D=R\{ $-4$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+4$ weg!

$\frac{-15x}{x+4}$	=	$-3x$	|⋅( $x+4$)
$\frac{-15x}{x+4}·\left(x+4\right)$	=	$-3x·\left(x+4\right)$
$-\frac{15x}{1}$	=	$-3x\left(x+4\right)$
$-15x$	=	$-3x\left(x+4\right)$
$-15x$	=	$-3x^2-12x$

$-15x$	=	$-3x^2-12x$	| $-\left(-3x^2-12x\right)$
$3x^2-15x+12x$	=	0
$3x^2-3x$	=	0
$3x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$}

D=R\{ $-2$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+2$ weg!

$4x$	=	$\frac{-14x+12}{x+2}$	|⋅( $x+2$)
$4x·\left(x+2\right)$	=	$\frac{-14x+12}{x+2}·\left(x+2\right)$
$4x\left(x+2\right)$	=	$-14x+12$
$4x·x+4x·2$	=	$-14x+12$
$4x·x+8x$	=	$-14x+12$
$4x^2+8x$	=	$-14x+12$

$4x^2+8x$

=

$-14x+12$

| $+14x$ $-12$

$4x^2+22x-12$ = 0 |:2

$2x^2+11x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{{11}^2-4·2·\left(-6\right)}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{121+48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{-11\pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{-11+\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{4}$ = $\mathrm{0,5}$

x₂ = $\frac{-11-\sqrt{169}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>11</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>13</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-24}{4}$ = $-6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-6$; $\mathrm{0,5}$}

D=R\{ $\frac{5}{2}$}

Wir multiplizieren den Nenner $2x-5$ weg!

$x-4$	=	$\frac{x}{2x-5}$	|⋅( $2x-5$)
$x·\left(2x-5\right)-4·\left(2x-5\right)$	=	$\frac{x}{2x-5}·\left(2x-5\right)$
$x\left(2x-5\right)-8x+20$	=	$x$
$2x^2-5x-8x+20$	=	$x$
$2x^2-13x+20$	=	$x$

$2x^2-13x+20$

=

$x$

| $-x$

$2x^2-14x+20$ = 0 |:2

$x^2-7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$; $5$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^4$ weg!

$\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}-\frac{16}{x^4}$	=	0	|⋅( $x^4$)
$\frac{1}{x^2}·x^4+\frac{6}{x^3}·x^4-\frac{16}{x^4}·x^4$	=	0
$x^2+6x-16$	=	0

$x^2+6x-16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·\left(-16\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36+64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{100}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-8$; $2$}

D=R\{ $2$}

$\frac{x}{4x-8}+\frac{73}{x-2}$	=	$3x$
$\frac{x}{4\left(x-2\right)}+\frac{73}{x-2}$	=	$3x$	|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4\left(x-2\right)$ weg!

$\frac{x}{4\left(x-2\right)}+\frac{73}{x-2}$	=	$3x$	|⋅( $4\left(x-2\right)$)
$\frac{x}{4\left(x-2\right)}·\left(4\left(x-2\right)\right)+\frac{73}{x-2}·\left(4\left(x-2\right)\right)$	=	$3x·\left(4\left(x-2\right)\right)$
$x+292$	=	$12x\left(x-2\right)$
$x+292$	=	$12x^2-24x$

$x+292$

=

$12x^2-24x$

| $-12x^2$ $+24x$

$-12x^2+25x+292$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-25\pm \sqrt{{25}^2-4·\left(-12\right)·292}}{2\cdot \left(-12\right)}$

x_1,2 = $\frac{-25\pm \sqrt{625+14016}}{-24}$

x_1,2 = $\frac{-25\pm \sqrt{14641}}{-24}$

x₁ = $\frac{-25+\sqrt{14641}}{-24}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>25</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>121</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>24</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{96}{-24}$ = $-4$

x₂ = $\frac{-25-\sqrt{14641}}{-24}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>25</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>121</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>24</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-146}{-24}$ = $\frac{73}{12}$ ≈ 6.08

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $\frac{73}{12}$}

D=R\{0}

$x+\frac{a}{x}$ = $-5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x+\frac{a}{x}$	=	$-5$	|⋅x
$x·x+\frac{a}{x}·x$	=	$-5·x$
$x^2+a$	=	$-5x$
$x^2+a+5x$	=	0
$x^2+5x+a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+5x+a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn $-\left(2-7\right)$ = 5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2·\left(-7\right)$ = $-14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2+5x-14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·\left(-14\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{25+56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-5\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{-5+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-5-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{2}$ = $-7$

L={ $-7$; $2$}