Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-60\\ -120\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ 30\\ 0\end{array}\right)+7\cdot \left(\begin{array}{c}-30\\ -60\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-190\\ -390\\ 140\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-190|-390|140\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}160\\ -280\\ 160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 12 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-30\\ 10\\ 40\end{array}\right)+12\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -70\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}450\\ -830\\ 520\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(450|-830|520\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-30|10|40\right)$ nach P$\left(450|-830|520\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}480\\ -840\\ 480\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{480}^2+{\mathrm{(-840)}}^2+{480}^2}=\sqrt{1166400}=1080$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1200\\ -1200\\ 600\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-300)}}^2+{\mathrm{(-300)}}^2+{150}^2}=\sqrt{202500}=450$.
Die Geschwindigkeit ist also v=450$\frac{m}{s}$ = 1620$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ 80\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 120m (also 80m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{80}}{\mathrm{10}}$s = 8s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{1080000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 300$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-200)}}^2+{200}^2+{100}^2}=\sqrt{90000}=300$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 300$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{300}}{\mathrm{300}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 3 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}18\\ 18\\ -9\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{6^2+6^2+{\mathrm{(-3)}}^2}=\sqrt{81}=9$.
Die Geschwindigkeit ist also v=9$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 1.8 km braucht es also $\frac{\mathrm{1800}}{9}$min = 200min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 12\\ 0\end{array}\right)+200\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1197\\ 1212\\ -600\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1197|1212|-600\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -600 (in m).

Die Seilbahngondel legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ 48\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}23\\ -12\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Die Drohne ist nach 5s an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 0\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 11\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-43\\ 49\\ -10\end{array}\right)$; Die Seilbahngondel an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}23\\ -12\\ 7\end{array}\right)+5\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 12\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-27\\ 48\\ -13\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 16.31 m.

Der Heißluftballon F2 legt in 4h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück.
In 1h legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-16\\ 16\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}30\\ -40\\ 1.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 h sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,3}\cdot 6+\mathrm{0,7}$ = 2.5 = $\mathrm{0,1}\cdot 6+\mathrm{1,9}$

Die Seilbahngondel legt in 5s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}13\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass die Drohne nach 4s und die Seilbahngondel nach 0s an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

die Drohne ist also nach 4s bei $\left(\begin{array}{c}9\\ -9\\ 0.8\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 7\\ 1.6\end{array}\right)$, während die Seilbahngondel nach 0s bei $\left(\begin{array}{c}13\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}13\\ 7\\ 0.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

1.6 - 0.2 = 1.4 m

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-120\\ -120\\ 60\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -30\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-60\\ -60\\ 30\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 30m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 500m (also 480m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{480}}{\mathrm{30}}$s = 16s lang steigen (bzw. sinken).

Das Flugzeug F2 legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-34\\ 41\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-34\\ 41\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 3min und das Flugzeug F2 nach 3min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 2\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 14\\ 2.3\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 3min bei $\left(\begin{array}{c}-34\\ 41\\ 0\end{array}\right)+3\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ -9\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-10\\ 14\\ 0.9\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.3 - 0.9 = 1.4 km