$\text{f(x)}=$ $4x^5-2x^2$

$\text{f'(x)}=$ $20x^4-4x$

$\text{f(x)}=$ $-x^3$

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^2$

f'(0) = $-3\cdot 0^2$ = $-3\cdot 0$ = 0

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{x^3}$

= $3x^{-3}$

=> f'(x) = $-9x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}\sqrt{x}$

= $\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $16t\cdot \sin \left(x\right)-5x$

=>$\text{f'(x)}=$ $16t\cdot \cos \left(x\right)-5$

Jetzt setzen wir x = $-\pi$ in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $16t\cdot \cos \left((-\pi )\right)-5$
= $16t\cdot \left(-1\right)-5$
= $-16t-5$

Dieser Wert soll ja den Wert $-21$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-3$

f'(2) = $3\cdot 2-3$ = $6-3$ = $3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $3$)) ≈ 71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^4+80x-7$ ab:

f'(x) = $3x^3+80$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -3.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 21.8 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(21.8°) ≈ 0.4

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $-3x^2+\frac{1}{25}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x+\frac{1}{25}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $-6\cdot 0+\frac{1}{25}t$
= $\frac{1}{25}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 0.4 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 10 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x-6$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3-6$ = 0

$\text{g'(x)}=$ $-2x-4$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3-4$ = $-10$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan(0) ≈ 0°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-10$) ≈ -84.3°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |0° - ( - 84.3 )°| ≈ 84.3°