Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 5-y$ = $11$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 5-y$	=	$11$
$10-y$	=	$11$
$-y+10$	=	$11$	| $-10$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (5|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-7)
denn 3⋅( - 3 ) -1⋅( - 7 ) = -9 +7 = $-2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|-10)
denn 3⋅( - 4 ) -1⋅( - 10 ) = -12 +10 = $-2$

Oder : (-2|-4)
denn 3⋅( - 2 ) -1⋅( - 4 ) = -6 +4 = $-2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·3-2y$	=	$22$
$12-2y$	=	$22$
$-2y+12$	=	$22$	| $-12$
$-2y$	=	$10$	|:($-2$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-11+4y\right)-3y$	=	$-18$
$-44+16y-3y$	=	$-18$
$13y-44$	=	$-18$	| $+44$
$13y$	=	$26$	|:$13$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11+4\cdot 2$

= $-11+8$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(-3+x\right)$	=	$-21$
$5x-12+4x$	=	$-21$
$9x-12$	=	$-21$	| $+12$
$9x$	=	$-9$	|:$9$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-1$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{14}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(-\frac{14}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$-20$
$-5x-14+2x$	=	$-20$
$-3x-14$	=	$-20$	| $+14$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{14}{5}+\frac{2}{5}\cdot 2$

= $-\frac{14}{5}+\frac{4}{5}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

-6x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 10 +3 = 13

-6x +8y = 30 +8 = 38

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = 13

-6x +8y = 38

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-2+3y\right)+6y$	=	$4$
$4-6y+6y$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-345+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-345+\frac{5}{2}x\right)$	=	$960$
$7x+1035-\frac{15}{2}x$	=	$960$
$-\frac{1}{2}x+1035$	=	$960$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}x+1035\right)$	=	$1920$
$-x+2070$	=	$1920$	| $-2070$
$-x$	=	$-150$	|:($-1$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-345+\frac{5}{2}\cdot 150$

= $-345+375$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

---

-4 = 1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-10-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-10-2b\right)$	=	$-4$
$b-10-2b$	=	$-4$
$-b-10$	=	$-4$	| $+10$
$-b$	=	$6$	|:($-1$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-10-2\cdot \left(-6\right)$

= $-10+12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|-20): -20 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-20 = 16 -4b +c |-16

---

-12 = -1b +c
-36 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-36+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-36+4b\right)$	=	$-12$
$-b-36+4b$	=	$-12$
$3b-36$	=	$-12$	| $+36$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-36+4\cdot 8$

= $-36+32$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-4$

= ${\left(x+4\right)}^2-20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x·\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-4$ = $16-32-4$ = -20

also: S(-4|-20).