Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 2-3y$ = $-7$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 2-3y$	=	$-7$
$8-3y$	=	$-7$
$-3y+8$	=	$-7$	| $-8$
$-3y$	=	$-15$	|:($-3$)
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (2|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|0)
denn 3⋅6 -1⋅0 = 18 +0 = $18$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|-3)
denn 3⋅5 -1⋅( - 3 ) = 15 +3 = $18$

Oder : (7|3)
denn 3⋅7 -1⋅3 = 21 -3 = $18$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·1+2y$	=	$13$
$3+2y$	=	$13$
$2y+3$	=	$13$	| $-3$
$2y$	=	$10$	|:$2$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-17-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(-17-3x\right)$	=	$20$
$-3x-34-6x$	=	$20$
$-9x-34$	=	$20$	| $+34$
$-9x$	=	$54$	|:($-9$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-17-3\cdot \left(-6\right)$

= $-17+18$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$23$
$-2x+\frac{45}{2}+\frac{5}{2}x$	=	$23$
$\frac{1}{2}x+\frac{45}{2}$	=	$23$	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}x+\frac{45}{2}\right)$	=	$46$
$x+45$	=	$46$	| $-45$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-5·\left(-4-x\right)$	=	$10$
$5x+20+5x$	=	$10$
$10x+20$	=	$10$	| $-20$
$10x$	=	$-10$	|:$10$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-4-\left(-1\right)$

= $-4+1$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +3y = ?

-2x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x +3y = -5 +15 = 10

-2x +4y = -10 +20 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +3y = 10

-2x +4y = 10

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(2+x\right)$	=	0
$2x-8-4x$	=	0
$-2x-8$	=	0	| $+8$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-4$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-565+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-565+2x\right)$	=	$1960$
$7x+2260-8x$	=	$1960$
$-x+2260$	=	$1960$	| $-2260$
$-x$	=	$-300$	|:($-1$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-565+2\cdot 300$

= $-565+600$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|18): 18 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
18 = 4 -2b +c |-4

---

8 = -1b +c
14 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $14+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(14+2b\right)$	=	$8$
$-b+14+2b$	=	$8$
$b+14$	=	$8$	| $-14$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $14+2\cdot \left(-6\right)$

= $14-12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(2|28): 28 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
28 = 4 +2b +c |-4

---

14 = 1b +c
24 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $24-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(24-2b\right)$	=	$14$
$b+24-2b$	=	$14$
$-b+24$	=	$14$	| $-24$
$-b$	=	$-10$	|:($-1$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $24-2\cdot 10$

= $24-20$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x·\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+4$ = $25-50+4$ = -21

also: S(-5|-21).