Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x-4\cdot 2$ = $-4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x-4\cdot 2$	=	$-4$
$-4x-8$	=	$-4$	| $+8$
$-4x$	=	$4$	|:($-4$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (1|-5)
denn -2⋅1 +3⋅( - 5 ) = -2 -15 = $-17$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-3)
denn -2⋅4 +3⋅( - 3 ) = -8 -9 = $-17$

Oder : (-2|-7)
denn -2⋅( - 2 ) +3⋅( - 7 ) = 4 -21 = $-17$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·2+y$	=	$8$
$6+y$	=	$8$
$y+6$	=	$8$	| $-6$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-7+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-7+2x\right)$	=	$6$
$-3x+28-8x$	=	$6$
$-11x+28$	=	$6$	| $-28$
$-11x$	=	$-22$	|:($-11$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-7+2\cdot 2$

= $-7+4$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(1-3x\right)$	=	$1$
$5x+2-6x$	=	$1$
$-x+2$	=	$1$	| $-2$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-3\cdot 1$

= $1-3$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-\frac{27}{5}-\frac{3}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-\frac{27}{5}-\frac{3}{5}y\right)+\frac{2}{5}y$	=	$\frac{62}{5}$
$\frac{54}{5}+\frac{6}{5}y+\frac{2}{5}y$	=	$\frac{62}{5}$
$\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}$	=	$\frac{62}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}\right)$	=	$62$
$8y+54$	=	$62$	| $-54$
$8y$	=	$8$	|:$8$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-\frac{27}{5}-\frac{3}{5}\cdot 1$

= $-\frac{27}{5}-\frac{3}{5}$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -1y = ?

1x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -1y = 6 -3 = 3

1x +2y = -3 +6 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -1y = 3

1x +2y = 3

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $3+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(3+2x\right)$	=	$-6$
$4x-6-4x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $22-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x+8·\left(22-x\right)$	=	$174$
$7x+176-8x$	=	$174$
$-x+176$	=	$174$	| $-176$
$-x$	=	$-2$	|:($-1$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $22-2$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|3): 3 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|4): 4 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
3 = 1 -1b +c |-1
4 = 4 -2b +c |-4

---

2 = -1b +c
0 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch $2b$ ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·2b$	=	$2$
$-b+2b$	=	$2$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $2\cdot 2$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-6): -6 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-5): -5 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-6 = 1 -1b +c |-1
-5 = 4 -2b +c |-4

---

-7 = -1b +c
-9 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-9+2b\right)$	=	$-7$
$-b-9+2b$	=	$-7$
$b-9$	=	$-7$	| $+9$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9+2\cdot 2$

= $-9+4$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-5$

= ${\left(x+1\right)}^2-6$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-6).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-5$ = $1-2-5$ = -6

also: S(-1|-6).