Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

15° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 15° auch nur $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{15°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{3}{36}$⋅π = $\frac{1}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{2}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{2}$⋅180° = 90°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4 = $\frac{4}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{4}{\pi }$⋅180° ≈ 229.2°

$-\frac{2}{3}\pi$ bedeutet $-\frac{1}{3}$ eines Kreises, also $-\frac{1}{3}$ von 360° = -120°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -120° + 360° = 240°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $-\frac{2}{3}\pi$) bzw. für sin(-120°) ablesen:

sin( $-\frac{2}{3}\pi$) bzw. sin(-120°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $-\frac{2}{3}\pi$°) ≈ -0.87

canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{5}{4}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{8}{4}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{5}{4}$π + $\frac{8}{4}$π =$\frac{3}{4}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{3}{4}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{3}{4}$π = $\frac{1}{4}$π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{3}{4}$π und x₂ = $\frac{1}{4}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{5}{4}$π als $-\frac{5}{4}$⋅ 180° = -225° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 135°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 135° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 135°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 135° = 45°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{3}{4}$π und x₂ = $\frac{1}{4}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,15}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.15056827277669

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{6,133}$

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{6,133}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,15}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{6,133}$=-2.9914 bzw. bei -2.9914+2π= $\mathrm{3,292}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{3,292}$

L={ $\mathrm{3,292}$; $\mathrm{6,133}$}