Man setzt einfach y = 1 in die Gleichung ein und erhält:

$-2x+3\cdot 1$ = $17$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-2x+3\cdot 1$	=	$17$
$-2x+3$	=	$17$	| $-3$
$-2x$	=	$14$	|:($-2$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|2)
denn -2⋅( - 6 ) -5⋅2 = 12 -10 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-11|4)
denn -2⋅( - 11 ) -5⋅4 = 22 -20 = $2$

Oder : (-1|0)
denn -2⋅( - 1 ) -5⋅0 = 2 +0 = $2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-6$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-6$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-6\right)$	=	$-24$
$-2x-12$	=	$-24$	| $+12$
$-2x$	=	$-12$	|:($-2$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+4·\left(4-2x\right)$	=	$-5$
$x+16-8x$	=	$-5$
$-7x+16$	=	$-5$	| $-16$
$-7x$	=	$-21$	|:($-7$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4-2\cdot 3$

= $4-6$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-10-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-10-\frac{5}{2}x\right)$	=	$-8$
$2x-20-5x$	=	$-8$
$-3x-20$	=	$-8$	| $+20$
$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-10-\frac{5}{2}\cdot \left(-4\right)$

= $-10+10$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|0)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{5}x-\frac{1}{3}·\left(-1+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-\frac{28}{15}$
$-\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}x$	=	$-\frac{28}{15}$
$-\frac{11}{30}x+\frac{1}{3}$	=	$-\frac{28}{15}$	|⋅ 30
$30\left(-\frac{11}{30}x+\frac{1}{3}\right)$	=	$-56$
$-11x+10$	=	$-56$	| $-10$
$-11x$	=	$-66$	|:($-11$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1+\frac{1}{2}\cdot 6$

= $-1+3$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +5y = ?

-3x +9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +5y = 6 -5 = 1

-3x +9y = 9 -9 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +5y = 1

-3x +9y = 0

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(-7-2x\right)$	=	$8$
$2x+28+8x$	=	$8$
$10x+28$	=	$8$	| $-28$
$10x$	=	$-20$	|:$10$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7-2\cdot \left(-2\right)$

= $-7+4$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(7-2y\right)-4y$	=	$-10$
$14-4y-4y$	=	$-10$
$-8y+14$	=	$-10$	| $-14$
$-8y$	=	$-24$	|:($-8$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-2\cdot 3$

= $7-6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 3

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(4|23): 23 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
23 = 16 +4b +c |-16

---

1 = 1b +c
7 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(7-4b\right)$	=	$1$
$b+7-4b$	=	$1$
$-3b+7$	=	$1$	| $-7$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7-4\cdot 2$

= $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-19): -19 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
-19 = 4 -2b +c |-4

---

7 = 1b +c
-23 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-23+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-23+2b\right)$	=	$7$
$b-23+2b$	=	$7$
$3b-23$	=	$7$	| $+23$
$3b$	=	$30$	|:$3$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-23+2\cdot 10$

= $-23+20$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-3)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-3$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-3$

= ${\left(x+5\right)}^2-28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-3$ = $25-50-3$ = -28

also: S(-5|-28).