Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: x +2y = 15 .

Bestimme y so, dass (3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

3 +2y = 15

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

3 +2y = 15
3 +2y = 15
2y +3 = 15 | -3
2y = 12 |:2
y = 6

Die Lösung ist somit: (3|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x + y = 2 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|6)
denn 4⋅( - 1 ) +16 = -4 +6 = 2

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|2)
denn 4⋅0 +12 = 0 +2 = 2

Oder : (-2|10)
denn 4⋅( - 2 ) +110 = -8 +10 = 2

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-3y = -3 (I) 2x -4y = -6 (II)

Lösung einblenden
-3y = -3 (I) 2x -4y = -6 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

-3y = -3 |:(-3 )
y = 1

Als neues LGS erhält man so:

+y = 1 (I) 2x -4y = -6 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch 1 ersetzen und dann nach x auflösen:

2x -4 · 1 = -6
2x -4 = -6 | +4
2x = -2 |:2
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x -y = 11 (I) x -2y = -3 (II)

Lösung einblenden
-2x -y = 11 (I) x -2y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -2y = -3 | +2y
x = -3 +2y

Als neues LGS erhält man so:

-2x -y = 11 (I) x = ( -3 +2y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -3 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( -3 +2y ) - y = 11
6 -4y - y = 11
-5y +6 = 11 | -6
-5y = 5 |:(-5 )
y = -1

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -3 +2( -1 )

= -3 -2

= -5

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -4y = -8 (I) 3x -y = -13 (II)

Lösung einblenden
x -4y = -8 (I) 3x -y = -13 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x - y = -13
-y +3x = -13 | -3x
-y = -13 -3x |:(-1 )
y = 13 +3x

Als neues LGS erhält man so:

x -4y = -8 (I) +y = ( 13 +3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( 13 +3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

x -4 · ( 13 +3x ) = -8
x -52 -12x = -8
-11x -52 = -8 | +52
-11x = 44 |:(-11 )
x = -4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 13 +3( -4 )

= 13 -12

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

1 2 x - 1 3 y = 7 3 (I) 3 2 x + 3 5 y = 27 5 (II)

Lösung einblenden
1 2 x - 1 3 y = 7 3 (I) 3 2 x + 3 5 y = 27 5 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

1 2 x - 1 3 y = 7 3
- 1 3 y + 1 2 x = 7 3 |⋅ 6
6( - 1 3 y + 1 2 x) = 14
-2y +3x = 14 | -3x
-2y = 14 -3x |:(-2 )
y = -7 + 3 2 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -7 + 3 2 x ) (I) 3 2 x + 3 5 y = 27 5 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -7 + 3 2 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

3 2 x + 3 5 · ( -7 + 3 2 x ) = 27 5
3 2 x - 21 5 + 9 10 x = 27 5
12 5 x - 21 5 = 27 5 |⋅ 5
5( 12 5 x - 21 5 ) = 27
12x -21 = 27 | +21
12x = 48 |:12
x = 4

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -7 + 3 2 4

= -7 +6

= -1

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 3 und y = -2 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = 9 +8 = 17

7x -8y = 21 +16 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = 17

7x -8y = 37

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-2x +5y = 14 (I) -x +5y = 17 (II)

Lösung einblenden
-2x +5y = 14 (I) -x +5y = 17 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +5y = 17 | -5y
-x = 17 -5y |:(-1 )
x = -17 +5y

Als neues LGS erhält man so:

-2x +5y = 14 (I) x = ( -17 +5y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -17 +5y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( -17 +5y ) +5y = 14
34 -10y +5y = 14
-5y +34 = 14 | -34
-5y = -20 |:(-5 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -17 +54

= -17 +20

= 3

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Carola war 2 Stunden wandern. Danach hat sie 2 Schokobonbons gegessen. Als sie diese Werte in ihre Fitness-App einträgt, meldet diese, dass sie durch beide Aktionen zusammen 240 kcal Energie verbraucht hätte. Am Tag zuvor war sie 5 Stunden wandern und hat 2 Schokobonbons gegessen, wofür ihre Fitness-App einen Ernergieverbrauch von 690 kcal berechnete. Wie viele kcal verliert man bei einer Stunde Wandern, wie viel kcal hat ein Schokobonbon?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

2x -2y = 240 (I) 5x -2y = 690 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

2x -2y = 240
-2y +2x = 240 | -2x
-2y = 240 -2x |:(-2 )
y = -120 + x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -120 + x ) (I) 5x -2y = 690 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -120 + x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -2 · ( -120 + x ) = 690
5x +240 -2x = 690
3x +240 = 690 | -240
3x = 450 |:3
x = 150

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -120 +150

= 30

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|8) und B(-3|32) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|32): 32 = ( - 3 )2 + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
32 = 9 -3b +c |-9


7 = -1b +c
23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 7 (I) -3b +c = 23 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

-3b + c = 23
c -3b = 23 | +3b
c = 23 +3b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 7 (I) +c = ( 23 +3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 23 +3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( 23 +3b ) = 7
-b +23 +3b = 7
2b +23 = 7 | -23
2b = -16 |:2
b = -8

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 23 +3( -8 )

= 23 -24

= -1

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b=-8 und c=-1 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -8x -1

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-8) und B(3|-8) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 12 + b⋅1 +c

B(3|-8): -8 = 32 + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-8 = 9 +3b +c |-9


-9 = 1b +c
-17 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
b +c = -9 (I) 3b +c = -17 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

3b + c = -17
c +3b = -17 | -3b
c = -17 -3b

Als neues LGS erhält man so:

b +c = -9 (I) +c = ( -17 -3b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -17 -3b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

b + 1 · ( -17 -3b ) = -9
b -17 -3b = -9
-2b -17 = -9 | +17
-2b = 8 |:(-2 )
b = -4

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -17 -3( -4 )

= -17 +12

= -5

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=-4 und c=-5 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -4x -5

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 -4x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -9

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = 2 2 -42 -5 = 4 -8 -5 = -9

also: S(2|-9).