Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung F '= f = 0, wir suchen also die Nullstellen der Originalfunktion f.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von F, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Originalfunktion f.

Da der Graph von f bei x = 0 die x-Achse berührt und f somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Stammfunktion F bei x = 0 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f von - nach +. Also muss der Graph der Stammfunktion F bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = 3.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion der Stammfunktion F, also der Funktion f, positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;3] gilt: f(x) ≤ 0, also ist F monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 2 haben. Es muss also f(x) = 2 gelten.

Am Schaubild kann man f(3) = 2 und f(-1) = 2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 3 und x₂ = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-1) + f '(-1) = 0 + 0 = $0$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F($0$).

F($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F($0$) = $\frac{3}{2}$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = -4 und f(2) = -1 ablesen.

Also gilt $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(2)- f(-1) = -1 - ( - 4 ) = 3.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(2)- f(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;2] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$⋅1⋅0.5 = 0.25 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅( - 3 )⋅1.5 = -2.25 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -2 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(2)-f(0) = -2

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.9 und x = 0.75 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(0.75) < f(-1.9) sein.

Zwischen x=0.75 und x=4.1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(4.1) > f(0.75).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(0.75) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-1.9)>f(4.1) oder f(4.1)>f(-1.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-1.9}{\overset{0.75}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$ < $$\left|\underset{0.75}{\overset{4.1}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -1.9 und 0.75 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 0.75 und 4.1.

Also muss f(-1.9) kleiner als f(4.1) sein. Insgesamt gilt:

f(0.75) < f(-1.9) < f(4.1)

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -5 eine Nullstelle von J_-5.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Man kann aber keine Integralflächen über und unterhalb der x-Achse finden, die sich gegenseitig kann aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-5(x) = $$\underset{-5}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 1 Nullstelle.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-1) = $-1$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-1)) = F($-1$).

F($-1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-1)) = F($-1$) = $-2$.