Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 2x - y = 4 .

Bestimme y so, dass (0|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

20 - y = 4

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

20 - y = 4
-y = 4 |:(-1 )
y = -4

Die Lösung ist somit: (0|-4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: 4x -3y = -13 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) -3( - 1 ) = -16 +3 = -13

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-7|-5)
denn 4⋅( - 7 ) -3( - 5 ) = -28 +15 = -13

Oder : (-1|3)
denn 4⋅( - 1 ) -33 = -4 -9 = -13

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x +4y = -16 (I) x = -2 (II)

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = -2


Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch -2 ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( -2 ) +4y = -16
4 +4y = -16
4y +4 = -16 | -4
4y = -20 |:4
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-5)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x -2y = 7 (I) 3x -2y = -3 (II)

Lösung einblenden
x -2y = 7 (I) 3x -2y = -3 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x -2y = 7 | +2y
x = 7 +2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 7 +2y ) (I) 3x -2y = -3 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 7 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

3 · ( 7 +2y ) -2y = -3
21 +6y -2y = -3
4y +21 = -3 | -21
4y = -24 |:4
y = -6

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 7 +2( -6 )

= 7 -12

= -5

also

x = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-6)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -2y = -18 (I) -3x -2y = -16 (II)

Lösung einblenden
-4x -2y = -18 (I) -3x -2y = -16 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-4x -2y = -18
-2y -4x = -18 | +4x
-2y = -18 +4x |:(-2 )
y = 9 -2x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 9 -2x ) (I) -3x -2y = -16 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 9 -2x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x -2 · ( 9 -2x ) = -16
-3x -18 +4x = -16
x -18 = -16 | +18
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 9 -22

= 9 -4

= 5

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2x -y = -7 (I) -x +3y = 16 (II)

Lösung einblenden
2x -y = -7 (I) -x +3y = 16 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +3y = 16 | -3y
-x = 16 -3y |:(-1 )
x = -16 +3y

Als neues LGS erhält man so:

2x -y = -7 (I) x = ( -16 +3y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( -16 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

2 · ( -16 +3y ) - y = -7
-32 +6y - y = -7
5y -32 = -7 | +32
5y = 25 |:5
y = 5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = -16 +35

= -16 +15

= -1

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 4 und y = 1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x -1y = ?

-5x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-4x -1y = -16 -1 = -17

-5x +2y = -20 +2 = -18

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x -1y = -17

-5x +2y = -18

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-x +3y = -13 (I) -5x +4y = -32 (II)

Lösung einblenden
-x +3y = -13 (I) -5x +4y = -32 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +3y = -13 | -3y
-x = -13 -3y |:(-1 )
x = 13 +3y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 13 +3y ) (I) -5x +4y = -32 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 13 +3y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-5 · ( 13 +3y ) +4y = -32
-65 -15y +4y = -32
-11y -65 = -32 | +65
-11y = 33 |:(-11 )
y = -3

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 13 +3( -3 )

= 13 -9

= 4

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

In einem Raum brennen 5 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 9 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 390 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 2 LED-Leuchtmittel und 3 Halogenleuchten zusammen 132 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?

Lösung einblenden

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

5x +9y = 390 (I) 2x +3y = 132 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x +9y = 390
9y +5x = 390 | -5x
9y = 390 -5x |:9
y = 130 3 - 5 9 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 130 3 - 5 9 x ) (I) 2x +3y = 132 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 130 3 - 5 9 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

2x + 3 · ( 130 3 - 5 9 x ) = 132
2x +130 - 5 3 x = 132
1 3 x +130 = 132 |⋅ 3
3( 1 3 x +130 ) = 396
x +390 = 396 | -390
x = 6

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 130 3 - 5 9 6

= 130 3 - 10 3

= 40

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (6|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 6

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 40

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|14) und B(2|-13) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|14): 14 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(2|-13): -13 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
14 = 1 -1b +c |-1
-13 = 4 +2b +c |-4


13 = -1b +c
-17 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 13 (I) 2b +c = -17 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = -17
c +2b = -17 | -2b
c = -17 -2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 13 (I) +c = ( -17 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( -17 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( -17 -2b ) = 13
-b -17 -2b = 13
-3b -17 = 13 | +17
-3b = 30 |:(-3 )
b = -10

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = -17 -2( -10 )

= -17 +20

= 3

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-10|3)

Jetzt können wir b=-10 und c=3 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 -10x +3

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|2) und B(2|11) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )2 + b⋅( - 1 ) +c

B(2|11): 11 = 22 + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
11 = 4 +2b +c |-4


1 = -1b +c
7 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:
-b +c = 1 (I) 2b +c = 7 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

2b + c = 7
c +2b = 7 | -2b
c = 7 -2b

Als neues LGS erhält man so:

-b +c = 1 (I) +c = ( 7 -2b ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( 7 -2b ) ersetzen und dann nach b auflösen:

-b + 1 · ( 7 -2b ) = 1
-b +7 -2b = 1
-3b +7 = 1 | -7
-3b = -6 |:(-3 )
b = 2

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = 7 -22

= 7 -4

= 3

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Jetzt können wir b=2 und c=3 in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

y= x 2 +2x +3

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

y= x 2 +2x +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 +3

= ( x +1 ) 2 -1 +3

= ( x +1 ) 2 +2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ( -1 ) 2 +2( -1 ) +3 = 1 -2 +3 = 2

also: S(-1|2).