Man setzt einfach y = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-4\cdot 7$ = $-58$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-4\cdot 7$	=	$-58$
$5x-28$	=	$-58$	| $+28$
$5x$	=	$-30$	|:$5$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (3|1)
denn -3⋅3 +5⋅1 = -9 +5 = $-4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|4)
denn -3⋅8 +5⋅4 = -24 +20 = $-4$

Oder : (-2|-2)
denn -3⋅( - 2 ) +5⋅( - 2 ) = 6 -10 = $-4$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-1·5$	=	$-15$
$-2x-5$	=	$-15$	| $+5$
$-2x$	=	$-10$	|:($-2$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (5|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(12-3y\right)+3y$	=	$6$
$36-9y+3y$	=	$6$
$-6y+36$	=	$6$	| $-36$
$-6y$	=	$-30$	|:($-6$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12-3\cdot 5$

= $12-15$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{10}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-\frac{10}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$20$
$4x+10-2x$	=	$20$
$2x+10$	=	$20$	| $-10$
$2x$	=	$10$	|:$2$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{10}{3}+\frac{2}{3}\cdot 5$

= $-\frac{10}{3}+\frac{10}{3}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $3+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-5·\left(3+x\right)$	=	$-11$
$4x-15-5x$	=	$-11$
$-x-15$	=	$-11$	| $+15$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $3-4$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = 10 -2 = 8

-1x -2y = 5 +2 = 7

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = 8

-1x -2y = 7

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(-1+x\right)$	=	$-3$
$-3x-3+3x$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(11-6y\right)-3y$	=	$22$
$55-30y-3y$	=	$22$
$-33y+55$	=	$22$	| $-55$
$-33y$	=	$-33$	|:($-33$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-6\cdot 1$

= $11-6$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 1

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-5): -5 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(2|22): 22 = 2² + b⋅2 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-5 = 1 -1b +c |-1
22 = 4 +2b +c |-4

---

-6 = -1b +c
18 = 2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $18-2b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(18-2b\right)$	=	$-6$
$-b+18-2b$	=	$-6$
$-3b+18$	=	$-6$	| $-18$
$-3b$	=	$-24$	|:($-3$)
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $18-2\cdot 8$

= $18-16$

= $2$

also

c = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (8|2)

Jetzt können wir b=$8$ und c=$2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+8x+2$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-11): -11 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|-23): -23 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-11 = 1 -1b +c |-1
-23 = 9 -3b +c |-9

---

-12 = -1b +c
-32 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-32+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-32+3b\right)$	=	$-12$
$-b-32+3b$	=	$-12$
$2b-32$	=	$-12$	| $+32$
$2b$	=	$20$	|:$2$
$b$	=	$10$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-32+3\cdot 10$

= $-32+30$

= $-2$

also

c = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (10|-2)

Jetzt können wir b=$10$ und c=$-2$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2+10x-2$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x-2$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25-2$

= ${\left(x+5\right)}^2-25-2$

= ${\left(x+5\right)}^2-27$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x-2$ nur um $-2$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)-2$ = $25-50-2$ = -27

also: S(-5|-27).