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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{5}{x + 4}$ = $- x$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{5}{x + 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{5}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$- 5$	=	$- x (x + 4)$
$- 5$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 5

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 + \frac{6}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 8 + \frac{6}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 8 \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- 8 x + 6$	=	$x \cdot x - 3 x$

- 8 x + 6

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5+7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5-7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x + 1}$ = $- x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{3}{x + 1}$	=	$- x + 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{3}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$
$- 3$	=	$- x (x + 1) + x + 1$
$- 3$	=	$- x^{2} + 1$

$- 3$	=	$- x^{2} + 1$	\| $+ 3$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{16}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$16$	=	$- x^{2} - 8 x$

16

=

- x^{2} - 8 x

|

+ x^{2}

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{0,75}{x + 3}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{0,75}{x + 3}$	=	$- 2 x$
$\frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{0,75}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{0,75}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{0,75}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- 2 x \cdot (4 (x + 3))$
$x + 3$	=	$- 8 x (x + 3)$
$x + 3$	=	$- 8 x^{2} - 24 x$

x + 3

=

- 8 x^{2} - 24 x

|

+ 8 x^{2}

+ 24 x

$8 x^{2} + 25 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{16}$ = $\frac{- 25+23}{16}$ = $\frac{- 2}{16}$ = $- 0,125$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{16}$ = $\frac{- 25-23}{16}$ = $\frac{- 48}{16}$ = $- 3$

Lösung x= $- 3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter