Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x-2\cdot \left(-6\right)$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x-2\cdot \left(-6\right)$	=	$-12$
$-4x+12$	=	$-12$	| $-12$
$-4x$	=	$-24$	|:($-4$)
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|3)
denn -4⋅( - 2 ) +5⋅3 = 8 +15 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|7)
denn -4⋅3 +5⋅7 = -12 +35 = $23$

Oder : (-7|-1)
denn -4⋅( - 7 ) +5⋅( - 1 ) = 28 -5 = $23$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-5\right)-4y$	=	$39$
$15-4y$	=	$39$
$-4y+15$	=	$39$	| $-15$
$-4y$	=	$24$	|:($-4$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $22-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(22-4y\right)+y$	=	$16$
$44-8y+y$	=	$16$
$-7y+44$	=	$16$	| $-44$
$-7y$	=	$-28$	|:($-7$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $22-4\cdot 4$

= $22-16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-26+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-26+5y\right)-3y$	=	$-20$
$-130+25y-3y$	=	$-20$
$22y-130$	=	$-20$	| $+130$
$22y$	=	$110$	|:$22$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-26+5\cdot 5$

= $-26+25$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-10-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-10-5y\right)-2y$	=	$7$
$10+5y-2y$	=	$7$
$3y+10$	=	$7$	| $-10$
$3y$	=	$-3$	|:$3$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-10-5\cdot \left(-1\right)$

= $-10+5$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -5y = ?

7x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

3x -5y = 9 -25 = -16

7x -13y = 21 -65 = -44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -5y = -16

7x -13y = -44

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $15-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(15-\frac{5}{3}x\right)$	=	$49$
$4x+75-\frac{25}{3}x$	=	$49$
$-\frac{13}{3}x+75$	=	$49$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{13}{3}x+75\right)$	=	$147$
$-13x+225$	=	$147$	| $-225$
$-13x$	=	$-78$	|:($-13$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $15-\frac{5}{3}\cdot 6$

= $15-10$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{92}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+6·\left(\frac{92}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$190$
$5x+184-2x$	=	$190$
$3x+184$	=	$190$	| $-184$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{92}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{92}{3}-\frac{2}{3}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-2): -2 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
-2 = 4 -2b +c |-4

---

-4 = -1b +c
-6 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-6+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-6+2b\right)$	=	$-4$
$-b-6+2b$	=	$-4$
$b-6$	=	$-4$	| $+6$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-6+2\cdot 2$

= $-6+4$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|16): 16 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-11): -11 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
16 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 +2b +c |-4

---

15 = -1b +c
-15 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-15-2b\right)$	=	$15$
$-b-15-2b$	=	$15$
$-3b-15$	=	$15$	| $+15$
$-3b$	=	$30$	|:($-3$)
$b$	=	$-10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15-2\cdot \left(-10\right)$

= $-15+20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|5)

Jetzt können wir b=$-10$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-10x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-10x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-10x+25-25+5$

= ${\left(x-5\right)}^2-25+5$

= ${\left(x-5\right)}^2-20$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-20).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-10x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-10x$	=	0
$x·\left(x-10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|y).

y = $5^2-10\cdot 5+5$ = $25-50+5$ = -20

also: S(5|-20).