Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$2\cdot 4+2y$ = $14$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$2\cdot 4+2y$	=	$14$
$8+2y$	=	$14$
$2y+8$	=	$14$	| $-8$
$2y$	=	$6$	|:$2$
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (4|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-5)
denn 4⋅( - 1 ) +3⋅( - 5 ) = -4 -15 = $-19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-9)
denn 4⋅2 +3⋅( - 9 ) = 8 -27 = $-19$

Oder : (-4|-1)
denn 4⋅( - 4 ) +3⋅( - 1 ) = -16 -3 = $-19$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-3\right)+y$	=	$-13$
$-12+y$	=	$-13$
$y-12$	=	$-13$	| $+12$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-5-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-5-3y\right)+y$	=	$3$
$10+6y+y$	=	$3$
$7y+10$	=	$3$	| $-10$
$7y$	=	$-7$	|:$7$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-5-3\cdot \left(-1\right)$

= $-5+3$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch $x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+5·x$	=	$2$
$-4x+5x$	=	$2$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}·\left(-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-\frac{1}{12}$
$-\frac{1}{4}x-\frac{5}{9}-\frac{2}{9}x$	=	$-\frac{1}{12}$
$-\frac{17}{36}x-\frac{5}{9}$	=	$-\frac{1}{12}$	|⋅ 36
$36\left(-\frac{17}{36}x-\frac{5}{9}\right)$	=	$-3$
$-17x-20$	=	$-3$	| $+20$
$-17x$	=	$17$	|:($-17$)
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{5}{3}+\frac{2}{3}$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x -2y = ?

-2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

1x -2y = -5 +2 = -3

-2x +2y = 10 -2 = 8

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x -2y = -3

-2x +2y = 8

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3-4y\right)-16y$	=	$12$
$12+16y-16y$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{62}{3}-\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+3·\left(\frac{62}{3}-\frac{1}{3}x\right)$	=	$68$
$4x+62-x$	=	$68$
$3x+62$	=	$68$	| $-62$
$3x$	=	$6$	|:$3$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{62}{3}-\frac{1}{3}\cdot 2$

= $\frac{62}{3}-\frac{2}{3}$

= $20$

also

y = 20

Die Lösung des LGS ist damit: (2|20)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(3|0): 0 = 3² + b⋅3 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
0 = 9 +3b +c |-9

---

-1 = 1b +c
-9 = 3b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-9-3b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-9-3b\right)$	=	$-1$
$b-9-3b$	=	$-1$
$-2b-9$	=	$-1$	| $+9$
$-2b$	=	$8$	|:($-2$)
$b$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-9-3\cdot \left(-4\right)$

= $-9+12$

= $3$

also

c = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|3)

Jetzt können wir b=$-4$ und c=$3$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-4x+3$

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|0): 0 = 1² + b⋅1 +c

B(4|9): 9 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
0 = 1 +1b +c |-1
9 = 16 +4b +c |-16

---

-1 = 1b +c
-7 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $-7-4b$) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b+1·\left(-7-4b\right)$	=	$-1$
$b-7-4b$	=	$-1$
$-3b-7$	=	$-1$	| $+7$
$-3b$	=	$6$	|:($-3$)
$b$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $-7-4\cdot \left(-2\right)$

= $-7+8$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|1)

Jetzt können wir b=$-2$ und c=$1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-2x+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-2x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-2x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-2x+1-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2-1+1$

= ${\left(x-1\right)}^2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-2x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-2x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-2x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^2-2\cdot 1+1$ = $1-2+1$ = 0

also: S(1|0).