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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{10} x^{5} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{10} x^{5} + 2 x$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4} + 2$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5} - 4 x^{2}$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5} - 4 x^{2}$

=> $f'(x) =$ $25 x^{4} - 8 x$

f'(1) = $25 \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1$ = $25 \cdot 1 - 8$ = $25 - 8$ = $17$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3) \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{2} \cdot x^{2} - 3 \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{4} - 3 x^{2}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} - 6 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{5} + 6 x + (x + 4) \cdot 6 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $- x^{5} + 6 x + (x + 4) \cdot 6 x^{3}$

= $- x^{5} + 6 x + (6 x^{4} + 24 x^{3})$

= $- x^{5} + 6 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2} + 6$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{5} + 2 t x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{5} + 2 t x^{4}$

$f'(x) =$ $20 x^{4} + 8 t x^{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 2$ = -2.

x^{2} - 4 x + 2

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2^{2} - 4 \cdot 2 + 2$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x$

$f'(x) =$ $x + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x + 1$ = 2.

$x + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1 + 1$ = $2$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) + 3 - 2 (x - 4)$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 3) + 3 - 2 (x - 4)$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 - 2 x + 8$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x + 3 + 8$

= $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x + 11$

Die Gerade y = $x + 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 2 x + 11$

$f'(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2 + 0$

= $x^{2} - 2 x - 2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^{2} - 2 x - 2 + 0$ = 1.

x^{2} - 2 x - 2

=

1

|

- 1

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

L={ $- 1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) - 2 + 0$ = $1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 2 + 0$ = $1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x^{4} + t x^{3}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert -23?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{4} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $8 x^{3} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $8 \cdot {(- 1)}^{3} + 3 t \cdot {(- 1)}^{2}$
= $- 8 + 3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert -23 besitzen, also gilt:

$3 t - 8$	=	$- 23$	\| $+ 8$
$3 t$	=	$- 15$	\|: $3$
$t$	=	$- 5$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter