Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+\left(-5\right)$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+\left(-5\right)$	=	$-5$
$-3x-5$	=	$-5$	| $+5$
$-3x$	=	0	|:($-3$)
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-3)
denn -4⋅( - 3 ) -3⋅( - 3 ) = 12 +9 = $21$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|1)
denn -4⋅( - 6 ) -3⋅1 = 24 -3 = $21$

Oder : (0|-7)
denn -4⋅0 -3⋅( - 7 ) = 0 +21 = $21$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-4·3$	=	$12$
$4x-12$	=	$12$	| $+12$
$4x$	=	$24$	|:$4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-6-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-6-4x\right)$	=	$-10$
$3x+12+8x$	=	$-10$
$11x+12$	=	$-10$	| $-12$
$11x$	=	$-22$	|:$11$
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-6-4\cdot \left(-2\right)$

= $-6+8$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(13-2x\right)$	=	$19$
$5x-26+4x$	=	$19$
$9x-26$	=	$19$	| $+26$
$9x$	=	$45$	|:$9$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13-2\cdot 5$

= $13-10$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+5·x$	=	$3$
$-4x+5x$	=	$3$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = 5 -16 = -11

2x -5y = 2 -20 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = -11

2x -5y = -18

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{5}+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-3·\left(-\frac{17}{5}+\frac{2}{5}x\right)$	=	$11$
$2x+\frac{51}{5}-\frac{6}{5}x$	=	$11$
$\frac{4}{5}x+\frac{51}{5}$	=	$11$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x+\frac{51}{5}\right)$	=	$55$
$4x+51$	=	$55$	| $-51$
$4x$	=	$4$	|:$4$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{5}+\frac{2}{5}\cdot 1$

= $-\frac{17}{5}+\frac{2}{5}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{63}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+8·\left(\frac{63}{2}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$256$
$8x+252-6x$	=	$256$
$2x+252$	=	$256$	| $-252$
$2x$	=	$4$	|:$2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{63}{2}-\frac{3}{4}\cdot 2$

= $\frac{63}{2}-\frac{3}{2}$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (2|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-10): -10 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|23): 23 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-10 = 1 -1b +c |-1
23 = 4 +2b +c |-4

---

-11 = -1b +c
19 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(19-2b\right)$	=	$-11$
$-b+19-2b$	=	$-11$
$-3b+19$	=	$-11$	| $-19$
$-3b$	=	$-30$	|:($-3$)
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19-2\cdot 10$

= $19-20$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-1)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-3): -3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|9): 9 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 -1b +c |-1
9 = 1 +1b +c |-1

---

-4 = -1b +c
8 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $8-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(8-b\right)$	=	$-4$
$-b+8-b$	=	$-4$
$-2b+8$	=	$-4$	| $-8$
$-2b$	=	$-12$	|:($-2$)
$b$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $8-6$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Jetzt können wir b=$6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+6x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+6x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+6x+9-9+2$

= ${\left(x+3\right)}^2-9+2$

= ${\left(x+3\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+6x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+6x$	=	0
$x\left(x+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+2$ = $9-18+2$ = -7

also: S(-3|-7).