Aufgabenbeispiele von ganzrational

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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 3 x 4 -2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 3 x 4 -2

f'(x)= 4 3 x 3 +0

= 4 3 x 3

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 3 -1 und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

f(x)= 2 x 3 -1

=>f'(x)= 6 x 2 +0

= 6 x 2

f'(1) = 6 1 2 = 61 = 6

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit f(x)= ( 2 x 2 -3 ) · x 3 .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

f(x)= ( 2 x 2 -3 ) · x 3

= 2 x 2 · x 3 -3 · x 3

= 2 x 5 -3 x 3

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x)= 10 x 4 -9 x 2

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +6 ) · ( -4 x 2 ) -7 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

f(x)= ( x +6 ) · ( -4 x 2 ) -7 x 2

= -4 x 3 -24 x 2 -7 x 2

= -4 x 3 -31 x 2

f'(x)= -12 x 2 -62x

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= t x 3 -2 x 2 +4 t x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= t x 3 -2 x 2 +4 t x

f'(x)= 3 t x 2 -4x +4 t

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -4x den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -4x

f'(x)= x 2 + x -4

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 2 + x -4 = 2.

x 2 + x -4 = 2 | -2

x 2 + x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 -3 -4 = 2

f '( 2 ) = 2 2 +2 -4 = 2

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -4x parallel zur Geraden y = -2x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -2x -1 hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 - 1 2 x 2 -4x

f'(x)= x 2 - x -4

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir x 2 - x -4 = -2.

x 2 - x -4 = -2 | +2

x 2 - x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

L={ -1 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -1 ) = ( -1 ) 2 - ( -1 ) -4 = -2

f '( 2 ) = 2 2 - 2 -4 = -2

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 6 x 2 · ( 2x +3 ) -6 -6( x +5 ) parallel zur Geraden y = -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = 1 6 x 2 · ( 2x +3 ) -6 -6( x +5 )

= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -6 -6x -30

= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -6x -6 -30

= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -6x -36

Die Gerade y = -1 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -6x -36

f'(x)= x 2 + x -6 +0

= x 2 + x -6

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 2 + x -6 +0 = 0.

x 2 + x -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

L={ -3 ; 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -3 ) = ( -3 ) 2 -3 -6 +0 = 0

f '( 2 ) = 2 2 +2 -6 +0 = 0

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit f(x)= t x 6 + x im Punkt (2|f(2)) den Wert -383?

Lösung einblenden

f(x)= t x 6 + x

=>f'(x)= 6 t x 5 +1

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= 6 t 2 5 +1
= 192 t +1

Dieser Wert soll ja den Wert -383 besitzen, also gilt:

192t +1 = -383 | -1
192t = -384 |:192
t = -2