$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{\left(-x-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-2{\left(-x-4\right)}^3·\left(-1+0\right)$

= $-2{\left(-x-4\right)}^3·\left(-1\right)$

= $2{\left(-x-4\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-3x+2\right)}^3}$

= $-{\left(-3x+2\right)}^{-3}$

=> f'(x) = $3{\left(-3x+2\right)}^{-4}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{{\left(-3x+2\right)}^4}·\left(-3+0\right)$

= $\frac{3}{{\left(-3x+2\right)}^4}·\left(-3\right)$

= $-\frac{9}{{\left(-3x+2\right)}^4}$

$\text{f(x)}=$ $-\sqrt{-x+2}$

= $-{\left(-x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{2}{\left(-x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2\sqrt{-x+2}}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{1}{2\sqrt{-x+2}}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2\sqrt{-x+2}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(1) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|-1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-1 = g(3)
Wegen -1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|3) und Q₂(2|3), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(-2)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

= $-\sin \left(x\right)·\sin \left(x\right)+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

= $-{\left(\sin \left(x\right)\right)}^2+{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sqrt{2x+5}$

= $x^5·{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $5x^4·{\left(2x+5\right)}^{\frac{1}{2}}+x^5·\frac{1}{2}{\left(2x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sqrt{2x+5}+x^5·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+5}}·\left(2+0\right)$

= $5x^4\sqrt{2x+5}+x^5·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+5}}·\left(2\right)$

= $5x^4\sqrt{2x+5}+x^5·\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$

= $5x^4\sqrt{2x+5}+\frac{x^5}{\sqrt{2x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-6\right)·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-6\right)·\cos \left(2x\right)·2$

= $2x·\sin \left(2x\right)+\left(x^2-6\right)·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $2x·\sin \left(2x\right)+2\left(x^2-6\right)·\cos \left(2x\right)$

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-8$ gilt: f'(x)= $2x-2$. Diese setzen wir = 0:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Extremstelle bei x = 1, wodurch mit f'(1)=0 und g'(1)=0 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1) = 0⋅g(1) + f(1)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+6$)⋅g(x) + ( $x^2+6x+9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^2+6x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·9}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Theoretisch erkennen wir schon hier, dass an dieser doppelten Nullstelle auch ein Extrempunkt vorliegen muss, wir rechnen aber trotzdem noch mal nach:

Für die Ableitung von f mit $\text{f(x)}=$ $x^2+6x+9$ gilt: f'(x)= $2x+6$. Diese setzen wir = 0:

Es gilt also f(-3) = f'(-3) = 0, somit gilt h'(-3) = f'(-3)⋅g(-3) + f(-3)⋅g'(-3) = 0⋅g(-3) + 0⋅g'(-3) = 0.

Somit hat h an der Stelle x =-3 eine waagrechte Tangente.