Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^x$ (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Da bei $e^{x+2}-2$ zu jedem Funktionswert von $e^x$ noch -2 addiert wird, ist der Graph von $e^{x+2}-2$ gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach unten verschoben.

Da bei $e^{x+2}-2$ das x von $e^x$ durch ein 'x+2' ersetzt wurde, wird der Graph der natürlichen Exponentialfunktion um -2 in x-Richtung verschoben .

Daraus ergeben sich folgende Aussagen:

• Dadurch schneidet der Graph von f die x-Achse.
• Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
• Für x → ∞ strebt $e^{x+2}-2$ gegen $\infty$ .
• Für x → - ∞ strebt $e^{x+2}-2$ gegen $0-2$ = $-2$ .

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $1+2e^{{\left(-x\right)}^2}$ = $1+2e^{x^2}$ = $2e^{x^2}+1$

Wenn man das mit f(x) = $1+2e^{x^2}$ = $2e^{x^2}+1$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:

Schaubild 1

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $12e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}-12e^{-0}$ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

Schaubild 2

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $8·{\left(0-2\right)}^2·e^{-0}$ = 32
• Nullstellen: f(2) = $8·{\left(2-2\right)}^2·e^{-2}$ =0
• Grenzverhalten
  • Für x → -∞ strebt f₂ = $\infty$
  • Für x → +∞ strebt f₂ = 0
• Punkte mit waagrechter Tangente:
  Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 2.
  Außerdem erkennen wir noch einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 4

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₂ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

Schaubild 3

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-3e^{-3\cdot 0}-0+3$ = 0

Damit können wir f₃ ausschließen.

Schaubild 4

• y-Achsenabschnitt: f(0) = $-12e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}+12e^{-0}$ = 0

Damit können wir f₄ ausschließen.

Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:

f₁(x) = $8{\left(x-2\right)}^2·e^x$

• f(2) = $8·{\left(2-2\right)}^2·e^2$ =0
• Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 2, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
  f'(x) = $8·2\left(x-2\right)·\left(1+0\right)·e^x+8{\left(x-2\right)}^2·e^x$ = $16\left(x-2\right)·e^x+8{\left(x-2\right)}^2·e^x$
  f'(2) = $16·\left(2-2\right)·e^2+8·{\left(2-2\right)}^2·e^2$ = 0

Damit können wir f₁ ausschließen.

f₂(x) = $-3\left(x-2\right)·e^{-x}$

• f(2) = $-3·\left(2-2\right)·e^{-2}$ =0
• Für x → -∞ strebt f₂ = $-3\left(x-2\right)·e^{-x}$ gegen " $-3·-\infty ·\infty$" = $\infty$
• Für x → +∞ strebt f₂ = $-3\left(x-2\right)·e^{-x}$ gegen " $-3\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f₂ ausschließen.

f₃(x) = $3\left(x-2\right)·e^{-x}$

• f(2) = $3·\left(2-2\right)·e^{-2}$ =0
• Für x → -∞ strebt f₃ = $3\left(x-2\right)·e^{-x}$ gegen " $3·-\infty ·\infty$" = $-\infty$
• Für x → +∞ strebt f₃ = $3\left(x-2\right)·e^{-x}$ gegen " $3\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Damit können wir f₃ ausschließen.

f₄(x) = $-3e^{-3x}-x+3$

• f(2) = $-3e^{-3\cdot 2}-2+3$ =0.99256374347

Damit können wir f₄ ausschließen.

f₅(x) = $-\left(x-2\right)·e^x$

• f(2) = $-\left(2-2\right)·e^2$ =0
• Für x → -∞ strebt f₅ = $-\left(x-2\right)·e^x$ gegen " $--\infty ·0$" = 0
  ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)
• Für x → +∞ strebt f₅ = $-\left(x-2\right)·e^x$ gegen " $-\infty ·\infty$" = $-\infty$
• Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
  f'(x) = $-\left(1+0\right)·e^x-\left(x-2\right)·e^x$ = $-e^x-\left(x-2\right)·e^x$ = $-e^x·\left(x-1\right)$ = 0
  nach x auflösen.

  $-e^x\left(x-1\right)$	=	0
  $-\left(x-1\right)·e^x$	=	0

  Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

  1. Fall:

  $x-1$	=	0	| $+1$
  x1	=	$1$

  
  

  2. Fall:

  $e^x$

  =

  $0$

  Diese Gleichung hat keine Lösung!

  
  Der Graph von f₅(x) = $-\left(x-2\right)·e^x$ hat also bei x = 1 einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Hier spricht also nichts dagegen, dass f₅ der zugehörige Funktionsterm sein könnte.

f₆(x) = $-8{\left(x-2\right)}^2·e^x$

• f(2) = $-8·{\left(2-2\right)}^2·e^2$ =0
• Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 2, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
  f'(x) = $-8·2\left(x-2\right)·\left(1+0\right)·e^x-8{\left(x-2\right)}^2·e^x$ = $-16\left(x-2\right)·e^x-8{\left(x-2\right)}^2·e^x$
  f'(2) = $-16·\left(2-2\right)·e^2-8·{\left(2-2\right)}^2·e^2$ = 0

Damit können wir f₆ ausschließen.

1. y-Wert bei t = 3

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=3. Wir berechnen also einfach f(3) = $20+12e^{-\mathrm{0,7}\cdot 3}$ = $12e^{-\mathrm{2,1}}+20$ ≈ 21.5

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20+12e^{-\mathrm{0,7}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 22

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=22 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 22 und lösen nach t auf:

   $20+12e^{-\mathrm{0,7}t}$ = $22$

   $12e^{-\mathrm{0,7}t}+20$	=	$22$	| $-20$
   $12e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$2$	|:$12$
   $e^{-\mathrm{0,7}t}$	=	$\frac{1}{6}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,7}t$	=	$\ln \left(\frac{1}{6}\right)$	|:$-\mathrm{0,7}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,7}}\ln \left(\frac{1}{6}\right)$	≈ 2.5597

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 22 annimmt, ist also nach 2.56 Jahre.

$\text{f(x)}=$ $-3e^{-2t^{2}x+2t^2}$

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2t^{2}x+2t^2}·\left(-2t^2\right)$

= $6t^2{e}^{-2t^{2}x+2t^2}$

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A($-2$| $-\frac{9}{2}$) in f mit $\text{f(x)}=$ $-t{e}^{x+2}-3$ :

$-\frac{9}{2}$ = f($-2$)

$-\frac{9}{2}$ = $-t{e}^{-2+2}-3$

$-\frac{9}{2}$ = $-t{e}^0-3$

$-\frac{9}{2}$ = $-t-3$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $-t-3$ = $-\frac{9}{2}$ nach t auflösen.

Für t= $\frac{3}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-2x+3\right)·e^{tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-2+0\right)·e^{tx}+\left(-2x+3\right)·e^{tx}·t$

= $-2e^{tx}+\left(-2x+3\right)·t{e}^{tx}$

= $-2e^{tx}+t\left(-2x+3\right)·e^{tx}$

= $e^{tx}·\left(-2tx+3t-2\right)$

= $e^{tx}·\left(-2tx+3t-2\right)$

= $\left(-2tx+3t-2\right)·e^{tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-2e^{t\cdot 0}+t·\left(-2\cdot 0+3\right)·e^{t\cdot 0}$ = $-2+3t$ = $3t-2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $7$x-4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $3t-2$ soll gleich $7$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $3t-2$ = $7$ nach t auf.

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(

Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.

• Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm $e^{\frac{9}{10}x-k}$ niemals = 0 werden kann.
  Da jedoch der zweite Summand $3k$ abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
  Denn für x → -∞ strebt f_k(x) → 0 + $3k$
  Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss $3k$ = 3 gelten;
  Also gilt k = $1$

Der abgebildete Graph ist somit der von f_$1$

Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α), also hier m_max=tan(45°) ≈ 1.

Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von f_t .

