Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$4x-2\cdot \left(-1\right)$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x-2\cdot \left(-1\right)$	=	$18$
$4x+2$	=	$18$	| $-2$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-7)
denn 5⋅( - 1 ) -1⋅( - 7 ) = -5 +7 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-12)
denn 5⋅( - 2 ) -1⋅( - 12 ) = -10 +12 = $2$

Oder : (0|-2)
denn 5⋅0 -1⋅( - 2 ) = 0 +2 = $2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·4+4y$	=	$20$
$16+4y$	=	$20$
$4y+16$	=	$20$	| $-16$
$4y$	=	$4$	|:$4$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(-6+3x\right)$	=	$18$
$3x-18+9x$	=	$18$
$12x-18$	=	$18$	| $+18$
$12x$	=	$36$	|:$12$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6+3\cdot 3$

= $-6+9$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(\frac{1}{4}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$34$
$-2x-1-5x$	=	$34$
$-7x-1$	=	$34$	| $+1$
$-7x$	=	$35$	|:($-7$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{1}{4}-\frac{25}{4}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-5+5x\right)$	=	$-26$
$-3x+20-20x$	=	$-26$
$-23x+20$	=	$-26$	| $-20$
$-23x$	=	$-46$	|:($-23$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+5\cdot 2$

= $-5+10$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-5x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = 16 -3 = 13

-5x -3y = 20 -9 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = 13

-5x -3y = 11

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{21}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(\frac{21}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-18$
$2x-\frac{84}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$-18$
$-\frac{2}{5}x-\frac{84}{5}$	=	$-18$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{2}{5}x-\frac{84}{5}\right)$	=	$-90$
$-2x-84$	=	$-90$	| $+84$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{21}{5}+\frac{3}{5}\cdot 3$

= $\frac{21}{5}+\frac{9}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $20-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(20-3y\right)-2y$	=	$15$
$100-15y-2y$	=	$15$
$-17y+100$	=	$15$	| $-100$
$-17y$	=	$-85$	|:($-17$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $20-3\cdot 5$

= $20-15$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(2|19): 19 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
19 = 4 +2b +c |-4

---

7 = 1b +c
15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $15-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(15-2b\right)$	=	$7$
$b+15-2b$	=	$7$
$-b+15$	=	$7$	| $-15$
$-b$	=	$-8$	|:($-1$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $15-2\cdot 8$

= $15-16$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-1)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|1): 1 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
1 = 1 -1b +c |-1

---

4 = 1b +c
0 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·b$	=	$4$
$b+b$	=	$4$
$2b$	=	$4$	|:$2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1+2$

= ${\left(x+1\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+2$ = $1-2+2$ = 1

also: S(-1|1).