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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x}$

= $4 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt[9]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt[9]{x}$

= $4 x^{\frac{1}{9}}$

=> f'(x) = $\frac{4}{9} x^{- \frac{8}{9}}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{9 {(\sqrt[9]{x})}^{8}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}}$

= $5 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 15 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{15}{x^{4}}$

f'(-1) = $- \frac{15}{{(- 1)}^{4}}$ = $- 15 \cdot 1$ = $- 15$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt[3]{x}$ im Punkt P(27|f(27)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt[3]{x}$

= $3 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $x^{- \frac{2}{3}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

f'(27) = $\frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{2}}$ = $\frac{1}{3^{2}}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{3}}$ parallel zur Geraden y = $x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x + 2$ hat als Steigung m = $1$ und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $1$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{3}}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{4}}$

Diese Ableitung muss ja = $1$ sein, also setzen wir $\frac{1}{x^{4}}$ = $1$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{4}}$	=	$1$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$1 \cdot x^{4}$
$1$	=	$x^{4}$

$1$	=	$x^{4}$	\| $- 1$ $- x^{4}$
$- x^{4}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[4]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $\frac{1}{{(- 1)}^{4}}$ = $1$

f '( $1$ ) = $\frac{1}{1^{4}}$ = $1$