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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $6$ und a₅ = $14$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 4 Schritten zwischen a₁ und a₅ kommt ja insgesamt $14$ - 6 = $8$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{8}{4}$ = $2$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $2 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $6$ einsetzen:

$6$ = $2 \cdot 1 + d$

$6$ = $2 + d$ | -2

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $2 n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 1$ und a₄ = $- 16$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 1$ und a₄ = $- 16$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- 16$ = $c \cdot a^{4}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 16$ = $- a^{4}$

$- a^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $- 25$ und a₄ = $- 625$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $- 25$ und a₄ = $- 625$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 25$ = $c \cdot a^{2}$
II: $- 625$ = $c \cdot a^{4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 25$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 625$ = $- \frac{25}{a^{2}} \cdot a^{4}$

also

II: $- 625$ = $- 25 a^{2}$

$- 25 a^{2}$	=	$- 625$	\|: $(- 25)$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 25$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- 1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 5^{n}$