Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$x+5\cdot \left(-6\right)$ = $-23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+5\cdot \left(-6\right)$	=	$-23$
$x-30$	=	$-23$	| $+30$
$x$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (7|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-2)
denn 5⋅6 +2⋅( - 2 ) = 30 -4 = $26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-7)
denn 5⋅8 +2⋅( - 7 ) = 40 -14 = $26$

Oder : (4|3)
denn 5⋅4 +2⋅3 = 20 +6 = $26$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-1·3$	=	0
$-x-3$	=	0	| $+3$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $6-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(6-3y\right)+y$	=	$10$
$-6+3y+y$	=	$10$
$4y-6$	=	$10$	| $+6$
$4y$	=	$16$	|:$4$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $6-3\cdot 4$

= $6-12$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-16+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-3·\left(-16+5x\right)$	=	$8$
$-5x+48-15x$	=	$8$
$-20x+48$	=	$8$	| $-48$
$-20x$	=	$-40$	|:($-20$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-16+5\cdot 2$

= $-16+10$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(9+x\right)$	=	$24$
$-2x+27+3x$	=	$24$
$x+27$	=	$24$	| $-27$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-3$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x -2y = ?

7x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

4x -2y = 4 +4 = 8

7x -1y = 7 +2 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x -2y = 8

7x -1y = 9

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{5}{2}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-3·\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$15$
$-3x-\frac{15}{2}-\frac{3}{2}x$	=	$15$
$-\frac{9}{2}x-\frac{15}{2}$	=	$15$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{9}{2}x-\frac{15}{2}\right)$	=	$30$
$-9x-15$	=	$30$	| $+15$
$-9x$	=	$45$	|:($-9$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|0)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-115+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-115+x\right)$	=	$310$
$3x+460-4x$	=	$310$
$-x+460$	=	$310$	| $-460$
$-x$	=	$-150$	|:($-1$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-115+150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|8): 8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 +1b +c |-1
0 = 1 -1b +c |-1

---

7 = 1b +c
-1 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-1+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-1+b\right)$	=	$7$
$b-1+b$	=	$7$
$2b-1$	=	$7$	| $+1$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-1+4$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-2): -2 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-2 = 1 +1b +c |-1

---

-7 = -1b +c
-3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3-b\right)$	=	$-7$
$-b-3-b$	=	$-7$
$-2b-3$	=	$-7$	| $+3$
$-2b$	=	$-4$	|:($-2$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3-2$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(-1|-6).