Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach cos(α):

(cos(α))² = 1 - (sin(α))²

= 1 - ${\left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)}^2$

= 1 - $\frac{91}{100}$

= $\frac{9}{100}$

Damit glit für cos(α):

cos(α) = $\frac{3}{10}$ = 0.3

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(26°) und cos(26°) ablesen:

sin(26°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin(26°) ≈ 0.44

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = -0.8 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, -0.8 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 143.1° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 216.9° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ -0.8 ist.

cos(143.1°) ≈ -0.8 und cos(216.9°) ≈ -0.8

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 290° als negativen Winkel 290° -360° = -70° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

α = -180° - (-70°) = -110°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -110° + 360° = 250°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 12 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 3 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 3 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

6 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{\mathrm{360}}{6}$ ° = 60°
3 min ≙ 60 ⋅ 3° ≈ 180°

sin(180°) ≈ 0, entsprechend ist 12 ⋅ sin(180°) ≈ 0

Also ist nach 3 min der y-Wert 0 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 14 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 14 m +0 m
= 14 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 15.2 m

Die gegebenen Höhe von h = 15.2 m entspricht gerade der Höhe 15.2 m - 14 m = 1.2 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 12 ⋅ sin(α) = 1.2 gilt.

12 ⋅ sin(α) = 1.2 |: 12

sin(α) = 0.1 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 5.7°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{60}$ min
5.7° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 5.7 min ≈ 0.095 min

Somit ist nach 0,095 min die Höhe h = 15,2 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 12 ⋅ sin(α) = 1.2 bzw. sin(β) = 0.1. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α von 0°, also gerade α von 180° entfernt.
Somit gilt β = 180°-α = 180°-5.7 = 174.3°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 6 min
1 ° ≙ $\frac{6}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{60}$ min
174.3° ≙ $\frac{1}{60}$ ⋅ 174.3 min ≈ 2.905 min

Somit ist nach auch 2,905 min die Höhe h = 15,2 m erreicht.