Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-7\right)-4y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-7\right)-4y$	=	$22$
$14-4y$	=	$22$
$-4y+14$	=	$22$	| $-14$
$-4y$	=	$8$	|:($-4$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-7|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|-7)
denn -1⋅( - 2 ) +2⋅( - 7 ) = 2 -14 = $-12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-6)
denn -1⋅0 +2⋅( - 6 ) = 0 -12 = $-12$

Oder : (-4|-8)
denn -1⋅( - 4 ) +2⋅( - 8 ) = 4 -16 = $-12$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2\right)+4y$	=	$-6$
$6+4y$	=	$-6$
$4y+6$	=	$-6$	| $-6$
$4y$	=	$-12$	|:$4$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $8-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+2·\left(8-2x\right)$	=	$13$
$x+16-4x$	=	$13$
$-3x+16$	=	$13$	| $-16$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $8-2\cdot 1$

= $8-2$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-6+\frac{4}{3}x\right)$	=	$12$
$-2x+12-\frac{8}{3}x$	=	$12$
$-\frac{14}{3}x+12$	=	$12$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{14}{3}x+12\right)$	=	$36$
$-14x+36$	=	$36$	| $-36$
$-14x$	=	0	|:($-14$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+\frac{4}{3}\cdot \left(0\right)$

= $-6+0$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-5·\left(-3+x\right)$	=	$33$
$-4x+15-5x$	=	$33$
$-9x+15$	=	$33$	| $-15$
$-9x$	=	$18$	|:($-9$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3-2$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-8x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 20 -10 = 10

-8x +9y = 32 -18 = 14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 10

-8x +9y = 14

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-2+4y\right)-12y$	=	$-9$
$-6+12y-12y$	=	$-9$
$-6$	=	$-9$	| $+6$
0	=	$-3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{61}{2}-\frac{7}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+7·\left(\frac{61}{2}-\frac{7}{4}x\right)$	=	$164$
$4x+\frac{427}{2}-\frac{49}{4}x$	=	$164$
$-\frac{33}{4}x+\frac{427}{2}$	=	$164$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{33}{4}x+\frac{427}{2}\right)$	=	$656$
$-33x+854$	=	$656$	| $-854$
$-33x$	=	$-198$	|:($-33$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{61}{2}-\frac{7}{4}\cdot 6$

= $\frac{61}{2}-\frac{21}{2}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (6|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

B(3|20): 20 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 +1b +c |-1
20 = 9 +3b +c |-9

---

3 = 1b +c
11 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(11-3b\right)$	=	$3$
$b+11-3b$	=	$3$
$-2b+11$	=	$3$	| $-11$
$-2b$	=	$-8$	|:($-2$)
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11-3\cdot 4$

= $11-12$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|12): 12 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
12 = 4 +2b +c |-4

---

2 = -1b +c
8 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(8-2b\right)$	=	$2$
$-b+8-2b$	=	$2$
$-3b+8$	=	$2$	| $-8$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8-2\cdot 2$

= $8-4$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+4$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+4$

= ${\left(x+1\right)}^2+3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+4$ = $1-2+4$ = 3

also: S(-1|3).