Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}$ = $- \frac{28}{x^{2} - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ ; $4$ }

\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}

- \frac{28}{(x + 4) \cdot (x - 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 4) \cdot (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{x + 4} - \frac{11}{x - 4}$	=	$- \frac{28}{(x + 4) \cdot (x - 4)}$	\|⋅( $(x + 4) \cdot (x - 4)$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4) - \frac{11}{x - 4} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{28}{(x + 4) \cdot (x - 4)} \cdot (x + 4) \cdot (x - 4)$
$x (x - 4) - 11 x - 44$	=	$- 28 \frac{x + 4}{x + 4}$
$x (x - 4) - 11 x - 44$	=	$- 28$
$x^{2} - 4 x - 11 x - 44$	=	$- 28$
$x^{2} - 15 x - 44$	=	$- 28$

x^{2} - 15 x - 44

- 28

+ 28

$x^{2} - 15 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15+17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15-17}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $16$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(1| $10$ )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 6 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 6 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(1| $10$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(1) = $10$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(1| $10$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(1)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 6 (y-Achsenabschnitt)
f(1)= $10$ (H(1| $10$ ) liegt auf dem Graph)
f'(1)=0 (Hochpunkt bei x=1)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 6: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 6, also c = 6
f(1)= $10$ : $a \cdot 1^{4} + b \cdot 1^{2} + c$ = $10$ , also 1⋅a + 1⋅b + c = $10$
f'(1)=0: $4 a \cdot 1^{3} + 2 b \cdot 1 + 0$ = 0, also 4a + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 6 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(1)= $10$ 1⋅a + 1⋅b + 6 = $10$ oder umgeformt:
1⋅a + 1⋅b = $4$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} a & + b & = & 4 & (I) \\ 4 a & + 2 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $4$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 1 a & 1 b & = & 4 & (I) \\ (4 - 4) a & + (4 - 2) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} a & + b & = & 4 & (I) \\ + 2 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 2 b & = & 16 \end{matrix}

b = $8$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} a & + (8) & = & 4 \end{matrix}

| -

8

1

a =

- 4

| : 1

a = $- 4$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- 4 x^{4} + 8 x^{2} + 6$