$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^4-2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{3}{x}^3+0$

= $-\frac{4}{3}{x}^3$

$\text{f(x)}=$ $x-3$

=>$\text{f'(x)}=$ $1+0$

= $1$

f'(0) = $1$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x^3+2x^2\right)·x^3$

= $-2x^3·x^3+2x^2·x^3$

= $-2x^6+2x^5$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-12x^5+10x^4$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $-4x-8x^3+\left(x+4\right)·5x^2$

= $-4x-8x^3+\left(5x^3+20x^2\right)$

= $-8x^3+5x^3+20x^2-4x$

= $-3x^3+20x^2-4x$

$\text{f'(x)}=$ $-9x^2+40x-4$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4-3t^2{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-x^3-6t^{2}x$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+2x-2$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2+2x-2$ = 1.

$x^2+2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)-2$ = $1$

f '( $1$) = $1^2+2\cdot 1-2$ = $1$

Die Gerade y = $-2x+2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+6x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-6x+6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^2-6x+6$ = -2.

$x^2-6x+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·1·8}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$) = $2^2-6\cdot 2+6$ = $-2$

f '( $4$) = $4^2-6\cdot 4+6$ = $-2$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{2}x·\left(x+14\right)+2$

= $\frac{1}{2}{x}^2+7x+2$

Die Gerade y = $3x-3$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $-3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+7x+2$

$\text{f'(x)}=$ $x+7+0$

= $x+7$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $x+7+0$ = 3.

L={ $-4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-4$) = $-4+7+0$ = $3$

$\text{f(x)}=$ $2x^2+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $4x+t$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4\cdot 1+t$
= $4+t$

Dieser Wert soll ja den Wert 3 besitzen, also gilt: