Wir suchen den Logarithmus von $125$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $125$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $125$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $5$^$3$ = $125$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt{5}$ zur Basis $5$, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $\sqrt{5}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $\sqrt{5}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{5}$ um: $\sqrt{5}$ = $5^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $5^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $5$ suchen, also die Hochzahl mit der man $5$ potenzieren muss, um auf $5^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $5$^☐ = $5^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $5$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{5}$ gilt .

Wir suchen $11$er-Potenzen in der Näher von $41$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $41$ ist.

Dabei kommt man auf $11$ = 11¹ < $41$ und auf ${11}^2$ = 11² > $41$.

Und da wir bei ja das ☐ von 11^☐ = $41$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
11¹ = $11$ < $41$ < ${11}^2$ = 11²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10\right)+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $1+\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $4\lg \left(x\right)+1$

$\lg \left(250000000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000000·4)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x}\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^{-1}\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $-\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $-3\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)+\lg \left(\frac{5}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{40x^4}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}{x}^3\right)+\lg \left(5x^{-1}\right)-\lg \left(\frac{1}{40}{x}^{-4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{5}\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right))-(\lg \left(\frac{1}{40}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^4}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-\lg \left(x^3\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)-\lg \left(\frac{1}{40}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^4}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{5}\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{40}\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(5\right)-3\lg \left(x\right)+\lg \left(5\right)-\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(40\right)+4\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(40\right)+\lg \left(5\right)+\lg \left(5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (40·5·5)$

= $\lg \left(1000\right)$

= $\lg \left({10}^3\right)$

= $3$