Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$x+2$ = $2$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+2$	=	$2$
$x+2$	=	$2$	| $-2$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-6)
denn -3⋅5 -5⋅( - 6 ) = -15 +30 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|-3)
denn -3⋅0 -5⋅( - 3 ) = 0 +15 = $15$

Oder : (10|-9)
denn -3⋅10 -5⋅( - 9 ) = -30 +45 = $15$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-4\right)-2y$	=	$-4$
$8-2y$	=	$-4$
$-2y+8$	=	$-4$	| $-8$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(4-2y\right)-3y$	=	$-5$
$-8+4y-3y$	=	$-5$
$y-8$	=	$-5$	| $+8$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4-2\cdot 3$

= $4-6$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{13}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+4·\left(-\frac{13}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$6$
$-5x-\frac{52}{3}-\frac{20}{3}x$	=	$6$
$-\frac{35}{3}x-\frac{52}{3}$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{35}{3}x-\frac{52}{3}\right)$	=	$18$
$-35x-52$	=	$18$	| $+52$
$-35x$	=	$70$	|:($-35$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{13}{3}-\frac{5}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{13}{3}+\frac{10}{3}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(-4-x\right)$	=	$-20$
$3x-20-5x$	=	$-20$
$-2x-20$	=	$-20$	| $+20$
$-2x$	=	0	|:($-2$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-4-\left(0\right)$

= $-4+0$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +3y = ?

5x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x +3y = -9 -12 = -21

5x +7y = -15 -28 = -43

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +3y = -21

5x +7y = -43

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-2$
$2x-2-2x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $32-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6·\left(32-6y\right)-7y$	=	$-23$
$192-36y-7y$	=	$-23$
$-43y+192$	=	$-23$	| $-192$
$-43y$	=	$-215$	|:($-43$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $32-6\cdot 5$

= $32-30$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 5

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-6): -6 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-6 = 9 -3b +c |-9

---

-7 = -1b +c
-15 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-15+3b\right)$	=	$-7$
$-b-15+3b$	=	$-7$
$2b-15$	=	$-7$	| $+15$
$2b$	=	$8$	|:$2$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15+3\cdot 4$

= $-15+12$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-4): -4 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-4 = 16 +4b +c |-16

---

-8 = 1b +c
-20 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-20-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-20-4b\right)$	=	$-8$
$b-20-4b$	=	$-8$
$-3b-20$	=	$-8$	| $+20$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-20-4\cdot \left(-4\right)$

= $-20+16$

= $-4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-4$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-4$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-4$

= ${\left(x-2\right)}^2-8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-4$ = $4-8-4$ = -8

also: S(2|-8).