Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot \left(-3\right)+2y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot \left(-3\right)+2y$	=	$-12$
$-6+2y$	=	$-12$
$2y-6$	=	$-12$	| $+6$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-4|-2)
denn 3⋅( - 4 ) -4⋅( - 2 ) = -12 +8 = $-4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-5)
denn 3⋅( - 8 ) -4⋅( - 5 ) = -24 +20 = $-4$

Oder : (0|1)
denn 3⋅0 -4⋅1 = 0 -4 = $-4$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+4·\left(-4\right)$	=	$-10$
$-3x-16$	=	$-10$	| $+16$
$-3x$	=	$6$	|:($-3$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $10-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·\left(10-4x\right)$	=	$-18$
$-3x+10-4x$	=	$-18$
$-7x+10$	=	$-18$	| $-10$
$-7x$	=	$-28$	|:($-7$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $10-4\cdot 4$

= $10-16$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{33}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-4·\left(\frac{33}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$-30$
$-2x-33+3x$	=	$-30$
$x-33$	=	$-30$	| $+33$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{33}{4}-\frac{3}{4}\cdot 3$

= $\frac{33}{4}-\frac{9}{4}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $9-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+5·\left(9-\frac{5}{2}x\right)$	=	0
$5x+45-\frac{25}{2}x$	=	0
$-\frac{15}{2}x+45$	=	0	|⋅ 2
$2\left(-\frac{15}{2}x+45\right)$	=	0
$-15x+90$	=	0	| $-90$
$-15x$	=	$-90$	|:($-15$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $9-\frac{5}{2}\cdot 6$

= $9-15$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +5y = ?

-9x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +5y = 20 +10 = 30

-9x +11y = 36 +22 = 58

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +5y = 30

-9x +11y = 58

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(2-x\right)$	=	$-2$
$-2x-4+2x$	=	$-2$
$-4$	=	$-2$	| $+4$
0	=	$2$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-860+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-860+3x\right)$	=	$820$
$3x+1720-6x$	=	$820$
$-3x+1720$	=	$820$	| $-1720$
$-3x$	=	$-900$	|:($-3$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-860+3\cdot 300$

= $-860+900$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|0): 0 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-2|7): 7 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 -1b +c |-1
7 = 4 -2b +c |-4

---

-1 = -1b +c
3 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3+2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(3+2b\right)$	=	$-1$
$-b+3+2b$	=	$-1$
$b+3$	=	$-1$	| $-3$
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3+2\cdot \left(-4\right)$

= $3-8$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x-5$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|1): 1 = 1² + b⋅1 +c

B(4|22): 22 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
1 = 1 +1b +c |-1
22 = 16 +4b +c |-16

---

0 = 1b +c
6 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $6-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(6-4b\right)$	=	0
$b+6-4b$	=	0
$-3b+6$	=	0	| $-6$
$-3b$	=	$-6$	|:($-3$)
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $6-4\cdot 2$

= $6-8$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-2)

Jetzt können wir b=$2$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+2x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+2x+1-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-1-2$

= ${\left(x+1\right)}^2-3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+2x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+2x$	=	0
$x·\left(x+2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-2$ = $1-2-2$ = -3

also: S(-1|-3).