Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$x-3\cdot \left(-2\right)$ = $4$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-3\cdot \left(-2\right)$	=	$4$
$x+6$	=	$4$	| $-6$
$x$	=	$-2$

Die Lösung ist somit: (-2|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|3)
denn 1⋅4 +4⋅3 = 4 +12 = $16$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|2)
denn 1⋅8 +4⋅2 = 8 +8 = $16$

Oder : (0|4)
denn 1⋅0 +4⋅4 = 0 +16 = $16$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $-1$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+1·\left(-1\right)$	=	$3$
$-2x-1$	=	$3$	| $+1$
$-2x$	=	$4$	|:($-2$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(18+4x\right)$	=	$2$
$-2x-54-12x$	=	$2$
$-14x-54$	=	$2$	| $+54$
$-14x$	=	$56$	|:($-14$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18+4\cdot \left(-4\right)$

= $18-16$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{14}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(-\frac{14}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$4$
$-2x+\frac{28}{5}+\frac{8}{5}x$	=	$4$
$-\frac{2}{5}x+\frac{28}{5}$	=	$4$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{2}{5}x+\frac{28}{5}\right)$	=	$20$
$-2x+28$	=	$20$	| $-28$
$-2x$	=	$-8$	|:($-2$)
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{14}{5}-\frac{4}{5}\cdot 4$

= $-\frac{14}{5}-\frac{16}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-6)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+3·\left(\frac{17}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$19$
$-4x+17+2x$	=	$19$
$-2x+17$	=	$19$	| $-17$
$-2x$	=	$2$	|:($-2$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{3}+\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{17}{3}-\frac{2}{3}$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

2x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -16 +3 = -13

2x +3y = -8 +9 = 1

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -13

2x +3y = 1

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(1+2x\right)$	=	$2$
$-4x+2+4x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $9-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(9-2y\right)-6y$	=	$-22$
$18-4y-6y$	=	$-22$
$-10y+18$	=	$-22$	| $-18$
$-10y$	=	$-40$	|:($-10$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $9-2\cdot 4$

= $9-8$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 4

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|8): 8 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(-3|28): 28 = ( - 3 )² + b⋅( - 3 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
8 = 1 -1b +c |-1
28 = 9 -3b +c |-9

---

7 = -1b +c
19 = -3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $19+3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(19+3b\right)$	=	$7$
$-b+19+3b$	=	$7$
$2b+19$	=	$7$	| $-19$
$2b$	=	$-12$	|:$2$
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $19+3\cdot \left(-6\right)$

= $19-18$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x+1$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|2): 2 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|-10): -10 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 -1b +c |-1
-10 = 1 +1b +c |-1

---

1 = -1b +c
-11 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-11-b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$-b+1·\left(-11-b\right)$	=	$1$
$-b-11-b$	=	$1$
$-2b-11$	=	$1$	| $+11$
$-2b$	=	$12$	|:($-2$)
$b$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-11-\left(-6\right)$

= $-11+6$

= $-5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Jetzt können wir b=$-6$ und c=$-5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-6x-5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-5$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-5$

= ${\left(x-3\right)}^2-14$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-14).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-5$ nur um $-5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-5$ = $9-18-5$ = -14

also: S(3|-14).