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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ⋅ 8 cm = 20 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 20 cm² ⋅ 5 cm = 100 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 50 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{7}{2}$ )² = 7² |-( $\frac{7}{2}$ )²

h_c² = 7² - ( $\frac{7}{2}$ )² = 7² - 3.5² = 49 - 12.25= 36.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{36,75}$ ≈ 6.062

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 ⋅ 6.062 ≈ 21.2

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 49 ≈ 21.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=50 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 21.2 m² ⋅ 50 m ≈ 1060.9 m³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 1385.6 m³, die Höhe h = 50 m und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{1385.6}{50}$ ≈ 27.71

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 27.71 einsetzen:

27.71 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

64 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{64}$ ≈ 8

Für x = 8 m ist somit die Grundfläche G ≈ 27.7 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 1385.6 m³