Man setzt einfach x = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot \left(-7\right)+4y$ = $-10$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot \left(-7\right)+4y$	=	$-10$
$14+4y$	=	$-10$
$4y+14$	=	$-10$	| $-14$
$4y$	=	$-24$	|:$4$
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-7|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|6)
denn -2⋅4 -2⋅6 = -8 -12 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|8)
denn -2⋅2 -2⋅8 = -4 -16 = $-20$

Oder : (6|4)
denn -2⋅6 -2⋅4 = -12 -8 = $-20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·4-y$	=	$14$
$12-y$	=	$14$
$-y+12$	=	$14$	| $-12$
$-y$	=	$2$	|:($-1$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(13-3y\right)+4y$	=	$24$
$-26+6y+4y$	=	$24$
$10y-26$	=	$24$	| $+26$
$10y$	=	$50$	|:$10$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-3\cdot 5$

= $13-15$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(-2-x\right)$	=	$-18$
$-3x-2-x$	=	$-18$
$-4x-2$	=	$-18$	| $+2$
$-4x$	=	$-16$	|:($-4$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-2-4$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{36}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}·\left(\frac{36}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{1}{5}x+\frac{12}{5}+\frac{2}{15}x$	=	$\frac{7}{5}$
$\frac{1}{3}x+\frac{12}{5}$	=	$\frac{7}{5}$	|⋅ 15
$15\left(\frac{1}{3}x+\frac{12}{5}\right)$	=	$21$
$5x+36$	=	$21$	| $-36$
$5x$	=	$-15$	|:$5$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{36}{5}+\frac{2}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $\frac{36}{5}-\frac{6}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +3y = ?

-3x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x +3y = -15 -3 = -18

-3x +3y = -9 -3 = -12

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +3y = -18

-3x +3y = -12

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-8+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(-8+3x\right)$	=	$9$
$4x+8-3x$	=	$9$
$x+8$	=	$9$	| $-8$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-8+3\cdot 1$

= $-8+3$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(11-6y\right)-6y$	=	$14$
$44-24y-6y$	=	$14$
$-30y+44$	=	$14$	| $-44$
$-30y$	=	$-30$	|:($-30$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-6\cdot 1$

= $11-6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
-4 = 1 +1b +c |-1

---

7 = -1b +c
-5 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-5-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-5-b\right)$	=	$7$
$-b-5-b$	=	$7$
$-2b-5$	=	$7$	| $+5$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-5-\left(-6\right)$

= $-5+6$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|6): 6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
6 = 1 -1b +c |-1

---

1 = 1b +c
5 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $5+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(5+b\right)$	=	$1$
$b+5+b$	=	$1$
$2b+5$	=	$1$	| $-5$
$2b$	=	$-4$	|:$2$
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $5-2$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+3$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+3$

= ${\left(x-1\right)}^2+2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+3$ = $1-2+3$ = 2

also: S(1|2).