Aufgabenbeispiele von LGS
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-3) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -3 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
= | | | ||
= |
Die Lösung ist somit: (-2|-3)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-6)
denn
4⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-10)
denn 4⋅
Oder : (-7|-2)
denn 4⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 2 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -5
Die Lösung des LGS ist damit: (3|-5)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
| = | | (I) | ||
| = | | (II) |
Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:
| = |
|
|
| (I) | |
| = |
|
| +
| (II) |
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -4
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -4 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
5x
2x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:
5x
2x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
5x
2x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 6 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 117 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 8 LED-Leuchtmittel und 5 Halogenleuchten zusammen 99 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|⋅ 2 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 15
Die Lösung des LGS ist damit: (3|15)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15