Mathebattle EduRandomtasks

Koordinatenebene zeichnen

Beispiel:

wieder löschen

Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehende Koordinatensystem

$3 x_{1} + 2 x_{2} = 6$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

Lösung einblenden

Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3 x_{1} + 2 x_{2} = 6$ ein.

S₁:

$3 \cdot x + 2 \cdot 0 = 6$

=> x=

\frac{6}{3}

=2, also S₁(2|0|0)
S₂:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot y = 6$

=> y=

\frac{6}{2}

=3, also S₂(0|3|0)
S₃:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 6$

=> 0=6, es gibt also keinen Spurpunkt S₃

Man verbindet die beiden Spurpunkte. Da die x₃-Achse jedoch keinen Spurpunkt besitzt, muss die Ebene parallel zur x₃-Achse liegen. Dies kann man einfach durch zwei Parallelen zur x₃-Achse durch die beiden Spurpunkte visualiseren.
(Man klickt also einfach in Richtung einer dieser Parallelen.)

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

Lösung einblenden

Aus der Zeichung kann man die drei Spurpunkte S₁ $(6 | 0 | 0)$ , S₂ $(0 | 4 | 0)$ und S₃ $(0 | 0 | 3)$ ablesen.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ein (Punktprobe).

S₁: a⋅6 + 0 + 0 = d => a = $\frac{d}{6}$

S₂: 0 + b⋅4 + 0 = d => b = $\frac{d}{4}$

S₃: 0 + 0 + c⋅3 = d => c = $\frac{d}{3}$

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 12, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 2, b = 3, c = 4 .

Die Koordinatenebene lautet also: $2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 12$ .

(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)

bestimmte parallele Ebene finden

Beispiel:

Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: $3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = 12$ (also nicht identisch).

Der Abstand zwischen zwei Spurpunkten der Ebene F ist 8-mal so groß wie der Abstand zwischen zwei Spurpunkten der Ebene E.

Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.

Lösung einblenden

An der Skizze kann man gut erkennen, dass die beiden Verbindungen von zwei Spurpunkten bei parallelen Ebenen wieder parallel sind. Somit sind auch die Winkel in den drei Seitenflächen der Pyramiden gleich und damit die drei Seitenflächen ähnlich. Das heißt die eine Pyramide kann durch eine zentrische Streckung der anderen Pyramide erzeugt werden.
Damit sind auch die (aus den Spurpunkten bestehenden) Grundflächen zueinander ähnlich.

Wenn sich der Abstand zwischen zwei Spurpunkten um den Faktor 8 ändert, muss sich also auch der Abstand eines Spurpunkts vom Ursprung und den Faktor 8 ändern.

Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S₁ der Ebene E:
3⋅ x₁ + 0 + 0 = 12 ergibt
x₁= $\frac{12}{3}$

Der entsprechende x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F müsste jetzt ja um den Faktor 8 verändert werden.

Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizienten auf der linken Seite von der Ebene E.

Für den x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor 8 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 12).

Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: $3 x_{1} + 4 x_{2} + 2 x_{3} = 96$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Koordinatenebene zeichnen

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

bestimmte parallele Ebene finden