$\text{f(x)}=$ $x^3+x^2$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+2x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{x}+4x^3$

= $-4x^{-1}+4x^3$

=> f'(x) = $4x^{-2}+12x^2$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{x^2}+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $-6x+5\sqrt{x}$

= $-6x+5x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-6+\frac{5}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-6+\frac{5}{2\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $10x+5$ hat als Steigung m = 10 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 10 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{4}{5}{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^5+8x$

= $\frac{4}{5}{x}^{\frac{5}{4}}+8x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{4}}+8$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[4]{x}+8$

Diese Ableitung muss ja = 10 sein, also setzen wir $\sqrt[4]{x}+8$ = 10.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Also 10 = 10

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$) = $\sqrt[4]{16}+8$ = $10$