Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+2\cdot \left(-6\right)$ = $-20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+2\cdot \left(-6\right)$	=	$-20$
$4x-12$	=	$-20$	| $+12$
$4x$	=	$-8$	|:$4$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|4)
denn 3⋅4 -1⋅4 = 12 -4 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|1)
denn 3⋅3 -1⋅1 = 9 -1 = $8$

Oder : (5|7)
denn 3⋅5 -1⋅7 = 15 -7 = $8$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·4-2y$	=	$-18$
$-12-2y$	=	$-18$
$-2y-12$	=	$-18$	| $+12$
$-2y$	=	$-6$	|:($-2$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(10-4x\right)$	=	$-9$
$3x-20+8x$	=	$-9$
$11x-20$	=	$-9$	| $+20$
$11x$	=	$11$	|:$11$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10-4\cdot 1$

= $10-4$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (1|6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{10}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(-\frac{10}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$-2$
$-2x-\frac{20}{3}-\frac{8}{3}x$	=	$-2$
$-\frac{14}{3}x-\frac{20}{3}$	=	$-2$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{14}{3}x-\frac{20}{3}\right)$	=	$-6$
$-14x-20$	=	$-6$	| $+20$
$-14x$	=	$14$	|:($-14$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{10}{3}-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+\frac{1}{2}·\left(4-x\right)$	=	$\frac{9}{2}$
$-2x+2-\frac{1}{2}x$	=	$\frac{9}{2}$
$-\frac{5}{2}x+2$	=	$\frac{9}{2}$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{5}{2}x+2\right)$	=	$9$
$-5x+4$	=	$9$	| $-4$
$-5x$	=	$5$	|:($-5$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-\left(-1\right)$

= $4+1$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

1x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = -12 -3 = -15

1x +1y = 4 +3 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = -15

1x +1y = 7

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+12·\left(-\frac{1}{4}+x\right)$	=	$-3$
$-12x-3+12x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-330+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(-330+\frac{5}{4}x\right)$	=	$975$
$4x+1650-\frac{25}{4}x$	=	$975$
$-\frac{9}{4}x+1650$	=	$975$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{9}{4}x+1650\right)$	=	$3900$
$-9x+6600$	=	$3900$	| $-6600$
$-9x$	=	$-2700$	|:($-9$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-330+\frac{5}{4}\cdot 300$

= $-330+375$

= $45$

also

y = 45

Die Lösung des LGS ist damit: (300|45)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 45

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|15): 15 = 1² + b⋅1 +c

B(2|28): 28 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
15 = 1 +1b +c |-1
28 = 4 +2b +c |-4

---

14 = 1b +c
24 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $24-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(24-2b\right)$	=	$14$
$b+24-2b$	=	$14$
$-b+24$	=	$14$	| $-24$
$-b$	=	$-10$	|:($-1$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $24-2\cdot 10$

= $24-20$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (10|4)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|10): 10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
10 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

---

9 = -1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3-2b\right)$	=	$9$
$-b-3-2b$	=	$9$
$-3b-3$	=	$9$	| $+3$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3-2\cdot \left(-4\right)$

= $-3+8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+5$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+5$

= ${\left(x-2\right)}^2+1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+5$ = $4-8+5$ = 1

also: S(2|1).