Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+2x+2$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+2+0$

= $3x^2-6x+2$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6+0$

= $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+2$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1+2$

= $3\cdot 1-6+2$

= $3-6+2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+2$ = $1-3\cdot 1+2+2$ = $1-3+2+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-1$⋅1 + c

$2$ = $-1$ + c | + $1$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $3$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 3.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-x+3$	=	0	| $-3$
$-x$	=	$-3$	|:($-1$)
$x$	=	$3$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $3$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und $3$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $3$ ⋅ 3 = $\frac{9}{2}$.

1. y-Wert bei x = 5

   Hier müssen wir einfach die 5 in den Funktionsterm einsetzen:

   f(5) = $-\frac{1}{2}\cdot 5^2+4\cdot 5+5$ = $-\frac{25}{2}+20+5$ = $\frac{25}{2}$ = 12.5 .

   Nach 5 Tage beträgt also der Wert 12.5 Beliebtheitspunkte.

2. x-Wert bei y = $\frac{25}{2}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{25}{2}$ einnimmt:

   $-\frac{1}{2}{x}^2+4x+5$	=	$\frac{25}{2}$	|⋅ 2
   $2\left(-\frac{1}{2}{x}^2+4x+5\right)$	=	$25$
   $-x^2+8x+10$	=	$25$	| $-25$

   $-x^2+8x-15$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-15\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

   x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-60}}{-2}$

   x_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{4}}{-2}$

   x₁ = $\frac{-8+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

   x₂ = $\frac{-8-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

   .

   Der erste Wert mit y = $\frac{25}{2}$ Beliebtheitspunkte ist also bei x = 3 Tage.

3. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($4$| $13$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+4x+5$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-x+4+0$

   = $-x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-1+0$

   = $-1$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-x+4$	=	0	| $-4$
   $-x$	=	$-4$	|:($-1$)
   $x$	=	$4$

   Die Lösung x= $4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   f''($4$) = $-1$= $-1$= $-1$ <0

   Das heißt bei x = $4$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($4$) = $-\frac{1}{2}\cdot 4^2+4\cdot 4+5$ = $13$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($4$| $13$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $4$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 5 und f(8) = 5 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $4$ Tage erreicht.