Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Term bestimmen (1 Punktprobe)

Beispiel:

Ein Graph einer Exponentialfunktion f mit $f(x) =$ $a^{x}$ (a>0) verläuft durch den Punkt P(3|8). Bestimme a.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach den Punkt A(3|8) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a^{x}$ ein und erhalten so die Gleichung:

8 = a³ | $\sqrt[3]{\cdot}$

2 = a

Das gesuchte a ist somit 2 (Der gesuchte Funktionsterm $f(x) =$ $2^{x}$ )

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{1}{3}$ ) und B(2| $3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{1}{3}$ ) und B(2| $3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $3$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $3$ = $\frac{1}{3} a^{2}$

$\frac{1}{3} a^{2}$	=	$3$	\|⋅ $3$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot 3^{x}$

Term aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm $c \cdot a^{x}$ der Exponentialfunktion f deren Graph im Schaubild abgebildetet ist.

Tipp: Betrachte dazu den Graph an den Stellen x=0 und x=1.

Lösung einblenden

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0| $- \frac{1}{2}$ ), also gilt f(0)= $- \frac{1}{2}$ .

In den allgemeinen Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot a^{0}$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $- \frac{1}{2}$ , also $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ .

Außerdem können wir den Punkt (1| $- \frac{3}{2}$ ) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $- \frac{3}{2}$ .

In unseren Funktionsterm $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot a^{x}$ eingesezt bedeutet das: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} \cdot a^{1}$ = $- \frac{1}{2} a$ .

Es gilt also: $- \frac{3}{2}$ = $- \frac{1}{2} a$ | ⋅ $- 2$

3 = a

Somit ist der Funtionsterm: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$