Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 5+2y$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 5+2y$	=	$32$
$20+2y$	=	$32$
$2y+20$	=	$32$	| $-20$
$2y$	=	$12$	|:$2$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (5|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-5)
denn -5⋅4 -4⋅( - 5 ) = -20 +20 = 0

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|0)
denn -5⋅0 -4⋅0 = 0 +0 = 0

Oder : (8|-10)
denn -5⋅8 -4⋅( - 10 ) = -40 +40 = 0

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-1\right)-y$	=	0
$3-y$	=	0
$-y+3$	=	0	| $-3$
$-y$	=	$-3$	|:($-1$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-1+2x\right)$	=	$4$
$x-3+6x$	=	$4$
$7x-3$	=	$4$	| $+3$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1+2\cdot 1$

= $-1+2$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $4-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+5·\left(4-x\right)$	=	$10$
$-5x+20-5x$	=	$10$
$-10x+20$	=	$10$	| $-20$
$-10x$	=	$-10$	|:($-10$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $4-1$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-\frac{1}{2}y$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-\frac{1}{2}y\right)+2y$	=	$18$
$y+2y$	=	$18$
$3y$	=	$18$	|:$3$
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{1}{2}\cdot 6$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +3y = ?

8x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

5x +3y = 10 +6 = 16

8x +4y = 16 +8 = 24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +3y = 16

8x +4y = 24

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-3$
$3x-3-3x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $27-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+3·\left(27-2x\right)$	=	$80$
$5x+81-6x$	=	$80$
$-x+81$	=	$80$	| $-81$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $27-2\cdot 1$

= $27-2$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (1|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|6): 6 = 1² + b⋅1 +c

B(4|51): 51 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
6 = 1 +1b +c |-1
51 = 16 +4b +c |-16

---

5 = 1b +c
35 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $35-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(35-4b\right)$	=	$5$
$b+35-4b$	=	$5$
$-3b+35$	=	$5$	| $-35$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $35-4\cdot 10$

= $35-40$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-5)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|12): 12 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-9): -9 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
12 = 1 +1b +c |-1
-9 = 4 -2b +c |-4

---

11 = 1b +c
-13 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13+2b\right)$	=	$11$
$b-13+2b$	=	$11$
$3b-13$	=	$11$	| $+13$
$3b$	=	$24$	|:$3$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13+2\cdot 8$

= $-13+16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (8|3)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16+3$

= ${\left(x+4\right)}^2-16+3$

= ${\left(x+4\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+3$ = $16-32+3$ = -13

also: S(-4|-13).