Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 6-2y$ = $38$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 6-2y$	=	$38$
$24-2y$	=	$38$
$-2y+24$	=	$38$	| $-24$
$-2y$	=	$14$	|:($-2$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (6|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|2)
denn 1⋅( - 2 ) +4⋅2 = -2 +8 = $6$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|1)
denn 1⋅2 +4⋅1 = 2 +4 = $6$

Oder : (-6|3)
denn 1⋅( - 6 ) +4⋅3 = -6 +12 = $6$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-4\right)-4y$	=	$8$
$-12-4y$	=	$8$
$-4y-12$	=	$8$	| $+12$
$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-11+4y\right)+y$	=	$11$
$33-12y+y$	=	$11$
$-11y+33$	=	$11$	| $-33$
$-11y$	=	$-22$	|:($-11$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11+4\cdot 2$

= $-11+8$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(2+x\right)$	=	$6$
$-3x-4-2x$	=	$6$
$-5x-4$	=	$6$	| $+4$
$-5x$	=	$10$	|:($-5$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2-2$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|0)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2-2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+\frac{3}{2}·\left(-2-2x\right)$	=	$9$
$-3x-3-3x$	=	$9$
$-6x-3$	=	$9$	| $+3$
$-6x$	=	$12$	|:($-6$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-2-2\cdot \left(-2\right)$

= $-2+4$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +3y = ?

2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-2x +3y = 10 +6 = 16

2x -5y = -10 -10 = -20

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +3y = 16

2x -5y = -20

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $7-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+4·\left(7-\frac{5}{3}x\right)$	=	$-36$
$-4x+28-\frac{20}{3}x$	=	$-36$
$-\frac{32}{3}x+28$	=	$-36$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{32}{3}x+28\right)$	=	$-108$
$-32x+84$	=	$-108$	| $-84$
$-32x$	=	$-192$	|:($-32$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $7-\frac{5}{3}\cdot 6$

= $7-10$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-3)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-195+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-2·\left(-195+\frac{3}{2}x\right)$	=	$840$
$6x+390-3x$	=	$840$
$3x+390$	=	$840$	| $-390$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-195+\frac{3}{2}\cdot 150$

= $-195+225$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|7): 7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|28): 28 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
7 = 1 +1b +c |-1
28 = 16 +4b +c |-16

---

6 = 1b +c
12 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $12-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(12-4b\right)$	=	$6$
$b+12-4b$	=	$6$
$-3b+12$	=	$6$	| $-12$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $12-4\cdot 2$

= $12-8$

= $4$

also

c = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x+4$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
8 = 1 -1b +c |-1

---

-9 = 1b +c
7 = -1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $7+b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(7+b\right)$	=	$-9$
$b+7+b$	=	$-9$
$2b+7$	=	$-9$	| $-7$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $7-8$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-8x-1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-8x+16-16-1$

= ${\left(x-4\right)}^2-16-1$

= ${\left(x-4\right)}^2-17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-8x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-8x-1$ nur um $-1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-8x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-8x$	=	0
$x·\left(x-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = $4^2-8\cdot 4-1$ = $16-32-1$ = -17

also: S(4|-17).