$\text{f(x)}=$ $5x^2$

$\text{f'(x)}=$ $10x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^6}$

= $3x^{-6}$

=> f'(x) = $-18x^{-7}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{18}{x^7}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(\sqrt[6]{x}\right)}^7$

= $x^{\frac{7}{6}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{6}{x}^{\frac{1}{6}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{6}\sqrt[6]{x}$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^2}$

= $-x^{-2}$

=> f'(x) = $2x^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{x^3}$

f'(-1) = $\frac{2}{{\left(-1\right)}^3}$ = $2\cdot \left(-1\right)$ = $-2$

$\text{f(x)}=$ $5\sqrt{x}$

= $5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{5}{2\sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{5}{2\cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{5}{2\cdot 4}$ = $\frac{5}{8}$ ≈ 0.63

Die Gerade y = $\frac{1}{2}x-3$ hat als Steigung m = $\frac{1}{2}$ und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{1}{2}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x^2}$

= $2x^{-2}$

=> f'(x) = $-4x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{x^3}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{1}{2}$ sein, also setzen wir $-\frac{4}{x^3}$ = $\frac{1}{2}$.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^3$ weg!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = $-\frac{4}{{\left(-2\right)}^3}$ = $\frac{1}{2}$