Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$2+y$ = $3$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2+y$	=	$3$
$2+y$	=	$3$
$y+2$	=	$3$	| $-2$
$y$	=	$1$

Die Lösung ist somit: (2|1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-3)
denn -4⋅( - 7 ) +2⋅( - 3 ) = 28 -6 = $22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|1)
denn -4⋅( - 5 ) +2⋅1 = 20 +2 = $22$

Oder : (-9|-7)
denn -4⋅( - 9 ) +2⋅( - 7 ) = 36 -14 = $22$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-4·\left(-4\right)$	=	$8$
$-4x+16$	=	$8$	| $-16$
$-4x$	=	$-8$	|:($-4$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2\right)+y$	=	$3$
$6+y$	=	$3$
$y+6$	=	$3$	| $-6$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{35}{2}-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(\frac{35}{2}-\frac{5}{2}x\right)$	=	$5$
$-2x+\frac{105}{2}-\frac{15}{2}x$	=	$5$
$-\frac{19}{2}x+\frac{105}{2}$	=	$5$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{19}{2}x+\frac{105}{2}\right)$	=	$10$
$-19x+105$	=	$10$	| $-105$
$-19x$	=	$-95$	|:($-19$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{35}{2}-\frac{5}{2}\cdot 5$

= $\frac{35}{2}-\frac{25}{2}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+2·\left(2+x\right)$	=	$4$
$-3x+4+2x$	=	$4$
$-x+4$	=	$4$	| $-4$
$-x$	=	0	|:($-1$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2+0$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -2y = ?

6x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

2x -2y = -10 +4 = -6

6x -8y = -30 +16 = -14

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -2y = -6

6x -8y = -14

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-10+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-5·\left(-10+5x\right)$	=	$-6$
$-3x+50-25x$	=	$-6$
$-28x+50$	=	$-6$	| $-50$
$-28x$	=	$-56$	|:($-28$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-10+5\cdot 2$

= $-10+10$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (2|0)

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $30-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(30-x\right)$	=	$85$
$2x+90-3x$	=	$85$
$-x+90$	=	$85$	| $-90$
$-x$	=	$-5$	|:($-1$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $30-5$

= $25$

also

y = 25

Die Lösung des LGS ist damit: (5|25)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 25

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|11): 11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|22): 22 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
11 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 -2b +c |-4

---

10 = -1b +c
18 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(18+2b\right)$	=	$10$
$-b+18+2b$	=	$10$
$b+18$	=	$10$	| $-18$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18+2\cdot \left(-8\right)$

= $18-16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|2)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-3): -3 = 1² + b⋅1 +c

B(2|-6): -6 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-3 = 1 +1b +c |-1
-6 = 4 +2b +c |-4

---

-4 = 1b +c
-10 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-10-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-10-2b\right)$	=	$-4$
$b-10-2b$	=	$-4$
$-b-10$	=	$-4$	| $+10$
$-b$	=	$6$	|:($-1$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-10-2\cdot \left(-6\right)$

= $-10+12$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|2)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x+2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9+2$

= ${\left(x-3\right)}^2-9+2$

= ${\left(x-3\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x+2$ nur um $2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x·\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3+2$ = $9-18+2$ = -7

also: S(3|-7).