Da g(x) = f(x -3) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 3 in x-Richtung - also um 3 nach rechts - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch um 3 nach rechts verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x+5\right)}^2+2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x -3) = $-{\left(x+2\right)}^2+2$.

Da g(x) = f(x) +1 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 1 in y-Richtung - also um 1 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 1 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(2|-1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x-2\right)}^2-2$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +1 = ${\left(x-2\right)}^2-1$.

Der (blaue) Graph von f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) geht durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) hat dann seinen Tiefpunkt T bei x = -2.

Da g(x) = - f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Spiegelung an der x-Achse aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T wird also zu einem Hochpunkt H, der y-Wert wird dabei auf die andere Seite der x-Achse gespiegelt.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-2|5).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2+2x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x+2$	=	0	| $-2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-1$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = ${\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-1$ = $-2$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $-2$)

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-3x^2+36x+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2-6x+36+0$

= $-6x^2-6x+36$

$\text{f''(x)}=$ $-12x-6+0$

= $-12x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-6x^2-6x+36$ = 0 |:6

$-x^2-x+6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·6}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

Die Lösungen $-3$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-3$

f''($-3$) = $-12\cdot \left(-3\right)-6$= $36-6$= $30$ >0

Das heißt bei x = $-3$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-3$) = $-2\cdot {\left(-3\right)}^3-3\cdot {\left(-3\right)}^2+36\cdot \left(-3\right)+2$ = $-79$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-3$| $-79$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $-12\cdot 2-6$= $-24-6$= $-30$ <0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $-2\cdot 2^3-3\cdot 2^2+36\cdot 2+2$ = $46$
Man erhält so den Hochpunkt H:($2$| $46$)

$\text{f(x)}=$ $2x^3-21x^2+72x-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2-42x+72+0$

= $6x^2-42x+72$

$\text{f''(x)}=$ $12x-42+0$

= $12x-42$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$6x^2-42x+72$ = 0 |:6

$x^2-7x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Die Lösungen $3$, $4$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$3$

f''($3$) = $12\cdot 3-42$= $36-42$= $-6$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $2\cdot 3^3-21\cdot 3^2+72\cdot 3-1$ = $80$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $80$)

2.: x=$4$

f''($4$) = $12\cdot 4-42$= $48-42$= $6$ >0

Das heißt bei x = $4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($4$) = $2\cdot 4^3-21\cdot 4^2+72\cdot 4-1$ = $79$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($4$| $79$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Tiefpunkt T(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Tiefpunkt T(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $2x$, f₁''(x)= $2$, und somit f₁''(0) = 2 > 0.

Somit hat der Graph der Funktion $x^2$ einen Tiefpunkt T(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um 2 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). ${\left(x-2\right)}^2$ hat also an der Stelle x = 2 genau die gleichen Ableitungswerte wie $x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-2\right)}^2+1$ einen Tiefpunkt T(2|1), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.