Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ = 1 - $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ oder $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 16% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.16}}$ ≈ 206 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.16⋅206) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=206:
$P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≈ 0.4737 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=233 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 233 sein, damit $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.16}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 216 Versuchen auch ungefähr 36 (≈$\frac{1}{6}$⋅216) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=216:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≈ 0.4717 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=259 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 259 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 35)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\ge 36)$ ≥ 0.9 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>6</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ ≈ 216 Versuchen auch ungefähr 36 (≈$\frac{1}{6}$⋅216) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=216:
$P_{\frac{1}{6}}^{\mathrm{n}}(X\le 36)$ ≈ 0.5444 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=202 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=7 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^7(X\ge 2)$ = 1- $P_p^7(X\le 1)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^7(X\ge 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 7 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{1}{2}$.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{1}{2}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 2 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und n = 57.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{57}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 19 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.35}^{57}(X\le 20)$ nimmt mit 56.6% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.35}^{57}(X\le \mathrm{k})$ < 0.55 ist somit k = 19.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 19 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.07 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.93 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.93 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{12}(X\le 3)$ nimmt mit 96.49% einen Wert über 0.93 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{12}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.11}^{12}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.07 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 60.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{60}(X\le 5)$ nimmt mit 13.77% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{60}(X\le \mathrm{k})$ < 0.1 ist somit k = 4.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.