Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-1\right)+3y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-1\right)+3y$	=	$12$
$-3+3y$	=	$12$
$3y-3$	=	$12$	| $+3$
$3y$	=	$15$	|:$3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (-1|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|4)
denn 1⋅1 +5⋅4 = 1 +20 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|3)
denn 1⋅6 +5⋅3 = 6 +15 = $21$

Oder : (-4|5)
denn 1⋅( - 4 ) +5⋅5 = -4 +25 = $21$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·4$	=	$-4$
$-2x-12$	=	$-4$	| $+12$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-19+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-19+4x\right)$	=	$13$
$3x+38-8x$	=	$13$
$-5x+38$	=	$13$	| $-38$
$-5x$	=	$-25$	|:($-5$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-19+4\cdot 5$

= $-19+20$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(2+x\right)$	=	$-22$
$3x+10+5x$	=	$-22$
$8x+10$	=	$-22$	| $-10$
$8x$	=	$-32$	|:$8$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-4$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-\frac{1}{4}x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}·\left(-\frac{1}{4}x\right)$	=	0
$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x$	=	0
$-\frac{5}{12}x$	=	0	|⋅ 12
$-5x$	=	0	|:($-5$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{1}{4}\cdot \left(0\right)$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

1x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = -2 -8 = -10

1x -4y = 1 +16 = 17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = -10

1x -4y = 17

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·\left(\frac{1}{2}+x\right)$	=	$-2$
$4x-2-4x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $41-\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+7·\left(41-\frac{1}{4}x\right)$	=	$312$
$8x+287-\frac{7}{4}x$	=	$312$
$\frac{25}{4}x+287$	=	$312$	|⋅ 4
$4\left(\frac{25}{4}x+287\right)$	=	$1248$
$25x+1148$	=	$1248$	| $-1148$
$25x$	=	$100$	|:$25$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $41-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $41-1$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (4|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 4

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|15): 15 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
15 = 4 +2b +c |-4

---

-7 = -1b +c
11 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $11-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(11-2b\right)$	=	$-7$
$-b+11-2b$	=	$-7$
$-3b+11$	=	$-7$	| $-11$
$-3b$	=	$-18$	|:($-3$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $11-2\cdot 6$

= $11-12$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-1)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|11): 11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
11 = 4 -2b +c |-4

---

-5 = 1b +c
7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(7+2b\right)$	=	$-5$
$b+7+2b$	=	$-5$
$3b+7$	=	$-5$	| $-7$
$3b$	=	$-12$	|:$3$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7+2\cdot \left(-4\right)$

= $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-1$

= ${\left(x-2\right)}^2-5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-1$ = $4-8-1$ = -5

also: S(2|-5).