Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x-3\cdot 6$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x-3\cdot 6$	=	$6$
$-4x-18$	=	$6$	| $+18$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|3)
denn 5⋅1 +2⋅3 = 5 +6 = $11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-2)
denn 5⋅3 +2⋅( - 2 ) = 15 -4 = $11$

Oder : (-1|8)
denn 5⋅( - 1 ) +2⋅8 = -5 +16 = $11$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+3·\left(-4\right)$	=	$-18$
$-x-12$	=	$-18$	| $+12$
$-x$	=	$-6$	|:($-1$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(7-2x\right)$	=	$-5$
$-2x-21+6x$	=	$-5$
$4x-21$	=	$-5$	| $+21$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-2\cdot 4$

= $7-8$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-14-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-14-3y\right)+4y$	=	$-23$
$42+9y+4y$	=	$-23$
$13y+42$	=	$-23$	| $-42$
$13y$	=	$-65$	|:$13$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-14-3\cdot \left(-5\right)$

= $-14+15$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}·\left(4+x\right)$	=	0
$-\frac{1}{4}x-1-\frac{1}{4}x$	=	0
$-\frac{1}{2}x-1$	=	0	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}x-1\right)$	=	0
$-x-2$	=	0	| $+2$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-2$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

-1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = -3 +10 = 7

-1x -3y = 1 -15 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 7

-1x -3y = -14

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$44$
$4x+\frac{152}{3}-\frac{16}{3}x$	=	$44$
$-\frac{4}{3}x+\frac{152}{3}$	=	$44$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{4}{3}x+\frac{152}{3}\right)$	=	$132$
$-4x+152$	=	$132$	| $-152$
$-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}\cdot 5$

= $-\frac{38}{3}+\frac{20}{3}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-65+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-65+\frac{4}{5}x\right)$	=	$830$
$7x+260-\frac{16}{5}x$	=	$830$
$\frac{19}{5}x+260$	=	$830$	|⋅ 5
$5\left(\frac{19}{5}x+260\right)$	=	$4150$
$19x+1300$	=	$4150$	| $-1300$
$19x$	=	$2850$	|:$19$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-65+\frac{4}{5}\cdot 150$

= $-65+120$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-23): -23 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-23 = 16 +4b +c |-16

---

-9 = 1b +c
-39 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-39-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-39-4b\right)$	=	$-9$
$b-39-4b$	=	$-9$
$-3b-39$	=	$-9$	| $+39$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-39-4\cdot \left(-10\right)$

= $-39+40$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|1)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|4): 4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-5): -5 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
4 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 +2b +c |-4

---

3 = -1b +c
-9 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-9-2b\right)$	=	$3$
$-b-9-2b$	=	$3$
$-3b-9$	=	$3$	| $+9$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9-2\cdot \left(-4\right)$

= $-9+8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-1$ = $4-8-1$ = -5

also: S(2|-5).