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Aufgabenbeispiele von Polynomgleichungen

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Substitution bei Polynomen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 +16 x 2 + 64 x = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 5 +16 x 2 + 64 x = 0 |⋅( x )
x 5 · x + 16 x 2 · x + 64 x · x = 0
x 5 · x +16 x 2 · x +64 = 0
x 6 +16 x 3 +64 = 0
x 6 +16 x 3 +64 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +16u +64 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -16 ± 16 2 -4 · 1 · 64 2⋅1

u1,2 = -16 ± 256 -256 2

u1,2 = -16 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 8 2 - 64 = 64 - 64 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -8 ± 0 = -8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x1 = - 8 3 = -2

u2: x 3 = -8

x 3 = -8 | ⋅3
x2 = - 8 3 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 }