Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$5x+\left(-4\right)$ = $-34$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x+\left(-4\right)$	=	$-34$
$5x-4$	=	$-34$	| $+4$
$5x$	=	$-30$	|:$5$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-5)
denn 3⋅4 +3⋅( - 5 ) = 12 -15 = $-3$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (7|-8)
denn 3⋅7 +3⋅( - 8 ) = 21 -24 = $-3$

Oder : (1|-2)
denn 3⋅1 +3⋅( - 2 ) = 3 -6 = $-3$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-2$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+3·\left(-2\right)$	=	$-3$
$-x-6$	=	$-3$	| $+6$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4-2y\right)-y$	=	$8$
$-4-2y-y$	=	$8$
$-3y-4$	=	$8$	| $+4$
$-3y$	=	$12$	|:($-3$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4-2\cdot \left(-4\right)$

= $-4+8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-6+x\right)$	=	$-12$
$2x-12+2x$	=	$-12$
$4x-12$	=	$-12$	| $+12$
$4x$	=	0	|:$4$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+0$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(1-\frac{2}{3}x\right)$	=	$3$
$4x+5-\frac{10}{3}x$	=	$3$
$\frac{2}{3}x+5$	=	$3$	|⋅ 3
$3\left(\frac{2}{3}x+5\right)$	=	$9$
$2x+15$	=	$9$	| $-15$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{2}{3}\cdot \left(-3\right)$

= $1+2$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -5y = ?

-2x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x -5y = -16 -20 = -36

-2x -2y = -8 -8 = -16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -5y = -36

-2x -2y = -16

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $12-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+1·\left(12-4x\right)$	=	$10$
$3x+12-4x$	=	$10$
$-x+12$	=	$10$	| $-12$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $12-4\cdot 2$

= $12-8$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{145}{4}-\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+9·\left(\frac{145}{4}-\frac{1}{4}x\right)$	=	$360$
$9x+\frac{1305}{4}-\frac{9}{4}x$	=	$360$
$\frac{27}{4}x+\frac{1305}{4}$	=	$360$	|⋅ 4
$4\left(\frac{27}{4}x+\frac{1305}{4}\right)$	=	$1440$
$27x+1305$	=	$1440$	| $-1305$
$27x$	=	$135$	|:$27$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{145}{4}-\frac{1}{4}\cdot 5$

= $\frac{145}{4}-\frac{5}{4}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (5|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|9): 9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-4|54): 54 = ( - 4 )² + b⋅( - 4 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
9 = 1 -1b +c |-1
54 = 16 -4b +c |-16

---

8 = -1b +c
38 = -4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $38+4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(38+4b\right)$	=	$8$
$-b+38+4b$	=	$8$
$3b+38$	=	$8$	| $-38$
$3b$	=	$-30$	|:$3$
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $38+4\cdot \left(-10\right)$

= $38-40$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|-2)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x-2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(3|34): 34 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
34 = 9 +3b +c |-9

---

5 = 1b +c
25 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $25-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(25-3b\right)$	=	$5$
$b+25-3b$	=	$5$
$-2b+25$	=	$5$	| $-25$
$-2b$	=	$-20$	|:($-2$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $25-3\cdot 10$

= $25-30$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-5$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-5$

= ${\left(x+5\right)}^2-30$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-30).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x·\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-5$ = $25-50-5$ = -30

also: S(-5|-30).