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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 3}$ = $3 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{6 x}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{6 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$6 x$	=	$3 x (x - 3)$
$6 x$	=	$3 x^{2} - 9 x$

$6 x$	=	$3 x^{2} - 9 x$	\| $- (3 x^{2} - 9 x)$
$- 3 x^{2} + 6 x + 9 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 15 x$	=	0
$3 x (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x - 1}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 15 x - 1}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 15 x - 1}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 15 x - 1$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 15 x - 1

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5+3}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 5-3}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x - 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $-$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 63}{2 x + 1} - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

x

=

\frac{63}{2 x + 1} - 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{63}{2 x + 1} - 3$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$x \cdot (2 x + 1)$	=	$\frac{63}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 3 \cdot (2 x + 1)$
$x (2 x + 1)$	=	$63 - 6 x - 3$
$x \cdot 2 x + x \cdot 1$	=	$63 - 6 x - 3$
$2 x \cdot x + x$	=	$63 - 6 x - 3$
$2 x^{2} + x$	=	$- 6 x + 60$

2 x^{2} + x

=

- 6 x + 60

|

+ 6 x

- 60

$2 x^{2} + 7 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{529}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 7+23}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{529}}{4}$ = $\frac{- 7-23}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 60$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{480}{16}$ = $\frac{529}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{529}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{23}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{23}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- x - 20}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- x - 20}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- x - 20$	=	$- x^{2}$

- x - 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{- 5,4}{x + 4} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 20} + \frac{5,4}{x + 4} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{5,4}{x + 4} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} + \frac{5,4}{x + 4} + 2 x$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{5,4}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) + 2 x \cdot (5 (x + 4))$
=	$- x + 27 + 10 x (x + 4)$
=	$10 x^{2} + 39 x + 27$

0

=

10 x^{2} + 39 x + 27

|

- 10 x^{2}

- 39 x

- 27

$- 10 x^{2} - 39 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{441}}{- 20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{441}}{- 20}$ = $\frac{39+21}{- 20}$ = $\frac{60}{- 20}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{441}}{- 20}$ = $\frac{39-21}{- 20}$ = $\frac{18}{- 20}$ = $- 0,9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 39 x - 27$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{39}{10} x + \frac{27}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{39}{20})}^{2} - (\frac{27}{10})$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{27}{10}$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{1080}{400}$ = $\frac{441}{400}$

x_1,2 = $- \frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{441}{400}}$

x₁ = $- \frac{39}{20}$ - $\frac{21}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $- \frac{39}{20}$ + $\frac{21}{20}$ = $- \frac{18}{20}$ = -0.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):