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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 7 x + 6$	=

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x - 24}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 24}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 19 x - 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$- 19 x - 24$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

- 19 x - 24

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 35 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{35+29}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{35-29}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 3} + \frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{- 18 x}{9 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 3} - \frac{18 x}{9 x - 9}$	=	0
$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{3 (x - 1)} - \frac{18 x}{9 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{3 (x - 1)} - \frac{18 x}{9 (x - 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{3 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 2) - \frac{18 x}{9 (x - 1)} \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{x (3 x - 2)}{x - 1} - \frac{2 x (3 x - 2)}{x - 1}$	=
$4 x + \frac{3 x^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{6 x^{2} - 4 x}{x - 1}$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 6 x^{2} + 4 x}{x - 1} + 4 x$	=

\frac{3 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 4 x}{x - 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 4 x}{x - 1} + 4 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 4 x + 4 x (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 4 x + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$x^{2} - 2 x$	=

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$8$
$x^{2} + a x - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $2$ }

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Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter