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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (244 - 3998) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(244 - 3998) mod 8 ≡ (244 mod 8 - 3998 mod 8) mod 8.

244 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 244 = 240+4 = 8 ⋅ 30 +4.

3998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3998 = 4000-2 = 8 ⋅ 500 -2 = 8 ⋅ 500 - 8 + 6.

Somit gilt:

(244 - 3998) mod 8 ≡ (4 - 6) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 83) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 83) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 83 mod 11) mod 11.

52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.

83 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 77 + 6 = 7 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 83) mod 11 ≡ (8 ⋅ 6) mod 11 ≡ 48 mod 11 ≡ 4 mod 11.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 416¹²⁸ mod 709.

Lösung einblenden

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 416 -> x
2. mod(x²,709) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 416¹=416

2: 416²=416¹⁺¹=416¹⋅416¹ ≡ 416⋅416=173056 ≡ 60 mod 709

4: 416⁴=416²⁺²=416²⋅416² ≡ 60⋅60=3600 ≡ 55 mod 709

8: 416⁸=416⁴⁺⁴=416⁴⋅416⁴ ≡ 55⋅55=3025 ≡ 189 mod 709

16: 416¹⁶=416⁸⁺⁸=416⁸⋅416⁸ ≡ 189⋅189=35721 ≡ 271 mod 709

32: 416³²=416¹⁶⁺¹⁶=416¹⁶⋅416¹⁶ ≡ 271⋅271=73441 ≡ 414 mod 709

64: 416⁶⁴=416³²⁺³²=416³²⋅416³² ≡ 414⋅414=171396 ≡ 527 mod 709

128: 416¹²⁸=416⁶⁴⁺⁶⁴=416⁶⁴⋅416⁶⁴ ≡ 527⋅527=277729 ≡ 510 mod 709

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 251²¹⁸ mod 823.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:

218 = 128+64+16+8+2

1: 251¹=251

2: 251²=251¹⁺¹=251¹⋅251¹ ≡ 251⋅251=63001 ≡ 453 mod 823

4: 251⁴=251²⁺²=251²⋅251² ≡ 453⋅453=205209 ≡ 282 mod 823

8: 251⁸=251⁴⁺⁴=251⁴⋅251⁴ ≡ 282⋅282=79524 ≡ 516 mod 823

16: 251¹⁶=251⁸⁺⁸=251⁸⋅251⁸ ≡ 516⋅516=266256 ≡ 427 mod 823

32: 251³²=251¹⁶⁺¹⁶=251¹⁶⋅251¹⁶ ≡ 427⋅427=182329 ≡ 446 mod 823

64: 251⁶⁴=251³²⁺³²=251³²⋅251³² ≡ 446⋅446=198916 ≡ 573 mod 823

128: 251¹²⁸=251⁶⁴⁺⁶⁴=251⁶⁴⋅251⁶⁴ ≡ 573⋅573=328329 ≡ 775 mod 823

251²¹⁸

= 251^{128+64+16+8+2}

= 251¹²⁸⋅251⁶⁴⋅251¹⁶⋅251⁸⋅251²

≡ 775 ⋅ 573 ⋅ 427 ⋅ 516 ⋅ 453 mod 823
≡ 444075 ⋅ 427 ⋅ 516 ⋅ 453 mod 823 ≡ 478 ⋅ 427 ⋅ 516 ⋅ 453 mod 823
≡ 204106 ⋅ 516 ⋅ 453 mod 823 ≡ 2 ⋅ 516 ⋅ 453 mod 823
≡ 1032 ⋅ 453 mod 823 ≡ 209 ⋅ 453 mod 823
≡ 94677 mod 823 ≡ 32 mod 823

Es gilt also: 251²¹⁸ ≡ 32 mod 823

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-59-Inverse zur Zahl 48.

Also bestimme x, so dass 48 ⋅ x ≡ 1 mod 59 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

=>59	= 1⋅48 + 11
=>48	= 4⋅11 + 4
=>11	= 2⋅4 + 3
=>4	= 1⋅3 + 1
=>3	= 3⋅1 + 0

also gilt: ggt(59,48)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 4-1⋅3
3= 11-2⋅4	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅4 -1⋅(11 -2⋅ 4) = 1⋅4 -1⋅11 +2⋅ 4) = -1⋅11 +3⋅ 4 (=1)
4= 48-4⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -1⋅11 +3⋅(48 -4⋅ 11) = -1⋅11 +3⋅48 -12⋅ 11) = 3⋅48 -13⋅ 11 (=1)
11= 59-1⋅48	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 3⋅48 -13⋅(59 -1⋅ 48) = 3⋅48 -13⋅59 +13⋅ 48) = -13⋅59 +16⋅ 48 (=1)

Es gilt also: ggt(59,48)=1 = -13⋅59 +16⋅48

oder wenn man -13⋅59 auf die linke Seite bringt:

1 +13⋅59 = +16⋅48

Es gilt also: 16⋅48 = 13⋅59 +1

Somit 16⋅48 = 1 mod 59

16 ist also das Inverse von 48 mod 59

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 41. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 59 und 48

Schlüsselpaar für RSA