Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-5x-3\cdot 4$ = $-37$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-5x-3\cdot 4$	=	$-37$
$-5x-12$	=	$-37$	| $+12$
$-5x$	=	$-25$	|:($-5$)
$x$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (5|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|6)
denn 2⋅4 -5⋅6 = 8 -30 = $-22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|4)
denn 2⋅( - 1 ) -5⋅4 = -2 -20 = $-22$

Oder : (9|8)
denn 2⋅9 -5⋅8 = 18 -40 = $-22$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·4+3y$	=	0
$-12+3y$	=	0
$3y-12$	=	0	| $+12$
$3y$	=	$12$	|:$3$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $15+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(15+2x\right)$	=	$5$
$2x+45+6x$	=	$5$
$8x+45$	=	$5$	| $-45$
$8x$	=	$-40$	|:$8$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $15+2\cdot \left(-5\right)$

= $15-10$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$20$
$-2x+\frac{190}{3}-\frac{20}{3}x$	=	$20$
$-\frac{26}{3}x+\frac{190}{3}$	=	$20$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{26}{3}x+\frac{190}{3}\right)$	=	$60$
$-26x+190$	=	$60$	| $-190$
$-26x$	=	$-130$	|:($-26$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{38}{3}+\frac{4}{3}\cdot 5$

= $-\frac{38}{3}+\frac{20}{3}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-25-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(-25-5y\right)+y$	=	$21$
$125+25y+y$	=	$21$
$26y+125$	=	$21$	| $-125$
$26y$	=	$-104$	|:$26$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-25-5\cdot \left(-4\right)$

= $-25+20$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -3y = ?

-1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -3y = -8 +9 = 1

-1x -4y = -4 +12 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -3y = 1

-1x -4y = 8

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x-8·\left(\frac{1}{4}+x\right)$	=	$-2$
$8x-2-8x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(13-6y\right)-6y$	=	$-7$
$65-30y-6y$	=	$-7$
$-36y+65$	=	$-7$	| $-65$
$-36y$	=	$-72$	|:($-36$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-6\cdot 2$

= $13-12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 2

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|10): 10 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
10 = 4 -2b +c |-4

---

2 = -1b +c
6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(6+2b\right)$	=	$2$
$-b+6+2b$	=	$2$
$b+6$	=	$2$	| $-6$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6+2\cdot \left(-4\right)$

= $6-8$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-5): -5 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-10): -10 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 +1b +c |-1
-10 = 4 +2b +c |-4

---

-6 = 1b +c
-14 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-14-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-14-2b\right)$	=	$-6$
$b-14-2b$	=	$-6$
$-b-14$	=	$-6$	| $+14$
$-b$	=	$8$	|:($-1$)
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-14-2\cdot \left(-8\right)$

= $-14+16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16+2$

= ${\left(x-4\right)}^2-16+2$

= ${\left(x-4\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x·\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4+2$ = $16-32+2$ = -14

also: S(4|-14).