $11-8$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(3+x\right)$	=	$2$
$2x+6+2x$	=	$2$
$4x+6$	=	$2$	| $-6$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-1$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = -3 -2 = -5

2x +5y = 6 +10 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = -5

2x +5y = 16

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{16}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(-\frac{5}{16}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$2$
$-2x+\frac{5}{4}+2x$	=	$2$
$\frac{5}{4}$	=	$2$	| $-\frac{5}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(19-6y\right)-4y$	=	$-7$
$95-30y-4y$	=	$-7$
$-34y+95$	=	$-7$	| $-95$
$-34y$	=	$-102$	|:($-34$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19-6\cdot 3$

= $19-18$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|7): 7 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|4): 4 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 +2b +c |-4

---

6 = -1b +c
0 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $-2b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-2b\right)$	=	$6$
$-b-2b$	=	$6$
$-3b$	=	$6$	|:($-3$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-2\cdot \left(-2\right)$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|5): 5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
5 = 4 -2b +c |-4

---

7 = 1b +c
1 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(1+2b\right)$	=	$7$
$b+1+2b$	=	$7$
$3b+1$	=	$7$	| $-1$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1+2\cdot 2$

= $1+4$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+5$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+5$

= ${\left(x+1\right)}^2+4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+5$ = $1-2+5$ = 4

also: S(-1|4).