Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$x+5\cdot \left(-4\right)$ = $-24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+5\cdot \left(-4\right)$	=	$-24$
$x-20$	=	$-24$	| $+20$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|3)
denn 5⋅6 +4⋅3 = 30 +12 = $42$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-2)
denn 5⋅10 +4⋅( - 2 ) = 50 -8 = $42$

Oder : (2|8)
denn 5⋅2 +4⋅8 = 10 +32 = $42$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $3$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·3-4y$	=	$-5$
$3-4y$	=	$-5$
$-4y+3$	=	$-5$	| $-3$
$-4y$	=	$-8$	|:($-4$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(13-3y\right)+2y$	=	$-8$
$52-12y+2y$	=	$-8$
$-10y+52$	=	$-8$	| $-52$
$-10y$	=	$-60$	|:($-10$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-3\cdot 6$

= $13-18$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(2-\frac{4}{3}x\right)$	=	$-30$
$4x-6+4x$	=	$-30$
$8x-6$	=	$-30$	| $+6$
$8x$	=	$-24$	|:$8$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-\frac{4}{3}\cdot \left(-3\right)$

= $2+4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-6+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-6+5y\right)+3y$	=	$26$
$-30+25y+3y$	=	$26$
$28y-30$	=	$26$	| $+30$
$28y$	=	$56$	|:$28$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-6+5\cdot 2$

= $-6+10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

6x -16y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 10 -15 = -5

6x -16y = 30 -48 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -5

6x -16y = -18

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-5·\left(3-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-15$
$2x-15+3x$	=	$-15$
$5x-15$	=	$-15$	| $+15$
$5x$	=	0	|:$5$
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-\frac{3}{5}\cdot 0$

= $3+0$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (0|3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-650+\frac{7}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-650+\frac{7}{3}x\right)$	=	$500$
$2x+1300-\frac{14}{3}x$	=	$500$
$-\frac{8}{3}x+1300$	=	$500$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}x+1300\right)$	=	$1500$
$-8x+3900$	=	$1500$	| $-3900$
$-8x$	=	$-2400$	|:($-8$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-650+\frac{7}{3}\cdot 300$

= $-650+700$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-2): -2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|25): 25 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-2 = 1 -1b +c |-1
25 = 4 +2b +c |-4

---

-3 = -1b +c
21 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $21-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(21-2b\right)$	=	$-3$
$-b+21-2b$	=	$-3$
$-3b+21$	=	$-3$	| $-21$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $21-2\cdot 8$

= $21-16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|5)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|14): 14 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

---

13 = 1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-11+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-11+2b\right)$	=	$13$
$b-11+2b$	=	$13$
$3b-11$	=	$13$	| $+11$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-11+2\cdot 8$

= $-11+16$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|5)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+5$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+5$

= ${\left(x+4\right)}^2-11$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-11).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x·\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+5$ = $16-32+5$ = -11

also: S(-4|-11).