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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{3}$

$f'(x) =$ $9 t^{2} x^{2}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $x \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $1 \cdot e^{2 x - 5} + x \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $e^{2 x - 5} + x \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} + 2 x \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x + 1)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} (2 x + 1)$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} - t x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{29}{2} x + 3$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- x^{3} - t x$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - t$ = $- t - 12$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{29}{2}$ x+3 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- t - 12$ soll gleich $- \frac{29}{2}$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- t - 12$ = $- \frac{29}{2}$ nach t auf.

$- t - 12$	=	$- \frac{29}{2}$	\| $+ 12$
$- t$	=	$- \frac{5}{2}$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Für t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $2 t x$ im Punkt B( $3$ |f( $3$ )) parallel zur Gerade y= $2 x - 5$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $2 t x$

$f'(x) =$ $2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $3$ ein:

f'( $3$ ) = $2 t$ = $2 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $2$ x-5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $3$ )= $2 t$ soll gleich $2$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $2 t$ = $2$ nach t auf.

$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.