$\text{f(x)}=$ $x^5+x^4+x^3+x^2+x$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $7x^4-\frac{9}{2x^3}$

= $7x^4-\frac{9}{2}{x}^{-3}$

=> f'(x) = $28x^3+\frac{27}{2}{x}^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $28x^3+\frac{27}{2x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}-5x^4$

= $x^{-\frac{1}{2}}-5x^4$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-20x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2{\left(\sqrt{x}\right)}^3}-20x^3$

Die Gerade y = $x+3$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{5}{6}{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^6-3$

= $\frac{5}{6}{x}^{\frac{6}{5}}-3$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{5}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[5]{x}+0$

= $\sqrt[5]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $\sqrt[5]{x}+0$ = 1.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$) = $\sqrt[5]{1}+0$ = $1$