Man setzt einfach x = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$3+2y$ = $15$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3+2y$	=	$15$
$3+2y$	=	$15$
$2y+3$	=	$15$	| $-3$
$2y$	=	$12$	|:$2$
$y$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|6)
denn 4⋅( - 1 ) +1⋅6 = -4 +6 = $2$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|2)
denn 4⋅0 +1⋅2 = 0 +2 = $2$

Oder : (-2|10)
denn 4⋅( - 2 ) +1⋅10 = -8 +10 = $2$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·1$	=	$-6$
$2x-4$	=	$-6$	| $+4$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-3+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-3+2y\right)-y$	=	$11$
$6-4y-y$	=	$11$
$-5y+6$	=	$11$	| $-6$
$-5y$	=	$5$	|:($-5$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-3+2\cdot \left(-1\right)$

= $-3-2$

= $-5$

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $13+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(13+3x\right)$	=	$-8$
$x-52-12x$	=	$-8$
$-11x-52$	=	$-8$	| $+52$
$-11x$	=	$44$	|:($-11$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $13+3\cdot \left(-4\right)$

= $13-12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-7+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2}x+\frac{3}{5}·\left(-7+\frac{3}{2}x\right)$	=	$\frac{27}{5}$
$\frac{3}{2}x-\frac{21}{5}+\frac{9}{10}x$	=	$\frac{27}{5}$
$\frac{12}{5}x-\frac{21}{5}$	=	$\frac{27}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{12}{5}x-\frac{21}{5}\right)$	=	$27$
$12x-21$	=	$27$	| $+21$
$12x$	=	$48$	|:$12$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-7+\frac{3}{2}\cdot 4$

= $-7+6$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x -4y = ?

7x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

3x -4y = 9 +8 = 17

7x -8y = 21 +16 = 37

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x -4y = 17

7x -8y = 37

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-17+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-17+5y\right)+5y$	=	$14$
$34-10y+5y$	=	$14$
$-5y+34$	=	$14$	| $-34$
$-5y$	=	$-20$	|:($-5$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-17+5\cdot 4$

= $-17+20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-120+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-2·\left(-120+x\right)$	=	$690$
$5x+240-2x$	=	$690$
$3x+240$	=	$690$	| $-240$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-120+150$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (150|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|32): 32 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
32 = 9 -3b +c |-9

---

7 = -1b +c
23 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $23+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(23+3b\right)$	=	$7$
$-b+23+3b$	=	$7$
$2b+23$	=	$7$	| $-23$
$2b$	=	$-16$	|:$2$
$b$	=	$-8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $23+3\cdot \left(-8\right)$

= $23-24$

= $-1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-8|-1)

Jetzt können wir b=$-8$ und c=$-1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-8x-1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-8): -8 = 1² + b⋅1 +c

B(3|-8): -8 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-8 = 1 +1b +c |-1
-8 = 9 +3b +c |-9

---

-9 = 1b +c
-17 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-17-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-17-3b\right)$	=	$-9$
$b-17-3b$	=	$-9$
$-2b-17$	=	$-9$	| $+17$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-17-3\cdot \left(-4\right)$

= $-17+12$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-4x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-4x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-4x+4-4-5$

= ${\left(x-2\right)}^2-4-5$

= ${\left(x-2\right)}^2-9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-4x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-4x$	=	0
$x\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|y).

y = $2^2-4\cdot 2-5$ = $4-8-5$ = -9

also: S(2|-9).