$\text{f(x)}=$ $x^3+x+1$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+1+0$

= $3x^2+1$

$\text{f(x)}=$ $1-\frac{1}{2x^2}$

= $1-\frac{1}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $0+x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{1}{x^3}$

= $\frac{1}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-6\sqrt{x}$

= $-6x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-3x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $2x-5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $-5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3+2$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+2$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}+0$

= $\sqrt{x}$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt{x}+0$ = 2.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$) = $\sqrt{4}+0$ = $2$