Es gilt f(x) = 21.

Also müssen wir $x^2-x+1$ = $21$ nach x auflösen:.

$x^2-x+1$

=

$21$

| $-21$

$x^2-x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-20\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Definitionsmenge

Man darf für x alles einsetzen, solange der Nenner nicht Null wird. Man sieht hier gut, dass dies aber nur für x = 1 passiert.
Die Definitionsmenge ist somit D = ℝ\{1}.

Wertemenge

• $\frac{1}{x}$ kann alle Werte außer der 0 annehmen
• Da ja $\frac{\mathrm{-3}}{x}$ nur um den Faktor 3 gestreckt und gespiegelt ist, kann auch $\frac{\mathrm{-3}}{x}$ alle Werte außer der 0 annehmen
• $-\frac{3}{x-1}$ ist ja nur um 1 nach rechts verschoben, also nimmt auch $-\frac{3}{x-1}$ alle Werte außer der 0 an.
• Wenn man nun davon noch 3 subtrahiert, so werden eben alle Werte um 3 kleiner. Somit können eben alle Werte außer der -3 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = ℝ \ {-3}.

Der gesuchte Term lautet also: U(x) = $\left(2x+2\right)·\sqrt{5}$