Aufgabenbeispiele von Faktorregel

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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5

f'(x)=0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 7 2 x 6 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 7 2 x 6

= - 7 2 x -6

=> f'(x) = 21 x -7

f'(x)= 21 x 7

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x 7 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -4 x 7

= -4 x 1 7

=> f'(x) = - 4 7 x - 6 7

f'(x)= - 4 7 ( x 7 ) 6

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 2 x 3 im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3

= 2 x -3

=> f'(x) = -6 x -4

=>f'(x)= - 6 x 4

f'(2) = - 6 2 4 = -6( 1 16 ) = - 3 8 ≈ -0.38

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 3 x 4 im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

f(x)= 3 x 4

= 3 x 1 4

=> f'(x) = 3 4 x - 3 4

=>f'(x)= 3 4 ( x 4 ) 3

f'(16) = 3 4 ( 16 4 ) 3 = 3 4 2 3 = 3 4 8 = 3 32 ≈ 0.09

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 x parallel zur Geraden y = - 1 3 x +2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = - 1 3 x +2 hat als Steigung m = - 1 3 und als y-Achsenabschnitt c = 2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = - 1 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 x

= 3 x -1

=> f'(x) = -3 x -2

f'(x)= - 3 x 2

Diese Ableitung muss ja = - 1 3 sein, also setzen wir - 3 x 2 = - 1 3 .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

- 3 x 2 = - 1 3 |⋅( x 2 )
- 3 x 2 · x 2 = - 1 3 · x 2
-3 = - 1 3 x 2
-3 = - 1 3 x 2 | +3 + 1 3 x 2
1 3 x 2 = 3 |⋅3
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = - 3 ( -3 ) 2 = - 1 3

f '( 3 ) = - 3 3 2 = - 1 3