$\text{f(x)}=$ $t^2{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $t^2{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{t^2}x\right)$

= $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$

= $-\frac{4}{9}x{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

$\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{9}{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(-\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{t^2}x\right)·x-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·1$

= $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·(-\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{t^2}x·x)-\frac{4}{9}{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $\frac{16}{81}\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x·x-\frac{4}{9}{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $\frac{16}{81}\cdot \frac{1}{t^2}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}{x}^2-\frac{4}{9}{e}^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

= $e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}·\left(\frac{16}{81}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-\frac{4}{9}\right)$

= $\left(\frac{16}{81}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2-\frac{4}{9}\right)·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-\frac{3}{2}t$, $\frac{3}{2}t$ sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Wenn man die beiden Lösungen $-\frac{3}{2}t$ und $\frac{3}{2}t$ in die erste Ableitung einsetzt, erhält man:
f_t'($-\frac{3}{2}t$) = $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{\left(-\frac{3}{2}t\right)}^2}·\left(-\frac{3}{2}t\right)$ = $\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$
f_t'($\frac{3}{2}t$) = $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{\left(\frac{3}{2}t\right)}^2}·\left(\frac{3}{2}t\right)$ = $-\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$

An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt f_t'(x) = $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t
Für x → +∞ strebt f_t'(x) = $-\frac{4}{9}·e^{-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{t^2}{x}^2}x$ → 0 für alle t

Da die stetige Funktion f_t' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen $-\frac{3}{2}t$ und $\frac{3}{2}t$ waagrechte Tangenten hat, müssen dort Extremstellen, und sogar ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum sein.

Die maximale Steigung ist somit f_t'($-\frac{3}{2}t$) = $\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$
Die minimale Steigung ist somit f_t'($\frac{3}{2}t$) = $-\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$

Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung m_max = $\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$ ≈ $\frac{2}{3}t·\mathrm{0,607}$ zu schauen .
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 45° höchstens 1 sein, also berechnen wir das t für das $\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$ = 1 gilt:

Für t = 2.471 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 45° erreicht.

Und weil ja die maximale Steigung m_max = f_t'($-\frac{3}{2}t$) = $\frac{2}{3}t{e}^{-\frac{1}{2}}$ mit wachsendem t immer größer wird, sind somit alle t < 2.471 zulässig.

L={ $e^5$}

Für die Nullstellen muss gelten: f_t(x)=0, also hier :
$x^2-12x-t$ = 0

Wir lösen diese Gleichung einfach, in dem wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel einsetzen:

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·1·\left(-t\right)}}{$ 2\cdot 1$}$ = $\frac{+12\pm \sqrt{144+4t}}{$ 2$}$

An der Diskriminante $144+4t$, also dem Term unter der Wurzel erkennen wir die Anzahl der Lösungen.
Hierfür untersuchen wir die t-Werte, für die die Diskriminante = 0 wird:

Jetzt können wir drei Fälle unterscheiden:

• Für t < $-36$ hat f_t keine Nullstelle, weil dort $144+4t$ < 0 ist, also ein negativer Wert unter der Wurzel der Mitternachtsformel steht und somit die quadratische Gleichung $x^2-12x-t$ keine reele Lösung hat.
  (z.B. bei t = -35 ist die Diskriminante $144+4\cdot \left(-35\right)$ = $4$)
• Für t = $-36$ hat f_t genau eine Nullstelle, weil dort ja die Diskriminante $144+4t$ = 0 ist und somit die beiden Lösungen (eine mit + und eine mit -) zusammenfallen.
• Für t > $-36$ hat f_t genau zwei Nullstellen, weil dort $144+4t$ > 0 ist und somit die die quadratische Gleichung $x^2-12x-t$ je eine Lösung mit der positven Wurzel und eine mit der negativen Wurzel hat.
  (z.B. bei t = -37 ist die Diskriminante $144+4\cdot \left(-37\right)$ = $-4$)

Der gesuchte Bereich mit "keine Nullstelle" ist somit: t < $-36$