$\text{f(x)}=$ $x^5+x^4+x^2+1$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+4x^3+2x+0$

= $5x^4+4x^3+2x$

$\text{f(x)}=$ $\frac{6}{x}-7x^4$

= $6x^{-1}-7x^4$

=> f'(x) = $-6x^{-2}-28x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{x^2}-28x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\sqrt{x}$

= $\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{9}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $3x+5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4-x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}-1$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}-1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}-1$ = 3.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Also 3 = 3

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$) = $\sqrt[3]{64}-1$ = $3$