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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 8 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 16$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 8 x^{2}

=

- 16

|

+ 16

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 16$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 16$ Somit gilt: S₂( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 9 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 9 x - 3$ gilt m = $- 9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 10 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 9 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{x} - 3) \cdot (x^{3} + 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{x} - 3) (x^{3} + 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

2. Fall:

$x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $\ln (3)$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - 1 \cdot (3 (x - 1))$	=
$2 x - 1 - 3 x + 3$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} + 4 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} + 4 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 6 \cdot {(- 1)}^{3} - 27 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 27 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 27 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
		$- 32 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 32 x^{2}$	$- 32 x$ )
			$36 x$	$+ 36$
			-( $36 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} + 4 x + 36$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 32 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 32 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 5 \cdot {(- 9)}^{2} - 32 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 32 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$+ 36$
		-( $4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 32 x + 36$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 6 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 27 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$8 x^{3}$	$- 27 x^{2}$
	-( $8 x^{3}$	$- 16 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
			$- 18 x$	$+ 36$
			-( $- 18 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} + 4 x + 36$ = $(x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} - 11 \cdot (- 1) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 11 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 18 x$	$- 18$
		-( $- 18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 11 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 8 \cdot {(- 9)}^{2} - 11 \cdot (- 9) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 11 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 2 x$	$- 18$
		-( $- 2 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 18$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - x - 2) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{4} + 6 \cdot {(- 9)}^{3} - 27 \cdot {(- 9)}^{2} + 4 \cdot (- 9) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 27 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
		0	$+ 4 x$
		-(0	0)
			$4 x$	$+ 36$
			-( $4 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} + 4 x + 36$ = $(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 9)$

$(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 9)$	=	0
$(x^{3} - 3 x^{2} + 4) (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	0
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	0
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$+ 4$
		-( $- 2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 9 | + 7$ = $10$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 9 \| + 7$	=	$10$
$7 + \| 3 x + 9 \|$	=	$10$	\| $- 7$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$3$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$3$	\| $- 9$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot (- 2) + 9$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$3$
$- 3 x - 9$	=	$3$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 4) + 9$ = -3 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: