Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{18}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 18$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 18$	=	$- 2 x^{2}$

$- 18$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 18$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$18$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{47 x - 21}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$4 x$	=	$\frac{47 x - 21}{x + 4}$	\|⋅( $x + 4$ )
$4 x \cdot (x + 4)$	=	$\frac{47 x - 21}{x + 4} \cdot (x + 4)$
$4 x (x + 4)$	=	$47 x - 21$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 4$	=	$47 x - 21$
$4 x \cdot x + 16 x$	=	$47 x - 21$
$4 x^{2} + 16 x$	=	$47 x - 21$

4 x^{2} + 16 x

=

47 x - 21

|

- 47 x

+ 21

$4 x^{2} - 31 x + 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 21}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{31+25}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{8}$ = $\frac{31-25}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 91}{2 x - 5} + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

x

=

\frac{91}{2 x - 5} + 3

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{91}{2 x - 5} + 3$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$x \cdot (2 x - 5)$	=	$\frac{91}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 3 \cdot (2 x - 5)$
$x (2 x - 5)$	=	$91 + 6 x - 15$
$x \cdot 2 x + x \cdot (- 5)$	=	$91 + 6 x - 15$
$2 x \cdot x - 5 x$	=	$91 + 6 x - 15$
$2 x^{2} - 5 x$	=	$6 x + 76$

2 x^{2} - 5 x

=

6 x + 76

|

- 6 x

- 76

$2 x^{2} - 11 x - 76$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 608}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{11+27}{4}$ = $\frac{38}{4}$ = $9,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{11-27}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 6}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{5 x + 6}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{5 x + 6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$5 x + 6$	=	$- x^{2}$

5 x + 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{4 x - 16} - \frac{16,5}{2 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 x - 16} - \frac{16,5}{2 x - 8}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{16,5}{2 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{16,5}{2 (x - 4)}$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$3 x \cdot (4 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + \frac{- 16,5}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$
$12 x (x - 4)$	=	$- x - 33$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot (- 4)$	=	$- x - 33$
$12 x \cdot x - 48 x$	=	$- x - 33$
$12 x^{2} - 48 x$	=	$- x - 33$

12 x^{2} - 48 x

=

- x - 33

|

+ x

+ 33

$12 x^{2} - 47 x + 33$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 33}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 584}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{625}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{625}}{24}$ = $\frac{47+25}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = $3$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{625}}{24}$ = $\frac{47-25}{24}$ = $\frac{22}{24}$ = $\frac{11}{12}$ ≈ 0.92

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{11}{12}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{8}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{8}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{8}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 8$	=	$- x^{2}$
$a x - 8 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter