Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$-3-4y$ = $1$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3-4y$	=	$1$
$-3-4y$	=	$1$
$-4y-3$	=	$1$	| $+3$
$-4y$	=	$4$	|:($-4$)
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (3|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (2|2)
denn -3⋅2 -4⋅2 = -6 -8 = $-14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|5)
denn -3⋅( - 2 ) -4⋅5 = 6 -20 = $-14$

Oder : (6|-1)
denn -3⋅6 -4⋅( - 1 ) = -18 +4 = $-14$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-2\right)$	=	$24$
$3x+6$	=	$24$	| $-6$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(7-3y\right)+3y$	=	$22$
$-14+6y+3y$	=	$22$
$9y-14$	=	$22$	| $+14$
$9y$	=	$36$	|:$9$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-3\cdot 4$

= $7-12$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $11+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(11+2y\right)-2y$	=	$1$
$-11-2y-2y$	=	$1$
$-4y-11$	=	$1$	| $+11$
$-4y$	=	$12$	|:($-4$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $11+2\cdot \left(-3\right)$

= $11-6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{11}{2}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x-\frac{3}{4}·\left(\frac{11}{2}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$-\frac{21}{20}$
$\frac{3}{5}x-\frac{33}{8}+\frac{15}{16}x$	=	$-\frac{21}{20}$
$\frac{123}{80}x-\frac{33}{8}$	=	$-\frac{21}{20}$	|⋅ 80
$80\left(\frac{123}{80}x-\frac{33}{8}\right)$	=	$-84$
$123x-330$	=	$-84$	| $+330$
$123x$	=	$246$	|:$123$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{11}{2}-\frac{5}{4}\cdot 2$

= $\frac{11}{2}-\frac{5}{2}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-6x -7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 5 +20 = 25

-6x -7y = 6 +35 = 41

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 25

-6x -7y = 41

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$8x+16·\left(-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$-9$
$8x-12-8x$	=	$-9$
$-12$	=	$-9$	| $+12$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-85+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-4·\left(-85+\frac{2}{5}x\right)$	=	$1960$
$7x+340-\frac{8}{5}x$	=	$1960$
$\frac{27}{5}x+340$	=	$1960$	|⋅ 5
$5\left(\frac{27}{5}x+340\right)$	=	$9800$
$27x+1700$	=	$9800$	| $-1700$
$27x$	=	$8100$	|:$27$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-85+\frac{2}{5}\cdot 300$

= $-85+120$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(2|1): 1 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
1 = 4 +2b +c |-4

---

1 = 1b +c
-3 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-3-2b\right)$	=	$1$
$b-3-2b$	=	$1$
$-b-3$	=	$1$	| $+3$
$-b$	=	$4$	|:($-1$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3-2\cdot \left(-4\right)$

= $-3+8$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-20): -20 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
-20 = 9 -3b +c |-9

---

-13 = -1b +c
-29 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-29+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-29+3b\right)$	=	$-13$
$-b-29+3b$	=	$-13$
$2b-29$	=	$-13$	| $+29$
$2b$	=	$16$	|:$2$
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-29+3\cdot 8$

= $-29+24$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-5)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+8x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+8x+16-16-5$

= ${\left(x+4\right)}^2-16-5$

= ${\left(x+4\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+8x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)-5$ = $16-32-5$ = -21

also: S(-4|-21).