$\text{f(x)}=$ $x^5+x^3+x^2+x+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+3x^2+2x+1+0$

= $5x^4+3x^2+2x+1$

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2x^2}$

= $x^2+\frac{3}{2}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $2x-3x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $2x-\frac{3}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $-4x^3+4\sqrt[3]{x}$

= $-4x^3+4x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-12x^2+\frac{4}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+\frac{4}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

Die Gerade y = $4x+4$ hat als Steigung m = 4 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3-4$

= $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-4$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt{x}+0$

= $\sqrt{x}$

Diese Ableitung muss ja = 4 sein, also setzen wir $\sqrt{x}+0$ = 4.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also 4 = 4

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt{16}+0$ = $4$