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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 43$ = $105,5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 43$	=	$105,5$	\| $- 43$
$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$62,5$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 4^{x} - 192 \cdot 16^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$3 \cdot 4^{x} - 192 \cdot 16^{x}$ = 0| $- 3 \cdot 4^{x}$

$- 192 \cdot 16^{x}$ = $- 3 \cdot 4^{x}$ | : $- 192$ : $4^{x}$

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{3}{192}$

${(\frac{16}{4})}^{x}$ = $\frac{1}{64}$

$4^{x}$	=	$\frac{1}{64}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{64})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{64})$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{64})}{\lg (4)}$

x

- 3

L={ $- 3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= ${2,1}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= ${2,1}^{0}$ =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=9, weil ja 9 - 1 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 9, also ${2,1}^{t}$ = 9.

${2,1}^{t}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,1}^{t})$	=	$\lg (9)$
$t \cdot \lg (2,1)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (2,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (2,1)}$

t

2,9615

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,9615$ Jahre ist der Bestand 9 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..