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Erwartungswerte bei Binomialverteilungen
Beispiel:
Auf einem Jahrmarkt wird Torwandschießen angeboten. Dabei darf man für 12€ Einsatz 6 Schüsse abgeben. Trifft man alle 6, so erhält man 3000€. Bei 5 Treffern bekommt man 200€, und bei 4 Treffern 50€. Trifft man weniger als 4 mal, so erhält man nichts. Mit welchem durchschnittlichen Gewinn pro Spiel kann ein Spieler rechnen, wenn man von einer Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,23 ausgehen kann?
(Das Ergebnis bitte auf 2 Stellen runden!)
Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:
Trefferzahl: 0-3
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.
= + + + = 0.97199071431 ≈ 0.972(TI-Befehl: binomcdf(6,0.23,3))
Trefferzahl: 4
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.
= =0.024887659335≈ 0.0249(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,4))
Trefferzahl: 5
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.
= =0.002973590466≈ 0.003(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,5))
Trefferzahl: 6
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.23.
= =0.000148035889≈ 0.0001(TI-Befehl: binompdf(6,0.23,6))
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 0-3 | 4 | 5 | 6 |
Zufallsgröße xi | 0 | 50 | 200 | 3000 |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -12 | 38 | 188 | 2988 |
P(X=xi) | 0.972 | 0.0249 | 0.003 | 0.0001 |
xi ⋅ P(X=xi) | ||||
yi ⋅ P(Y=yi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅0.972 + 50⋅0.0249 + 200⋅0.003 + 3000⋅0.0001
≈ 2.15
Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=2.15 - 12 = -9.85 ergibt.
Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X2) aus:
E(Y)= -12⋅0.972 + 38⋅0.0249 + 188⋅0.003 + 2988⋅0.0001
≈ -9.86
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As -> As | |
As -> As -> andereKarte | |
As -> andereKarte -> As | |
As -> andereKarte -> andereKarte | |
andereKarte -> As -> As | |
andereKarte -> As -> andereKarte | |
andereKarte -> andereKarte -> As | |
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 20 | 30 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 10⋅ + 20⋅ + 30⋅
=
=
=
=
≈ 7.5