Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-4\right)-2y$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-4\right)-2y$	=	$10$
$16-2y$	=	$10$
$-2y+16$	=	$10$	| $-16$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|4)
denn 1⋅5 -2⋅4 = 5 -8 = $-3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|3)
denn 1⋅3 -2⋅3 = 3 -6 = $-3$

Oder : (7|5)
denn 1⋅7 -2⋅5 = 7 -10 = $-3$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3\right)+2y$	=	0
$12+2y$	=	0
$2y+12$	=	0	| $-12$
$2y$	=	$-12$	|:$2$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-6-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-6-4y\right)+4y$	=	0
$12+8y+4y$	=	0
$12y+12$	=	0	| $-12$
$12y$	=	$-12$	|:$12$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-6-4\cdot \left(-1\right)$

= $-6+4$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-2-4y\right)-5y$	=	$3$
$2+4y-5y$	=	$3$
$-y+2$	=	$3$	| $-2$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2-4\cdot \left(-1\right)$

= $-2+4$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{13}{3}+\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}·\left(\frac{13}{3}+\frac{1}{3}x\right)$	=	$\frac{9}{5}$
$-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}+\frac{1}{5}x$	=	$\frac{9}{5}$
$-\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}$	=	$\frac{9}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{2}{5}x+\frac{13}{5}\right)$	=	$9$
$-2x+13$	=	$9$	| $-13$
$-2x$	=	$-4$	|:($-2$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{13}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{13}{3}+\frac{2}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +4y = ?

4x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

2x +4y = -10 +20 = 10

4x +9y = -20 +45 = 25

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +4y = 10

4x +9y = 25

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-3-4x\right)$	=	$-6$
$4x+6+8x$	=	$-6$
$12x+6$	=	$-6$	| $-6$
$12x$	=	$-12$	|:$12$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-3-4\cdot \left(-1\right)$

= $-3+4$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{77}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+7·\left(\frac{77}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$179$
$4x+\frac{539}{3}-\frac{14}{3}x$	=	$179$
$-\frac{2}{3}x+\frac{539}{3}$	=	$179$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}x+\frac{539}{3}\right)$	=	$537$
$-2x+539$	=	$537$	| $-539$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{77}{3}-\frac{2}{3}\cdot 1$

= $\frac{77}{3}-\frac{2}{3}$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
-10 = 1 +1b +c |-1

---

9 = -1b +c
-11 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-11-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-11-b\right)$	=	$9$
$-b-11-b$	=	$9$
$-2b-11$	=	$9$	| $+11$
$-2b$	=	$20$	|:($-2$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-11-\left(-10\right)$

= $-11+10$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-1)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|19): 19 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
19 = 16 -4b +c |-16

---

-3 = -1b +c
3 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(3+4b\right)$	=	$-3$
$-b+3+4b$	=	$-3$
$3b+3$	=	$-3$	| $-3$
$3b$	=	$-6$	|:$3$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3+4\cdot \left(-2\right)$

= $3-8$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x-1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(1|-6).