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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 92 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=92⋅0.6 = 55.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 55.2, also 0.85⋅ 55.2 = 46.92 und 115% von 55.2, also 1.15⋅ 55.2 = 63.48

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 55.2 entfernt sein darf als 46.92 bzw. 63.48, muss sie also zwischen 47 und 63 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=92 und p=0.6.

P0.692 (47≤X≤63) =

...
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
...

P0.692 (X≤63) - P0.692 (X≤46) ≈ 0.9629 - 0.033 ≈ 0.9299
(TI-Befehl: binomcdf(92,0.6,63) - binomcdf(92,0.6,46))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 80 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 80 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 4 für σ und 80 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

4 = 80⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

16 = 80 ⋅ (1-p) |:80

16 80 = 1-p

1 5 = 1-p

Also gilt p = 1 - 1 5 = 4 5

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

80 = n ⋅ 4 5 |⋅ 5 4

Somit gilt: n = 100