Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

165° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{165°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 165° auch nur $\frac{\mathrm{165°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{165}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{165°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{33}{36}$⋅π = $\frac{11}{12}$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$3$π entspricht also dem Gradmaß $3$⋅180° = 540°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

3.8 = $\frac{\mathrm{3.8}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{3.8}}{\pi }$⋅180° ≈ 217.7°

$\frac{5}{2}\pi$ bedeutet $\frac{5}{4}$ eines Kreises, also $\frac{5}{4}$ von 360° = 450°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 450° = 90° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 450° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 90°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{5}{2}\pi$) bzw. für cos(450°) ablesen:

cos $\frac{5}{2}\pi$) bzw. cos(450°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{5}{2}\pi$°) ≈ 0

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{17}{6}$π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{12}{6}$π) vom gegebenen Winkel: $\frac{17}{6}$π - $\frac{12}{6}$π =$\frac{5}{6}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{6}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{5}{6}$π = $\frac{1}{6}$π berechnen kann.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{6}$π und x₂ = $\frac{1}{6}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{17}{6}$π als $\frac{17}{6}$⋅ 180° = 510° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 150°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 150° an der y-Achse spiegelt, erhält man wieder 150°, allerdings diesemal zwischen der negativen x-Achse und dem pinken Strich. Den gesuchten Winkel misst man ja aber immer zwischen der positiven x-Achse und dem Strich, und das ist dann ja gerade das was noch zu den 180° fehlt:

Wir können also immer einfach 180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = 180° - 150° = 30°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{6}$π und x₂ = $\frac{1}{6}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$-\mathrm{0,7}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.77539749661075

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;6.2831853071796) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\mathrm{5,508}$

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{5,508}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $-\mathrm{0,7}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{5,508}$=-2.3664 bzw. bei -2.3664+2π= $\mathrm{3,917}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{3,917}$

L={ $\mathrm{3,917}$; $\mathrm{5,508}$}