Man setzt einfach x = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$\left(-2\right)+5y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$\left(-2\right)+5y$	=	$-12$
$-2+5y$	=	$-12$
$5y-2$	=	$-12$	| $+2$
$5y$	=	$-10$	|:$5$
$y$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|1)
denn -2⋅4 +2⋅1 = -8 +2 = $-6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|3)
denn -2⋅6 +2⋅3 = -12 +6 = $-6$

Oder : (2|-1)
denn -2⋅2 +2⋅( - 1 ) = -4 -2 = $-6$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-4\right)-3y$	=	$-3$
$12-3y$	=	$-3$
$-3y+12$	=	$-3$	| $-12$
$-3y$	=	$-15$	|:($-3$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(5+3x\right)$	=	$-6$
$2x+10+6x$	=	$-6$
$8x+10$	=	$-6$	| $-10$
$8x$	=	$-16$	|:$8$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5+3\cdot \left(-2\right)$

= $5-6$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $11-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+4·\left(11-x\right)$	=	$50$
$5x+44-4x$	=	$50$
$x+44$	=	$50$	| $-44$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $11-6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{21}{5}-\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}·\left(-\frac{21}{5}-\frac{1}{5}x\right)$	=	$-\frac{2}{3}$
$\frac{1}{4}x-\frac{7}{5}-\frac{1}{15}x$	=	$-\frac{2}{3}$
$\frac{11}{60}x-\frac{7}{5}$	=	$-\frac{2}{3}$	|⋅ 60
$60\left(\frac{11}{60}x-\frac{7}{5}\right)$	=	$-40$
$11x-84$	=	$-40$	| $+84$
$11x$	=	$44$	|:$11$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{21}{5}-\frac{1}{5}\cdot 4$

= $-\frac{21}{5}-\frac{4}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -1y = ?

-4x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -1y = -10 -1 = -11

-4x -4y = -8 -4 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -1y = -11

-4x -4y = -12

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(11+4y\right)-3y$	=	$9$
$11+4y-3y$	=	$9$
$y+11$	=	$9$	| $-11$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11+4\cdot \left(-2\right)$

= $11-8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-400+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-400+\frac{3}{2}x\right)$	=	$1300$
$5x+1600-6x$	=	$1300$
$-x+1600$	=	$1300$	| $-1600$
$-x$	=	$-300$	|:($-1$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-400+\frac{3}{2}\cdot 300$

= $-400+450$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|13): 13 = 1² + b⋅1 +c

B(2|26): 26 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
13 = 1 +1b +c |-1
26 = 4 +2b +c |-4

---

12 = 1b +c
22 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $22-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(22-2b\right)$	=	$12$
$b+22-2b$	=	$12$
$-b+22$	=	$12$	| $-22$
$-b$	=	$-10$	|:($-1$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $22-2\cdot 10$

= $22-20$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|2)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-6): -6 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 +1b +c |-1
2 = 1 -1b +c |-1

---

-7 = 1b +c
1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $1+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(1+b\right)$	=	$-7$
$b+1+b$	=	$-7$
$2b+1$	=	$-7$	| $-1$
$2b$	=	$-8$	|:$2$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $1-4$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-3$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-3$

= ${\left(x-2\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-3$ = $4-8-3$ = -7

also: S(2|-7).