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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19 x - 9}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{19 x - 9}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{19 x - 9}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$19 x - 9$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$19 x - 9$	=	$4 x^{2} + 4 x$

19 x - 9

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15+9}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{- 15-9}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 15 x - 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 91}{2 x + 5} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

- \frac{91}{2 x + 5} + x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$- \frac{91}{2 x + 5} + x$	=	$- 3$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$- \frac{91}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5)$	=	$- 3 \cdot (2 x + 5)$
$- 91 + x \cdot (2 x + 5)$	=	$- 3 (2 x + 5)$
$- 91 + (2 x^{2} + 5 x)$	=	$- 3 (2 x + 5)$
$2 x^{2} + 5 x - 91$	=	$- 6 x - 15$

2 x^{2} + 5 x - 91

=

- 6 x - 15

|

+ 6 x

+ 15

$2 x^{2} + 11 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 11+27}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 11-27}{4}$ = $\frac{- 38}{4}$ = $- 9,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x - 76$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - 38$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- 38)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $38$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{608}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{38}{4}$ = -9.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{9}{x^{2}}$ = $\frac{10}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{9}{x^{2}}$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{10}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 9$	=	$10 x$

x^{2} + 9

=

10 x

|

- 10 x

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} + \frac{1}{x + 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{1}{x + 4}

=

4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{1}{x + 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{1}{x + 4} \cdot (4 (x + 4))$	=	$4 x \cdot (4 (x + 4))$
$x + 4$	=	$16 x \cdot (x + 4)$
$x + 4$	=	$16 x^{2} + 64 x$

x + 4

=

16 x^{2} + 64 x

|

- 16 x^{2}

- 64 x

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 4}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 256}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{4 225}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63+65}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63-65}{- 32}$ = $\frac{- 2}{- 32}$ = $\frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{256}{1024}$ = $\frac{4225}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{4225}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{65}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{65}{32}$ = $\frac{2}{32}$ = 0.0625

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$30$
$a x + x^{2} - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):