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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4}$ = $- x$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{x}{x + 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- x^{2} - 4 x$

$x$	=	$- x^{2} - 4 x$	\| $- (- x^{2} - 4 x)$
$x^{2} + x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 6}{x + 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x + 6}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x + 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$2 x + 6$	=	$x \cdot (x + 1)$
$2 x + 6$	=	$x^{2} + x$

2 x + 6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 33}{x - 1}$ = $- 2 x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{33}{x - 1}$	=	$- 2 x - 3$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{33}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$
$- 33$	=	$- 2 x \cdot (x - 1) - 3 x + 3$
$- 33$	=	$- 2 x^{2} - x + 3$

- 33

=

- 2 x^{2} - x + 3

|

+ 2 x^{2}

+ x

- 3

$2 x^{2} + x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 1+17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 1-17}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{10}{x} - \frac{16}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{10}{x} - \frac{16}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{10}{x} \cdot x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$10 x - 16$

x^{2}

=

10 x - 16

|

- 10 x

+ 16

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{- 1}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{1}{x - 3}$
$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{1}{x - 3}$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$- x \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{1}{x - 3} \cdot (3 (x - 3))$
$- 3 x \cdot (x - 3)$	=	$- x + 3$
$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot (- 3)$	=	$- x + 3$
$- 3 x \cdot x + 9 x$	=	$- x + 3$
$- 3 x^{2} + 9 x$	=	$- x + 3$

- 3 x^{2} + 9 x

=

- x + 3

|

+ x

- 3

$- 3 x^{2} + 10 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 10+8}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{- 10-8}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 10 x - 3$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 11$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 11$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 11$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 11 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 11 x$
$a + x^{2} + 11 x$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):