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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.55 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{4.55cm}{5cm}$ =0.91 und somit β=65.5°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 24.5°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+24.5°=β=65.5° gilt nun: α = 41°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 25° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 25° = 65°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(65°) = $\frac{g}{5cm}$

Damit folgt g = sin(65°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+25°) gleich groß sein. Damit gilt 65° = α + 25°, woraus folgt: α = 40°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 40° = 50°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(50°)= $\frac{4.5}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.5}{sin(50°)}$ ≈ 5.9cm

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Von einem Fenster in 9m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=70° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=40° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?

Lösung einblenden

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)= $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ .
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=9 ⋅ tan(70°) ≈24.7273

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=9 ⋅ tan(40°) ≈7.5519

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=24.727 - 7.552 ≈ 17.175 m.

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(0|-5), B(3|-5) und C(3|-1).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 4² + 3²

b² = 16 + 9

b² = 25

b = $\sqrt{25}$ ≈ 5

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.333

Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-53.1° = 36.9°

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Trigonometrie Anwendungen

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem