Man setzt einfach x = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 6+y$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 6+y$	=	$24$
$18+y$	=	$24$
$y+18$	=	$24$	| $-18$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn -1⋅5 +5⋅( - 3 ) = -5 -15 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|-2)
denn -1⋅10 +5⋅( - 2 ) = -10 -10 = $-20$

Oder : (0|-4)
denn -1⋅0 +5⋅( - 4 ) = 0 -20 = $-20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·1-y$	=	0
$3-y$	=	0
$-y+3$	=	0	| $-3$
$-y$	=	$-3$	|:($-1$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(14-2y\right)-2y$	=	$-2$
$14-2y-2y$	=	$-2$
$-4y+14$	=	$-2$	| $-14$
$-4y$	=	$-16$	|:($-4$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $14-2\cdot 4$

= $14-8$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-7+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-5·\left(-7+\frac{3}{5}x\right)$	=	$5$
$-3x+35-3x$	=	$5$
$-6x+35$	=	$5$	| $-35$
$-6x$	=	$-30$	|:($-6$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-7+\frac{3}{5}\cdot 5$

= $-7+3$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{19}{5}+\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(\frac{19}{5}+\frac{1}{5}x\right)$	=	$2$
$-2x-\frac{38}{5}-\frac{2}{5}x$	=	$2$
$-\frac{12}{5}x-\frac{38}{5}$	=	$2$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{12}{5}x-\frac{38}{5}\right)$	=	$10$
$-12x-38$	=	$10$	| $+38$
$-12x$	=	$48$	|:($-12$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{19}{5}+\frac{1}{5}\cdot \left(-4\right)$

= $\frac{19}{5}-\frac{4}{5}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +5y = ?

8x +7y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +5y = 8 +15 = 23

8x +7y = 16 +21 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +5y = 23

8x +7y = 37

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-2·\left(-1+x\right)$	=	$2$
$2x+2-2x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{110}{3}-\frac{5}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+2·\left(\frac{110}{3}-\frac{5}{3}x\right)$	=	$75$
$5x+\frac{220}{3}-\frac{10}{3}x$	=	$75$
$\frac{5}{3}x+\frac{220}{3}$	=	$75$	|⋅ 3
$3\left(\frac{5}{3}x+\frac{220}{3}\right)$	=	$225$
$5x+220$	=	$225$	| $-220$
$5x$	=	$5$	|:$5$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{110}{3}-\frac{5}{3}\cdot 1$

= $\frac{110}{3}-\frac{5}{3}$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (1|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 1

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 35

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-4): -4 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|-11): -11 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 -1b +c |-1
-11 = 4 -2b +c |-4

---

-5 = -1b +c
-15 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-15+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-15+2b\right)$	=	$-5$
$-b-15+2b$	=	$-5$
$b-15$	=	$-5$	| $+15$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-15+2\cdot 10$

= $-15+20$

= $5$

also

c = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (10|5)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x+5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|3): 3 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
3 = 16 +4b +c |-16

---

-1 = 1b +c
-13 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-13-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-13-4b\right)$	=	$-1$
$b-13-4b$	=	$-1$
$-3b-13$	=	$-1$	| $+13$
$-3b$	=	$12$	|:($-3$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-13-4\cdot \left(-4\right)$

= $-13+16$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+3$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x+3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4+3$

= ${\left(x-2\right)}^2-4+3$

= ${\left(x-2\right)}^2-1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-1).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x+3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2+3$ = $4-8+3$ = -1

also: S(2|-1).