Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

270° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 270° auch nur $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{270}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{270°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{9}{6}$⋅π = $\frac{3}{2}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{5}{2}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{5}{2}$⋅180° = 450°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.8 = $\frac{\mathrm{4.8}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{4.8}}{\pi }$⋅180° ≈ 275°

$-\frac{1}{10}\pi$ bedeutet $-\frac{1}{20}$ eines Kreises, also $-\frac{1}{20}$ von 360° = -18°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -18° + 360° = 342°

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $-\frac{1}{10}\pi$) bzw. für cos(-18°) ablesen:

cos $-\frac{1}{10}\pi$) bzw. cos(-18°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $-\frac{1}{10}\pi$°) ≈ 0.95

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{13}{18}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{36}{18}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{13}{18}$π + $\frac{36}{18}$π =$\frac{23}{18}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{23}{18}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{23}{18}$π = $-\frac{5}{18}$π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{5}{18}$π einfach $-\frac{5}{18}$π + 2 π = $\frac{31}{18}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{23}{18}$π und x₂ = $\frac{31}{18}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{13}{18}$π als $-\frac{13}{18}$⋅ 180° = -130° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 230°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 230° als negativen Winkel 230° -360° = -130° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-130°) = -50°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -50° + 360° = 310°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{23}{18}$π und x₂ = $\frac{31}{18}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,45}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.4667653390473

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,816}$

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{5,816}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,45}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,816}$=-2.6744 bzw. bei -2.6744+2π= $\mathrm{3,608}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{3,608}$

L={ $\mathrm{3,608}$; $\mathrm{5,816}$}