$\text{f(x)}=$ $-x^3-5x$

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-5$

$\text{f(x)}=$ $-2x^3+3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+3$

f'(2) = $-6\cdot 2^2+3$ = $-6\cdot 4+3$ = $-24+3$ = $-21$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(2x^3+3x\right)·x$

= $2x^3·x+3x·x$

= $2x^4+3x^2$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $8x^3+6x$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $-4x^3-5+\left(x-1\right)·\left(-7x\right)$

= $-4x^3-5+\left(-7x^2+7x\right)$

= $-4x^3-7x^2+7x-5$

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2-14x+7$

$\text{f(x)}=$ $x^4+5t^2$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+0$

= $4x^3$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-2x$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x^2-2x$ = 3.

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)$ = $3$

f '( $3$) = $3^2-2\cdot 3$ = $3$

Die Gerade y = $2x-4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $-4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+11x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6x+11$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^2-6x+11$ = 2.

$x^2-6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$}

$3$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $3$) = $3^2-6\cdot 3+11$ = $2$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $4+\frac{1}{3}·\left(3\left(\frac{1}{3}{x}^3+7\right)\right)$

= $4+\frac{1}{3}{x}^3+7$

= $\frac{1}{3}{x}^3+4+7$

= $\frac{1}{3}{x}^3+11$

Die Gerade y = $x-5$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $-5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+11$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+0$

= $x^2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2+0$ = 1.

L={ $-1$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+0$ = $1$

f '( $1$) = $1^2+0$ = $1$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^4+4x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $4t{x}^3+8x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4t\cdot 1^3+8\cdot 1$
= $4t+8$

Dieser Wert soll ja den Wert 16 besitzen, also gilt: