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Vektor auf Punkt addieren

Beispiel: Der Vektor

\vec{v}

=

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})

verschiebt den Punkt P

(-1 | 0 | 4)

auf den Punkt Q. Gib die Koordinaten von Q an.

Lösung einblenden

Wenn der Punkt P $(-1 | 0 | 4)$ mit dem Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix})$ verschoben wird, so wird ja die x₁-Kooridnate um 1, die x₂-Kooridnate um 0 und die x₃-Kooridnate um -2 verschoben. Es gilt also Q(-1+1|0+0|4-2) = Q $(0 | 0 | 2)$

Vektor auf Punkt addieren (rw.)

Beispiel:

Der Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ verschiebt den Punkt P auf den Punkt Q $(-2 | 2 | 4)$ . Gib die Koordinaten von P an.

Lösung einblenden

Wenn der Punkt Q $(-2 | 2 | 4)$ durch den Vektor $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$ verschoben worden ist, so muss ja beim Ausgangspunkt P jeweils die x₁-Kooridnate um 5, die x₂-Kooridnate um 1 und die x₃-Kooridnate um 3 kleiner gewesen sein, als bei Q. Es gilt also P(-2 - 5 | 2 - 1 | 4 - 3) = P $(-7 | 1 | 1)$

Vektor zwischen zwei Punkten

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Vektors $\vec{PQ}$ der den Punkt P $(-5 | 2 | 2)$ auf den Punkt Q $(-3 | -3 | 2)$ abbildet.

Lösung einblenden

Um vom Punkt P $(-5 | 2 | 2)$ zum Punkt Q $(-3 | -3 | 2)$ zu gelangen, mus...

... in x₁-Richtung die Differenz der x₁-Werte, also -3-( - 5 )
... in x₂-Richtung die Differenz der x₂-Werte, also -3-2
... in x₃-Richtung die Differenz der x₃-Werte, also 2-2

gegangen werden. Es gilt also $\vec{PQ}$ = $(\begin{matrix} -3-(-5) \\ -3-2 \\ 2-2 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -5 \\ 0 \end{matrix})$

A, B und Mittelpunkt davon

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A $(1 | -4 | -5)$ , B $(-5 | 4 | -3)$ und der Mittelpunkt M der Strecke AB. Bestimme die Koordinaten von M.

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass der Verbindungsvektor von A zu B gerade der doppelte Vektor von A zu M ist. Für $\vec{AB}$ gilt: $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -5 - 1 \\ 4 - (-4) \\ -3 - (-5) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -6 \\ 8 \\ 2 \end{matrix})$ . Wir müssen also $\frac{1}{2}$ ⋅ $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})$ zum Ortsvektor von A addieren, um den Ortsvektor von MB zu erhalten:

\vec{OM}

=

\vec{OA}

+

\frac{1}{2}

⋅

\vec{AB}

=

(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ -5 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{matrix})

Deutlich schneller geht's, wenn man einfach in allen drei Koordinaten immer die Mittelwerte von den jeweiligen Koordinaten von A und B bildet:
. M $(\frac{1 + (- 5)}{2} | \frac{-4 + 4}{2} | \frac{-5 + (- 3)}{2})$

Die Koordinaten des gesuchten Punkts sind somit M $(-2 | 0 | -4)$ .

Linearkombination (einfach)

Beispiel:

Berechne:
-3 ⋅ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ -4 ⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{matrix})$

Lösung einblenden

-3 ⋅

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

-4 ⋅

(\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ -5 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -3 ⋅0 \\ -3 ⋅1 \\ -3 ⋅0 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} -4 ⋅(-1) \\ -4 ⋅3 \\ -4 ⋅(-5) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ 20 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0+4 \\ -3-12 \\ 0+20 \end{matrix})

= $(\begin{matrix} 4 \\ -15 \\ 20 \end{matrix})$

Vektorkette erkennen

Beispiel:

Der Vektor $\vec{AG}$ verschiebt den Punkt A auf den Punkt G.

Stelle $\vec{AG}$ durch die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{d}$ , $\vec{e}$ , $\vec{f}$ dar:

Lösung einblenden

Wir gehen einfach vom Punkt A zum Punkt G entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\vec{AG}$ = 3⋅ $\vec{a}$ + $\vec{d}$ - $\vec{e}$ + $\vec{f}$

Endpunkt von Vektorkette finden

Beispiel:

Der Vektor $\vec{AG}$ verschiebt den Punkt A $(2 | -1 | 3)$ auf den Punkt G.

Berechne mithilfe der in der Skizze rechts eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ = $(\begin{matrix} 3 \\ -4 \\ -3 \end{matrix})$ , $\vec{b}$ = $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{d}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{f}$ = $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ die Koordinaten des Punkts G.

Lösung einblenden

Wir gehen einfach vom Punkt A zum Punkt G entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\vec{AG}$ = $\vec{a}$ +2⋅ $\vec{b}$ -2⋅ $\vec{d}$ + $\vec{f}$

= $(\begin{matrix} 3 \\ -4 \\ -3 \end{matrix})$ +2⋅ $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ -2⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 7 \\ -4 \\ -1 \end{matrix})$ -2⋅ $(\begin{matrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ -5 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -5 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ -1 \end{matrix})$

Jetzt müssen wir den Vektor $\vec{AG}$ eben noch auf den Ortsvektor von A draufaddieren:

$\vec{OG}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{AG}$

= $(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ -1 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})$

Somit gilt: G $(6 | 6 | 2)$ .

Vektor in Vektorkette finden

Beispiel:

Der Vektor $\vec{AE}$ verschiebt den Punkt A $(-2 | 5 | -5)$ auf den Punkt E $(-1 | 22 | 9)$ .

Berechne mithilfe der in der Skizze rechts eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ = $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ -2 \end{matrix})$ , $\vec{b}$ , $\vec{e}$ = $(\begin{matrix} 0 \\ -5 \\ 2 \end{matrix})$ die Koordinaten des Vektors $\vec{b}$ .

Lösung einblenden

Da die Koordinaten von A und E gegeben sind, können wir die Koordinaten des Verbindungsvektor $\vec{EA}$ (in der Skizze rechts in grau eingezeichnet) berechnen:

$\vec{EA}$ = $(\begin{matrix} -2-(-1) \\ 5-22 \\ -5-9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -17 \\ -14 \end{matrix})$

Wenn wir nun die Vektorkette $\vec{AE}$ = - $\vec{a}$ -3⋅ $\vec{b}$ von A nach E durchlaufen und dann den direkten Weg $\vec{EA}$ wieder zurück gehen, landen wir ja wieder am Aufgangspunkt A, das heißt, wir haben effektiv den Nullvektor zurückgelegt:

- $\vec{a}$ -3⋅ $\vec{b}$ + $\vec{EA}$ = $\vec{0}$ | +3 $\vec{b}$

Wenn wir nun den gesuchten Vektor $\vec{b}$ auf die andere Seite bringen erhalten wir:

- $\vec{a}$ + $\vec{EA}$ = +3 $\vec{b}$

- $(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ -2 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} -1 \\ -17 \\ -14 \end{matrix})$ = +3 $\vec{b}$
$(\begin{matrix} -6 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$ = +3 $\vec{b}$

Jetzt kennen wir den Vektor für +3 $\vec{b}$ . Um $\vec{b}$ zu erhalten, müssen wir nun lediglich den Vektor $(\begin{matrix} -6 \\ -12 \\ -12 \end{matrix})$ durch $3$ teilen:

Somit gilt: $\vec{b}$ = $(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{matrix})$ .

Länge eines Vektors (ganzzahlig)

Beispiel:

Bestimme die Länge des Vektors $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{matrix})$ .

Lösung einblenden

Für die Länge dieses Vektors $\vec{v}$ gilt: $| \vec{v} |$ = $| (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{6^{2} + 6^{2} + {(-3)}^{2}}$ = $\sqrt{81}$ = 9

Länge eines Vektors

Beispiel:

Bestimme die Länge des Vektors $\vec{v}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})$ .

Lösung einblenden

Für die Länge dieses Vektors $\vec{v}$ gilt: $| \vec{v} |$ = $| (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{19}$ ≈ 4.36

Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

Beispiel:

Bestimme den Abstand der beiden Punkte
A $(4 | -2 | -3)$ und B $(-2 | -4 | 6)$ !

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen A

(4 | -2 | -3)

und B

(-2 | -4 | 6)

:

\vec{AB}

=

(\begin{matrix} -2 - 4 \\ -4 - (-2) \\ 6 - (-3) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -6 \\ -2 \\ 9 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen A und B
d=|

\vec{AB}

| =

| (\begin{matrix} -6 \\ -2 \\ 9 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-6)}^{2} + {(-2)}^{2} + 9^{2}}

=

\sqrt{121}

= 11

4. Punkt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A $(3 | 4 | -4)$ , B $(-2 | 0 | 0)$ und C $(2 | -1 | -1)$ soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D.

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

\vec{OD}

=

\vec{OA}

+

\vec{BC}

=

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ -4 \end{matrix})

+

(\begin{matrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 7 \\ 3 \\ -5 \end{matrix})

Pyramidenberechnungen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die Grundfläche der Pyramide ist parallel zur x₁-x₂-Ebene. Der Punkt B hat die Koordinaten B $(9 | 6 | -2)$ , der Punkt C hat die Koordinaten C $(1 | 6 | -2)$ . Die Höhe der Pyramide beträgt 4 Einheiten.

Gib die Koordinaten der Spitze S an und berechne die Länge einer der Pyramidenkanten.

Lösung einblenden

Da die Pyramide gerade ist, liegt die Spitze genau über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche der Pyramide. Diesen Diagonalenschnittpunkt können wir einfach als Mittelpunkt zweier gegenüberliegenden Punkte der Grundfläche berechen. Dazu brauchen wir aber noch mindestens einen weiteren Punkt der Grundfläche:

Der Punkt D muss natürlich auch als x₃-Koordinate den Wert -2 haben, da ja die Grundfläche parallel zur x₁-x₂-Ebene ist, außerdem muss er die gleiche x₁-Koordinate wie C haben. Da B und C den Abstand 8 haben, muss die x₂-Koordinate von D auch um 8 kleiner sein, somit gilt: D $(1 | -2 | -2)$ .

Jetzt können wir den Mittelpunkt von B und D berechnen:
M. $(\frac{9 + 1}{2} | \frac{6 + (- 2)}{2} | \frac{-2 + (- 2)}{2})$ = M $(5 | 2 | -2)$

Dieser Mittelpunkt M liegt nun am Fuß der Höhe h, die ja 4 Einheiten hoch ist. Somit muss die Spitze S der Pyramide die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten wie M haben, allerdings einen um 4 größeren x₃-Wert, also S $(5 | 2 | 2)$ .

Aufgrund der Symmetrie sind alle 4 Kanten der Pyramide gleich lang. Wenn wir das Dreieck BMS anschauen, erkennen wir, dass es in M einen rechten Winkel hat und wir somit den Satz des Pythagoras anwenden können: $\overset{—}{BS}$ ² = $\overset{—}{BM}$ ² + $\overset{—}{MS}$ ²

Wir brauchen also noch die Strecke BM, diese ist aber ja gerade die Hälfte der Strecke BD

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen B

(9 | 6 | -2)

und D

(1 | -2 | -2)

:

\vec{BD}

=

(\begin{matrix} 1 - 9 \\ -2 - 6 \\ -2 - (-2) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen B und D
d=|

\vec{BD}

| =

| (\begin{matrix} -8 \\ -8 \\ 0 \end{matrix}) |

=

\sqrt{{(-8)}^{2} + {(-8)}^{2} + 0^{2}}

=

\sqrt{128}

≈ 11.313708498985

Jetzt können wir die Strecke BM = $\frac{1}{2}$ BD in die Pythagoras-Gleichung einsetzen:

$\overset{—}{BS}$ ² = $\overset{—}{BM}$ ² + $\overset{—}{MS}$ ²
= ${(\frac{1}{2} \sqrt{128})}^{2} + 4^{2}$
= $32 + 16$
= $48$

Somit gilt für die gesuchte Kantenlänge: $\overset{—}{BS}$ = $\sqrt{48}$ ≈ 6.93

Schwerpunkt eines Dreiecks

Beispiel:

In jedem Dreieck schneiden sich die drei Verbindungslinien zwischen einem Seitenmittelpunkt und dem gegenüberliegenden Punkt im Schwerpunkt. Dabei teilen sich diese Schwerelinien immer im Verhältnis 2:1, d.h. die Strecke vom Schwerpunkt zu Eckpunkt ist doppelt so lang wie die zum Seitenmittelpunkt.

Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A $(2 | -3 | 4)$ , B $(4 | -11 | 8)$ und C $(15 | 5 | 18)$ .

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass wir - um den Ortsvektor $\vec{OS}$ des Schwerpunkts S zu erhalten - einfach einen Vektorzug vom Ursprung über A und die Seitenmitte M_AB zu S führen können.

Es gilt also:

$\vec{OS}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\vec{M_{AB} S}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{M_{AB} C}$

Um diese Vektoren und damit den Ortsvektor des Schwerpunkts S berechnen zu können, brauchen wir M_AB, den Mittelpunkt zwischen A und B. Hierfür können wir ja einfach in jeder Koordinate den Mittelwert bilden: . M AB $(\frac{2 + 4}{2} | \frac{-3 + (- 11)}{2} | \frac{4 + 8}{2})$ = M $(3 | -7 | 6)$

Damit gilt für $\vec{A M_{AB}}$ und $\vec{M_{AB} C}$ :

$\vec{A M_{AB}}$ = $(\begin{matrix} 3 - 2 \\ -7 - (-3) \\ 6 - 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{M_{AB} C}$ = $(\begin{matrix} 15 - 3 \\ 5 - (-7) \\ 18 - 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 12 \\ 12 \\ 12 \end{matrix})$

Dies können wir nun in die obige Vektorgleichung einsetzen:

$\vec{OS}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{A M_{AB}}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{M_{AB} C}$
= $(\begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{matrix})$ + $\frac{1}{3}$ $(\begin{matrix} 12 \\ 12 \\ 12 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 3 \\ -7 \\ 6 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})$
= $(\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 10 \end{matrix})$

Die Koordinaten des gesuchten Schwerpunkts sind somit S $(7 | - 3 | 10)$ .

Fläche eines gleichschenkl. Dreiecks

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A $(7 | -8 | -5)$ , B $(11 | -7 | 4)$ und C $(3 | -2 | 7)$ .

Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst einmal die drei Verbindungsvektoren jeweils zwischen zwei Punkten:

$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 9 \end{matrix})$ , $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 6 \\ 12 \end{matrix})$ und $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})$

Jetzt schauen wir uns die Längen der drei Vektoren an:

c=| $\vec{AB}$ | = $\sqrt{4^{2} + 1^{2} + 9^{2}} = \sqrt{98}$

b=| $\vec{AC}$ | = $\sqrt{{(-4)}^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$

a=| $\vec{BC}$ | = $\sqrt{{(-8)}^{2} + 5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{98}$

Da | $\vec{AB}$ |=| $\vec{BC}$ |, ist das Dreieck gleichschenklig.

Die Höhe h_b trifft also genau in der Mitte auf AC.

Wir berechnen also den Mittelpunkt M_b. $(\frac{3 + 7}{2} | \frac{-2 + (- 8)}{2} | \frac{7 + (- 5)}{2})$ = M_b $(5 | -5 | 1)$ .

Die Strecke M_bB mit dem Verbindungsvektor $\vec{M_{b} B}$ = $(\begin{matrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{matrix})$ ist dann die Höhe auf die Seite b.

Die Höhe ist | $\vec{M_{b} B}$ | = $\sqrt{6^{2} + {(-2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{49} = 7$

Für den Flächeninhalt gilt also:

A= $\frac{1}{2}$ ⋅| $\vec{M_{b} B}$ | ⋅ b = $\frac{1}{2}$ ⋅7⋅14 = 49

Aufgabenbeispiele von Vektorrechnung

Vektor auf Punkt addieren

Vektor auf Punkt addieren (rw.)

Vektor zwischen zwei Punkten

A, B und Mittelpunkt davon

Linearkombination (einfach)

Vektorkette erkennen

Endpunkt von Vektorkette finden

Vektor in Vektorkette finden

Länge eines Vektors (ganzzahlig)

Länge eines Vektors

Abstand zwischen zwei Punkten berechnen

4. Punkt eines Parallelogramms

Pyramidenberechnungen

Schwerpunkt eines Dreiecks

Fläche eines gleichschenkl. Dreiecks