Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-2\cdot \left(-1\right)$ = $8$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-2\cdot \left(-1\right)$	=	$8$
$3x+2$	=	$8$	| $-2$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Die Lösung ist somit: (2|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-3)
denn 2⋅( - 5 ) +3⋅( - 3 ) = -10 -9 = $-19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-5)
denn 2⋅( - 2 ) +3⋅( - 5 ) = -4 -15 = $-19$

Oder : (-8|-1)
denn 2⋅( - 8 ) +3⋅( - 1 ) = -16 -3 = $-19$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·2-4y$	=	$20$
$4-4y$	=	$20$
$-4y+4$	=	$20$	| $-4$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(17+3y\right)+2y$	=	$7$
$51+9y+2y$	=	$7$
$11y+51$	=	$7$	| $-51$
$11y$	=	$-44$	|:$11$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17+3\cdot \left(-4\right)$

= $17-12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-3+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-3+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-1$
$4x+15-\frac{20}{3}x$	=	$-1$
$-\frac{8}{3}x+15$	=	$-1$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}x+15\right)$	=	$-3$
$-8x+45$	=	$-3$	| $-45$
$-8x$	=	$-48$	|:($-8$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-3+\frac{4}{3}\cdot 6$

= $-3+8$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{21}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(-\frac{21}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-25$
$-5x-\frac{105}{4}+\frac{25}{4}x$	=	$-25$
$\frac{5}{4}x-\frac{105}{4}$	=	$-25$	|⋅ 4
$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{105}{4}\right)$	=	$-100$
$5x-105$	=	$-100$	| $+105$
$5x$	=	$5$	|:$5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{21}{4}+\frac{5}{4}\cdot 1$

= $-\frac{21}{4}+\frac{5}{4}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

-6x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = 15 +5 = 20

-6x -3y = 30 +15 = 45

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = 20

-6x -3y = 45

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{16}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(-\frac{5}{16}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-2$
$2x-\frac{5}{4}-2x$	=	$-2$
$-\frac{5}{4}$	=	$-2$	| $+\frac{5}{4}$
0	=	$-\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-60+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-5·\left(-60+\frac{2}{3}x\right)$	=	$850$
$7x+300-\frac{10}{3}x$	=	$850$
$\frac{11}{3}x+300$	=	$850$	|⋅ 3
$3\left(\frac{11}{3}x+300\right)$	=	$2550$
$11x+900$	=	$2550$	| $-900$
$11x$	=	$1650$	|:$11$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-60+\frac{2}{3}\cdot 150$

= $-60+100$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
-8 = 1 +1b +c |-1

---

-1 = -1b +c
-9 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-9-b\right)$	=	$-1$
$-b-9-b$	=	$-1$
$-2b-9$	=	$-1$	| $+9$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9-\left(-4\right)$

= $-9+4$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-3): -3 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
-3 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = 1b +c
-7 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7+2b\right)$	=	$-1$
$b-7+2b$	=	$-1$
$3b-7$	=	$-1$	| $+7$
$3b$	=	$6$	|:$3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7+2\cdot 2$

= $-7+4$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-3$

= ${\left(x+1\right)}^2-4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-3$ = $1-2-3$ = -4

also: S(-1|-4).