Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot \left(-4\right)-3y$ = $-9$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot \left(-4\right)-3y$	=	$-9$
$-12-3y$	=	$-9$
$-3y-12$	=	$-9$	| $+12$
$-3y$	=	$3$	|:($-3$)
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-4|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|6)
denn -4⋅1 -4⋅6 = -4 -24 = $-28$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-3|10)
denn -4⋅( - 3 ) -4⋅10 = 12 -40 = $-28$

Oder : (5|2)
denn -4⋅5 -4⋅2 = -20 -8 = $-28$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·5-2y$	=	$18$
$20-2y$	=	$18$
$-2y+20$	=	$18$	| $-20$
$-2y$	=	$-2$	|:($-2$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $5+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(5+4y\right)-3y$	=	$4$
$5+4y-3y$	=	$4$
$y+5$	=	$4$	| $-5$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $5+4\cdot \left(-1\right)$

= $5-4$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{23}{2}+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-2·\left(-\frac{23}{2}+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-22$
$-5x+23-\frac{5}{2}x$	=	$-22$
$-\frac{15}{2}x+23$	=	$-22$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{15}{2}x+23\right)$	=	$-44$
$-15x+46$	=	$-44$	| $-46$
$-15x$	=	$-90$	|:($-15$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{23}{2}+\frac{5}{4}\cdot 6$

= $-\frac{23}{2}+\frac{15}{2}$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{4}-\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x-\frac{3}{5}·\left(\frac{7}{4}-\frac{1}{4}x\right)$	=	$\frac{39}{10}$
$\frac{3}{2}x-\frac{21}{20}+\frac{3}{20}x$	=	$\frac{39}{10}$
$\frac{33}{20}x-\frac{21}{20}$	=	$\frac{39}{10}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{33}{20}x-\frac{21}{20}\right)$	=	$78$
$33x-21$	=	$78$	| $+21$
$33x$	=	$99$	|:$33$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{4}-\frac{1}{4}\cdot 3$

= $\frac{7}{4}-\frac{3}{4}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +4y = ?

2x +10y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x +4y = -4 -4 = -8

2x +10y = -8 -10 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +4y = -8

2x +10y = -18

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $5-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(5-2y\right)+4y$	=	$7$
$15-6y+4y$	=	$7$
$-2y+15$	=	$7$	| $-15$
$-2y$	=	$-8$	|:($-2$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $5-2\cdot 4$

= $5-8$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $34-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(34-6y\right)-6y$	=	$-10$
$170-30y-6y$	=	$-10$
$-36y+170$	=	$-10$	| $-170$
$-36y$	=	$-180$	|:($-36$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $34-6\cdot 5$

= $34-30$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 4

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|5): 5 = 1² + b⋅1 +c

B(4|44): 44 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
5 = 1 +1b +c |-1
44 = 16 +4b +c |-16

---

4 = 1b +c
28 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $28-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(28-4b\right)$	=	$4$
$b+28-4b$	=	$4$
$-3b+28$	=	$4$	| $-28$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $28-4\cdot 8$

= $28-32$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-4)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|14): 14 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
14 = 9 -3b +c |-9

---

1 = -1b +c
5 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(5+3b\right)$	=	$1$
$-b+5+3b$	=	$1$
$2b+5$	=	$1$	| $-5$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5+3\cdot \left(-2\right)$

= $5-6$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1-1$

= ${\left(x-1\right)}^2-2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1-1$ = $1-2-1$ = -2

also: S(1|-2).