Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

= 1 - $\frac{3}{4}$

= $\frac{1}{4}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{1}{2}$ = 0.5

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(208°) und cos(208°) ablesen:

sin(208°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(208°) ≈ -0.47

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.9 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.9 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 25.8° setzt, so sieht man, dass der cos(25.8)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.9 ist.

cos(25.8°) ≈ 0.9

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Und da unser Ausgangswinkel 900° > 360° ist, müssen wir eben so lange 360° subtrahieren, bis unser Winkel zwischen 0 und 360° ist:

α = 900 - 360° - 360° = 180°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 16 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 8 s

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 8 s erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

10 s ≙ 360°
1 s ≙ $\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{10}}$ ° = 36°
8 s ≙ 36 ⋅ 8° ≈ 288°

sin(288°) ≈ -0.95, entsprechend ist 16 ⋅ sin(288°) ≈ -15.22

Also ist nach 8 s der y-Wert 15.22 m unter dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 17 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 17 m -15.22 m
= 1.78 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 31.4 m

Die gegebenen Höhe von h = 31.4 m entspricht gerade der Höhe 31.4 m - 17 m = 14.4 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 16 ⋅ sin(α) = 14.4 gilt.

16 ⋅ sin(α) = 14.4 |: 16

sin(α) = 0.9 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 64.2°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 10 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{36}$ s
64.2° ≙ $\frac{1}{36}$ ⋅ 64.2 s ≈ 1.783 s

Somit ist nach 1,783 s die Höhe h = 31,4 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 16 ⋅ sin(α) = 14.4 bzw. sin(β) = 0.9. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-64.2 = 115.8°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 10 s
1 ° ≙ $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{360}}$ s = $\frac{1}{36}$ s
115.8° ≙ $\frac{1}{36}$ ⋅ 115.8 s ≈ 3.217 s

Somit ist nach auch 3,217 s die Höhe h = 31,4 m erreicht.