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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2}$ = $3 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$3 x$	=	$3 x (x - 2)$
$3 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$

$3 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$	\| $- (3 x^{2} - 6 x)$
$- 3 x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 9 x$	=	0
$3 x (- x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x + 12}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 25 x + 12}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 25 x + 12}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 25 x + 12$	=	$3 x (x - 3)$
$- 25 x + 12$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 25 x + 12

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} - 16 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 12}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{16+20}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{16-20}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 16 x + 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $4$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{18}{3}$ = -6

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 3}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x}{x + 3}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3) + 5 \cdot (x + 3)$
$4 x$	=	$- x (x + 3) + 5 x + 15$
$4 x$	=	$- x^{2} + 2 x + 15$

4 x

=

- x^{2} + 2 x + 15

|

+ x^{2}

- 2 x

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 9 x + 8}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 9 x + 8}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 9 x + 8}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 9 x + 8$

- x^{2}

=

- 9 x + 8

|

+ 9 x

- 8

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{7,5}{x + 1} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{7,5}{x + 1} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{7,5}{x + 1} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{7,5}{x + 1} + 4 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{- 7,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 4 x \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x - 15 + 8 x (x + 1)$
=	$8 x^{2} + 7 x - 15$

0

=

8 x^{2} + 7 x - 15

|

- 8 x^{2}

- 7 x

+ 15

$- 8 x^{2} - 7 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 15}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 480}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{529}}{- 16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{529}}{- 16}$ = $\frac{7+23}{- 16}$ = $\frac{30}{- 16}$ = $- 1,875$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{529}}{- 16}$ = $\frac{7-23}{- 16}$ = $\frac{- 16}{- 16}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 7 x + 15$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{15}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{15}{8})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{15}{8}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{480}{256}$ = $\frac{529}{256}$

x_1,2 = $- \frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{529}{256}}$

x₁ = $- \frac{7}{16}$ - $\frac{23}{16}$ = $- \frac{30}{16}$ = -1.875

x₂ = $- \frac{7}{16}$ + $\frac{23}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,875$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{20}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{20}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{20}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 20 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 20 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):