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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,35 Ausschuss. Es werden nacheinander 6 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau ein Chip defekt ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips defekt sind) beträgt p = 0,35, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) beträgt sie q = 1 - 0,35 = . Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:
Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 5-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 6-ten Versuch)
Bei jedem dieser 6 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich Pk = .
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 6 Fälle gilt somit P = ≈ 0.2437 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
38! = 38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 2)
= 780
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 18-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?
Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 18 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 17 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 16 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 4896 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 816 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 18 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 15! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
816 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 25 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 beschriftet sind.
Es werden 7 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 10 und die 12 dabei sind?
Es gibt insgesamt = = = 480700 verschiedene Möglichkeiten, die 7 Kugeln aus den 25 zu ziehen, bzw. von 25 Zahlen 7 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn zwei der gezogenen Zahlen die 10 und die 12 sind, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 von 25 Zahlen anzukreuzen, wobei zwei Kreuze sicher auf der der 10 und der 12 sein müssen, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 5 Kreuze auf 23 Zahlen (alle außer der 10 und der 12) zu setzen, also = = = 33649.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.07, also ca. 7%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 37 Glückskekse kauft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Glückskekse mit einer Peperoni an. X ist binomialverteilt mit n=37 und p=.
= =0.19667345459218≈ 0.1967(TI-Befehl: binompdf(37,1/8,4))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
---|---|---|
0 | ≈ 0 | ≈ 0 + 0 = 0 |
1 | ≈ 0.01 | ≈ 0 + 0.01 = 0.01 |
2 | ≈ 0.05 | ≈ 0.01 + 0.05 = 0.06 |
3 | ≈ 0.11 | ≈ 0.06 + 0.11 = 0.17 |
4 | ≈ 0.18 | ≈ 0.17 + 0.18 = 0.35 |
Während P(X ≤ 3) = 0.17 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 4) = 0.35 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 4.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 67%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 57 Versuchen weniger als 35 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=0.67.
= = + + +... + = 0.14947109952783 ≈ 0.1495(TI-Befehl: binomcdf(57,0.67,34))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 70 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,1.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mehr als -1 Treffer zu erzielen?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.1.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(70,0.1,-1))
Binomialverteilung l < X < k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 95% von der Freiwurflinie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 67 Versuchen mindestens 61 und weniger als 67 trifft?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.95.
=
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.95,66) - binomcdf(67,0.95,60))