Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+2$ = $-10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+2$	=	$-10$
$-3x+2$	=	$-10$	| $-2$
$-3x$	=	$-12$	|:($-3$)
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|3)
denn -1⋅( - 7 ) -5⋅3 = 7 -15 = $-8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-12|4)
denn -1⋅( - 12 ) -5⋅4 = 12 -20 = $-8$

Oder : (-2|2)
denn -1⋅( - 2 ) -5⋅2 = 2 -10 = $-8$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-5\right)+y$	=	$4$
$5+y$	=	$4$
$y+5$	=	$4$	| $-5$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-8-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(-8-3x\right)$	=	$-20$
$4x+8+3x$	=	$-20$
$7x+8$	=	$-20$	| $-8$
$7x$	=	$-28$	|:$7$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-8-3\cdot \left(-4\right)$

= $-8+12$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-2+x\right)$	=	$4$
$3x+4-2x$	=	$4$
$x+4$	=	$4$	| $-4$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2+0$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x-2·\left(-8-4x\right)$	=	$1$
$-\frac{1}{2}x+16+8x$	=	$1$
$\frac{15}{2}x+16$	=	$1$	|⋅ 2
$2\left(\frac{15}{2}x+16\right)$	=	$2$
$15x+32$	=	$2$	| $-32$
$15x$	=	$-30$	|:$15$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8-4\cdot \left(-2\right)$

= $-8+8$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +2y = ?

3x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

1x +2y = -1 +2 = 1

3x +8y = -3 +8 = 5

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +2y = 1

3x +8y = 5

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(7-x\right)$	=	$7$
$5x-14+2x$	=	$7$
$7x-14$	=	$7$	| $+14$
$7x$	=	$21$	|:$7$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-3$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-100+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-100+x\right)$	=	$200$
$3x+500-5x$	=	$200$
$-2x+500$	=	$200$	| $-500$
$-2x$	=	$-300$	|:($-2$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-100+150$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (150|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|5): 5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
5 = 4 +2b +c |-4

---

-5 = -1b +c
1 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(1-2b\right)$	=	$-5$
$-b+1-2b$	=	$-5$
$-3b+1$	=	$-5$	| $-1$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1-2\cdot 2$

= $1-4$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|21): 21 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
21 = 4 -2b +c |-4

---

-7 = 1b +c
17 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $17+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(17+2b\right)$	=	$-7$
$b+17+2b$	=	$-7$
$3b+17$	=	$-7$	| $-17$
$3b$	=	$-24$	|:$3$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $17+2\cdot \left(-8\right)$

= $17-16$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|1)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+1$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+1$

= ${\left(x-4\right)}^2-15$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-15).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4+1$ = $16-32+1$ = -15

also: S(4|-15).