Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-4\cdot 4-2y$ = $-30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-4\cdot 4-2y$	=	$-30$
$-16-2y$	=	$-30$
$-2y-16$	=	$-30$	| $+16$
$-2y$	=	$-14$	|:($-2$)
$y$	=	$7$

Die Lösung ist somit: (4|7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|-1)
denn -5⋅3 +2⋅( - 1 ) = -15 -2 = $-17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (5|4)
denn -5⋅5 +2⋅4 = -25 +8 = $-17$

Oder : (1|-6)
denn -5⋅1 +2⋅( - 6 ) = -5 -12 = $-17$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·3$	=	$30$
$-4x+6$	=	$30$	| $-6$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-5-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-5-4y\right)-4y$	=	$2$
$10+8y-4y$	=	$2$
$4y+10$	=	$2$	| $-10$
$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-5-4\cdot \left(-2\right)$

= $-5+8$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-12+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-5·\left(-12+3x\right)$	=	$-4$
$-x+60-15x$	=	$-4$
$-16x+60$	=	$-4$	| $-60$
$-16x$	=	$-64$	|:($-16$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-12+3\cdot 4$

= $-12+12$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (4|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(5+x\right)$	=	$-14$
$4x-15-3x$	=	$-14$
$x-15$	=	$-14$	| $+15$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5+1$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -4y = ?

-1x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

2x -4y = -8 -4 = -12

-1x +5y = 4 +5 = 9

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -4y = -12

-1x +5y = 9

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-6·\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$-4$
$4x-2-4x$	=	$-4$
$-2$	=	$-4$	| $+2$
0	=	$-2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(7-6y\right)-2y$	=	$3$
$35-30y-2y$	=	$3$
$-32y+35$	=	$3$	| $-35$
$-32y$	=	$-32$	|:($-32$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-6\cdot 1$

= $7-6$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-9): -9 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-13): -13 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-9 = 1 -1b +c |-1
-13 = 9 -3b +c |-9

---

-10 = -1b +c
-22 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-22+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-22+3b\right)$	=	$-10$
$-b-22+3b$	=	$-10$
$2b-22$	=	$-10$	| $+22$
$2b$	=	$12$	|:$2$
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-22+3\cdot 6$

= $-22+18$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(3|22): 22 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
22 = 9 +3b +c |-9

---

1 = 1b +c
13 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $13-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(13-3b\right)$	=	$1$
$b+13-3b$	=	$1$
$-2b+13$	=	$1$	| $-13$
$-2b$	=	$-12$	|:($-2$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $13-3\cdot 6$

= $13-18$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9-5$

= ${\left(x+3\right)}^2-9-5$

= ${\left(x+3\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x·\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)-5$ = $9-18-5$ = -14

also: S(-3|-14).