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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $5 e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} + \sqrt{x} + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} + \sqrt{x} + x^{3}$

= $- 2 e^{- 3 x + 3} + x^{\frac{1}{2}} + x^{3}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 x^{2}$

= $6 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 9 x^{2} + 9)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x + 9)$

= $(9 x^{2} + 6 x + 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} - 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} - 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{- 3 x} - 1)}^{4} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 10 {(e^{- 3 x} - 1)}^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $30 {(e^{- 3 x} - 1)}^{4} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x - 2 + 4) + 8$

= $8 + (- 0,4 x - 2 + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $8 + (- 0,4 x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

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