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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Asse, 3 Könige, 3 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 3 + 3 + 4=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

König: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

Dame: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

Bube: p= $\frac{4}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{64}$
rot -> blau	$\frac{7}{64}$
blau -> rot	$\frac{7}{64}$
blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{7}{8}$ ; blau: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{19}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{19}$
Herz -> Herz	$\frac{14}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{2}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{38}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{2}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{38}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{4}$ ; Herz: $\frac{2}{5}$ ; Pik: $\frac{1}{10}$ ; Karo: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{49}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Dame": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{11}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{8}{33}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: $\frac{1}{3}$ ; nicht Dame: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{14}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{33}$ + $\frac{8}{33}$ + $\frac{14}{33}$ = $\frac{10}{11}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{21}{190}$
1 -> 3	$\frac{49}{380}$
2 -> 1	$\frac{21}{190}$
2 -> 2	$\frac{3}{38}$
2 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 1	$\frac{49}{380}$
3 -> 2	$\frac{21}{190}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{7}{20}$ ; 2: $\frac{3}{10}$ ; 3: $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{5}$ ; "nicht NWT": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{29}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{24}{145}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{24}{145}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{92}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{5}$ ; nicht NWT: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{24}{145}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{24}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{24}{145}$ + $\frac{24}{145}$ = $\frac{48}{145}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 1 11 = 10 11

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$