Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3+3y$ = $18$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3+3y$	=	$18$
$3+3y$	=	$18$
$3y+3$	=	$18$	| $-3$
$3y$	=	$15$	|:$3$
$y$	=	$5$

Die Lösung ist somit: (3|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|7)
denn -4⋅( - 4 ) -3⋅7 = 16 -21 = $-5$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|11)
denn -4⋅( - 7 ) -3⋅11 = 28 -33 = $-5$

Oder : (-1|3)
denn -4⋅( - 1 ) -3⋅3 = 4 -9 = $-5$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·1$	=	$13$
$-3x+1$	=	$13$	| $-1$
$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-14+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-14+2y\right)-3y$	=	$6$
$42-6y-3y$	=	$6$
$-9y+42$	=	$6$	| $-42$
$-9y$	=	$-36$	|:($-9$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-14+2\cdot 4$

= $-14+8$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+3·\left(22-3x\right)$	=	$-18$
$-5x+66-9x$	=	$-18$
$-14x+66$	=	$-18$	| $-66$
$-14x$	=	$-84$	|:($-14$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22-3\cdot 6$

= $22-18$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-9-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+\frac{2}{5}·\left(-9-x\right)$	=	$\frac{18}{5}$
$-2x-\frac{18}{5}-\frac{2}{5}x$	=	$\frac{18}{5}$
$-\frac{12}{5}x-\frac{18}{5}$	=	$\frac{18}{5}$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{12}{5}x-\frac{18}{5}\right)$	=	$18$
$-12x-18$	=	$18$	| $+18$
$-12x$	=	$36$	|:($-12$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-9-\left(-3\right)$

= $-9+3$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +2y = ?

-2x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +2y = 4 -2 = 2

-2x -3y = -4 +3 = -1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +2y = 2

-2x -3y = -1

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+3·\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$1$
$-2x+1+2x$	=	$1$
$1$	=	$1$	| $-1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(11-2y\right)-2y$	=	$-7$
$33-6y-2y$	=	$-7$
$-8y+33$	=	$-7$	| $-33$
$-8y$	=	$-40$	|:($-8$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-2\cdot 5$

= $11-10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5