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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 91 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 23 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 91: f(91)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 91}$ ≈ 0.7

Wann wird der Wert 23?: f(t)=23

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$23$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$1 150 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (1 150 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (1 150 000)$	≈ 121.2448

also t=121.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Ein Finanzberater bewirbt eine Geldanlage, bei der sich das Geld immer alle 12 Jahre verdoppelt. Herr Q. legt 10-Tausend € an. a) Wie hoch ist das Vermögen nach 19 Jahren (in Tausend Euro)? b) Wann ist das Vermögen auf 16,67-Tausend Euro gestiegen?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $10 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Verdopplungszeit. Dazu stellen wir die Formel T_V= $\frac{ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{ln(2)}{T}$ = $\frac{ln(2)}{12}$ ≈ 0.057762265046662

=> f(t)= $10 e^{0,0578 t}$

Wert zur Zeit 19: f(19)= $10 e^{0,0578 \cdot 19}$ ≈ 30

Wann wird der Wert 16.67?: f(t)=16.67

$10 e^{0,0578 t}$	=	$16,67$	\|: $10$
$e^{0,0578 t}$	=	$1,667$	\|ln(⋅)
$0,0578 t$	=	$\ln (1,667)$	\|: $0,0578$
$t$	=	$\frac{1}{0,0578} \ln (1,667)$	≈ 8.8471

also t=8.8

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Im Pythagoras-See nimmt die Lichtstärke mit jedem Meter unter Wasser um 14% ab. An der Oberfläche leuchtet eine Lichtquelle mit 12 Lux. a) Wie hoch ist die Lichtstärke noch nach 2 Metern? b) Nach wieviel Metern ist die Lichtstärke noch 2 Lux?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 12 ist, gilt: f(0)= 12, also 12 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $12 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1-p/100) = ln(0.86) ≈ -0.15082288973458

=> f(t)= $12 e^{- 0,1508 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $12 e^{- 0,1508 \cdot 2}$ ≈ 8.9

Wann wird der Wert 2?: f(t)=2

$12 e^{- 0,1508 t}$	=	$2$	\|: $12$
$e^{- 0,1508 t}$	=	$\frac{1}{6}$	\|ln(⋅)
$- 0,1508 t$	=	$\ln (\frac{1}{6})$	\|: $- 0,1508$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1508} \ln (\frac{1}{6})$	≈ 11.8817

also t=11.9

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei ist die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur des Thermometers steigt, proportional zur Differenz zwischen tatsächlicher Temperatur und der des Thermometers. Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37,0 Grad beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17,0 Grad auf 30 Grad an. a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer nach 1,5 Minuten an? b) Wann zeigt es 36,9° an?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=37 sein muss.

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $37 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $37 - c$ = $37 - c$

$17$	=	$37 - c$
$17$	=	$- c + 37$	\| $- 17$ $+ c$
$c$	=	$20$

somit gilt: f(t)= $37 - 20 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(0.5)= $37 - 20 e^{- k \cdot 0,5}$ = 30.

37 - 20 e^{- 0,5 k}

=

29,9998

$- 20 e^{- 0,5 k} + 37$	=	$29,9998$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 0,5 k}$	=	$- 7,0002$	\|: $- 20$
$e^{- 0,5 k}$	=	$0,35$	\|ln(⋅)
$- 0,5 k$	=	$\ln (0,35)$	\|: $- 0,5$
$k$	=	$- \frac{1}{0,5} \ln (0,35)$	≈ 2.0996

also k ≈ 2.0996442489974, => f(t)= $37 - 20 e^{- 2,0996 t}$

Wert zur Zeit 1.5: f(1.5)= $37 - 20 e^{- 2,0996 \cdot 1,5}$ ≈ 36.1

Wann wird der Wert 36.9?: f(t)=36.9

37 - 20 e^{- 2,0996 t}

=

36,9

$- 20 e^{- 2,0996 t} + 37$	=	$36,9$	\| $- 37$
$- 20 e^{- 2,0996 t}$	=	$- 0,1$	\|: $- 20$
$e^{- 2,0996 t}$	=	$0,005$	\|ln(⋅)
$- 2,0996 t$	=	$\ln (0,005)$	\|: $- 2,0996$
$t$	=	$- \frac{1}{2,0996} \ln (0,005)$	≈ 2.5235

also t=2.5

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Deutschland hat derzeit ca. 80 Millionen Einwohner. Aufgrund der niedrigen Geburtenrate deutscher Frauen verliert das Land jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Durch Zuwanderung könnte dieser Bevölkerungsrückgang abgemildert werden. a) Wie viel Millionen Menschen gäbe es in 15 Jahren, wenn jedes Jahr 0,5 Millionen nach Deutschland einwandern würden. b) In wie vielen Jahren hätte Deutschland dann 81 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 0.5 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{0.5}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(50 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=50 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $50 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=80 ein (Punktprobe).

$80$	=	$50 - c$
$80$	=	$- c + 50$	\| $- 80$ $+ c$
$c$	=	$- 30$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $50 + 30 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $50 + 30 e^{- 0,01 \cdot 15}$ ≈ 75.8

Wann wird der Wert 81?: f(t)=81

50 + 30 e^{- 0,01 t}

=

81

$30 e^{- 0,01 t} + 50$	=	$81$	\| $- 50$
$30 e^{- 0,01 t}$	=	$31$	\|: $30$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{31}{30}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{31}{30})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{31}{30})$	≈ -3.279

also t=-3.3

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $14 e^{- 0,03 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,03$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,03$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,03}$ ≈ 23.105 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.