Man setzt einfach y = -1 in die Gleichung ein und erhält:

$-x-3\cdot \left(-1\right)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-x-3\cdot \left(-1\right)$	=	$4$
$-x+3$	=	$4$	| $-3$
$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (-1|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|5)
denn 4⋅( - 5 ) +1⋅5 = -20 +5 = $-15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-4|1)
denn 4⋅( - 4 ) +1⋅1 = -16 +1 = $-15$

Oder : (-6|9)
denn 4⋅( - 6 ) +1⋅9 = -24 +9 = $-15$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·4+3y$	=	$-6$
$12+3y$	=	$-6$
$3y+12$	=	$-6$	| $-12$
$3y$	=	$-18$	|:$3$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-18-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-18-4y\right)+2y$	=	$-12$
$-18-4y+2y$	=	$-12$
$-2y-18$	=	$-12$	| $+18$
$-2y$	=	$6$	|:($-2$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-18-4\cdot \left(-3\right)$

= $-18+12$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(-8+3x\right)$	=	$-11$
$4x-24+9x$	=	$-11$
$13x-24$	=	$-11$	| $+24$
$13x$	=	$13$	|:$13$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8+3\cdot 1$

= $-8+3$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$-4$
$4x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}x$	=	$-4$
$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$	=	$-4$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)$	=	$-8$
$3x+1$	=	$-8$	| $-1$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\cdot \left(-3\right)$

= $\frac{1}{4}+\frac{15}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -3y = ?

-7x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -3y = -8 +3 = -5

-7x -4y = -14 +4 = -10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -3y = -5

-7x -4y = -10

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-5·\left(11-x\right)$	=	$-37$
$-2x-55+5x$	=	$-37$
$3x-55$	=	$-37$	| $+55$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11-6$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|5)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-165+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-165+\frac{4}{3}x\right)$	=	$310$
$3x+660-\frac{16}{3}x$	=	$310$
$-\frac{7}{3}x+660$	=	$310$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{7}{3}x+660\right)$	=	$930$
$-7x+1980$	=	$930$	| $-1980$
$-7x$	=	$-1050$	|:($-7$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-165+\frac{4}{3}\cdot 150$

= $-165+200$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|1): 1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
1 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = -1b +c
-3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-3+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-3+2b\right)$	=	$-1$
$-b-3+2b$	=	$-1$
$b-3$	=	$-1$	| $+3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-3+2\cdot 2$

= $-3+4$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-7): -7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-7 = 4 -2b +c |-4

---

1 = 1b +c
-11 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-11+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-11+2b\right)$	=	$1$
$b-11+2b$	=	$1$
$3b-11$	=	$1$	| $+11$
$3b$	=	$12$	|:$3$
$b$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-11+2\cdot 4$

= $-11+8$

= $-3$

also

c = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

Jetzt können wir b=$4$ und c=$-3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+4x-3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+4x-3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+4x+4-4-3$

= ${\left(x+2\right)}^2-4-3$

= ${\left(x+2\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+4x-3$ nur um $-3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+4x$	=	0
$x·\left(x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-3$ = $4-8-3$ = -7

also: S(-2|-7).