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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N(0|0)
- Verhalten für x → -∞: f(x) → 0
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Das Verhalten, dass für x → -∞ : f(x) → 0 strebt und gleichzeitig für x → +∞ : f(x) → ± ∞ strebt, kennen wir doch von der
e-Funktion. Also multiplizieren wir einfach mal ein ex zu unserem bisherigen Term dazu:
. Weil jetzt aber für x → +∞ : f(x) → +∞ streben würde, es ja aber gegen -∞ streben soll, spiegeln wir einfach die Funktion an der x-Achse,
indem wir den Term mit -1 multiplizieren und erhalten so:
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
Anwendungen
Beispiel:
Eine neue trendy App wird veröffentlicht. Dabei kann die tägliche Downloadzahl (in K) näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit
- Wie viele Downloads (in Tausend) werden am Tag 5 heruntergeladen?.
- Wann werden die meisten Downloads heruntergeladen?
- Gegen welchen Wert entwickeln sich die Downloadzahlen auf lange Sicht?
- Wie lange sind die Downloadzahlen mindestens
51 40 - Wie viele Tausend Downloads wurden insgesamt nach den ersten 3 Tagen heruntergeladen?
- y-Wert bei t = 5
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) =
10 e - 0,9 ⋅ 5 - 10 e - 1,8 ⋅ 5 10 e - 4,5 - 10 e - 9
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (
|2.5) einblenden0,7702 Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) =
10 e - 0,9 ⋅ 0 - 10 e - 1,8 ⋅ 0 0 . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) →0 + 0 Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t =
ist also der größte Wert der Funktion.0,7702
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)=
10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t 0 + 0 Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen
0 . - Abstand der beiden Schnittstellen mit
51 40 Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=
51 40 Dazu setzen wir die Funktion einfach =
51 40 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t = 51 40 | - 51 40 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t - 51 40 = 0 Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t - 51 40 = 0 |⋅ e 1,8 x - 51 40 e 1,8 t + 10 e 0,9 t - 10 = 0 Setze u =
e 0,9 x Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
- 51 40 u 2 + 10 u - 10 = 0 |⋅ 40 40 ( - 51 40 u 2 + 10 u - 10 ) = 0 - 51 u 2 + 400 u - 400 eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
- 400 ± 400 2 - 4 · ( - 51 ) · ( - 400 ) 2 ⋅ ( - 51 ) u1,2 =
- 400 ± 160 000 - 81 600 - 102 u1,2 =
- 400 ± 78 400 - 102 u1 =
- 400 + 78 400 - 102 - 400 + 280 - 102 - 120 - 102 20 17 u2 =
- 400 - 78 400 - 102 - 400 - 280 - 102 - 680 - 102 20 3 Rücksubstitution:
u1:
e 0,9 x 20 17 e 0,9 x = 20 17 |ln(⋅) 0,9 x = ln ( 20 17 ) |: 0,9 x1 = 1 0,9 ln ( 20 17 ) ≈ 0.1806 u2:
e 0,9 x 20 3 e 0,9 x = 20 3 |ln(⋅) 0,9 x = ln ( 20 3 ) |: 0,9 x2 = 1 0,9 ln ( 20 3 ) ≈ 2.1079 Die Zeitspanne zwischen diesen Zeitpunkten, an denen die Funktion den Wert
51 40 d = 2.11 - 0.18 ≈ 1.93 Tage.
- Bestand zur Zeit 3
Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 0 und dem Integral
∫ 0 3 ( 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t ) ⅆ t Wir berechenn also zuerst das Integral:
∫ 0 3 ( 10 e - 0,9 t - 10 e - 1,8 t ) ⅆ t =
[ - 100 9 e - 0,9 x + 50 9 e - 1,8 x ] 0 3 = - 100 9 e - 0,9 ⋅ 3 + 50 9 e - 1,8 ⋅ 3 - ( - 100 9 e - 0,9 ⋅ 0 + 50 9 e - 1,8 ⋅ 0 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - ( - 100 9 e 0 + 50 9 e 0 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - ( - 100 9 + 50 9 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 - 1 · ( - 50 9 ) =
- 100 9 e - 2,7 + 50 9 e - 5,4 + 50 9
≈ 4,834Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
B(3)≈ 0 + 4.834 = 4.8344.83 Tausend Downloads ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.