= $\pi$ ${\left[-16{\left(x+2\right)}^{-1}\right]}_0^2$

= $\pi$ ${\left[-\frac{16}{x+2}\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{16}{2+2}+\frac{16}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{16}{4}+\frac{16}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-16\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-4+8\right)$

= $\pi ·4$

= $4\pi$

≈ 12,566

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{5}{x}\right)}^2-{\left(\frac{5}{x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{25}{x^2}-\frac{25}{{\left(x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[25{\left(x+2\right)}^{-1}-25x^{-1}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{25}{x+2}-\frac{25}{x}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{25}{3+2}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{1+2}-\frac{25}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{25}{5}-25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{25}{3}-25\cdot 1\right))$

= $\pi ·(25\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-\frac{25}{3}-\left(25\cdot \left(\frac{1}{3}\right)-25\right))$

= $\pi ·(5-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}-25\right))$

= $\pi ·(\frac{15}{3}-\frac{25}{3}-\left(\frac{25}{3}-\frac{75}{3}\right))$

= $\pi ·(-\frac{10}{3}-1·\left(-\frac{50}{3}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{10}{3}+\frac{50}{3}\right)$

= $\pi ·\frac{40}{3}$

= $\frac{40}{3}\pi$

≈ 41,888

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $3e^{\mathrm{0,3}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(3e^{\mathrm{0,3}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[15e^{\mathrm{0,6}x}-20e^{\mathrm{0,3}x}+x\right]}_0^2$

$=$ $\pi ·(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 2}-20e^{\mathrm{0,3}\cdot 2}+2-\left(15e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}-20e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-20e^{\mathrm{0,6}}+2-\left(15e^0-20e^0+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-20e^{\mathrm{0,6}}+2-\left(15-20+0\right))$

= $\pi ·(15e^{\mathrm{1,2}}-20e^{\mathrm{0,6}}+2-1·\left(-5\right))$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-20e^{\mathrm{0,6}}+2+5\right)$

= $\pi ·\left(15e^{\mathrm{1,2}}-20e^{\mathrm{0,6}}+7\right)$

≈ 63,961