Man setzt einfach x = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot \left(-5\right)-y$ = $22$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot \left(-5\right)-y$	=	$22$
$20-y$	=	$22$
$-y+20$	=	$22$	| $-20$
$-y$	=	$2$	|:($-1$)
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-5|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|-2)
denn -2⋅0 +3⋅( - 2 ) = 0 -6 = $-6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|0)
denn -2⋅3 +3⋅0 = -6 +0 = $-6$

Oder : (-3|-4)
denn -2⋅( - 3 ) +3⋅( - 4 ) = 6 -12 = $-6$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+4·1$	=	$-12$
$4x+4$	=	$-12$	| $-4$
$4x$	=	$-16$	|:$4$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(9-3y\right)-3y$	=	$-21$
$9-3y-3y$	=	$-21$
$-6y+9$	=	$-21$	| $-9$
$-6y$	=	$-30$	|:($-6$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9-3\cdot 5$

= $9-15$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-15+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-1·\left(-15+3x\right)$	=	$-9$
$-x+15-3x$	=	$-9$
$-4x+15$	=	$-9$	| $-15$
$-4x$	=	$-24$	|:($-4$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-15+3\cdot 6$

= $-15+18$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{3}+\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}·\left(\frac{7}{3}+\frac{1}{3}x\right)$	=	$-1$
$-\frac{1}{5}x-\frac{7}{15}-\frac{1}{15}x$	=	$-1$
$-\frac{4}{15}x-\frac{7}{15}$	=	$-1$	|⋅ 15
$15\left(-\frac{4}{15}x-\frac{7}{15}\right)$	=	$-15$
$-4x-7$	=	$-15$	| $+7$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{7}{3}+\frac{2}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -1y = ?

1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-1x -1y = 2 +2 = 4

1x +4y = -2 -8 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -1y = 4

1x +4y = -10

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(1+4y\right)+8y$	=	$-2$
$-2-8y+8y$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{329}{8}-\frac{3}{8}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+7·\left(\frac{329}{8}-\frac{3}{8}x\right)$	=	$304$
$8x+\frac{2303}{8}-\frac{21}{8}x$	=	$304$
$\frac{43}{8}x+\frac{2303}{8}$	=	$304$	|⋅ 8
$8\left(\frac{43}{8}x+\frac{2303}{8}\right)$	=	$2432$
$43x+2303$	=	$2432$	| $-2303$
$43x$	=	$129$	|:$43$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{329}{8}-\frac{3}{8}\cdot 3$

= $\frac{329}{8}-\frac{9}{8}$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (3|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(4|58): 58 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
58 = 16 +4b +c |-16

---

12 = 1b +c
42 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $42-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(42-4b\right)$	=	$12$
$b+42-4b$	=	$12$
$-3b+42$	=	$12$	| $-42$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $42-4\cdot 10$

= $42-40$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|3): 3 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
3 = 16 -4b +c |-16

---

-1 = -1b +c
-13 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-13+4b\right)$	=	$-1$
$-b-13+4b$	=	$-1$
$3b-13$	=	$-1$	| $+13$
$3b$	=	$12$	|:$3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13+4\cdot 4$

= $-13+16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4+3$

= ${\left(x+2\right)}^2-4+3$

= ${\left(x+2\right)}^2-1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+3$ = $4-8+3$ = -1

also: S(-2|-1).