$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₁ = $\frac{\mathrm{(3\; -\; 0)\; \cdot \; <mn>3</mn>}}{2}$ = $\frac{9}{2}$ = 4.5.

I₂ = $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(6\; -\; 3)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-12}}{2}$ = -6.

I₃ = $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₃ = (9 - 6) ⋅ ( - 4 ) = 3 ⋅ ( - 4 ) = -12.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ = $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{6}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 4.5 -6 -12 = -13.5

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right]}_{-3}^1$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot 1^3-\frac{3}{2}\cdot 1^2-\left(-\frac{2}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{3}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 1-\frac{3}{2}\cdot 1-\left(-\frac{2}{3}\cdot \left(-27\right)-\frac{3}{2}\cdot 9\right)$

= $-\frac{2}{3}-\frac{3}{2}-\left(18-\frac{27}{2}\right)$

= $-\frac{4}{6}-\frac{9}{6}-\left(\frac{36}{2}-\frac{27}{2}\right)$

= $-\frac{13}{6}-1·\frac{9}{2}$

= $-\frac{13}{6}-\frac{9}{2}$

= $-\frac{13}{6}-\frac{27}{6}$

= $-\frac{20}{3}$

= ${\left[4\cdot \cos \left(x\right)+4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\left(4\cdot \cos \left(0\right)+4\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $4\cdot 0+4\cdot 1-\left(4\cdot 1+4\cdot 0\right)$

= $0+4-\left(4+0\right)$

= $4-4$

= 0

= ${\left[\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3x+\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $\frac{1}{3}\cdot \sin \left(-3\pi \right)-\frac{1}{3}\cdot \sin \left(0\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

= ${\left[-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(x\right)+2\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-\frac{1}{4}\cdot \cos \left(0\right)+2\cdot \sin \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{4}\cdot 0+2\cdot \left(-1\right)-\left(-\frac{1}{4}\cdot 1+2\cdot 0\right)$

= $0-2-\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-2-\left(-\frac{1}{4}+0\right)$

= $-2+\frac{1}{4}$

= $-\frac{8}{4}+\frac{1}{4}$

= $-\frac{7}{4}$

= ${\left[3e^{x-2}\right]}_0^1$

$=$ $3e^{1-2}-3e^{0-2}$

= $3e^{-1}-3e^{-2}$