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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)
Beispiel:
Berechne die Länge der Hypotenuse.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
82 + 62 = b2
64 + 36 = b2
100 = b2 |
10 = b
Die gesuchte Länge ist somit b = 10 cm.
Pythagoras mit ganzen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
52 + 122 = c2
25 + 144 = c2
169 = c2 |
13 = c
Pythagoras mit reellen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
582 + b2 = 622
3364 + b2 = 3844 | - 3364
b2 = 480 |
b ≈ 21.91
Pythagoras (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit a = 97 cm und b = 88 cm gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
972 + 882 = c2
9409 + 7744 = c2
17153 = c2 |
130.97 ≈ c
Quadrate über rechtwinkl. Dreieck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
15 + A = 82
15 + A = 64 | - 15
A = 49
Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 49 cm2.
Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
242 + c2 = 252
576 + c2 = 625 | - 576
c2 = 49 |
c = 7
Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:
A = ⋅ 7 mm ⋅ 24 mm
also A = 84 mm2
Pythagoras im Rechteck und Dreieck
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge a im abgebildeten Rechteck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.
32 + a2 = 92
9 + a2 = 81 | - 9
a2 = 72 |
a = ≈ 8.49
Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 8.49 cm.
Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem Rechteck ist die eine Seitenlänge mit a=5 cm und die Diagonale mit d=10 cm gegeben. Berechne die fehlende andere Seitenlänge des Rechtecks.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke b berechnen.
52 + b2 = 102
25 + b2 = 100 | - 25
b2 = 75 |
b = ≈ 8.66
Die gesuchte Länge ist somit b ≈ 8.66 cm.
Pythagoras rückwärts
Beispiel:
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt A=36 m2 und der Länge der Basis b=12 m. Berechne den Umfang dieses gleichschenkligen Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = ⋅ c ⋅ hc
In unserem Fall also:
36 = ⋅ 12 ⋅ h = 6 ⋅ h |:6
6 = h
Wenn wir jetzt nur das rechte Teildreieck anschauen, können wir mit dem Satz des Pythagoras die Länge der beiden gleichlangen Schenkel a berechnen:
a2 = 62 + 62
a2 = 36 + 36
a2 = 72|
a = ≈ 8.49
Somit gilt für den Umfang U ≈ 8.49 m + 8.49 m + 12 m = 28.97 m
Pythagoras rückwärts (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=73 mm und dem Umfang 206 mm.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:
I: U=2⋅a + 2⋅b
Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:
II: a2 + b2 = d2
Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:
I: 206=2⋅a + 2⋅b | :2
II: a2 + b2 = 732
vereinfacht
I: 103=a + b
II: a2 + b2 = 5329
Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir
I: b = 103 - a
II: a2 + b2 = 5329
Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:
II: a2 + (103 - a)2 = 5329
Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:
= | |||
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
a1,2 =
a1,2 =
a1,2 =
a1 =
= =
a2 =
Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)
(I) 103 = 55 + 48
Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.
Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:
A = a ⋅ b = 55 mm ⋅ 48 mm = 2640 mm2
Abstand zweier Punkte
Beispiel:
Berechne den Abstand der beiden Punkte A(4|3) und B(1|2) im Koordinatensystem.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx =
4 -
Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy =
3 -
Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:
d2 = 32 + 12
d2 = 9 + 1
d2 = 10
d =
Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 3.16
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Leuchtturm ist 58m über dem Meeresspiegel. Wie weit (in m) könnte von dort aus bei optimalen Sichtverhältnissen maximal aufgrund der Erdkrümmung aufs Meer hinausschauen? Als Erdradius kann man mit 6371km rechnen.
Es gilt:
63710002 + k12 = 63710582
40589641000000 + k12 = 40590380039364 |-40589641000000
k12 = 739039364 |
k1 ≈ 27185.28
Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 27185.28m