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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - \frac{1}{4} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} - \frac{1}{4} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} - \frac{1}{2} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=4 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + 3 x$

=> $f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 3$

f'(4) = $- 20 \cdot 4^{3} + 3$ = $- 20 \cdot 64 + 3$ = $- 1 280 + 3$ = $- 1 277$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5 x^{3} + 5}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{5 x^{3} + 5}{x^{2}}$

= $\frac{5 x^{3}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

= $5 x + \frac{5}{x^{2}}$

= $5 x + 5 x^{- 2}$

Jetzt wird abgeleitet:

f'(x) = $5 - 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $5 - \frac{10}{x^{3}}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot 5 x^{2} - 5 x^{3} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot 5 x^{2} - 5 x^{3} - x$

= $5 x^{3} + 20 x^{2} - 5 x^{3} - x$

= $5 x^{3} - 5 x^{3} + 20 x^{2} - x$

= $20 x^{2} - x$

$f'(x) =$ $40 x - 1$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 2 t^{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - 2 t^{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $6 x^{2} - 4 t^{2} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 11 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 11 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6 x + 11$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} - 6 x + 11$ = 2.

x^{2} - 6 x + 11

=

2

|

- 2

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

L={ $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$ ) = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 11$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ parallel zur Geraden y = $3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3$ hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 9$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^{2} - 9$ = 0.

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} - 9$ = 0

f '( $3$ ) = $3^{2} - 9$ = 0

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 6 (x + 1) + 5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $- 6 (x + 1) + 5 x + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x - 9)$

= $- 6 x - 6 + 5 x + (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x + 5 x - 6$

= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x - 6$

Die Gerade y = $- 3 x + 5$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - x - 6$

$f'(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1 + 0$

= $x^{2} - 3 x - 1$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x^{2} - 3 x - 1 + 0$ = -3.

x^{2} - 3 x - 1

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1 + 0$ = $- 3$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 3 \cdot 2 - 1 + 0$ = $- 3$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{3} + 5 x^{2}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 5?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{3} + 5 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $3 t x^{2} + 10 x$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $3 t \cdot {(- 1)}^{2} + 10 \cdot (- 1)$
= $3 t - 10$

Dieser Wert soll ja den Wert 5 besitzen, also gilt:

$3 t - 10$	=	$5$	\| $+ 10$
$3 t$	=	$15$	\|: $3$
$t$	=	$5$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter