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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 3}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	$3^{2}$

$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 2 \sqrt{3 x + 3}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot 2 + 3}$

= $- 2 \sqrt{6 + 3}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 3}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 3}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 3$	=	${(x + 3)}^{2}$

11 x + 3

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{11 x + 3}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 2 + 3}$

= $\sqrt{22 + 3}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x + 3$

$=$ $2 + 3$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{11 x + 3}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{33 + 3}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x + 3$

$=$ $3 + 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 92}$ = $3 \sqrt{x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 92}$	=	$3 \sqrt{x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 92$	=	${(3 \sqrt{x + 12})}^{2}$

$7 x + 92$	=	$9 (x + 12)$
$7 x + 92$	=	$9 x + 108$	\| $- 92$
$7 x$	=	$9 x + 16$	\| $- 9 x$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 92}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 92}$

= $\sqrt{- 56 + 92}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $3 \sqrt{x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{- 8 + 12}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 11}$ = $\sqrt{5 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 11}$	=	$\sqrt{5 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 11$	=	${(\sqrt{5 x - 11} + 2)}^{2}$

$9 x - 11$	=	$4 \sqrt{5 x - 11} + 5 x - 7$	\| $- 9 x$ $+ 11$ $- 4 \sqrt{5 x - 11}$
$- 4 \sqrt{5 x - 11}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 11}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x - 11

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{9 x - 11}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{27 - 11}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11} + 2$

= $\sqrt{15 - 11} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{9 x - 11}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 4 - 11}$

= $\sqrt{36 - 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11} + 2$

= $\sqrt{20 - 11} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$