Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

720° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{720°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 720° auch nur $\frac{\mathrm{720°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{720}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{720°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $\frac{24}{6}$⋅π = $4$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$1$π entspricht also dem Gradmaß $1$⋅180° = 180°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.1 = $\frac{\mathrm{0.1}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{0.1}}{\pi }$⋅180° ≈ 5.7°

$2\pi$ bedeutet $1$ eines Kreises, also $1$ von 360° = 360°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $2\pi$) bzw. für sin(360°) ablesen:

sin( $2\pi$) bzw. sin(360°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $2\pi$°) ≈ -0

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{1}{3}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{6}{3}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{1}{3}$π + $\frac{6}{3}$π =$\frac{5}{3}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{5}{3}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{5}{3}$π = $-\frac{2}{3}$π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{2}{3}$π einfach $-\frac{2}{3}$π + 2 π = $\frac{4}{3}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{5}{3}$π und x₂ = $\frac{4}{3}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{1}{3}$π als $-\frac{1}{3}$⋅ 180° = -60° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 300°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 300° als negativen Winkel 300° -360° = -60° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-60°) = -120°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -120° + 360° = 240°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{5}{3}$π und x₂ = $\frac{4}{3}$π

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$\cos \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,75}$

|cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{0,723}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(x\right)$ = $\mathrm{0,75}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,723}$
bzw. bei - $\mathrm{0,723}$+2π= $\mathrm{5,56}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{5,56}$

L={ $\mathrm{0,723}$; $\mathrm{5,56}$}